精品解析：湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

蕲春一中2025年三月高一月考数学试题 考试时间：2025-3-12 一、单选题 1. （    ） A. B. C. D. 2. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 3. 为了得到函数图像，只需把余弦函数上所有点（    ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 4. 若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 6. 已知，，则的值为（    ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 若关于的方程有解，则 D. 若为锐角的一个内角，且，则 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 三、填空题 12. 计算：__________. 13. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 14. 设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是____________. 四、解答题 15. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的取值集合. 17. 如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点. （1）当时，求的面积最小值（的面积公式是）； （2）求当的周长为2时，求的大小. 18. 已知函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）设，若对于任意，都有，求的取值范围. 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蕲春一中2025年三月高一月考数学试题 考试时间：2025-3-12 一、单选题 1. （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案. 【详解】. 故选：D 2. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指对数函数及正弦函数性质判断大小关系即可. 【详解】由，即. 故选：A 3. 为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（    ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】将化为，再根据三角函数的图象变换得到答案. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度， 故选：D. 4. 若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得的范围． 【详解】解：函数在上单调，函数的定义域为，因为，在上单调递增，在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 要使函数在上单调， ，或，解得，或，即， 故选：． 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ） A. －4和 B. C. －4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得， 故选：B. 6. 已知，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解. 【详解】由于，， 则， 整理得， 所以 故选：D. 7. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造定义在上的函数，由函数的奇偶性和单调性将题设不等式转换为，再由函数的定义域、奇偶性和单调性列出不等式组计算即可得解. 【详解】令， 则函数定义域为关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以不等式 ， 因为函数和在上均为增函数， 所以函数为定义在上的增函数， 所以， 所以不等式的解集是. 故选：C. 8. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“五点法”求得的解析式，从而判断A，利用三角函数的平移规则可判断B，利用代入检验法可判断C，利用三角函数的最值性质可判断D，从而得解. 【详解】依题意可得，， 所以，又，解得，所以， 对于A：由图象知过点，即， 所以，则， 又，所以，所以，故A正确； 对于B：由的图象向左平移个单位长度 得到的图象，故B错误； 对于C：因为， 所以是函数图象的一条对称轴，故C正确； 对于D：若， 则取得最大（小）值且取最小（大）值， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 若关于的方程有解，则 D. 若为锐角的一个内角，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】将三角函数的解析式化为一般式，再根据三角函数周期，对称轴，值域的求解方法，以及三角函数给值求值问题的处理办法，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】； 对A：的最小正周期为，故A正确； 对B：，又是的最大值，则的图象关于对称，故B正确； 对C：若关于的方程有解，则的取值范围为的值域， 又，故，故C错误； 对D：，故可得， 为锐角三角形的一个内角， ，， ，故D正确. 故选：ABD. 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A. B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D. 【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 则依题意，满足，所以， 因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，， 则，由可得， 又因为，所以，故A正确； 对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为， 所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确； 对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动， 则所需要的时间是，故C错误； 对于D，若在上的值域为， 则在上的值域为， 因为，所以， 作出函数的图象，依题意需使 即，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案. 三、填空题 12. 计算：__________. 【答案】4 【解析】 【详解】 13. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】依题意可得为的一个对称中心，可得满足，再由单调区间可求解. 【详解】易知， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心； 所以，即； 又在区间上单调递减，所以，解得； 当时，此时，满足题意. 故答案为：2 14. 设函数，若关于x的函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，换元后分析可知方程的一根在区间上，另一根在区间上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】作出函数的图象如图， 令，函数恰好有四个零点． 则方程化为， 设的两根为， 因为，所以两根均大于0，且方程的一根在区间内，另一根在区间内． 令 所以，解得：， 综上：实数的取值范围为 故答案为： 【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数. 四、解答题 15. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可. （2）利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法及差角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由为锐角，，得，， 而，所以. 【小问2详解】 由（1）得， ，， 所以． 16. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的的取值范围是. 17. 如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点. （1）当时，求的面积最小值（的面积公式是）； （2）求当的周长为2时，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，可得，由可得，即可得解； （2）设线段、的长度分别为、，可得，可得，设，可得，可得. 【小问1详解】 当，设，， 则，，， ， 因，所以， 则，则， 则， 所以， 所以的面积的最小值为. 【小问2详解】 设线段、的长度分别为、，， 因为正方形的边长为， 则，， 因为的周长为，所以， 则由勾股定理得，即， 又因为，， 则 因为，所以， 所以. 18. 已知函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）设，若对于任意，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为奇函数，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知求得，代入即可得； （2）函数为奇函数，利用奇函数定义即可证明. （3）由题意可得，进而得的最大值可能是或，作差法可得，结合题意可得，令，进而求解可求得的取值范围. 【小问1详解】 函数的图象过点 所以，解得 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 判断：函数为奇函数. 理由如下：由（1）知，， . 由，解得函数的定义域为 定义域关于原点对称 函数为奇函数. 【小问3详解】 因为且，所以且， 因为， 所以的最大值可能是或， 因为 所以， 所以对于任意，都有成立， 只需，即， 设，易知在上单调递增，且， ，即，所以， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：对于函数不等式恒成立问题，常常通过构造函数，通过求得函数的最值解决问题. 19. 若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. （1）已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； （2）设，若与为“函数对”，求的取值范围； （3）已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； 【小问2详解】 由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时的零点也全是的零点，综上. 【小问3详解】 由， 因函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$