阶段测试卷01（测试范围：第6-7章）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

2024-2025学年高一数学下学期阶段测试卷01 测试范围：第6-7章 一､选择题 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】运用复数除法运算求出，再根据虚部概念得解． 【解析】由于，则，则复数的虚部为． 故选：B. 2．若向量=(1，2)，=(2，3)，则与+共线的向量可以是（    ） A．(2，1) B．(6，10) C．(－1，2) D．(－6，10) 【答案】B 【分析】求出的坐标，然后由共线向量的定义判断． 【解析】由已知，只有，即只有与平行． 故选：B． 3．若的外接圆的半径，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求解即可. 【解析】由正弦定理可得：, 所以. 故选：C 4．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算，求得，再利用向量夹角余弦公式，求得，进而得到与的夹角. 【解析】，所以， ，又， 所以. 故选：D. 5．在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【解析】因为，所以， 由余弦定理得， ，， ，则. 故选：C. 6．已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案. 【解析】解：因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以，解得， ， 因为，所以，则， 所以复数z的模的取值范围是. 故选：A. 7．阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理和余弦定理以及角度和距离之间的关系计算可得答案. 【解析】在中，因为，， 所以，则． 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，可得． 在中，因为，，， 所以由余弦定理得， 得， 故选：B． 8．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【解析】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、多选题 9．已知复数是的共轭复数，则（    ） A． B．的虚部是 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是方程的一个根 【答案】AC 【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可. 【解析】由题意可知，所以，故A正确； 易知的虚部是，故B错误； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； 对于， 显然不符合题意，故D错误. 故选：AC 10．对于，有如下说法，其中正确的是（    ） A．满足条件，，的三角形共有两个 B．若，则是直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若是锐角三角形，则不等式恒成立 【答案】AD 【分析】利用正弦定理解三角形可判断A；根据诱导公式化为同名函数即可判断B；利用平方关系化为正弦，再由正弦定理角化边，然后利用余弦定理只能判断角C，可判断C；根据，结合诱导公式可判断D. 【解析】对A，中，，，， 由正弦定理有，则， ，则或，即满足条件的三角形共有两个，A选项正确； 对B，中，，有或， 则是直角三角形或钝角三角形，B选项错误； 对C，中，， 则， 由正弦定理可得，则，即为锐角， 角与角的大小未知，则不一定为锐角三角形，C选项错误； 对D，是锐角三角形，则，，有， 则，即化为恒成立，D选项正确. 故选：AD. 11．定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用的定义证明A选项正确，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可. 【解析】对于A，若，由的定义有或. 由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即. 所以，故，A正确； 对于B，设有非零向量，则，，故，B错误； 对于C，由于，故，C错误； 对于D，若，，，则，D错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造反例否定一个命题，需要恰当选取反例方可得到结论. 三、填空题 12．已知向量，，则在方向的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的公式求解即可. 【解析】在方向的投影向量为. 故答案为： 13．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 14．如图，在四边形中，的面积为，记的面积为，，设，，若存在常数，使成立，则的值为    【答案】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式，求得的值，得的大小，再设，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值. 【解析】在中，由余弦定理，， 因为，所以， 即，又因为，所以. 设，则，，， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 两式作商，得， 即，因为，所以，， ，， 假设，所以， 解得. 故答案为： 四、解答题 15．（1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值； （2）已知平面向量，的夹角为120°，且，，若与垂直，求实数的值. 【答案】【小问1】 【小问2】 【分析】（1）由两向量共线公式即可求解. （2）由两向量垂直公式即可求解 【解析】（1），， ∵与平行，∴， 解得：. （2）， ∵与垂直，∴， ∴，得，解得. 16．已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【解析】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 17．的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【解析】（1）由题设及正弦定理得， ∵，∴， [法一]∵，∴或 当时，，，符合 当时，，即，得，舍 综上，. [法二]∵，， ∴， 又∵，∴化简得， ∵，则，∴，∴ （2）由（1）知，又，∴， 正弦定理得， ∵为锐角三角形，∴，∴， ∴， ∴，∴，∴， 从而，即面积的取值范围是. 18．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.    (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，. 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得夹角余弦值即可； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【解析】（1）以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系，    则，，，， 所以， ，， . （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故. （3）同（1）问建立相同直角坐标系，    则可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 19．“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角关系，再利用辅助角公式求解即可； （2），由向量的数量积可得，由三角形的面积可得，结合余弦定理可求，可求周长； （3）不妨设，则.由余弦定理解方程组即可得解. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得 即：， 所以 所以，即，所以，得； （2）， 因为， 所以， 由得： ，即， 由余弦定理得，即， 则，解得． 所以的周长为； （3）不妨设，则.由余弦定理得: ，① ，② ，③ 因为，所以，即，则， 由②③，，则 即 因为，所以，解得或(舍) 所以，得. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，从而推导出、，结合关系求得. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期阶段测试卷01 测试范围：第6-7章 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．若向量=(1，2)，=(2，3)，则与+共线的向量可以是（    ） A．(2，1) B．(6，10) C．(－1，2) D．(－6，10) 3．若的外接圆的半径，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 6．已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数是的共轭复数，则（    ） A． B．的虚部是 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数是方程的一个根 10．对于，有如下说法，其中正确的是（    ） A．满足条件，，的三角形共有两个 B．若，则是直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若是锐角三角形，则不等式恒成立 11．定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C． D．若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，则在方向的投影向量为 . 13．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 14．如图，在四边形中，的面积为，记的面积为，，设，，若存在常数，使成立，则的值为    四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值； （2）已知平面向量，的夹角为120°，且，，若与垂直，求实数的值. 16．已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 17．的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.    (1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 19．“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． (1)求角； (2)若，求的周长； (3)若，求实数的值． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$