专题02 复数 单元阶段复习 （十大题型+三大常用解题策略）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

专题02 复数 单元阶段复习（十大题型） 题型目录： 题型1：复数的概念及应用 题型2：复数的简单四则运算 题型3：复数的几何意义 题型4：复数范围内方程的根 题型5：复数的运算综合 题型6：最值、取值范围问题 题型7：其他几何应用 题型8：*复数的三角表示 题型9：共轭复数、复数模的运算综合辨析 题型10：解答题 常用解题技巧： 1、解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 2、复数的运算 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 3、复数的几何意义 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 题型1：复数的概念及应用 1．若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解. 【解析】由于为纯虚数， 所以且， 解得， 故选：C 2．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【分析】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【解析】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出复数的实部与虚部，写出结果即可． 【解析】的虚部为3，所求复数实部为3， ，即的实部为，所求复数的虚部为． 所求复数为． 故选：C． 4．已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】根据复数类型，结合同角三角函数关系，即可求得结果. 【解析】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 故答案为：. 5．复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案 【解析】因为，所以实部为2，虚部为3，，. 故选：B 6．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【解析】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 7．已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【解析】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 题型2：复数的简单四则运算 8．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数乘法运算化简即可. 【解析】． 故选：A 9．在复平面内，复数z对应的点为，则 ． 【答案】 【分析】由复数的几何意义及复数的运算求解． 【解析】因为复数z对应的点为，所以，所以． 故答案为： 10．已知i为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算法则计算求解即可. 【解析】由题，. 故选：B. 11．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解. 【解析】, 所以. 故选：B. 12．复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】应用复数的乘除运算求复数，进而求模长. 【解析】由题设，则，所以. 故选：D 13．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【解析】，故， . 故选：B 14．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合复数相等的条件，二次函数的性质，以及三角函数的性质，即可求解． 【解析】解：复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 题型3：复数的几何意义 15．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算化简再结合复数对应复平面的点判断即可. 【解析】因为, 所以对应点为, 所以对应点在第一象限. 故选：A. 16．在复平面内，复数Z绕原点逆时针旋转得，则复数Z的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义求解即可 【解析】对应的点的坐标为顺时针旋转后坐标为对应的虚数为虚部为 故选：C. 17．如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 18．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据数形结合得出复数的坐标，再根据坐标求出模长即可. 【解析】如图可得, 所以, 所以. 故选：A. 19．已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出的对应点即可. 【解析】因为， 若z为纯虚数，则，即， 则在复平面内对应的点为, 则复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 20．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【解析】由题意得，解得， 故答案为： 题型4：复数范围内方程的根 21．已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【解析】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C 22．设，是方程在复数范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程求根公式计算得出两根，，逐一代入选项验证可得结果. 【解析】解:由方程得， 由求根公式得，不妨设，． ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：D 题型5：复数的运算综合 23．已知若为纯虚数，则 . 【答案】1 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，再由纯虚数的意义及复数模的意义求解即得. 【解析】依题意，， 由为纯虚数，得，解得，因此， 所以. 故答案为：1 24．设复数，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的四则运算结合的性质运算求解. 【解析】因为，则， 两式相减得，所以. 故答案为：. 25．已知复数，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据复数运算及复数相等得出参数值，最后计算即可求解. 【解析】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 题型6：最值、取值范围问题 26．若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】在复平面内，根据复数的几何意义，结合直线与圆的位置关系分析即可. 【解析】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6.    27．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】分析可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），注意到三点共线，结合数量积的几何意义分析求解. 【解析】由题意可知：在复平面内对应的点为， 因为，， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界）， 因为，即，可知三点共线， 且， 设在方向上的投影向量为，则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 28．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 29．已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是 ； 【答案】 【分析】利用复数模的几何意义，可得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆，而的几何意义为定点到圆上点的距离，进而可解. 【解析】由已知得对应点为， 由得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆， 则的几何意义为点到圆上点的距离， 如图可得最大距离为，最小距离为， 故答案为：. 题型7：其他几何应用 30．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ． 【答案】/ 【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解. 【解析】依题意，因为三点对应的复数分别是，，， 所以， 因为是平行四边形，所以，设， 则，故，解得， 所以，则点D对应的复数为. 故答案为: . 31．已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 【答案】4 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解． 【解析】复平面内满足的点的集合围成的图形为以为圆心，以半径的圆， 复平面内满足的点的集合围成的图形面积为， 则，解得（负值舍去）． 故答案为：4． 32．欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【解析】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 题型8：*复数的三角表示 33．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得. 【解析】， 故其虚部为. 故答案为：. 34．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【解析】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 35．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简即可得解. 【解析】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 题型9：共轭复数、复数模的运算综合辨析 36．下列说法正确的是（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．若是关于的方程的根，则也是该方程的根 D．复数满足，则的最大值为 【答案】AC 【分析】利用复数的乘法可判断A选项；利用复数的乘方可判断B选项；分析可知为方程的两根，利用韦达定理可求出、的值，可判断C选项的正误；利用复数的几何意义可判断D选项. 【解析】对于A选项，设，则， 所以为实数，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）， 所以为方程的两根， C对； 对于D选项，由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 因为表示圆周上的点到圆外点的距离， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 37．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【解析】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 38．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【解析】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 39．设，为复数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【解析】设，， 对于选项A，因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，， 则，， 所以，故B正确； 对于选项C，若，例如，，满足， 但，，即，故C错误； 对于选项D，因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 40．已知为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D．在复数范围内，为方程的根 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合复数模、共轭复数及复数的乘法逐项计算判断. 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，都是虚数，不能比较大小，C错误； 对于D，由，得在复数范围内，为方程的根，D正确. 故选：ABD 41．设，为复数，则下列结论中正确的是（    ） A．若则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】由复数的加法法则判断A；由复数除法的运算法则判断B；由复数的几何意义判断C；由向量不等式判断D． 【解析】对于A，若，则，故A正确； 对于B，设，且不同时为0， 则， 因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，设， 由得，即复数对应复平面内的点表示以为圆心，1为半径的圆，如图所示， 则表示圆上的点到原点的距离，所以，故C错误； 对于D，由确定向量，确定， 由向量不等式可得，，即，故D正确； 故选：ABD． 42．对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用新定义和复数的运算性质求解． 【解析】对任意复数，，定义，其中是的共轭复数， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，令，，则，， 所以，故D错误． 故选：AB． 三、解答题 43．已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，结合题意列式求解即可； （2）由（1）可得，进而可得模长. 【解析】（1）设，则， 由题意可得，解得， 又因为在复平面上对应的点在第一象限，即，所以. （2）由（1）可知，则， 所以. 44．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【分析】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得； （2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得； （3）由题意可得，计算即可得. 【解析】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 45．已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【解析】（1）是纯虚数， ， ． （2）在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 46．已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【解析】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 47．知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【解析】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 48．在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求出；再利用复数的几何意义，得，，即可求解； （2）设是方程的一个实根，利用复数相等，得到，即可求解. 【解析】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 49．设虚数是实数，且. (1)求的值以及的实部的取值范围; (2)若，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）由题意复数是实数，则虚部为零，求解出，进而得到，由，求解的取值范围即可； （2）先求出，然后配凑利用基本不等式求解其最值即可. 【解析】（1）依题且为实数， 所以，得，即.             此时，         又，得，即的实部的取值范围是. （2）由已知得 ，                         由于，故，         当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1. 50．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用共轭复数的定义及复数的相关概念计算即可； （2）根据条件式及共轭复数的意义变形得，再结合第一问的结论证明即可； （3）利用第一问与第二问结论证明即可. 【解析】（1）设， 则，， 显然，得证； （2）由已知， 又由（1）知， 所以，得证； （3）因为，所以，即有， 所以， 由（2）知， 所以，得证. 【点睛】思路点睛：利用共轭复数的定义及几何意义并注意设问之间的递进关系一一证明即可. 51．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算法则及的周期性，再利用复数的模公式即可求解； （2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解. 【解析】（1）由题可知， ， ， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 52．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，. (1)在复数集内解方程：； (2)设，其中，且. （i）分解因式：； （ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，. 【答案】(1)、 (2)（i）；（i）证明见解析 【分析】（1）结合题意，观察可得是方程的一个根，借助待定系数法计算即可得； （2）（i）结合题意，观察可得是方程的一个根，借助待定系数法计算即可得；（ii）借助所得因式分解，构造函数，借助二次函数的性质及韦达定理可得函数必有两个不同零点、，且满足. 【解析】（1）观察可知，是方程的一个根， 则一定是多项式的一个因式， 即， 即有，解得， 即， 令，则， 即该方程的根为：、； （2）（i）观察可知，是方程的一个根， 则一定是多项式的一个因式， 即， 则有，即， 即； （ii）令，即， 即， 设，由， 有，故函数必有两个不同零点， 设，且，则，故， 又， 故，则方程的根有、、，且， 故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为，即. 【点睛】关键点点睛：最后小问关键点在于借助所得因式分解，构造函数，借助二次函数的性质可得函数必有两个不同零点、，且满足. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 复数 单元阶段复习（十大题型） 题型目录： 题型1：复数的概念及应用 题型2：复数的简单四则运算 题型3：复数的几何意义 题型4：复数范围内方程的根 题型5：复数的运算综合 题型6：最值、取值范围问题 题型7：其他几何应用 题型8：*复数的三角表示 题型9：共轭复数、复数模的运算综合辨析 题型10：解答题 常用解题技巧： 1、解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 2、复数的运算 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 3、复数的几何意义 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 题型1：复数的概念及应用 1．若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 4．已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 5．复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 6．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 7（多选）．已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 题型2：复数的简单四则运算 8．（    ） A． B． C． D． 9．在复平面内，复数z对应的点为，则 ． 10．已知i为虚数单位，（    ） A． B． C． D． 11．若复数，则（    ） A． B． C． D． 12．复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 13．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 14．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 题型3：复数的几何意义 15．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．在复平面内，复数Z绕原点逆时针旋转得，则复数Z的虚部为（   ） A． B． C． D． 17．如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 18．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的值为（    ）    A． B．2 C． D． 19．已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 20．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 题型4：复数范围内方程的根 21．已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 22．设，是方程在复数范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 题型5：复数的运算综合 23．已知若为纯虚数，则 . 24．设复数，则 ． 25．已知复数，且，则 ． 题型6：最值、取值范围问题 26．若复数，满足，，则的最小值为 ． 27．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ． 28．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 29．已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是 ； 题型7：其他几何应用 30．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ． 31．已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 题型8：*复数的三角表示 32．欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 34．设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 35．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 题型9：共轭复数、复数模的运算综合辨析 36（多选）．下列说法正确的是（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．若是关于的方程的根，则也是该方程的根 D．复数满足，则的最大值为 37（多选）．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 38（多选）．已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 39（多选）．设，为复数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 40（多选）．已知为虚数单位，，.则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D．在复数范围内，为方程的根 41（多选）．设，为复数，则下列结论中正确的是（    ） A．若则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D． 42（多选）．对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 题型10：解答题 43．已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 44．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 45．已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 46．已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 47．知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 48．在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 49．设虚数是实数，且. (1)求的值以及的实部的取值范围; (2)若，求的最小值. 50．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 51．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 52．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，. (1)在复数集内解方程：； (2)设，其中，且. （i）分解因式：； （ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$