特训04 特殊平行四边形 压轴题Ⅲ—情景探究题（八大题型，江苏最新精选）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训04 特殊平行四边形 压轴题Ⅲ-情景探究题（八大题型，江苏最新精选） 目录： 题型1：以教材为背景的探究题 题型2：情景探究题—逐步深化型 题型3：情景探究题—理解运用、综合应用型 题型4：情景探究题—拓展探究型 题型5：折纸活动 题型6：综合与实践题 题型7：新定义题 题型8：思维导图型 题型1：以教材为背景的探究题 1．（2025八年级下·江苏宿迁·统考新编）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2． 【探究】 (1)如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 【应用】 (2)如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）． 【拓展】 (3)如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）【教材回顾】 （1）苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点 O在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，与具有怎样的数量关系? 爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路： 小歆：考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，即可通过证明三角形全等得到与的数量关系． 小涵：利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等，可以得到与的数量关系． 通过他们的思路点拨，你认为与的数量关系为 ，并请选择一种思路去证明； 【类比探究】 （2） 如图2， 若将（1） 中的“正方形”改为“的菱形”， 其他条件不变，当时，判断以下结论正确的有 （填写所有正确的结论序号），并选择一个正确的结论去证明． ①；                      ②； ③四边形的周长为定值；  ④四边形的面积为定值． 【拓展应用】 （3） 如图3， 学校内有一块四边形的花圃， 满足， ，， 花圃内铺设了一条小路， 平分， 为方便学生赏花， 现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点 A 的距离的长 ． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【教材回顾】下图是苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”的部分内容： 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？ （1）剪一张三角形纸片，记为； （2）分别取、的中点D、E，连接； （3）沿将剪成两部分，并将绕点E按顺时针方向旋转到的位置（如图）． （1）在上述操作中，四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 【类比操作】怎样将一张三角形纸片剪成三部分，使这三部分能拼成一个平行四边形？ 小慧同学做了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为； ②分别取、的中点D、E，连接； ③在、上分别任取一点P、Q，连接； ④将四边形和四边形剪下，分别绕点D、 点E旋转至四边形和四边形的位置． 如图1，四边形即是平行四边形． （注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）若为等边三角形，，则小慧拼成的四边形周长的最小值为________，最大值为________； 【拓展操作】怎样将一张三角形纸片剪成四部分，使这四部分能拼成一个矩形？ 小聪受小慧同学的启发，进行了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为，分别取、的中点D、E； ②在上任取一点P，并在上作，连接，过点D、Q分别作、，垂足分别为点F、G． ③沿、、将剪成四块，即可拼成一个矩形． （3）若保留其中一块不动，请你借助无刻度的直尺和圆规，在图2中画出小聪拼成的矩形； （不写作法，保留作图痕迹，画出一种即可） 【深度思考】 （4）如图3，一张等腰直角三角形纸片，，仿照小聪的做法将剪拼成矩形，当的长为________时，拼成的矩形是正方形． 4．（2025八年级下·江苏盐城·名校新编）在学习了《中心对称图形》一章后，某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】（1）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点刚好落在边上的点处，若，，求长．    【探究2】（2）操作：如图，点是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点落在正方形内一点处，请用无刻度直尺作出的角平分线，并说明理由． 【探究3】（3）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在矩形外一点处，连接，若，，，则的面积是________．    【探究4】（4）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，点运动的路径长是_______． 题型2：情景探究题—逐步深化型 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 6．（2025八年级下·江苏连云港·统考新编）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究． 【探究活动1】（1）如图，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，如图，点在上，且，直接写出的最小值为 　 ．    题型3：情景探究题—理解运用、综合应用型 7．（2025八年级下·江苏连南京·统考新编）【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上这个结论； 小明同学提出如下解题思路，请补全： 【思路分析】 由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______，．由上面的分析可证得，______，这样就可以得到，则______，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，则的面积为______； (3)如果，， ①当是直角三角形时，请画图并直接写出的长． ②设的长度为x，当时，直接写出x的取值范围． 8．（2025八年级下·江苏连镇江·统考新编）【方法回顾】如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（    ） A．              B．             C．               D． ②证明四边形是平行四边形的依据是______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接、，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由： （4）如图4，四边形是一片草坪，、是等腰直角三角形，，为锐角，已知m，的面积为．计划修建一条经过点A的笔直小路，其中点G在边上，的延长线经过中点F．若小路每米造价500元，则修建小路的总造价为______元．        9．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为________；    【理解探究】 （2）如图2，已知为直角三角形，，以，为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有________组偏等积三角形； 【综合运用】 （4）如图4，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为．计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 题型4：情景探究题—拓展探究型 10．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 11．（2025八年级下·江苏苏州·统考新编）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． (2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______． 12．（2025八年级下·江苏扬州·名校新编）实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①） ①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°； ②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长． (2)深入探究：若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____． (3)拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________． 13．（2025八年级下·江苏南京·名校新编）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 题型5：折纸活动 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 实践操作，解决问题 如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点，连接．发现：结论①；结论②．    (1)若图1中的矩形变为平行四边形时，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由； (2)东京沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示）．沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则京京折叠的矩形纸片的长宽之比为 ； (3)新题探究：如图4所示，平行四边形中，，．将沿对角线翻析．使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为 ． 15．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 16．（2025八年级下·江苏淮安·统考新编）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 （1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可） 【迁移探究】 （2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 题型6：综合与实践题 17．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线折叠纸片，点A与点E对应，与交于点F． 【任务1】 直接判断的形状为______； 【操作2】 小芳计划折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕，分别与、交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹）②连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片对折，折痕为，然后展开；点P为的一点，再将纸片沿折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在上，再沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上，请说明理由； 【任务4】 若点P为的中点，连接，平移折痕经过点Q，交、、分别于点、、G，求的长． 18．（23-24八年级下·江苏南京·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点O是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点O旋转得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点O也是正方形对角线的交点． (1)如图3，若将绕对称中心点O旋转一定的角度得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．求证：四边形是菱形． (2)如图4，若将绕对称中心点O旋转得到，当各边与各边分别交于点G、E、F、H．求证：四边形是正方形． (3)如图5，在中，，点E、F、G、H分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 题型7：新定义题 19．（2025八年级下·江苏南京·统考新编）如图①，在四边形中，若，且，则称四边形为“完美筝形”．    (1)下列四边形中，一定是“完美筝形”的是______． A．正方形   B．对角线夹角是的矩形   C．菱形    D．有一个内角是的菱形 (2)如图②，在“完美筝形”中，，且，E，F分别是，上的点，且，求证：； (3)如图③，在菱形中，，，E，F分别是，上的动点（与A，B，D都不重合），且，若是的中点，连接，则的取值范围是______． 题型8：思维导图型 20．（2025八年级下·江苏南京·名校新编）如图1，在四边形中，，．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．    (1)命题1的证明思路如下，在图1中连接，，并填充证明框图．    ①____________； ②____________； ③____________． (2)命题2是真命题，请在图2中完成证明． (3)命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训04 特殊平行四边形 压轴题Ⅲ-情景探究题（八大题型，江苏最新精选） 目录： 题型1：以教材为背景的探究题 题型2：情景探究题—逐步深化型 题型3：情景探究题—理解运用、综合应用型 题型4：情景探究题—拓展探究型 题型5：折纸活动 题型6：综合与实践题 题型7：新定义题 题型8：思维导图型 题型1：以教材为背景的探究题 1．（2025八年级下·江苏宿迁·统考新编）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2． 【探究】 (1)如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 【应用】 (2)如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）． 【拓展】 (3)如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，可证出，即可得证； （2）过作，交于，连接，由（1）得同理可证：，由折叠的性质在中即可求解； （3）过点作，过点作，当、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【解析】（1）． 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2） 解：过作，交于，连接， 四边形是正方形， ， 四边形是平行四边形， ， 将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边， ，，， ，， 由（1）得同理可证：， ， 设， ， ， ， ， ， 在中 ， ， 整理得：， ． （3） 解：如图，过点作，过点作， 当、、三点共线时，的值最小， 四边形是平行四边形， ，， 由（2）可证：， ， 四边形是正方形， ， ， ，， ， ， 当、、三点共线时， ， 的值最小， 的值最小． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，正方形的性质，折叠的性质，动点线段最小值问题，掌握相关的判定方法及性质，理解折叠的性质，会根据动点的特征找出线段和最小值的条件是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）【教材回顾】 （1）苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点 O在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，与具有怎样的数量关系? 爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路： 小歆：考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，即可通过证明三角形全等得到与的数量关系． 小涵：利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等，可以得到与的数量关系． 通过他们的思路点拨，你认为与的数量关系为 ，并请选择一种思路去证明； 【类比探究】 （2） 如图2， 若将（1） 中的“正方形”改为“的菱形”， 其他条件不变，当时，判断以下结论正确的有 （填写所有正确的结论序号），并选择一个正确的结论去证明． ①；                      ②； ③四边形的周长为定值；  ④四边形的面积为定值． 【拓展应用】 （3） 如图3， 学校内有一块四边形的花圃， 满足， ，， 花圃内铺设了一条小路， 平分， 为方便学生赏花， 现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点 A 的距离的长 ． 【答案】（1）；（2）①④；（3） 【分析】（1）根据四边形是正方形，，可证，故； （2）将绕点O逆时针旋转交于点G，则，证明，则，，故①符合题意； 而，故②不符合题意； 而，点G为中点，故面积不变，故④符合题意；而，由于点E是动点，∴是变量，故周长不是定值，故③不符合题意； （3）连接，在上截取，使，连接，可证，，，四点共圆，是等边三角形，故，，而，，有是等边三角形，即可证明，故，，在 中可得，从而． 【解析】解：（1）如图： 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）正确的有①④， 将绕点O逆时针旋转交于点G，则，如图： 四边形是菱形，， ，，而， ∴， ∴为等边三角形，∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①符合题意； ∴，故②不符合题意； 而，点G为中点，故面积不变，故④符合题意； 而，由于点E是动点，∴是变量，故周长不是定值，故③不符合题意， 故答案为：①④． （3）连接，在上截取，使，连接，如图： ，平分， ， ，， ， ，，，四点共圆， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【教材回顾】下图是苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”的部分内容： 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？ （1）剪一张三角形纸片，记为； （2）分别取、的中点D、E，连接； （3）沿将剪成两部分，并将绕点E按顺时针方向旋转到的位置（如图）． （1）在上述操作中，四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 【类比操作】怎样将一张三角形纸片剪成三部分，使这三部分能拼成一个平行四边形？ 小慧同学做了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为； ②分别取、的中点D、E，连接； ③在、上分别任取一点P、Q，连接； ④将四边形和四边形剪下，分别绕点D、 点E旋转至四边形和四边形的位置． 如图1，四边形即是平行四边形． （注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）若为等边三角形，，则小慧拼成的四边形周长的最小值为________，最大值为________； 【拓展操作】怎样将一张三角形纸片剪成四部分，使这四部分能拼成一个矩形？ 小聪受小慧同学的启发，进行了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为，分别取、的中点D、E； ②在上任取一点P，并在上作，连接，过点D、Q分别作、，垂足分别为点F、G． ③沿、、将剪成四块，即可拼成一个矩形． （3）若保留其中一块不动，请你借助无刻度的直尺和圆规，在图2中画出小聪拼成的矩形； （不写作法，保留作图痕迹，画出一种即可） 【深度思考】 （4）如图3，一张等腰直角三角形纸片，，仿照小聪的做法将剪拼成矩形，当的长为________时，拼成的矩形是正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）；；（3）画图见解析；（4） 【分析】（1）、证明，，可得，，证明，，可得共线，可得，从而可得结论； （2）先证明，可得拼成的平行四边形的周长为，最小，平行四边形周长最小，最大，平行四边形周长最大，再进一步求解可得答案； （3）如图，延长至，使，延长至，使，以为圆心为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，可得四边形为所求作的矩形； （4）求解，，可得：，如图，当四边形为正方形，可得，求解，证明，可得，求解，取的中点，连接，证明，可得，过作于， 证明，再进一步可得答案． 【解析】解：（1）、四边形是平行四边形，理由如下： 如图， ∵，分别为、的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴，， ∴共线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）、如图， 由旋转可得：，，， ∴， ∴， 如图，当为边长为的等边三角形， ∴，， ∴拼成的平行四边形的周长为， ∴最小，平行四边形周长最小，最大，平行四边形周长最大， ∴当时，最小，过作与交于， ∴， ∴， ∵分别为中点， ∴，， ∴， 此时平行四边形周长最小值为：； 当重合，重合时，最大，如图中的， 此时， 同理可得：， ∴， ∴此时平行四边形周长的最大值为：； （3）如图，延长至，使，延长至，使，以为圆心为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧交于，连接，，，，，， 由，，， ∴， ∴，， ∴共线， 同理可得：， ∴四边形四边形；， ∴， 同理可得：四边形四边形，， ∴共线， 同理可得：， ∴矩形即为所求作的矩形； （4）∵，， ∴，， 由中位线的性质可得：， 如图，当四边形为正方形， ∴， ∴， 结合（3）可得：， ∴， 由（3）可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作于，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的综合问题，矩形的判定与性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，本题难度很大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2025八年级下·江苏盐城·名校新编）在学习了《中心对称图形》一章后，某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】（1）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点刚好落在边上的点处，若，，求长．    【探究2】（2）操作：如图，点是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点落在正方形内一点处，请用无刻度直尺作出的角平分线，并说明理由． 【探究3】（3）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在矩形外一点处，连接，若，，，则的面积是________．    【探究4】（4）如图，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，点运动的路径长是_______． 【答案】（1）；（2）作图见解析，理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再根据勾股定理即可求得的长； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．理由：根据正方形的性质可得，，根据翻折的性质得到，，然后证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，，根据矩形的性质可得，，，由平行线的性质得到，根据翻折的性质得到，，，，可得，，根据等角对等边有，，在中，，得到，然后由，求得，最后根据三角形的面积公式可得结论； （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，证明四边形是矩形，结合翻折的性质证明，从而证明四边形是正方形，，当点与点重合时，点运动的路径是线段，则，在中，，根据，解得：，，可得答案． 【解析】解：（1）∵在矩形中，，， ∴， ∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处， ∴， ∴在中，， ∴的长为； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，点落在正方形内一点处， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线， 则射线即为所作；    （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，， ∴，，，， ∴，， ， ∴，即， ∴， 在中，， 即：， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积是； 故答案为：；    （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵将沿翻折，点落在点处， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的延长线交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴当点与点重合时，， 此时在中，， ∵， 即：， 解得：， ∴， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为． 故答案为：．    【点睛】本题是四边形综合题，考查翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握翻折的性质、正方形和矩形的判定和性质是解题的关键．也考查了应用与设计作图． 题型2：情景探究题—逐步深化型 5．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；（3）四边形为菱形；理由见解析 【分析】分析问题：（1）过点A作于点E，过点D作于点F，得出，根据，，得出，即，得出，证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据平行四边形的判定和性质，进行证明即可； ②根据四边形为平行四边形时，，即可说明此命题是假命题； ③根据四边形为等腰梯形时，，说明此命题为假命题； （3）根据解析（1）可得：，，证明四边形为平行四边形，再证明，，得出，说明四边形为菱形． 【解析】解：分析问题：（1）；理由如下： 过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵，， ∴， ∵为四边形的“对中平分线”， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即； （2）①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故①是真命题；    ②当四边形为平行四边形时，，， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴当四边形为平行四边形，而不是菱形时，，故②是假命题； ③当四边形为等腰梯形时，延长、交于点E，如图所示：    ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴四边形为等腰梯形，， ∴时，四边形不一定是矩形，故③是假命题； 综上分析可知：真命题为①． （3）四边形为菱形；理由如下： ∵四边形有两条对中平分线，分别是，， ∴根据解析（1）可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握特殊四边形的判定方法． 6．（2025八年级下·江苏连云港·统考新编）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究． 【探究活动1】（1）如图，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，如图，点在上，且，直接写出的最小值为 　 ．    【答案】（1）相等，理由见解析（2）①是，理由见解析；② 【分析】（1）过点作，交于点，交于点，证明，由此可得； （2）①连接，证明，所以，，由折叠可知：，，由四边形内角和和平角的定义可得，，所以，则，所以四边形为菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作交于点，可证，由此可得，易证为等腰直角三角形，所以，则，可得，；作点关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【解析】解：（1）相等，理由如下： 如图，过点作，交于点，交于点，   ， ， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又， ． （2）①是，理由如下： 连接．    由（1）的结论可知：． 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， 由折叠可知：，． ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， 又， 四边形为正方形． ②作交的延长线于点，作交于点．    ， ， ，， ， ，． ，， 为等腰直角三角形， ， ． ， ，， 作点关于的对称点，则，， ． 作交的延长线于点，易证， ， 的最小值，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型3：情景探究题—理解运用、综合应用型 7．（2025八年级下·江苏连南京·统考新编）【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上这个结论； 小明同学提出如下解题思路，请补全： 【思路分析】 由折叠的性质得，；由平行四边形的性质得______，．由上面的分析可证得，______，这样就可以得到，则______，再由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，则的面积为______； (3)如果，， ①当是直角三角形时，请画图并直接写出的长． ②设的长度为x，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①图见解析，或或或；②或 【分析】（1）根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，补全分析即可． （2）易得四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）①分（两种情况），，，四种情况讨论求解即可；②分，两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由（1）得：， 设，则， 在中，由勾股定理得： 解得：， ∴， ； （3）①如图，当时，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是的中点， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴在同一直线上， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 当时，如图： 在平行四边形中，， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， 设则：， ∴， ∴； ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的长为或或或； ②当时，由①可知，当时，， 由图可知：时，； 当时，由①可知：当的长为，， 由图可知：当时，； 综上：当或时，． 【点睛】本题考查平行四边形中的折叠问题．同时考查了矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 8．（2025八年级下·江苏镇江·统考新编）【方法回顾】如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（    ） A．              B．             C．               D． ②证明四边形是平行四边形的依据是______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接、，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由： （4）如图4，四边形是一片草坪，、是等腰直角三角形，，为锐角，已知m，的面积为．计划修建一条经过点A的笔直小路，其中点G在边上，的延长线经过中点F．若小路每米造价500元，则修建小路的总造价为______元．        【答案】（1）①②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）见解析（3），理由见解析（4） 【分析】（1）①利用证明；②利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形； （2）如图2，延长至G，使，连接，证明，得到，推出，得到，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，延长交于点，推出，即可得出结论； （4）构造正方形和正方形，过点作于点，由（3）的结论得到，利用中线平分面积和三角形的面积公式，求出的长，证明，得到，再进行计算即可． 【解析】（1）①延长到点F，使，连接，    ∵D，E分别是边的中点， ∴， 在和中 ， ∴； 故选A； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，延长至G，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），；理由如下： 延长至点，使，连接，    同法（2）可得：， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， 又：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 延长交于点，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：，； （4）∵，是等腰直角三角形， ∴， 如图，构造正方形和正方形，过点作于点，    由（3）可知， ∵为的中点， ∴平分的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴修建小路的总造价为元； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的性质，等腰三三角形的性质，解题的关键是理解并掌握倍长中线法构造全等三角形． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为________；    【理解探究】 （2）如图2，已知为直角三角形，，以，为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有________组偏等积三角形； 【综合运用】 （4）如图4，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为．计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）3；（2）与是偏等积三角形，证明见解析；（3）6；（4）42000元 【分析】（1）过作交的延长线于，先由与是偏等积三角形，得，再证明，得，，由三角形的三边关系得，而是正整数，则； （2）作，交的延长线于，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； （3）延长到点，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再跟进偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，，过点作，交的延长线于，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 【解析】（1）解：如图，与是偏等积三角形，且与在边上的高相等， ， 过作交的延长线于，   ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， ∴ 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3； （2）证明：作，交的延长线于，   四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， 与为偏等积三角形； （3）解：延长到点，使得，连接，   ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ∴，， ， ， ∴， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， ∴偏等积三角形有与，与，与，与，与，与， ∴共有6组． 故答案为：6； （4）解：由（3）同理得，，    过点作，交的延长线于， ， 点为的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 题型4：情景探究题—拓展探究型 10．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D  性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形”  拓展应用：（3）   （4） 【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案； 性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论； 问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 (即共线) 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案. 【解析】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：； 性质探究：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ， 故答案为：； 问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”. 拓展应用：（3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； （4）如图， 令与的交点为， 连接， 当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知： 又∵分别是的中点， ， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：， ； ． 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 11．（2025八年级下·江苏苏州·统考新编）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． (2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______． 【答案】(1)图见解析，，理由见解析 (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识． （1）取的中点F，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于G，与交于O，则是等腰直角三角形，可知点D与G关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【解析】（1）解：（1）， 理由如下：如图，取的中点F，连接， 、E分别为、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）； 如图，在上取，连接， 由（1）同理可得， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）作，交的延长线于G，与交于O， 由（2）知，， ∴点在射线上运动，， ∴时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， 点D与G关于对称， 的最小值为的长， ， ， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 12．（2025八年级下·江苏扬州·名校新编）实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①） ①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°； ②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长． (2)深入探究：若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____． (3)拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________． 【答案】(1)①90，45②证明见解析， (2)2 (3) 【分析】（1）①当点P与点A重合时，作出图形即可得出答案；当点E与点A重合时，由折叠的性质可知EF平分，易得∠DEF的度数；②设DP、EF交于点O，证明，可得，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明四边形DEPF为平行四边形，然后根据“对角线相互垂直”可得DEPF为菱形；当时，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理可知，即有，求出x的值即可确定菱形的边长； （2）当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠可知，由勾股定理可求得，所以，即AP的最小值为2； （3）连接EM，先证明，可知，然后设，则，，，在中，由勾股定理可知，即，求出x的值即可获得答案． 【解析】（1）解：①当点P与点A重合时，如下图， 则，，即EF是矩形ABCD的对称轴， 故； 当点E与点A重合时，点P在边AB上， 则． 故答案为：90，45； ②当点E在AB上，点F在DC上时，由折叠性质可知，EF垂直平分DP， 设DP、EF交于点O，如下图， ∴，， ∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形DEPF为平行四边形， ∵， ∴DEPF为菱形； 当时，设菱形的边长为x，则 ，， 在中， 由勾股定理可知， 即有， 解得， ∴当时，菱形的边长为； （2）若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，如下图， 当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值， 由折叠可知，， 由勾股定理可知，， ∴， 即AP的最小值为2； （3）如下图，连接EM， ∵， 又∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∵，， ∴， 在中， ， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 13．（2025八年级下·江苏南京·名校新编）【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3） 【分析】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【解析】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 题型5：折纸活动 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 实践操作，解决问题 如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点，连接．发现：结论①；结论②．    (1)若图1中的矩形变为平行四边形时，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由； (2)东京沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示）．沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则京京折叠的矩形纸片的长宽之比为 ； (3)新题探究：如图4所示，平行四边形中，，．将沿对角线翻析．使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为 ． 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)综上矩形纸片的长宽之比或 (3)的长度为1或4或或． 【分析】（1）证明，，，可得，可得，证明，可得，再进一步利用等腰三角形的性质与平行线的判定可得结论； （2）分两种情况讨论，当点与点不重合时，得出，继而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解，当点与点重合时，根据正方形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，结合（1）中的结论，根据含度角的直角三角形的性质，以及勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：，，理由如下，    ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， ∵折叠， ，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴，即 ∴ 又∵，， ∴， ∴； （2）解：当点与点不重合时，如图， 依题意，，，， 设，则， ∵ ∴, 解得：， ∴， 在中，， ∴矩形纸片的长宽之比为， 当点与点重合时，如图，    此时是正方形， ∴矩形纸片的长宽之比为， 综上矩形纸片的长宽之比或； （3）解：当时，如图，设与交于点， 由（1）可得， ∴, 在中，∵， ∴， ∴；    如图，当时，由（1）可得， ∴, ∵折叠， ∴， ∴三点共线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴；    如图，当时，    ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， ∵折叠， ，，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴ ∴， ∴； 如图，当时，同理可得，，，    ∴，， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述：的长度为1或4或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质，二次根式的除法运算，综合运用以上知识是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，将边长为的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕．打开后，再将正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ．打开铺平，连接、、．若点 P 的位置恰好使得 ①=______； ②求的长； 【探究提炼】 （2）如图2，若（1）中的点 是 上任意一点，求 的度数． 【理解应用】 （3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中 ．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问步道 所围成的(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正方形、菱形性质、折叠的性质，等腰三角形性质和判断，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． （1）①由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出，②由是垂直平分线可得，进而可得，由折叠性质求出，由此即可证明，即可得； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出， （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，同理（2）可得是以为底，顶角为等腰三角形，当最小时三角形面积最小，利用30°直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【解析】（1）①正方形中， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可知：， ∴， ∵ ∴ ②由折叠可知：， ，， ∴， 如图1，连接， ∵，，即是垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）如图2；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴ （3）如图3；过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为，设， 则，， ∵，即 ∴ ∴， ∴当最小时，面积最小， ∴当时，面积最小， 如图4： ∵，， ∴， ∴ ∴，即， ∴最小值为 16．（2025八年级下·江苏淮安·统考新编）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 （1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可） 【迁移探究】 （2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1）或或或（任写一个即可） (2)①15；②，理由见解析 （3）或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，，即可求解； （2）①由“”可证，可得； ②由“”可证，可得； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【解析】解：（1）对折矩形纸片， ，， 沿折叠，使点落在矩形内部点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：或或或（任写一个即可）； （2）①由（1）可知， 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ， 故答案为：15； ②，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ； （3）由折叠的性质可得，， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，， ，， ， ， ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型6：综合与实践题 17．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）【综合与实践】根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，． 小明、小芳、小丽三个同学课后相约玩折纸的游戏． 【操作1】 小明按如图方式沿对角线折叠纸片，点A与点E对应，与交于点F． 【任务1】 直接判断的形状为______； 【操作2】 小芳计划折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为． 【任务2】 ①请你帮助小芳用无刻度的直尺和圆规画出折痕，分别与、交于点G、H；（不写作法，保留作图痕迹）②连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 【操作3】 小丽先将纸片对折，折痕为，然后展开；点P为的一点，再将纸片沿折叠，点A与点Q对应． 【任务3】 若点Q落在上，再沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上，请说明理由； 【任务4】 若点P为的中点，连接，平移折痕经过点Q，交、、分别于点、、G，求的长． 【答案】任务1：等腰；任务2：①见解析；②四边形为菱形，理由见解析；任务3：见解析；任务4： 【分析】（1）根据等腰三角形的判定方法即可得出答案； （2）①连接，作线段的垂直平分线即可； ②证明，得出，说明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形为菱形； （3）取的中点H，连接，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，即可证明结论； （4） 证明，根据等腰三角形的判定得出，根据即可求出结果． 【解析】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 任务二：①即为所求作的折痕； ②四边形为菱形，理由见解析； ∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 任务3：取的中点H，连接， 根据折叠可知：，，， ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴沿折叠，发现点B的对应点恰好落在射线上； 任务4：∵点P为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，菱形的判定，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 18．（23-24八年级下·江苏南京·期中）我们知道平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心．如图1，点O是的对称中心． 如图2，若将绕对称中心点O旋转得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．因为，，所以四边形是平行四边形，由旋转可知，，所以（等高），所以四边形是正方形，且由旋转可知点O也是正方形对角线的交点． (1)如图3，若将绕对称中心点O旋转一定的角度得到，当分别与、交于点E、F，分别与、交于点G、H时．求证：四边形是菱形． (2)如图4，若将绕对称中心点O旋转得到，当各边与各边分别交于点G、E、F、H．求证：四边形是正方形． (3)如图5，在中，，点E、F、G、H分别在、、、上，满足什么条件时，存在正方形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，，由题意得四边形是平行四边形，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）作出如图的辅助线，由题干材料知，四边形是正方形，证明和，同理得到，推出四边形是菱形，再证明，根据正方形的判定定理即可得证； （3）分两种情况讨论，当重合和重合，分别根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求得特殊点的情况，即可求解． 【解析】（1）证明：作，，垂足分别为，如图， ∵将绕对称中心点O旋转得到， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：延长交于点，连接，如图， 由题干材料知，四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， 同理，， ∵四边形是正方形， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 由全等三角形的性质得， 由对顶角相等知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：当重合时，如图， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当重合时，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，存在正方形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型7：新定义题 19．（2025八年级下·江苏南京·统考新编）如图①，在四边形中，若，且，则称四边形为“完美筝形”． (1)下列四边形中，一定是“完美筝形”的是______． A．正方形   B．对角线夹角是的矩形   C．菱形    D．有一个内角是的菱形 (2)如图②，在“完美筝形”中，，且，E，F分别是，上的点，且，求证：； (3)如图③，在菱形中，，，E，F分别是，上的动点（与A，B，D都不重合），且，若是的中点，连接，则的取值范围是______． 【答案】(1)D (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的定义边角长度关系得到答案； （2）根据“边边边”求得某两个三角形全等进一步得到角相等，再根据“边角边”求得三角形全等，进一步得到边相等； （3）根据勾股定理，将所求边的长用已知范围的量表示，求得的取值范围． 【解析】（1）解：在正方形中，对角线长度是边长的倍，A不正确； 对角线夹角为的矩形，对角线的长度为宽的二倍，矩形长的长度为宽的倍，三者均不相等，B不正确； 在菱形中，边长相等，但是某条对角线的长度不一定等于边长；C不正确； 在有一个内角是的菱形中，这个菱形由两个等边三角形组成，易得它能够形成“完美筝形”，D正确； 故选：D． （2）解：在与中， ， ∴， ∴， 在与中 ， , ∴, ∴． （3）解：连接，，，与交于点O，如下图所示：    ∵四边形是菱形， ∴，，又， ∴是等边三角形， ∴，, ∴, ∵， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴设， 则，， ∴，， ∴， 取的中点，连接， ∵点G是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当或1时，，当时，， ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查特殊四边形的相关性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，引入了新的概念，题目较为新颖，灵活运用相关知识点是解答的关键． 题型8：思维导图型 20．（2025八年级下·江苏南京·名校新编）如图1，在四边形中，，．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．    (1)命题1的证明思路如下，在图1中连接，，并填充证明框图．    ①____________； ②____________； ③____________． (2)命题2是真命题，请在图2中完成证明． (3)命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性． 【答案】(1)①；②；③ (2)在图2中完成证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过证明和，即可得到答案； （2）连接，通过证明得到，再利用平行四边形和矩形的判定即可得到答案； （3）根据矩形的判定解答即可． 【解析】（1）解：如图，   ， 在与中， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：①； ②； ③； （2）证明：连接，   ， ，， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （3）解：如图①，   ， 四边形满足以上条件但显然不是矩形， 存在的合理性： 如图，设点，分别是射线，上的动点，且保持（均为锐角），    当，两点重合时，显然，离越远，越小（趋近于0），即存在； 因此在和之间，必存在，故反例存在． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$