专题01 特殊平行四边形 解答题专练（七大题型，江苏最新精选，含基础+提高+压轴过渡题）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题01 特殊平行四边形 解答题专练（七大题型，江苏最新精选） 目录： 题型1：特殊平行四边形的性质简单求解 题型2：（特殊）平行四边形的判定 题型3：特殊平行四边形的判定与性质的综合应用（基础） 题型4：作图题、格点问题 题型5：求特殊平行四边形满足的条件 题型6：特殊平行四边形的判定与性质的综合应用（提高） 题型7：动态几何初步（压轴过渡题） 题型1：特殊平行四边形的性质简单求解 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，已知，求线段． 2．（2025八年级下·江苏南通·名校新编）如图，正方形中，点P，Q分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 题型2：（特殊）平行四边形的判定 4．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，在上，且，，求证：四边形是矩形． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，延长到点，使，连接．试判断四边形的形状并说明理由． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点、，连接、、、，且，求证：四边形是菱形． 7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 8．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，为对角线上两点，，连接、，，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； 题型3：特殊平行四边形的判定与性质的综合应用（基础） 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 11．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知四边形是菱形，，． (1)求证：； (2)当 时，的面积是四边形面积的四分之一． 14．（2024·江苏徐州·一模）如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求正方形的边长． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为20，求的长． 16．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 17．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，菱形中，于E，于F．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期中） 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 19．（2025八年级下·江苏无锡·名校新编）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 题型4：作图题、格点问题 20．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．） (1)如图①，若点在边上，求作平行四边形，使得点、分别在、上； (2)如图②，求作正方形，使得点、、分别在、、上． 21．（2024·江苏盐城·一模）已知：如图，矩形． (1)若点P为边上一点，且，请在图中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长． 22．（2024·江苏宿迁·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、．求证：四边形是菱形． 23．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）用一把刻度尺（可测长度、画直线）画边长为的菱形． (1)如图，小明的画法如下： ①等腰，使； ②量取的中点D，画射线； ③射线上量取点E，使； ④连接、，得四边形． 同：小明所画的四边形是否符合题意？请说明理由； (2)请你再设计一种画法（与小明的画法不同），画出边长为的菱形，并写出简要步骤（无需证明）． 24．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在的网格中，线段的两个端点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． (1)画出以为边的菱形，点C、D也均为格点； (2)点M为线段上一点，在菱形的边上画出点N，使得． 25．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的方格纸中，连接格点得线段． (1)在图①中画出线段的中点； (2)在图②中以线段为一边画菱形，使顶点都在格点上； (3)在图②中能画出符合条件的菱形有______个． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】． 已知：如图，线段．用直尺和圆规求作：以线段为一边的矩形． 小红提出的作法是： ①作线段的垂直平分线； ②在线段的上方直线上取一点，作线段关于点对称的线段（点的对应点分别为点）； ③连接、． 四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请你先按照小红的作法作图，再判断小红提出的作法是否正确，并说明理由． 题型5：求特殊平行四边形满足的条件 27．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，点分别是线段的中点，分别是线段的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形的边满足________时，四边形是菱形． 28．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，过A点作交的延长线于点G． (1)求证：； (2)当满足条件 时，四边形是菱形（不需要证明） (3)当满足条件 时，四边形是矩形（不需要证明） 29．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，． (1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形； (2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形； (3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形； 题型6：特殊平行四边形的判定与性质的综合应用（提高） 30．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 31．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，为正方形边的中点，是延长线上的一点，，且交的平分线于． (1)求证：； (2)若将上述条件中的“为边的中点”改为“为边上任意一点”，其余条件不变，则结论“”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由． 32．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点． (1)求的度数； (2)当，时，求的长； (3)若点是的中点，求证：． 题型7：动态几何初步（压轴过渡题） 33．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：矩形为正方形； (2) ． 34．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，，，、分别为、边上的两点，把四边形沿翻折得到四边形，点恰好在线段上． (1)若，求的长． (2)连结，．问：当取何值时，四边形为菱形？请说明理由． 35．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． (1)若点E为的中点，连接，判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； (3)连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长． 36．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊平行四边形 解答题专练（七大题型，江苏最新精选） 目录： 题型1：特殊平行四边形的性质简单求解 题型2：（特殊）平行四边形的判定 题型3：特殊平行四边形的判定与性质的综合应用（基础） 题型4：作图题、格点问题 题型5：求特殊平行四边形满足的条件 题型6：特殊平行四边形的判定与性质的综合应用（提高） 题型7：动态几何初步（压轴过渡题） 题型1：特殊平行四边形的性质简单求解 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，已知，求线段． 【答案】3 【分析】 本题考查矩形的性质．根据矩形对角线相等互相平分求解即可． 【解析】解：∵矩形， ∴，， ∴． 2．（2025八年级下·江苏南通·名校新编）如图，正方形中，点P，Q分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，根据等量代换得出，即可得证． 【解析】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴． 题型2：（特殊）平行四边形的判定 4．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，在上，且，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，先由平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可由对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形证明结论． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是矩形． 5．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，延长到点，使，连接．试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定．矩形的性质得到，根据，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【解析】解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点、，连接、、、，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是正方形的性质及菱形的判定，连接交于点，利用正方形的性质得出，证出四边形是平行四边形，进而证明结论． 【解析】证明：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形 7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【解析】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 8．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，为对角线上两点，，连接、，，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为菱形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题的关键． （1）连接交于点O，利用平行四边形的性质求得，由，得到，根据平行四边形的判定定理即可证明结论成立； （2）先证明是菱形，可得，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，即可得出结论． 【解析】（1）证明：连接交于点O，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 题型3：特殊平行四边形的判定与性质的综合应用（基础） 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由矩形的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由矩形的性质可得，再结合四边形是平行四边形，即可求得． 【解析】（1）证明：在矩形中，，则， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中，， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 10．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 11．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【解析】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，根据正方形性质得出，根据，得出； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，已知四边形是菱形，，． (1)求证：； (2)当 时，的面积是四边形面积的四分之一． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由菱形的性质得出，，，再证明，得出，即可得出结论； （2）连接，先求出，则当的面积是四边形面积的四分之一时，，即可得出结论． 【解析】（1）解：证明：四边形是菱形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：当时，的面积是四边形面积的四分之一， 过程如下： 如图，连接， 四边形是菱形， ， 由（1）得：， ， ， 即， ， 当的面积是四边形面积的四分之一时，， 即， ， 故答案为：． 14．（2024·江苏徐州·一模）如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由正方形的性质，得出，结合，即可作答． （2）设，结合正方形的性质，得出，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴正方形的边长为． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为20，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ， ， ， 的长为10． 16．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【解析】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 17．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，菱形中，于E，于F．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 在和， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．（23-24八年级下·江苏扬州·期中） 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理等知识： （1）只要证明四边形是平行四边形，即可； （2）在中，利用勾股定理即可解决问题； 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【解析】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，为对角线， ， ， ∴平行四边形是矩形． ． （2）解：四边形为菱形，且边长为4， ，，， ， 又， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 19．（2025八年级下·江苏无锡·名校新编）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）根据四边形为正方形，根据勾股定理求出，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型4：作图题、格点问题 20．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．） (1)如图①，若点在边上，求作平行四边形，使得点、分别在、上； (2)如图②，求作正方形，使得点、、分别在、、上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据过直线外一点作平行线的作法，过点D作的平行线交于为E，得到，然后以C为顶点，在上截取线段，使，连接，即可得到平行四边形； （2）根据角平分线的作法，作出的角平分线，交于点F，连接，作线段的垂直平分线，分别与、交于点、，根据垂直平分线的性质，得到，又因为，即可证明四边形是正方形． 【解析】（1）解：平行四边形即为所求； （2）解：正方形即为所求． 【点睛】本题考查了复杂作图——过直线外一点作平行线、角平分线、垂直平分线，平行四边形的额判定，正方形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． 21．（2024·江苏盐城·一模）已知：如图，矩形． (1)若点P为边上一点，且，请在图中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，矩形的性质，勾股定理，作出图形是解决问题的关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧交于点即可； （2）根据矩形的性质可得，由（1）可得，根据勾股定理可得结论． 【解析】（1）解：如图，点即为求作的点；         （2）解：∵四边形是矩形 ，，，， ， 由(1)可知：， ， ， ， ，     在中，根据勾股定理得：， ， ． 22．（2024·江苏宿迁·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【解析】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接交于点，交于点，如图所示，      ∴是对角线的垂直平分线； （2）解：如图所示，连接，设与交于点，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 平行四边形是菱形． 23．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）用一把刻度尺（可测长度、画直线）画边长为的菱形． (1)如图，小明的画法如下： ①等腰，使； ②量取的中点D，画射线； ③射线上量取点E，使； ④连接、，得四边形． 同：小明所画的四边形是否符合题意？请说明理由； (2)请你再设计一种画法（与小明的画法不同），画出边长为的菱形，并写出简要步骤（无需证明）． 【答案】(1)符合，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，三角形中位线性质，熟练掌握平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、三角形中位线性质是解题的关键． （1）先由对角线互相平行，证明四边形是平行四边形．又，即可由菱形的判定得出结论； （2）画等腰，使；分别量取、、中点D、E、F，连接、即可． 【解析】（1）解：符合，理由如下： ∵点D是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴是菱形； （2）解：如图， 画等腰，使； 分别量取、、中点D、E、F，连接、； 四边形即为所求作的菱形． 理由：∵D、E、F分别是、、的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形是菱形． 24．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在的网格中，线段的两个端点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图． (1)画出以为边的菱形，点C、D也均为格点； (2)点M为线段上一点，在菱形的边上画出点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度尺作图，三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握菱形的判定和性质． （1）先求出，然后分别作出，即可得出菱形； （2）连接，，则，交于点E，连接并延长，交于点N，则点N即为所求． 【解析】（1）解：如图，菱形即为所求作的菱形； ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：连接，，则，交于点E，连接并延长，交于点N，则点N即为所求作的点，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 25．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的方格纸中，连接格点得线段． (1)在图①中画出线段的中点； (2)在图②中以线段为一边画菱形，使顶点都在格点上； (3)在图②中能画出符合条件的菱形有______个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用网格特征，结合矩形的性质寻找线段的中点即可； （2）根据菱形的定义画出图形（有3种情形）； （3）利用（2）中结论判断． 【解析】（1）解：如图， 点即为所求； （2）如图， 菱形即为所求； （3）由（2）可知，能画出符合条件的菱形有3个， 故答案为：3． 26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】． 已知：如图，线段．用直尺和圆规求作：以线段为一边的矩形． 小红提出的作法是： ①作线段的垂直平分线； ②在线段的上方直线上取一点，作线段关于点对称的线段（点的对应点分别为点）； ③连接、． 四边形就是所求作的矩形． 【解答问题】 请你先按照小红的作法作图，再判断小红提出的作法是否正确，并说明理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，对称的性质，矩形的判定．根据对称的性质，先证明四边形是平行四边形，再证明其为矩形即可． 【解析】解：作图如下 四边形就是所求作的矩形，理由如下： 线段是线段关于点的对称线段，点在线段的垂直平分线上 四边形是平行四边形 是线段的垂直平分线 ， 四边形是矩形 四边形是矩形． 题型5：求特殊平行四边形满足的条件 27．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，点分别是线段的中点，分别是线段的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形的边满足________时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析； (2)，见解析． 【分析】（）根据中位线定理得，，，，然后根据平行公理推论得，，从而求证； （）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵点分别是线段的中点，分别是线段的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形的边满足时，四边形是菱形．理由如下： ∵点分别是线段的中点，分别是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 28．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，过A点作交的延长线于点G． (1)求证：； (2)当满足条件 时，四边形是菱形（不需要证明） (3)当满足条件 时，四边形是矩形（不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形和菱形的判定． （1）先证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）当时，四边形是菱形，利用斜边中线的性质即可得出结论； （3）当时，四边形是矩形，利用线段垂直平分线的性质即可得解． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别为边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：当时，四边形是菱形， ∵， ∵E为边的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：当时，四边形是矩形， ∵E为边的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：． 29．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，、是对角线上两个动点，分别从A、同时出发相向而行，速度均为秒，运动时间为秒，． (1)若、分别是、的中点，当时，求证：四边形是平行四边形； (2)若、分别是、的中点，当_________时；四边形是矩形； (3)若、分别是折线，上的动点，以与、相同的速度分别从A、和、同时出发，当_________时；四边形是菱形； 【答案】(1)见解析； (2)或； (3)． 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想． （1）根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，利用内错角相等得，根据平行四边形的判定可得结论； （2）如图1，连接，分、两种情况，列方程计算即可； （3）连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答． 【解析】（1）解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， 、分别是、的中点， ，， ， 、是对角线上的两个动点，分别从A、同时出发，相向而行，速度均为， ， ， ， ，， ， 以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形； （2）如图1，连接，由（1）可知四边形是平行四边形， 、分别是、的中点， ， 当时，四边形是矩形，分两种情况： ①∵，则， 解得：， ② ∵，则， 解得：， 即当为秒或秒时，四边形是矩形； （3）如图2，连接、， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是菱形， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即为秒时，四边形是菱形． 30．（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)点到线段的距离为． 【分析】（1）由菱形的性质可证，根据全等三角形的性质推得，，可证四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直、即可证四边形是正方形； （2）先求出正方形的边长和对角线长，结合勾股定理求出的长，再结合菱形面积计算公式即可求得点到线段的距离． 【解析】（1）证：菱形中，，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又点、是对角线所在直线上两点， ， 平行四边形是菱形， 菱形中，平分，， ， 菱形是正方形． （2）解：正方形的面积为， 正方形的边长为，正方形的对角线长为， 、互相垂直且平分， ，， ， ， 中，， 设点到线段的距离为， 则根据菱形面积计算公式可得：， 即， 解得， 点到线段的距离为． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 31．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，为正方形边的中点，是延长线上的一点，，且交的平分线于． (1)求证：； (2)若将上述条件中的“为边的中点”改为“为边上任意一点”，其余条件不变，则结论“”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，证明见解析． 【分析】本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识． （1）要证，就要构建，只需取的中点，连接，依据正方形的性质可证 （2）只需作，其余证法与1同． 【解析】（1）证明：取的中点，连接． ∵， ∴， ∵为正方形边的中点， ∴， ∵平分，即， 又∵， ∴， ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． （2）解：结论“”仍成立． 证明如下： 在上截取，连接． ∵，，，， ∴． ∵， ∴． 又， 在和中 ∵， ∴． ∴． 32．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点． (1)求的度数； (2)当，时，求的长； (3)若点是的中点，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】（）连接，利用证明，可得，再证明，可求解； （）利用证明，可得，再根据可得，即可求解； （）由中点的定义设，，则，，，可得，，，连接，利用勾股定理可算得，进而可求得，即可证明结论； 【解析】（1）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）证明：∵是的中点， ∴， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质及判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型7：动态几何初步（压轴过渡题） 33．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：矩形为正方形； (2) ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于M，于N，证，得，即可证矩形为正方形； （2）证明，可得，由此可推得，利用勾股定理计算即可． 【解析】（1）证明：如图，过点作于M，于N，则． 四边形是正方形， 平分，， 又，， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ，， ． 在和中， ， ． ， ∵四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：四边形与四边形为正方形， ∴，，， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，化为最简二次根式，解决本题的关键是熟练运用相关性质定理． 34．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在矩形中，，，、分别为、边上的两点，把四边形沿翻折得到四边形，点恰好在线段上． (1)若，求的长． (2)连结，．问：当取何值时，四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)当 时，四边形为菱形 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据折叠的性质可得，，再根据矩形的性质可得，，，从而得到，由勾股定理可得，从而得到，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，再根据菱形的性质可设，则，，由勾股定理可得，，再由，即可求解． 【解析】（1）根据题意得：，， 在矩形中，，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， 由折叠可知，， 即的长为1． （2）当时，四边形为菱形，理由如下： 如图，连接，， 根据题意得：，， 四边形为菱形， ， 设， 则，， ，， ， ， 解得：，经检验：是方程的解， 即， 当 时，四边形为菱形． 35．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，使得点B的对应点落在点处． (1)若点E为的中点，连接，判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点落在矩形内，且在矩形的对称轴上，求的长； (3)连接，若以点A、、D为顶点的三角形是直角三角形，直接写出BE的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据折叠得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，证明，即可证明结论； （2）分两种情况进行讨论：当点在矩形的对称轴上时，当点在矩形的对称轴上时，分别画出图形，进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当点在矩形的内部，时，当点在矩形的外部，时，分别画出图形，理由勾股定理，矩形的性质求出结果即可． 【解析】（1）解：，理由如下： 如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点E为的中点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当点在矩形的对称轴上时，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在矩形的对称轴上时，过点作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 同理得：四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上分析可知：或． （3）解：当点在矩形的内部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当点在矩形的外部，时，如图所示： 根据折叠可知：，，， 此时点E、、D在同一直线上， 根据勾股定理得：， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 36．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据矩形的性质和折叠的性质，推出，即可得证； （2）先证明，得到，设，在中利用勾股定理进行求解即可； （3）分点E在线段上和点E在线段的延长上，两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（1）知，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； （3）解：当时，设， 第一种情况，点E在线段上，如图所示： 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，点E在线段的延长线上，如图所示： 则 ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 综上可知，当时，的长为或． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$