精品解析：江苏省无锡市运河实验中学2024-2025学年高一下学期3月练数学试题试卷

无锡市运河实验中学2024-2025年度第二学期 高一年级数学学科3月练试卷 一、单选题 1. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可. 【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意. 故选：B. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量，求出实数值. 【详解】因为向量，，可得， 因为，所以，解得：， 故选：C 3. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理得； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得. 故选：D 4. 如图，在中，已知是边上的一点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理正弦定理可得答案. 【详解】在中，， 因，所以， 在中，. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量夹角的坐标公式求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：. 6. 在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 7. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ） A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得，而， 整理得，即，而， 则，因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C 8. 如图，已知点是边长为2的正三角形的边上的动点，则（ ） A. 最大值8 B. 为定值6 C. 最小值为2 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】因为共线,所以设,再代入求解即可. 【详解】因为共线,故,. 所以 . 故选：B 【点睛】本题主要考查了共线向量的运用以及数量积的转换计算,属于中档题. 二、多选题 9. 已知在中，角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则必是等边三角形 B. ，，则的外接圆半径是2 C. 若，则 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由余弦定理得，即为等腰三角形；对于B，根据正余弦定理得即可；对于C，由正弦定理及可得，根据的取值范围即可判断；对于D，余弦定理得，即角为锐角，不能判断角也为锐角. 【详解】对于A，由余弦定理， 化简得，故为等腰三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理得，所以外接圆半径为，故B正确； 对于C，由正弦定理及可得，即，所以，故C正确； 对于D，由余弦定理得，所以角为锐角，不能判断角也为锐角，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知点在所在平面内，下列说法正确的有（ ） A. 若，则是的外心 B. 若，则是的重心 C. 若，则是的垂心 D. 若，则是的内心 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.由，得到判断； B.设AB的中点为D，得到，再根据，利用共线向量定理判断； C. 根据，利用向量的数量积运算判断； D. 由，转化为化简判断. 【详解】A. 因为，所以，所以是的外心，故正确； B. 如图所示： 设AB的中点为D，所以，因为， 所以，所以是的重心，故正确； C. 因为，所以，则，同理，所以是的垂心，故正确； D. ，所以即，则，得不出是的内心，故错误； 故选：ABC 11. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量坐标的线性运算，利用向量模长公式，可得A的正误；由平行向量的坐标表示，建立方程，可得B的正误；由向量坐标的线性运算，利用垂直向量坐标，可得C的正误；利用投影向量的计算方法，可得D的正误. 【详解】对于A，，，，所以，故A错误； 对于B，，，当时，，即，故B正确； 对于C，，由，可得，即，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D错误， 故选：BC. 三、填空题 12. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴． 考点：解三角形. 【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得． 13. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m． 【答案】1500 【解析】 【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，从而可求得MN． 【详解】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m． 在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°， 由正弦定理得，，因此AM＝1000m． 在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝60°， 由＝sin60°得MN＝1500m； ∴山高MN＝1500． 故答案为：1500． 14. 在平面四边形中，，若为边上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 四、解答题 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 16. 在中，角、、所对的边为、、，已知. （1）求角的值； （2）若为边的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的可得出角的值； （2）由题意可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算性质得出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由余弦定理可得，因为，故. 【小问2详解】 在中，因为为边的中点，所以 故，即， 所以，，即 解得或（舍）， 所以. 17. 如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． （1）试用表示和； （2）若，求． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 18. 已知的内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据三角恒等变换结合正弦定理可得，由角范围即可求解； （2）将两边完全平方可得，根据面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 解得或，因为，所以， 所以. 19. 已知向量. （1）求的取值范围； （2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 （1）因为， 可得 ， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市运河实验中学2024-2025年度第二学期 高一年级数学学科3月练试卷 一、单选题 1. 若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，已知是边上的一点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10 5. 若，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 在中，已知角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，已知点是边长为2的正三角形的边上的动点，则（ ） A. 最大值为8 B. 为定值6 C. 最小值为2 D. 与的位置有关 二、多选题 9. 已知在中，角的对边分别为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则必是等边三角形 B. ，，则的外接圆半径是2 C. 若，则 D. 若，则一定是锐角三角形 10. 已知点在所在平面内，下列说法正确的有（ ） A. 若，则是的外心 B. 若，则是的重心 C. 若，则是的垂心 D. 若，则是的内心 11. 已知向量，，满足，，，则（ ） A B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 三、填空题 12. 在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则__________． 13. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m． 14. 在平面四边形中，，若为边上的一个动点，则的最小值是______． 四、解答题 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 在中，角、、所对的边为、、，已知. （1）求角值； （2）若为边的中点，且，，求的面积. 17. 如图，内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． （1）试用表示和； （2）若，求． 18. 已知的内角所对的边分别为，． （1）求； （2）若，，，求的面积． 19 已知向量. （1）求的取值范围； （2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$