2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(6)- 2025年高考数学考前模拟试卷

线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选 项是正确的 . 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 已知集合 A={x|x 2 ≥4} ， B={-2 ， -1 ， 0 ， 2 ， 3} ， R 是实数集， 则 （ R A ） ∩B= （ ） A． {0 ， 2} B． {-1 ， 0} C． {-1 ， 0 ， 2} D． {-1} 2． 为了落实 “精准扶贫” 工作， 某市抽调 4 名工作人员， 去 A ， B ， C 三个贫困村开展驻点帮 扶 . 若每个村至少去 1 人， 则不同的分配方法种数为 （ ） A． 24 B． 36 C． 42 D． 48 3． PM2.5 是衡量空气质量的重要指标， 下图是某地 9 月 1 日至 10 日的 PM2.5 日均值 （单位： μg/m 3 ） 的折线图， 则下列关于这 10 天中 PM2.5 日均值的说法不正确的是 （ ） A． 众数为 30 B． 中位数为 31.5 C． 平均数小于中位数 D． 后 4 天的方差小于前 4 天的方差 4． 朱世杰 （ 1249 — 1314 ）， 字汉卿， 号松庭， 元代数学家、 教育家， 毕 生从事数学教育， 有 “中世纪世界最伟大的数学家” 之誉 ． 他的一部 名著 《算学启蒙》 是中国最早的科普著作 ． 该书中有名的是 “堆垛问 题”， 其中有一道问题如下： 今有三角锥垛果子， 每面底子四十四个， 问共积几何 . 含义如下： 把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形 （如图 所示， 给出了 5 层三角锥垛俯视示意图）， 底面每边 44 个果子， 顶部 仅一个果子， 从顶层向下数， 每三角锥垛层的果子数分别为 1 ， 3 ， 6 ， 10 ， 15 ， 21 ， …共有 44 层 ． 问全垛共有多少个果子 . 则该三角锥垛从顶层向下数前 40 层 数学 （六） 第 1 页 （共 7 页） 数学 （六） 第 2 页 （共 7 页） 的果子总数为 （ ） ［参考公式： 1+2 2 +3 2 + … +n 2 = 1 6 n （ n+1 ）（ 2n+1 ）］ A． 12 341 B． 11 480 C． 10 280 D． 8 436 5． 已知函数 f （ x ）的部分图象如图所示， 则 f （ x ）的解析式可能为 （ ） A． f （ x ） =- 3xsinx 1+2x 2 B． f （ x ） = x 2 sinx 1+x 2 C． f （ x ） = 3x 2 cosx 1+2x 2 D． f （ x ） = x 2 cosx 1+x 2 6． 函数 y=f （ x ）的定义域为 R ， 满足： ①坌x∈R ， f （ -x ） +f （ x ） =0 ， ② 任意 x 1 ≠x 2 ， 都有 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） x 1 -x 2 > 0. 设 a=-f log 2 1 6 6 ' ， b=f （ log 2 5 ）， c=f 10 1 2 6 2 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 （ ） A． a<b<c B． b<a<c C． c<b<a D． c<a<b 7． 已知 ax 2 + 3b x 6 2 x+ 1 x 2 6 2 7 的展开式中含 x 3 的项的系数是 63 ， 则 a+b= （ ） A． 3 B． 4 C． 1 D． 2 8． 在农业生产中， 自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率 . 如图所示， 在某矩形试验田 MNPQ 中， MQ=2MN=4 ， R 为 MN 的中点， F 为 QR 的中点， 在三角形 MQR 区域种植小麦， 梯形 RNPQ 区域种植玉米 . 为提高劳动效率， 节约用水， 现采用自动浇水机器人 （忽略机器人的面积） 对试验田进行灌 溉 . 已知该机器人沿着以 F 为焦点、 MQ 为准线的抛物线运动， 且向以自身 为圆心、 半径为 1 8 的圆形区域内浇水 . 记小麦田能够被机器人灌溉的面积为 S ， 则 （ ） （若直线 l 与抛物线 E 相切于点 A ， 平行于 l 的直线 l′ 与 E 交于 B ， C 两点， 记 BC 与 E 围成的图形面积为 S 1 ， △ABC 的面积为 S 2 ， 则 3S 1 =4S 2 ） A． S= 1 4 B． 1 4 <S< 49 192 C． S= 49 192 D． S> 49 192 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9． 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a 2 =b 2 +bc ， 则 （ ） A． sin 2 A-sin 2 B=sinBsinC B． c=b （ 1+2cosA ） C． A=2B D． △ABC 不可能为锐角三角形 10． 已知点 P 在圆 O ： x 2 +y 2 =4 上， 直线 l ： 4x+3y-12=0 分别与 x 轴、 y 轴交于 A ， B 两点， 则 （ ） A． 过点 B 作圆 O 的切线， 则切线长为 2 3 姨 B． 满足 P P, A · P P, B =0 的点 P 仅有 1 个 C． 点 P 到直线 l 距离的最大值为 22 5 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （六） （满分 150 分， 考试时间 120 分钟） 第 3 题图 10 40 60 80 100 120 140 20 987654321 O 25 38 17 30 34 42 31 32 30 126 PM2.5 日均值 三角锥垛 第 4 题图 第 8 题图 F M N R Q P 第 5 题图 x y y=-1 O π-π - π 2 π 2 31 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 D． |P !" A +P !" B | 的最小值是 1 11． 已知定义在区间 ［ a ， b ］ 上的函数 y=f （ x ）， f ′ （ x ） 是 f （ x ） 的导函数， 若存在 孜∈ （ a ， b ）， 使 得 f （ b ） -f （ a ） =f′ （ 孜 ）（ b-a ） ． 则称 孜 为函数 f （ x ） 在 ［ a ， b ］ 上的 “中值点” ． 下列函数， 其中在 区间 ［ -2 ， 2 ］ 上至少有两个 “中值点” 的函数为 （ ） A． f （ x ） =sinx B． f （ x ） =e x C． f （ x ） =ln （ x+3 ） D． f （ x ） =x 3 -x+1 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12． 命题 “ 坌x>0 ， x 2 -x+1>0 ” 的否定为 ． 13． 已知复数 z= （ 2+i ） i ， 其中 i 是虚数单位， 则复数 z 在复平面上对应的点位于第 象限 ． 14． 平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的， 将它沿虚线折起来， 可以得 到如图所示粽子形状的六面体， 则该六面体的体积为 ； 若该六面体内有一球， 则 该球体积的最大值为 ． 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15． （ 13 分） 如图， 在一个水平面内， 河流的两岸平行， 河宽为 1 （单位： km ）， 村庄 A ， B 和 供电站 C 恰位于一个边长为 2 （单位： km ） 的等边三角形的三个顶点处， 且 A ， C 位于河 流的两岸， 村庄 A 侧的河岸所在直线恰经过 BC 的中点 D. 现欲在河岸上 A ， D 之间取一点 E ， 分别修建电缆 CE 和 EA ， EB. 设 ∠DCE=兹 ， 记电缆总长度为 f （ 兹 ） （单位： km ） . （ 1 ） 求 f （ 兹 ）的解析式 . （ 2 ） 当 ∠DCE 为多大时， 电缆的总长度 f （ 兹 ）最小， 并求出最小值 . 16． （ 15 分） 已知 {a n } 为等比数列， 前 n 项和为 S n （ n∈N * ）， 且 S n =2 n+1 +t ， 数列 {b n } 满足 b 1 =1 ， 数列 { （ b n+1 -b n ） a n } 的前 n 项和为 2n-3n 2 . （ 1 ） 求 t 的值 . （ 2 ） 求数列 {b n } 的通项公式 . 数学 （六） 第 3 页 （共 7 页） 数学 （六） 第 4 页 （共 7 页） 第 14 题图 第 15 题图 A B C D E 32 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 17． （ 15 分） 球面几何学是在球表面上的几何学， 也是非欧几何的一个例子 . 对于半径为 R 的球 O ， 过球面上一点 A 作两条大圆的弧 A A B ， A A C ， 它们构成的图形叫作球面角， 记作 ∠BAC （或 ∠A ）， 其值为二面角 B鄄AO鄄C 的大小， 点 A 称为球面角的顶点， 大圆弧 A A B ， A A C 称为球 面角的边 . 不在同一大圆上的三点 A ， B ， C ， 可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 A A B ， B A C ， C A A ， 这三条劣弧组成的图形称为球面 △ABC ， 这三条劣弧称为球面 △ABC 的边， A ， B ， C 三点称为球面 △ABC 的顶点； 三个球面角 ∠A ， ∠B ， ∠C 称为球面 △ABC 的三个 内角 . 已知球心为 O 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 A ， B ， C． （ 1 ） 球面 △ABC 的三条边长相等 （称为等边球面三角形）， 若 ∠A= 仔 2 ， 求球面 △ABC 的内 角和 . （ 2 ） 类比二面角， 我们称从点 P 出发的三条射线 PM ， PN ， PQ 组成的图形为三面角， 记为 P鄄MNQ. 其中点 P 称为三面角的顶点， PM ， PN ， PQ 称为它的棱， ∠MPN ， ∠NPQ ， ∠QPM 称为它的面角 . 若三面角 O鄄ABC 的三个面角的余弦值分别为 3 姨 3 ， 2 姨 2 ， 6 姨 3 . （ ⅰ ） 求球面 △ABC 的三个内角的余弦值； （ ⅱ ） 求球面 △ABC 的面积 . 18． （ 17 分） 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 过点 3 姨 ， 3 姨 2 2 & ， 左、 右焦点为 F 1 （ -c ， 0 ）， F 2 （ c ， 0 ）， 且椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点 ． （ 1 ） 求椭圆 C 的方程 . （ 2 ） 圆 D ： x+ 4 3 姨 7 2 & 2 + y- 3 3 姨 7 2 & 2 =r 2 （ r>0 ） 与椭圆 C 交于 A ， B 两点， R 为线段 AB 上 任一点， 直线 F 1 R 交椭圆 C 于 P ， Q 两点， 若 AB 为圆 D 的直径， 且直线 F 1 R 的斜率大 于 1 ， 求 |PF 1 ||QF 1 | 的取值范围 . 数学 （六） 第 5 页 （共 7 页） 数学 （六） 第 6 页 （共 7 页） A B C O A′ O A B C 图 1 图 2 第 17 题图 第 18 题图 x y F 1 F 2 A B P Q O R 33 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19． （ 17 分） 为了研究某单链 RNA 病毒， 科学家先对该病毒的 RNA 进行分析， 得知其中碱基 A 约占 1 3 ， 碱基 C 约占 1 4 ， 碱基 G 约占 1 6 ， 碱基 U 约占 1 4 ． 现科学家欲人工模拟合成一 条 RNA ， 采用的原料按照原病毒 RNA 各碱基之比混合而成， 原料中每个碱基片段连接到 合成 RNA 上的概率相等， 合成的 RNA 上连续出现两个 A 时即停止合成 ． （ 1 ） 计算合成 RNA 仅有 4 个碱基的概率， 并计算 27 次重复实验下， 仅有 4 个碱基的数学 期望 . （ 2 ） 求合成 RNA 的碱基数量的数学期望 ． （提示： 当 n 充分大时， 对于某一绝对值小于 1 的常数 p ， 认为有 p n =np n =0 ） 数学 （六） 第 7 页 （共 7 页） 34 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （六） 姓 名： 准考证号 贴条形码区 （正面朝上， 切勿贴出虚线方框） ← 此方框为缺考考生标记， 由监考员用 2B 铅笔填涂 注 意 事 项 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 正 确 填 涂 示 例 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D ４. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 三、 填空题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 12. 13. 14. 四、 解答题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 二、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D A B C D E 35 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 18. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A B C O A′ O A B C 图 1 图 2 x y F 1 F 2 A B P Q O R 36 下面证明这两条曲线还有一个交点 . 令 H （ x ） =e ax -2x+ 1 a lnx ， H′ （ x ） =ae ax + 1 ax -2= a · axe ax ax - 2ax-1 ax ， 令 t=ax ， m （ t ） =ate t -2t+1 ， t>0 ， ∴ 令 m′ （ t ） =a （ 1+t ） e t -2=0 ， 得 e t = 2 a （ 1+t ） < 2 a ， 故存在 1<t 0 <ln 2 a ， 使得 y=m （ t ） 在 （ 0 ， t 0 ） 上单调递减， 在 （ t 0 ， +∞ ） 上单调递增， m （ 0 ） =1>0 ， m （ 1 ） =ae-1<0 ， m ln 2 a a " =1>0 ， 故 m （ t ） =ate t -2t+1 有两个零点 t 1 ， t 2 ， 0<t 1 <1<t 2 <ln 2 a . …… 13 分 令 t 1 =ax 3 ， t 2 =ax 4 ， 即 y=H （ x ）有且只有两个极值点 x 3 ， x 4 ， ∴y=H （ x ）在 （ 0 ， x 3 ） 上单调递增， 在 （ x 3 ， x 4 ） 上单调递减， 在 （ x 4 ， +∞ ） 上单调递增 . …… 14 分 又 H′ （ x 1 ） =ax 1 + 1 ax 1 -2≥0 ， 若 H （ x 1 ） =0. 则 ax 1 =1 ， 由 e ax 1 =x 1 得 x 1 =e ， a= 1 e 与题设矛盾， ∴H′ （ x 1 ） >0 ， 同理 H′ （ x 2 ） >0 ， x １ ， x ２ 不可能在同一单调区间， 0<x 1 <x 3 ， x 4 <x 2 ， …… 16 分 故有 0=H （ x 1 ） <H （ x 3 ）， H （ x 4 ） <H （ x 2 ） =0. ∴ 在 （ x 3 ， x 4 ） 间存在唯一的 x 0 使得 H （ x 0 ） =0 ， 即两条曲线还有一个交点 x 0 ， 故曲线 y=f （ x ）与曲线 y=g （ x ）共有三个不同的交点 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （六） 一、 选择题 1. B 2. B 3. C 4. B 5. D 6. B 7. A 8. D 二、 选择题 9. ABC 10. ACD 11. AD 三、 填空题 12. 埚x>0 ， x 2 -x+1≤0 13. 二 14. 2 姨 6 8 6 姨 π 729 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） 易得 AD 垂直平分 BC ， CD=BD=1 ， 则 CE=EB= 1 cos兹 ， ED=tan兹 ， AE= 3 姨 -tan兹 ， …… 2 分 于是 f （ 兹 ） = 1 cos兹 + 1 cos兹 + 3 姨 -tan兹= 2-sin兹 cos兹 + 3 姨 ， …… 4 分 ∵E 在 CD 之间， ∴0<兹< π 3 ， 故 f （ 兹 ） = 2-sin兹 cos兹 + 3 姨 ， 0<兹< π 3 . …… 6 分 （ 2 ） f ′ （ 兹 ） = -cos 2 兹- （ 2-sin兹 ）（ -sin兹 ） cos 2 兹 ， 0<兹< π 3 ， …… 8 分 令 f ′ （ 兹 ） =0 ， 得 sin兹= 1 2 ， 兹= π 6 ， 故当 0<兹< π 6 ， f ′ （ 兹 ） <0 ， f （ 兹 ）单调递减， 当 π 6 <兹< π 3 ， f ′ （ 兹 ） >0 ， f （ 兹 ）单调递增， …… 10 分 ∴ 当 兹= π 6 时， f （ 兹 ） min =f π 6 a " = 2- 1 2 3 姨 2 + 3 姨 =2 3 姨 . …… 13 分 16. 解： （ 1 ） ∵S n =2 n+1 +t ， ∴S n-1 =2 n +t （ n≥2 ）， ∴a n =S n -S n-1 =2 n （ n≥2 ）， n=1 代入上式得 a 1 =2 ， ∵ {a n } 为等比数列， ∴S 1 =2 2 +t=2 ， ∴t=-2. …… 4 分 （ 2 ） 令 c n = （ b n+1 -b n ） a n ， 数列 {c n } 的前 n 项和为 T n =2n-3n 2 ， 当 n=1 时， c 1 =T 1 =2-3=-1. 当 n≥2 时， c n =T n -T n-1 = （ 2n-3n 2 ） - ［ 2 （ n-1 ） -3 （ n-1 ） 2 ］ =5-6n. 综上所述， c n =5-6n. …… 6 分 又由 a n =2 n ， ∴c n = （ b n+1 -b n ）· 2 n =5-6n ， 则 b n+1 -b n = （ 5-6n ） 1 2 a " n ， …… 8 分 b n -b 1 = （ b n -b n-1 ） + （ b n-1 -b n-2 ） + … + （ b 3 -b 2 ） + （ b 2 -b 1 ） = （ 11-6n ） 1 2 a " n-1 + （ 17-6n ） 1 2 a " n-2 + … + （ -7 ） 1 2 a " 2 + （ -1 ） 1 2 a " 1 （ n≥2 ） . 设 M n =b n -b 1 =- 1 2 +7 1 2 a " 2 + … + （ 6n-17 ） 1 2 a " n-2 + （ 6n-11 ） 1 2 a " n-1 1 ( （ n≥2 ）， 参考答案第 21 页 （共 28 页） 参考答案第 22 页 （共 28 页） 47 1 2 M n =- 1 2 2 " 2 +7 1 2 2 " 3 + … + （ 6n-17 ） 1 2 2 " n-1 + （ 6n-11 ） 1 2 2 " n n $ 1 2 M n =- 1 2 + （ 6n-11 ） 1 2 2 " n -6 1 2 2 " 2 + 1 2 2 " 3 + … + 1 2 2 " n-1 1 & =- 1 2 + （ 6n-11 ） 1 2 2 " n -6 · 1 2 2 " 2 1- 1 2 2 " n-2 1 & 1- 1 2 =- 1 2 + （ 6n-11 ） 1 2 2 " n -3+3 · 1 2 2 " n-2 ∴M n =-7+ （ 6n+1 ） 1 2 2 " n-1 （ n≥2 ）， …… 12 分 ∴b n =-7+ （ 6n+1 ） 1 2 2 " n-1 +b 1 =-6+ （ 6n+1 ） 1 2 2 " n-1 （ n≥2 ）， 当 n=1 时， b 1 =-6+ （ 6+1 ） =1 ， …… 14 分 ∴b n =-6+ （ 6n+1 ） 1 2 2 " n-1 （ n∈N * ） . …… 15 分 17. 解： （ 1 ） 本题的解析中涉及的角的取值均为弧度制下的取值 . 由∠ A= 仔 2 ， 可知 B ， C 在两个互相垂直 （即交点处切线垂直） 的大圆上， 从而B 2 C≤ 仔 2 ， 故A 2 B =A 2 C≤ 仔 2 . 设 ∠AOB=∠AOC=α∈ 0 ， 仔 2 &2 ， 则A 2 B =A 2 C =α ， 从而 |AB|=|AC|=2sin α 2 . 注意到 B ， C 到直线 AO 的距离均为 sinα ， 故 |BC|= 2 姨 sinα. ∴ 由B 2 C =A 2 B ， 知|BC|=|AB| ， ∴ 2 姨 sinα=2sin α 2 ， 即 2 姨 cos α 2 =1 ， 得到 α= 仔 2 ， 从而 ∠AOB=∠AOC= 仔 2 ， …… 2 分 而 B ， C 在两个互相垂直的大圆上， 故 ∠BOC= 仔 2 ， 从而 OA ， OB ， OC 两两垂直 . 从而由 OB ， OC 在平面 OBC 内交于点 O ， 可知 OA 垂直于平面 OBC ， 而 OA 在平面 OCA 和平面 OAB 内， 故平面 OCA 垂直于平面 OBC ， 同理平面 OAB 垂直于平面 OBC ， 平面 OAB 垂直于平面 OCA ， ∴ 三个平面 OAB ， OBC ， OCA 两两垂直 . 故由球面角的定义知∠ A= ∠ B= ∠ C= 仔 2 ， ∴ 球面 △ABC 的内角和是 3仔 2 . …… 4 分 （ 2 ） （ ⅰ ） 由已知条件， 可设 cos∠BOC= 3 姨 3 ， cos∠COA= 2 姨 2 ， cos∠AOB= 6 姨 3 . 如图 1 ， 以 O 为原点， 构建空间直角坐标系， 则 O （ 0 ， 0 ， 0 ） . 不妨设 A （ 1 ， 0 ， 0 ）， B 6 姨 3 ， 3 姨 3 ， 2 " 0 . 设 C （ p ， q ， r ）， 则由 |OA|=|OB|=|OC|=1 ， 可知 2 姨 2 =cos∠COA=O O. A·O O. C =p ， 3 姨 3 =cos∠BOC=O O. B·O O. C = 6 姨 3 p+ 3 姨 3 q ， 1=|OC| 2 =p 2 +q 2 +r 2 . 故 p= 2 姨 2 ， q= 3 姨 3 姨 3 - 6 姨 3 2 " p =0 ， r 2 =1-p 2 -q 2 = 1 2 . 不妨设 r>0 ， 则 r= 2 姨 2 ， ∴ 有 C 2 姨 2 ， 0 ， 2 姨 2 2 " . …… 6 分 设平面 OBC ， OCA ， OAB 的法向量分别为 n 1 ， n 2 ， n 3 ， 并设 n i = （ u i ， v i ， w i ） （ i=1 ， 2 ， 3 ） . 则 O O. B·n 1 =O O. C·n 1 =0 ， O O. C·n 2 =O O. A·n 2 =0 ， O O. A·n 3 =O O. B·n 3 =0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ， 即 6 姨 3 u 1 + 3 姨 3 v 1 = 2 姨 2 u 1 + 2 姨 2 w 1 =0 ， 2 姨 2 u 2 + 2 姨 2 w 2 =u 2 =0 ， u 3 = 6 姨 3 u 3 + 3 姨 3 v 3 =0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ， …… 8 分 参考答案第 23 页 （共 28 页） 参考答案第 24 页 （共 28 页） O A B C x y z 图 1 48 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 从而 2 姨 u 1 +v 1 =u 1 +w 1 =0 ， u 2 =w 2 =0 ， u 3 =v 3 =0 0 % % % % % % $ % % % % % % & ， 故可以取 n 1 = （ -1 ， 2 姨 ， 1 ）， n 2 = （ 0 ， 1 ， 0 ）， n 3 = （ 0 ， 0 ， 1 ） 0 % % % % % % ） % % % % % % & ， ∴ 有 cos ∠ A=|cosn 2 ， n 3 |= |n 2 · n 3 | |n 2 | · |n 3 | =0 ， cos ∠ B=|cosn 3 ， n 1 |= |n 3 · n 1 | |n 3 | · |n 1 | = 1 2 ， cos ∠ C=|cosn 1 ， n 2 |= |n 1 · n 2 | |n 1 | · |n 2 | = 2 姨 2 . 故球面 △ABC 的三个内角的余弦值分别为 0 ， 1 2 ， 2 姨 2 . …… 9 分 （ ⅱ ） 先证明一个引理 . 引理： 若球面 △ABC 的三个球面角∠ A ， ∠ B ， ∠ C∈ 0 ， π 2 2+ ， 设该球面 △ABC 的面积为 S △AB + C ， 则 S △AB + C = ∠ A+ ∠ B+ ∠ C-π. 引理的证明： 记球 O 的表面积为 S ， 则 S=4π. 如图 2 ， 设 A ， B ， C 的对径点分别为 A′ ， B′ ， C′ ， 则B + C 所在的大圆和B′C + ′所在的大圆， 它们将球面分成了四个部分， 其中面积较小的两个部分的面积之和 S 1 等于球的表面积 S 的 A π 倍， 即 S 1 = A π S ， 类似可定义 S 2 ， S 3 ， 且同理有 S 2 = B π S ， S 3 = C π S. …… 11 分 而根据球面被这三个大圆的划分情况， 又有 S 1 +S 2 +S 3 = （ S-2S △AB + C ） +6S △AB + C . ∴S 1 +S 2 +S 3 =S+4S △AB + C ， 故 S △AB + C = 1 4 （ S 1 +S 2 +S 3 -S ） = S 4 A π + B π + C π - + - 1 =π A π + B π + C π - + - 1 = ∠ A+ ∠ B+ ∠ C-π. 引理得证 . …… 13 分 回到原题， 根据 （ ⅰ ） 的结论， 有∠ A= π 2 ， ∠ B= π 3 ， ∠ C= π 4 . 再由引理知球面 △ABC 的面积 S △AB + C = π 2 + π 3 + π 4 -π= π 12 . …… 15 分 18. 解： （ 1 ） ∵ 椭圆 C 过点 3 姨 ， 3 姨 2 + - ， ∴ 3 a 2 + 3 4b 2 =1 ， ① ∵ 椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点， ∴a=2c ， …… 2 分 ∵a 2 =b 2 +c 2 ， ∴b 2 = 3 4 a 2 ， ② …… 4 分 由 ①② 得 a 2 =4 ， b 2 =3 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1. …… 6 分 （ 2 ） ∵AB 为圆 D 的直径， ∴ 点 D - 4 3 姨 7 ， 3 3 姨 7 + - 为线段 AB 的中点， …… 7 分 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 =- 8 3 姨 7 ， y 1 +y 2 = 6 3 姨 7 0 % % % % % % ） % % % % % % & ， 又 x 1 2 4 + y 1 2 3 =1 ， x 2 2 4 + y 2 2 3 =1 0 % % % % % % ） % % % % % % & ， 两式相减， 得 （ x 1 +x 2 ）（ x 1 -x 2 ） 4 + （ y 1 +y 2 ）（ y 1 -y 2 ） 3 =0 ， 则 （ x 1 -x 2 ） - （ y 1 -y 2 ） =0 ， 故 k AB = y 1 -y 2 x 1 -x 2 =1 ， …… 9 分 则直线 AB 的方程为 y- 3 3 姨 7 =x+ 4 3 姨 7 ， 即 y=x+ 3 姨 ， 代入椭圆 C 的方程并整理得 7x 2 +8 3 姨 x=0 ， 则 x 1 =- 8 3 姨 7 ， x 2 =0 ， …… 10 分 不妨令 A （ 0 ， 3 姨 ）， B - 8 3 姨 7 ， - 3 姨 7 + - ， 其中 R 与 A 重合时， k F 1 R =k F 1 A = 3 姨 -0 0+1 = 3 姨 ， 又 ∵ 直线 F 1 R 的斜率大于 1 ， 故直线 F 1 R 的斜率 k∈ ［ 3 姨 ， +∞ ） . …… 12 分 设直线 F 1 R ： y=k （ x+1 ）， 由 y=k （ x+1 ）， x 2 4 + y 2 3 =1 0 % % % % ） % % % % & ， 得 （ 3+4k 2 ） x 2 +8k 2 x+4k 2 -12=0 ， 参考答案第 25 页 （共 28 页） 参考答案第 26 页 （共 28 页） O A B C A′ B′ C′ 图 2 第 17 题答图 49 设 P （ x 3 ， y 3 ）， Q （ x 4 ， y 4 ）， 则有 x 3 +x 4 = -8k 2 3+4k 2 ， x 3 x 4 = 4k 2 -12 3+4k 2 . …… 14 分 又 |PF 1 |= 1+k 2 姨 |x 3 +1| ， |QF 1 |= 1+k 2 姨 |x 4 +1| ， ∴|PF 1 | · |QF 1 |= （ 1+k 2 ） |x 3 x 4 + （ x 3 +x 4 ） +1|= （ 1+k 2 ） 9 3+4k 2 = 9 4 1+ 1 3+4k 2 2 # ， …… 16 分 ∵k≥ 3 姨 ， ∴ 9 4 < 9 4 1+ 1 3+4k 2 2 & ≤ 12 5 ， 即 |PF 1 | · |QF 1 | 的取值范围是 9 4 ， 12 5 52 . …… 17 分 19. 解： （ 1 ） RNA 有 4 个碱基， 那么最后两个碱基一定是 A ， 则只需要考虑前两个， 把除 A 外的碱基记为 B ， 那么前两个可以是 AB ， BB ， 设 RNA 有四个碱基的概率为 P ， 则 P= 1 3 + 2 3 2 & · 2 3 · 1 3 2 & 2 = 2 27 ， …… 2 分 记 RNA 有 4 个碱基的次数为 孜 ， 依题意得 孜~B 27 ， 2 27 2 & ， …… 4 分 根据二项分布的期望公式可得， E （ 孜 ） =27 · 2 27 =2. …… 5 分 （ 2 ） 设有 n 个碱基时未结束， 且第 n 个是碱基 B 时的概率为 a n ， 考虑 a n+2 ， 可以是 a n+1 接一个 B ， 也可以是 a n 后接 AB ， 其中 a 0 =1 ， a 1 = 1 3 ， 从而有 a n+2 = 2 3 a n+1 + 2 9 a n （ n∈N ） . …… 7 分 设 a n+2 -xa n+1 =y （ a n+1 -xa n ）， 于是 x+y= 2 3 ， xy=- 2 9 9 , , , , , , + , , , , , , - ， 不妨设 x>y ， 解得 x= 1+ 3 姨 3 ， y= 1- 3 姨 3 9 , , , , , , + , , , , , , - ， 故可变形为 a n+2 - 1+ 3 姨 3 a n+1 = 1- 3 姨 3 a n+1 - 1+ 3 姨 3 a n 2 # ， 则 a n+1 - 1+ 3 姨 3 a n = 1- 3 姨 3 2 # n+1 ， …… 9 分 类似地， a n+2 = 2 3 a n+1 + 2 9 a n （ n∈N ） 亦可变形为 a n+1 - 1- 3 姨 3 a n = 1+ 3 姨 3 2 # n+1 ， 于是联立解得 a n = 3 姨 2 1+ 3 姨 3 2 # n+1 - 1- 3 姨 3 2 # n+1 1 5 ， …… 11 分 在出现上述情况后， 只需再连续出现两个 A 就能完成该 RNA 的合成， 记合成的碱基数为 X ， 于是 P （ X=n+2 ） = 1 9 a n ， 故数学期望 E （ X ） = 1 9 n i=0 移 （ i+2 ） a i ， …… 12 分 记 x= 1+ 3 姨 3 ， y= 1- 3 姨 3 ， 故 E （ X ） = 3 姨 18 n i=0 移 （ i+2 ）（ x i+1 -y i+1 ）， …… 14 分 考虑 f （ x ） = n i=0 移 x i+2 ， 根据等比数列求和公式， 即得 f （ x ） = n i=0 移 x i+2 = x 2 （ 1-x n+1 ） 1-x ， …… 15 分 等式两边同时求导， 得 f ′ （ x ） = n i=0 移 （ i+2 ） x i+1 = ［ 2x- （ n+3 ） x n+2 ］（ 1-x ） +x 2 -x n+3 （ 1-x ） 2 = x （ 2-x ） +x n+2 ［（ n+2 ） x- （ n+3 ）］ （ 1-x ） 2 ， 结合题干附注结论： 当 |x|<1 ， 且 n 充分大时， f ′ （ x ） = x （ 2-x ） （ 1-x ） 2 ， 据此结果可知， E （ X ） = 3 姨 18 n i=0 移 （ i+2 ）（ x i+1 -y i+1 ） = 3 姨 18 x （ 2-x ） （ 1-x ） 2 - y （ 2-y ） （ 1-y ） 2 1 5 ， …… 16 分 代入数据 x= 1+ 3 姨 3 ， y= 1- 3 姨 3 ， 求得 E （ X ） =12. …… 17 分 参考答案第 27 页 （共 28 页） 参考答案第 28 页 （共 28 页） 50