2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(5)- 2025年高考数学考前模拟试卷

线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选 项是正确的 . 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 设集合 M={x|x 2 =x} ， N={x|lgx≤0} ， 则 M∪N= （ ） A. ［ 0 ， 1 ］ B. （ 0 ， 1 ］ C. ［ 0 ， 1 ） D. （ -∞ ， 1 ］ 2. 甲、 乙、 丙三个车间生产的某种产品的件数分别为 120 ， 80 ， 60 ， 现采用分层抽样的方法从 中抽取一个容量为 n 的样本， 若从乙车间生产的产品中抽取 4 件， 则 n 等于 （ ） A． １0 B． 12 C． 13 D． 14 3． 在二项式 （ x-2 ） 5 的展开式中， x 2 的系数为 （ ） A． -40 B． 40 C． -80 D． 80 4． 已知圆台 OO 1 轴截面的面积为 3 3 姨 ， 上、 下底面半径之比为 1 ∶ 2 ， 母线与底面所成的角为 π 3 ， 则圆台的侧面积为 （ ） A． ３ 3 姨 π B． 6 3 姨 π C． 6π D． 9π 5． 已知函数 f （ x ） = 1-x 1+x （ x≠-1 ）， 则 （ ） A． f （ x ）在 （ -1 ， +∞ ） 上单调递增 B． f （ x ）的图象关于 （ -1 ， 1 ） 对称 C． f （ x ）为奇函数 D． f （ x ）的图象关于直线 y=x 对称 6． 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 若 a 1 =2 ， a n+1 =S n ， 则 a 100 = （ ） A． 2 97 B． 2 98 C． 2 99 D． 2 100 7． 已知函数 f （ x ） =2sin 棕x+ π 6 6 ' （ 棕>0 ） 在 - π 4 ， π 3 6 3 上恰有一个最大值点和一个最小值点， 则实 数 棕 的取值范围为 （ ） A． 8 3 ， 3 7 7 B． 8 3 ， 4 4+ C． 4 ， 20 3 33 D． 20 3 ， + 3 7 数学 （五） 第 1 页 （共 7 页） 数学 （五） 第 2 页 （共 7 页） 8． 设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 =4x 上任意一点， M 是线段 PF 上的点， 且 |PM|= 3|MF| ， 则直线 OM 的斜率的最大值为 （ ） A． 2 姨 B． 3 姨 3 C． 5 姨 2 D． 3 姨 2 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 ． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 ． 9． 设 z 1 ， z 2 ， z 3 为复数， 且 z 1 ≠0 ， 则下列命题中正确的是 （ ） A． 若 |z 2 |=|z 3 | ， 则 z 2 =±z 3 B． 若 z 1 z 2 =z 1 z 3 ， 则 z 2 =z 3 C． 若 z 2 =z 3 ， 则 |z 1 z 2 |=|z 1 z 3 | D． z 1 z 2 =|z 1 | 2 ， 则 z 1 =z 2 10． 设等差数列 {a n } 的公差为 d ， 前 n 项和是 S n ， 已知 S 14 >0 ， S 15 <0 ， 则下列说法正确的是 （ ） A． a 1 >0 ， d<0 B． a 7 +a 8 >0 C． S 6 和 S 7 都是 S n 的最大值 D． a 8 <0 11． 一个不透明的袋子里装有 1 个红色小球和 2 个白色小球， 这 3 个小球除颜色不同外， 其他完 全相同 ． 甲、 乙两人先后从袋子中取出 1 个球， 事件 M 表示 “甲取到的是红色球”， 事件 N 表示 “乙取到的是红色球”， 随机变量 X 表示 “甲、 乙一共取出的红球的个数”， 则下列说 法正确的是 （ ） A． 若甲取出球后不放回， 则 M 和 N 是对立事件 B． 若甲取出球后放回， 则 M 和 N 是独立事件 C． 若甲取出球后不放回， 设 P （ N ） =p 1 ， 若甲取出球后放回， 设 P （ N ） =p 2 ， 则 p 1 =p 2 D． 若甲取出球后不放回， 设 E （ X ） =μ 1 ， 若甲取出球后放回， 设 E （ X ） =μ 2 ， 则 μ 1 =μ 2 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 ． 12． 已知向量 a= （ m ， 2 ）， b= （ 1 ， 1 ）， 若 |a+b|=|a|+ 2 姨 ， 则实数 m= ． 13． 已知函数 f （ x ） =e x-3 ， g （ x ） =1+lnx ， 若 f （ m ） =g （ n ）， 则 n-m 的最小值为 ． 14． 如图， 在四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 四边形 ABCD 为平行四边形， E ， F 分别在线段 DB ， DD 1 上， 且 DE EB = DF FD 1 = 1 2 ， 点 G 在 CC 1 上， 且 平面 AEF∥ 平面 BD 1 G ， 则 CG CC 1 = ． 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （五） （满分 150 分， 考试时间 120 分钟） 第 14 题图 A B C D E F G A 1 B 1 C 1 D 1 25 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 ． 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ． 15． （ 13 分） 已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 且满足 acosB+bcosA=2ccosC． （ 1 ） 求 C 的大小 . （ 2 ） 若 △ABC 为锐角三角形， 求 a b 的取值范围 ． 16． （ 15 分） 近年来， 随着智能手机的普及， 网上买菜迅速进入了我们的生活 ． 现将一周网上买 菜次数超过 3 次的市民认定为 “喜欢网上买菜”， 不超过 3 次甚至从不在网上买菜的市民认 定为 “不喜欢网上买菜” ． 某市 M 社区为了解该社区市民网上买菜的情况， 随机抽取了该社 区 100 名市民， 得到的统计数据如下表所示： （ 1 ） 根据以上数据， 能否有 95% 的把握认为 M 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （ 2 ） M 社区的市民小张周一和周二均在网上买菜， 且周一等可能地从两个买菜平台随机选 择一个下单买菜 . 如果周一选择 A 平台买菜， 那么周二选择 A 平台买菜的概率为 4 5 ； 如果周一选择 B 平台买菜， 那么周二选择 A 平台买菜的概率为 1 3 . 求小张周二选择 B 平台买菜的概率 . （ 3 ） 用频率估计概率， 现从 M 社区随机抽取 20 名市民， 记其中喜欢网上买菜的市民人数为 随机变量 X ， 求 E （ X ） 和 D （ X ） 的值 ． 参考公式： 字 2 = n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） ， n=a+b+c+d ， 数学 （五） 第 3 页 （共 7 页） 数学 （五） 第 4 页 （共 7 页） P （ 字 2 ≥k ） 0.05 0.01 k 3.841 6.635 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过 45 岁的市民 40 10 50 年龄超过 45 岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 26 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 17． （ 15 分） 如图， 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， 平面 ABC⊥ 平面 AA 1 C 1 C ， AB⊥AC ， AA 1 =AB=AC= 2 ， ∠A 1 AC=60° ， 过 A 1 A 的平面交线段 B 1 C 1 于点 E （不与端点重合）， 交线段 BC 于点 F． （ 1 ） 证明： AA 1 ∥EF. （ 2 ） 若 BF=2FC ， 求直线 A 1 C 1 与平面 AFC 1 所成角的正弦值 ． 18． （ 17 分） 已知椭圆 C 1 ： x 2 4 +y 2 =1 的左、 右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 点 A ， B 为椭圆 C 1 上两点 ． （ 1 ） 若直线 AB 过左焦点 F 1 ， 求 △ABF 2 的周长 . （ 2 ） 若直线 AB 过点 P （ 1 ， 0 ）， 求 |PA| · |PB| 的取值范围 . （ 3 ） 若点 A 是椭圆 C 1 与抛物线 C 2 ： y 2 = 3 4 x 在第一象限的交点， 是否存在点 B ， 使得线段 AB 的中点 M 在抛物线 C 2 上？ 若存在， 求出所有满足条件的点 B 的坐标； 若不存在， 请说明理由 ． 数学 （五） 第 5 页 （共 7 页） 数学 （五） 第 6 页 （共 7 页） 第 17 题图 A B C E F A 1 C 1 B 1 27 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19． （ 17 分） 已知函数 f （ x ） =x- 1 a lnx 与函数 g （ x ） =e ax -x ， 其中 a>0． （ 1 ） 求 f （ x ）的单调区间 . （ 2 ） 若 g （ x ） >0 ， 求 a 的取值范围 . （ 3 ） 若函数 f （ x ）的图象与 x 轴有两个不同的交点， 求证： f （ x ）的图象与 g （ x ）的图象共有三个 不同的交点 ． 数学 （五） 第 7 页 （共 7 页） 28 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （五） 姓 名： 准考证号 贴条形码区 （正面朝上， 切勿贴出虚线方框） ← 此方框为缺考考生标记， 由监考员用 2B 铅笔填涂 注 意 事 项 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 正 确 填 涂 示 例 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D ４. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 三、 填空题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 12. 13. 14. 四、 解答题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 二、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D 29 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 18. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A B C E F A 1 C 1 B 1 30 又 a 1 =0 ， ∴a n +1= （ -2 ） n-1 ， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n = （ -2 ） n-1 -1. …… 9 分 （ 3 ） 记 b n =log 2 |a n +1|=n-1 ， ∴c n =a n · b n = （ n-1 ）（ -2 ） n-1 - （ n-1 ）， …… 10 分 记数列 d n = （ n-1 ）（ -2 ） n-1 的前 n 项和为 T n ， 则 T n =0× （ -2 ） 0 +1× （ -2 ） 1 + … + （ n-2 ） × （ -2 ） n-2 + （ n-1 ） × （ -2 ） n-1 ， 则 -2T n =0× （ -2 ） 1 +1× （ -2 ） 2 + … + （ n-2 ） × （ -2 ） n-1 + （ n-1 ） × （ -2 ） n ， …… 12 分 ∴3T n = （ -2 ） 1 + … + （ -2 ） n-1 - （ n-1 ） × （ -２ ） n =- 2 3 + （ -2 ） n × 2-3n 3 ， ∴T n =- 2 9 + （ -2 ） n × 2-3n 9 ， ∴ 数列 {c n } 的前 n 项和 S n =- n （ n-1 ） 2 - 2 9 + （ -2 ） n × 2-3n 9 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （五） 一、 选择题 1. A 2. C 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、 选择题 9. BC 10. ABD 11. BCD 三、 填空题 12. 2 13. -2 14. 1 3 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） ∵acosB＋bcosA＝2ccosC ， ∴ 由正弦定理， 得 sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC ， 即 sin （ A＋B ） ＝2sinCcosC ， ∵A＋B＝π-C ， ∴sin （ A＋B ） ＝sinC＝2sinCcosC ， …… 3 分 ∵0<C<π ， 故 sinC≠0 ， ∴cosC＝ 1 2 ， ∴C= π 3 . …… 6 分 （ 2 ） 由 （ 1 ）， 知 C＝ π 3 ， A= 2π 3 -B ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<B< π 2 且 0< 2π 3 -B< π 2 ， ∴ π 6 <B< π 2 ， …… 8 分 由正弦定理， 得 a b = sinA sinB = sin 2π 3 - - $ B sinB = 3 姨 2 cosB+ 1 2 sinB sinB = 3 姨 2tanB + 1 2 ， …… 11 分 ∵ π 6 <B< π 2 ， ∴tanB> 3 姨 3 ， ∴ a b ∈ 1 2 ， - ， 2 . …… 13 分 16. 解： （ 1 ） 由给定的 2×2 列联表， 得 字 2 = 100× （ 40×30-20×10 ） 2 50×50×60×40 = 100 6 =16.667>3.841. …… 2 分 有 95% 的把握认为 M 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关 . …… 4 分 （ 2 ） 设 A i 表示周 i 在 A 平台买菜， B i 表示周 i 在 B 平台买菜， 则 P （ A 1 ） =P （ B 1 ） = 1 2 ， P （ B 2 |A 1 ） = 1 5 ， P （ B 2 |B 1 ） = 2 3 ， …… 7 分 由全概率公式， 小张周二选择 B 平台买菜的概率为 P （ B 2 ） = 1 2 × 1 5 + 1 2 × 2 3 = 13 30 . …… 9 分 （ 3 ） 依题意知， 喜欢网上买菜的概率为 60 100 = 3 5 . …… 10 分 从 M 社区随机抽取 20 名市民， 其中喜欢网上买菜的市民人数 X 服从二项分布： X~B 20 ， 3 5 - ， ， …… 13 分 ∴E （ X ） =20× 3 5 =12 ， D （ X ） =20× 3 5 × 1- 3 5 - ， = 24 5 . …… 15 分 17． （ 1 ） 证明： 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ∥CC 1 ， AA 1 埭 平面 BCC 1 B 1 ， CC 1 奂 平面 BCC 1 B 1 ， ∴AA 1 ∥ 平面 BCC 1 B 1 ， …… 3 分 又过 A 1 A 的平面 AA 1 EF∩ 平面 BCC 1 B 1 ＝EF ， ∴AA 1 ∥EF. …… 6 分 （ 2 ） 解： 在平面 AA 1 C 1 C 内过点 A 作 AP⊥AC ， ∵ 平面 ABC⊥ 平面 AA 1 C 1 C ， 平面 ABC∩ 平面 AA 1 C 1 C＝AC ， ∴AP⊥ 平面 ABC ， …… 8 分 又 AB⊥AC ， 则可构建以 A 为原点， AB ， AC ， AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的空间直角坐标系， 又 AA 1 ＝AB＝AC＝2 ， ∠A 1 AC＝60° ， 且 BF＝2FC ， ∴A （ 0 ， 0 ， 0 ）， A 1 （ 0 ， 1 ， 3 姨 ）， C 1 （ 0 ， 3 ， 3 姨 ）， F 2 3 ， 4 3 ， ， ， 0 ， 则A 1 C 1 10 = （ 0 ， 2 ， 0 ）， AC 1 10 = （ 0 ， 3 ， 3 姨 ）， A 10 F = 2 3 ， 4 3 ， ， ， 0 ， …… 10 分 设 m＝ （ x ， y ， z ） 为平面 AFC 1 的法向量， 则 m ·AC 1 10 =3y+ 3 姨 z=0 ， m ·A 10 F = 2 3 x+ 4 3 y=0 0 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 ， 参考答案第 17 页 （共 28 页） 参考答案第 18 页 （共 28 页） z A B C E F A 1 C 1 B 1 P y x 第 17 题答图 45 取 y＝1 ， 则 x＝－2 ， z＝－ 3 姨 ， 则 m＝ （ -2 ， -1 ， - 3 姨 ）， …… 12 分 ∴cos 〈 m ， A 1 C 1 1# 〉 = 2 2×2 2 姨 = 2 姨 4 ， ∴ 直线 A 1 C 1 与平面 AFC 1 所成角的正弦值为 2 姨 4 . …… 15 分 18. 解： （ 1 ） 由题意知， a=2 ， b=1 ， c 2 =a 2 -b 2 =3 ， ∴c= 3 姨 ， △ABF 2 的周长为 |BF 1 |+|BF 2 |+|AF 1 |+|AF 2 |=4a=8. …… 3 分 （ 2 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 当直线 AB 的斜率不存在时， 直线方程为 x=1 ， 代入 x 2 4 +y 2 =1 中， 得 y=± 3 姨 2 ， |P 1& A ||P 1& B |= 3 姨 2 × - 3 姨 2 = 3 4 ， 当直线 AB 的斜率为 0 时， |P 1& A |=3 ， |P 1& B |=1 ， ∴|P 1& A ||P 1& B |=3. …… 5 分 当直线 AB 的斜率不为 0 时， 设直线 AB ： x=my+1 ， 由 x=my+1 ， x 2 4 +y 2 =1 1 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 得 （ m 2 +4 ） y 2 +2my-3=0 ， ∴y 1 +y 2 =- 2m m 2 +4 ， y 1 y 2 =- 3 m 2 +4 ， …… 7 分 又P 1# A = （ x 1 -1 ， y 1 ）， P 1# B = （ x 2 -1 ， y 2 ）， ∴|PA||PB|= m 2 +1 姨 · |y 1 | · m 2 +1 姨 · |y 2 |= （ m 2 +1 ）· 3 m 2 +4 =3 1- 3 m 2 +4 4 , ∈ 3 4 ， , 3 3 . …… 9 分 综上， |PA||PB| 的取值范围是 3 4 ， 3 ， 3 . …… 10 分 （ 3 ） 假设存在满足条件的点 B 的坐标满足题意， 由 x 2 4 +y 2 =1 ， y 2 = 3 4 x 1 ) ) ) ) ) ) x ) ) ) ) ) ) * ， 得 x 2 +3x-4=0 ， ∴x=-4 或 x=1 ， ∵A 在第一象限， ∴A 1 ， 3 姨 2 4 , ， …… 11 分 由 AB 的中点 M 在抛物线 C 2 上， 故设 AB 的中点 M 4 3 y 2 0 ， y 0 4 , ， 则利用中点公式得， B 8y 2 0 3 -1 ， 2y 0 - 3 姨 2 4 , 且在 x 2 4 +y 2 =1 上， …… 13 分 ∴ 8y 2 0 3 - 4 , 1 2 +4 2y 0 - 3 姨 2 4 , 2 -4=0 ， ∴8y 4 0 +12y 2 0 -9 3 姨 y 0 =0 ， 即 y 0 （ 2y 0 - 3 姨 ）（ 4y 2 0 +2 3 姨 y 0 +9 ） =0 ， …… 15 分 ∴y 0 =0 或 y 0 = 3 姨 2 （舍去）， 故 AB 的中点为 （ 0 ， 0 ）， ∴ 存在点 B -1 ， - 3 姨 2 4 , . …… 17 分 19. （ 1 ） 解： y=f （ x ）的定义域为 （ 0 ， +∞ ）， 又已知 a>0 ， f ′ （ x ） =1- 1 ax = a x- 1 a 4 , ax ， …… 1 分 ∴x∈ 0 ， 1 a 4 , 时， f ′ （ x ） <0 ， f （ x ）单调递减； x∈ 1 a ， + 4 , ∞ 时， f ′ （ x ） >0 ， f （ x ）单调递增， ∴ f （ x ）的单调增区间是 1 a ， + 4 , ∞ ， 单调减区间是 0 ， 1 a 4 , . …… 3 分 （ 2 ） 解： 由题意， 得 g （ x ） =e ax -x>0 ， 即 e ax >x ， 若 x≤0 ， 不等式恒成立， …… 4 分 若 x>0 ， 即 a> lnx x ， …… 5 分 令 h （ x ） = lnx x （ x>0 ）， 则 h′ （ x ） = 1-lnx x 2 ， 当 x∈ （ 0 ， e ） 时， h′ （ x ） >0 ， h （ x ）单调递增； 当 x∈ （ e ， +∞ ） 时， h′ （ x ） <0 ， h （ x ）单调递减 . h （ x ） max = 1 e ， 故 a 的取值范围为 1 e ， + 4 , ∞ . …… 7 分 （ 3 ） 证明： 曲线 y=f （ x ）与 x 轴有两个不同的交点， 即函数 y=f （ x ）有两个不同的零点 x 1 ， x 2 ， 不妨令 0<x 1 <x 2 ， 由 （ 2 ） 知， a 的取值范围为 0 ， 1 e 4 , ， 且由 e ax 1 =x 1 ， 得 x 1 = 1 a lnx 1 ， 同理得曲线 y=f （ x ）与曲线 y=g （ x ）共有两个不同的交点 （ x 1 ， 0 ）， （ x 2 ， 0 ） . …… 10 分 参考答案第 19 页 （共 28 页） 参考答案第 20 页 （共 28 页） 46 下面证明这两条曲线还有一个交点 . 令 H （ x ） =e ax -2x+ 1 a lnx ， H′ （ x ） =ae ax + 1 ax -2= a · axe ax ax - 2ax-1 ax ， 令 t=ax ， m （ t ） =ate t -2t+1 ， t>0 ， ∴ 令 m′ （ t ） =a （ 1+t ） e t -2=0 ， 得 e t = 2 a （ 1+t ） < 2 a ， 故存在 1<t 0 <ln 2 a ， 使得 y=m （ t ） 在 （ 0 ， t 0 ） 上单调递减， 在 （ t 0 ， +∞ ） 上单调递增， m （ 0 ） =1>0 ， m （ 1 ） =ae-1<0 ， m ln 2 a a " =1>0 ， 故 m （ t ） =ate t -2t+1 有两个零点 t 1 ， t 2 ， 0<t 1 <1<t 2 <ln 2 a . …… 13 分 令 t 1 =ax 3 ， t 2 =ax 4 ， 即 y=H （ x ）有且只有两个极值点 x 3 ， x 4 ， ∴y=H （ x ）在 （ 0 ， x 3 ） 上单调递增， 在 （ x 3 ， x 4 ） 上单调递减， 在 （ x 4 ， +∞ ） 上单调递增 . …… 14 分 又 H′ （ x 1 ） =ax 1 + 1 ax 1 -2≥0 ， 若 H （ x 1 ） =0. 则 ax 1 =1 ， 由 e ax 1 =x 1 得 x 1 =e ， a= 1 e 与题设矛盾， ∴H′ （ x 1 ） >0 ， 同理 H′ （ x 2 ） >0 ， x １ ， x ２ 不可能在同一单调区间， 0<x 1 <x 3 ， x 4 <x 2 ， …… 16 分 故有 0=H （ x 1 ） <H （ x 3 ）， H （ x 4 ） <H （ x 2 ） =0. ∴ 在 （ x 3 ， x 4 ） 间存在唯一的 x 0 使得 H （ x 0 ） =0 ， 即两条曲线还有一个交点 x 0 ， 故曲线 y=f （ x ）与曲线 y=g （ x ）共有三个不同的交点 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （六） 一、 选择题 1. B 2. B 3. C 4. B 5. D 6. B 7. A 8. D 二、 选择题 9. ABC 10. ACD 11. AD 三、 填空题 12. 埚x>0 ， x 2 -x+1≤0 13. 二 14. 2 姨 6 8 6 姨 π 729 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） 易得 AD 垂直平分 BC ， CD=BD=1 ， 则 CE=EB= 1 cos兹 ， ED=tan兹 ， AE= 3 姨 -tan兹 ， …… 2 分 于是 f （ 兹 ） = 1 cos兹 + 1 cos兹 + 3 姨 -tan兹= 2-sin兹 cos兹 + 3 姨 ， …… 4 分 ∵E 在 CD 之间， ∴0<兹< π 3 ， 故 f （ 兹 ） = 2-sin兹 cos兹 + 3 姨 ， 0<兹< π 3 . …… 6 分 （ 2 ） f ′ （ 兹 ） = -cos 2 兹- （ 2-sin兹 ）（ -sin兹 ） cos 2 兹 ， 0<兹< π 3 ， …… 8 分 令 f ′ （ 兹 ） =0 ， 得 sin兹= 1 2 ， 兹= π 6 ， 故当 0<兹< π 6 ， f ′ （ 兹 ） <0 ， f （ 兹 ）单调递减， 当 π 6 <兹< π 3 ， f ′ （ 兹 ） >0 ， f （ 兹 ）单调递增， …… 10 分 ∴ 当 兹= π 6 时， f （ 兹 ） min =f π 6 a " = 2- 1 2 3 姨 2 + 3 姨 =2 3 姨 . …… 13 分 16. 解： （ 1 ） ∵S n =2 n+1 +t ， ∴S n-1 =2 n +t （ n≥2 ）， ∴a n =S n -S n-1 =2 n （ n≥2 ）， n=1 代入上式得 a 1 =2 ， ∵ {a n } 为等比数列， ∴S 1 =2 2 +t=2 ， ∴t=-2. …… 4 分 （ 2 ） 令 c n = （ b n+1 -b n ） a n ， 数列 {c n } 的前 n 项和为 T n =2n-3n 2 ， 当 n=1 时， c 1 =T 1 =2-3=-1. 当 n≥2 时， c n =T n -T n-1 = （ 2n-3n 2 ） - ［ 2 （ n-1 ） -3 （ n-1 ） 2 ］ =5-6n. 综上所述， c n =5-6n. …… 6 分 又由 a n =2 n ， ∴c n = （ b n+1 -b n ）· 2 n =5-6n ， 则 b n+1 -b n = （ 5-6n ） 1 2 a " n ， …… 8 分 b n -b 1 = （ b n -b n-1 ） + （ b n-1 -b n-2 ） + … + （ b 3 -b 2 ） + （ b 2 -b 1 ） = （ 11-6n ） 1 2 a " n-1 + （ 17-6n ） 1 2 a " n-2 + … + （ -7 ） 1 2 a " 2 + （ -1 ） 1 2 a " 1 （ n≥2 ） . 设 M n =b n -b 1 =- 1 2 +7 1 2 a " 2 + … + （ 6n-17 ） 1 2 a " n-2 + （ 6n-11 ） 1 2 a " n-1 1 ( （ n≥2 ）， 参考答案第 21 页 （共 28 页） 参考答案第 22 页 （共 28 页） 47