2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(4)- 2025年高考数学考前模拟试卷

线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （四） 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选 项是正确的 . 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 已知全集 U={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A∩ （ U B ） ={1 ， 2} ， A∩B={3} ， 则 U A= （ ） A. {4} B. {5} C. {4 ， 5} D. {1 ， 2 ， 3} 2. 已知 i 为虚数单位， a ， b∈R ， 且 1+i a+bi =i ， 则 |a+bi|= （ ） A. 2 B. 2 姨 C. 1 D. 0 3. 已知命题 p ： 坌x∈R ， e x ≥x+1 ， 则 劭p 以及 劭p 的真假为 （ ） A. 坌x∈R ， e x <x+1 真命题 B. 坌x∈R ， e x <x+1 假命题 C. 埚x∈R ， e x <x+1 真命题 D. 埚x∈R ， e x <x+1 假命题 4. 如图所示， 记 O '( A · O '( B =x ， O '( A · O '( C =y ， O '( A ·O '( D =z ， 则 x ， y ， z 的大小关 系为 （ ） A. x>y=z B. x>y>z C. x>z>y D. y>x>z 5. 抛物线 y= 1 4 x 2 的焦点到其准线的距离为 （ ） A. 1 8 B. 1 2 C. 2 D. 1 6. 已知等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n =2-q n+1 （ n∈N * ）， 则 q= （ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7. 已知角 A 为 △ABC 的一个内角， 且 sinA+cosA= 2 姨 3 ， 则 cos2A= （ ） 数学 （四） 第 1 页 （共 7 页） 数学 （四） 第 2 页 （共 7 页） A. 4 2 姨 9 B. - 4 2 姨 9 C. ± 4 2 姨 9 D. - 7 9 8. 已知 x=0 是函数 f （ x ） =e x （ x 3 +ax 2 ） 的极小值点， 则实数 a 的取值范围为 （ ） A. R B. {a|a≠0} C. {a|a>0} D. {a|a<0} 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 已知空间中不重合的两直线 l ， m ， 以及不重合的两平面 α ， β ， 下列命题正确的是 （ ） A. l∥m ， m奂α圯l∥α B. l∩m=P ， l奂α ， m奂α ， l∥β ， m∥β圯α∥β C. α⊥β ， l奂α ， m奂β ， l⊥m圯l⊥β 或 m⊥α D. α∥β ， l奂α ， m奂β圯 直线 l ， m 之间距离等于平面 α ， β 之间的距离 10. 下列关于函数对称问题的描述， 正确的是 （ ） A. 函数 f （ x ） = 1 a x +1 （ a>0 且 a≠1 ） 的图象关于点 0 ， 1 2 2 0 对称 B. 函数 f （ x ） =ln （ x 2 +1 姨 +x ） 的图象关于点 （ 0 ， 0 ） 对称 C. 函数 y=f （ 1+x ） 的图象与函数 y=f （ 1-x ） 的图象关于直线 x=1 对称 D. 函数 y=e x+1 的图象与函数 y=1-ln （ -x ） 的图象关于直线 y=-x 对称 11. 已知双曲线 C ： x 2 -y 2 =2 ， F 1 ， F 2 为 C 的左、 右焦点， A 1 ， A 2 为 C 的左、 右顶点， P 为 C 上一 动点， 则下列描述正确的是 （ ） A. 当 ∠F 1 PF 2 =60° 时， △F 1 PF 2 的面积为 2 3 姨 3 B. 已知定点 Q （ 1 ， 1 ）， 点 P 在 C 的右支上， 则 |PQ|+|PF 1 | 的最小值为 3 2 姨 C. 已知点 P 在第一象限， 则 △F 1 PF 2 的内切圆与 x 轴切于点 A 2 D. 已知点 P 在第一象限， 直线 PA 1 ， PA 2 的斜率分别记为 k 1 ， k 2 ， 则 2k 1 +k 2 的取值范围为 ［ 2 2 姨 ， +∞ ） 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 二项展开式 （ x-1 ） 2 025 中 x 奇次项的系数和为 . 13. 正三棱锥 P鄄ABC 的三条侧棱两两垂直， 且其外接球表面积为 3π ， 则三棱锥 P鄄ABC 的体积 为 . 14. 已知关于 x 的方程 sinx （ sinx+cosx ） =k 在 x∈ 0 ， π 2 2 3 上有两个不等实根， 则实数 k 的取值范围 为 . （满分 150 分， 考试时间 120 分钟） 第 4 题图 A B C D O 19 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 四、 解答题： 本大题共 5 小题， 共 77 分 . 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 已知圆 F 1 ： （ x+1 ） 2 +y 2 =25 ， 圆 F 2 ： （ x-1 ） 2 +y 2 =1. 动圆 P 与圆 F 1 内切， 与圆 F 2 外切 . （ 1 ） 求点 P 的轨迹方程 . （ 2 ） 若 |PF 1 |= 10 3 ， 求点 P 的坐标 . 16. （ 15 分） 在 △ABC 中， AB=2 ， AC=1 ， 点 D 为 BC 的中点， 且 AD= 3 姨 2 . （ 1 ） 求 △ABC 的面积 . （ 2 ） 求 ∠BAC 的平分线 AE 的长 （点 E 在边 BC 上） . 数学 （四） 第 3 页 （共 7 页） 数学 （四） 第 4 页 （共 7 页） 第 15 题图 x y F 1 F 2 O P 20 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 17. （ 15 分） 在某地区进行流行病学调查， 随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄， 得到如下 样本数据的频率分布直方图： （ 1 ） 估计该地区这种疾病患者的平均年龄 . （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （ 2 ） 估计该地区这种疾病患者的年龄的中位数 . （结果保留整数） （ 3 ） 已知该地区这种疾病的患病率为 0.1% ， 该地区年龄位于区间 ［ 50 ， 60 ） 的人口占该地 区总人口的 15%. 从该地区中任选一人， 若此人的年龄位于区间 ［ 50 ， 60 ）， 求此人患 这种疾病的概率 ． （以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该 区间的概率） 18. （ 17 分） 如图， 已知四棱锥 P鄄ABCD 底面为菱形， 点 E 为棱 PB 的中点， 点 F 为棱 PC 上的 动点 . （ 1 ） 若 PF=2FC ， 求证： AE∥ 平面 BDF. （ 2 ） 若 ∠BAD=60° ， PD=AD ， PD⊥ 平面 ABCD ， 且 AE 与平面 BDF 所成角的正弦值为 21 姨 14 ， 求 PF FC 的值 . 数学 （四） 第 5 页 （共 7 页） 数学 （四） 第 6 页 （共 7 页） A B C D E F P 第 18 题图 第 17 题图 年龄 / 岁 频率 组距 0.023 0.020 0.017 0.012 0.006 0.002 0.001 9080706050403020100 21 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. （ 17 分） 已知函数 f （ x ） =x 3 +3x 2 +2x ， 其图象记为曲线 C. （ 1 ） 曲线 C 与其在点 P （ t ， f （ t ）） 处的切线交于另一点 Q （ s ， f （ s ））， 用 t 表示 s ， 并写出 t 的 取值范围 . （ 2 ） 若 a 1 =0 ， 曲线 C 与其在点 P 1 （ a 1 ， f （ a 1 ）） 处的切线交于另一点 P 2 （ a 2 ， f （ a 2 ））， 曲线 C 与 其在点 P 2 （ a 2 ， f （ a 2 ）） 处的切线交于另一点 P 3 （ a 3 ， f （ a 3 ））， …， 依此类推， 曲线 C 与其 在点 P n-1 （ a n-1 ， f （ a n-1 ）） 处的切线交于另一点 P n （ a n ， f （ a n ）） （ n∈N * ）， 求数列 {a n } 的通 项公式 . （ 3 ） 记 b n =log 2 |a n +1| ， c n =a n · b n ， 求数列 {c n } 的前 n 项和 S n . 数学 （四） 第 7 页 （共 7 页） 22 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （四） 姓 名： 准考证号 贴条形码区 （正面朝上， 切勿贴出虚线方框） ← 此方框为缺考考生标记， 由监考员用 2B 铅笔填涂 注 意 事 项 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 正 确 填 涂 示 例 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D ４. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 三、 填空题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 12. 13. 14. 四、 解答题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 二、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D x y F 1 F 2 O P 23 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 18. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 A B C D E F P 24 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （四） 一、 选择题 1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. D 7. B 8. C 二、 选择题 9. BC 10. ABD 11. BCD 三、 填空题 12. 2 2 024 13. 1 6 14. 1 ， 1+ 2 姨 2 2# 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） 设动圆 P 的半径为 r ， 则 |PF 1 |=5-r ， |PF 2 |=r+1 ， ∴|PF 1 |+|PF 2 |=6 ， …… 4 分 ∴ 由椭圆定义可得点 P 的轨迹是以 F 1 ， F 2 为焦点， 长轴长为 6 的椭圆， 其方程为 x 2 9 + y 2 8 =1. …… 8 分 （ 2 ） 设 P （ x ， y ） （ -3≤x≤3 ）， 则 |PF 1 |= （ x+1 ） 2 +y 2 姨 = （ x+1 ） 2 +8- 8x 2 9 姨 = x 2 9 +2x+9 姨 = x 3 +3= 10 3 ， 解得 x=1 ， y=± 8 3 ， ∴ 点 P 的坐标为 1 ， 8 3 3 2 ， 1 ， - 8 3 3 2 . …… 13 分 16. 解： （ 1 ） 延长 AD 至 M ， 使得 DM=AD ， 连接 MB ， MC ， ∴ 四边形 ABMC 为平行四边形， ∴AM= 3 姨 ， BM=1 ， ∠AMB=90° ， ∠BAM=30° ， ∴△ABC 的面积为 1 2 ×2×1× 3 姨 2 = 3 姨 2 . （或者直接用余弦定理、 相量法来解决） …… 7 分 （ 2 ） △ABC 的面积可以表示为 1 2 · 2 · AE · sin60°+ 1 2 · 1 · AE · sin60°= 3 姨 2 ， 解得 AE= 2 3 . …… 15 分 17. 解： （ 1 ） 平均年龄 x= （ 5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75× 0.006+85×0.002 ） ×10=47.9 （岁） . …… 4 分 （ 2 ） 由题意可得中位数位于区间 ［ 40 ， 50 ）， 设中位数为 x ， 则 （ 0.001+0.002+0.012+0.017 ） ×10+ （ x-40 ） × 0.023=0.5 ， …… 7 分 解得 x= 180 23 +40≈48. …… 9 分 （ 3 ） 设 B= “任选一人年龄位于区间 ［ 50 ， 60 ）”， C= “从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得 P （ B ） =15%=0.15 ， P （ C ） =0.1%=0.001 ， P （ B|C ） =0.02×10=0.2 ， …… 10 分 则从该地区中任选一人， 若此人的年龄位于区间 ［ 50 ， 60 ）， 由条件概率公式可得 此人患这种疾病的概率为 P （ C|B ） = P （ BC ） P （ B ） = P （ C ） P （ B|C ） P （ B ） = 0.001×0.2 0.15 = 1 750 ． …… 15 分 18. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 取 PF 的中点 M ， 连接 AM ， 连接 AC 交 BD 于点 O ， 连接 OF ， …… 2 分 由点 E ， M ， O ， F 分别为 PB ， PF ， AC ， CM 的中点， 可得 EM∥BF ， AM∥OF ， …… 4 分 又 AM∩EM=M ， OF∩BF=F ， AM ， EM奂 平面 AME ， OF ， BF奂 平面 BDF ， 可得平面 AME∥ 平面 BDF ， 又 AE奂 平面 AME ， ∴AE∥ 平面 BDF. …… 7 分 （ 2 ） 解： 如图 2 ， 取 AB 的中点 N ， 连接 DN ， 由 ∠BAD=60° ， 底面 ABCD 为菱形， PD⊥ 平面 ABCD ， 可得 DN ， DC ， DP 两两垂直， 分别以D D. N ， D D. C ， D D. P 的正方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 . …… 8 分 不妨设 AD=2 ， 可得 A （ 3 姨 ， -1 ， 0 ）， B （ 3 姨 ， 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 2 ）， E 3 姨 2 ， 1 2 ， 3 2 1 ， 可得A D. E = - 3 姨 2 ， 3 2 ， 3 2 1 ， D D. B = （ 3 姨 ， 1 ， 0 ）， 设C D. F =姿C D. P ， 可得D D. F =D D. C +姿C D. P = （ 0 ， 2-2姿 ， 2姿 ）， …… 9 分 设平面 DBF 的一个法向量 n= （ x ， y ， z ）， 则有 n ·D D. B =0 ， n ·D D. F =0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 ， 可得 3 姨 x+y=0 ， （ 2-2姿 ） y+2姿z=0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 . 当 姿=0 时， 可取 n= （ 0 ， 0 ， 1 ）， cos 〈 n ， A D. E 〉= 1 2 ， 不符合题意； …… 11 分 当 姿≠0 时， 可取 n= - 3 姨 ， 3 ， 3 （ 姿-1 ） 姿 3 2 ， 设 姿-1 姿 =t ， 则 |cos 〈 n ， A D. E 〉|= |3t+6| 2 12+9t 2 姨 = 21 姨 14 ， 解得 t=-1 或 t=-6 ， 解得 姿= 1 2 或 姿= 1 7 ， ∴ PF FC =1 或 PF FC =6. …… 17 分 19. 解： （ 1 ） 曲线 C 在点 P （ t ， f （ t ）） 处的切线方程为 y= （ 3t 2 +6t+2 ）（ x-t ） +t 3 +3t 2 +2t ， 其与 f （ x ） =x 3 +3x 2 +2x 联立可得， x 3 +3x 2 - （ 3t 2 +6t ） x+2t 3 +3t 2 =0 ， …… 2 分 因式分解得 （ x-t ） 2 （ x+2t+3 ） =0 ， ∴s=-2t-3≠t ， ∴t 的取值范围为 {t|t≠-1}. …… 5 分 （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 a n =-2a n-1 -3 （ n>1 ）， ∴a n +1=-2 （ a n-1 +1 ） （ n≥2 ）， 参考答案第 15 页 （共 28 页） 参考答案第 16 页 （共 28 页） A B C D E F P M O 图 1 A B C D E F P N x y z 图 2 第 18 题答图 44 又 a 1 =0 ， ∴a n +1= （ -2 ） n-1 ， ∴ 数列 {a n } 的通项公式为 a n = （ -2 ） n-1 -1. …… 9 分 （ 3 ） 记 b n =log 2 |a n +1|=n-1 ， ∴c n =a n · b n = （ n-1 ）（ -2 ） n-1 - （ n-1 ）， …… 10 分 记数列 d n = （ n-1 ）（ -2 ） n-1 的前 n 项和为 T n ， 则 T n =0× （ -2 ） 0 +1× （ -2 ） 1 + … + （ n-2 ） × （ -2 ） n-2 + （ n-1 ） × （ -2 ） n-1 ， 则 -2T n =0× （ -2 ） 1 +1× （ -2 ） 2 + … + （ n-2 ） × （ -2 ） n-1 + （ n-1 ） × （ -2 ） n ， …… 12 分 ∴3T n = （ -2 ） 1 + … + （ -2 ） n-1 - （ n-1 ） × （ -２ ） n =- 2 3 + （ -2 ） n × 2-3n 3 ， ∴T n =- 2 9 + （ -2 ） n × 2-3n 9 ， ∴ 数列 {c n } 的前 n 项和 S n =- n （ n-1 ） 2 - 2 9 + （ -2 ） n × 2-3n 9 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （五） 一、 选择题 1. A 2. C 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、 选择题 9. BC 10. ABD 11. BCD 三、 填空题 12. 2 13. -2 14. 1 3 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） ∵acosB＋bcosA＝2ccosC ， ∴ 由正弦定理， 得 sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC ， 即 sin （ A＋B ） ＝2sinCcosC ， ∵A＋B＝π-C ， ∴sin （ A＋B ） ＝sinC＝2sinCcosC ， …… 3 分 ∵0<C<π ， 故 sinC≠0 ， ∴cosC＝ 1 2 ， ∴C= π 3 . …… 6 分 （ 2 ） 由 （ 1 ）， 知 C＝ π 3 ， A= 2π 3 -B ， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<B< π 2 且 0< 2π 3 -B< π 2 ， ∴ π 6 <B< π 2 ， …… 8 分 由正弦定理， 得 a b = sinA sinB = sin 2π 3 - - $ B sinB = 3 姨 2 cosB+ 1 2 sinB sinB = 3 姨 2tanB + 1 2 ， …… 11 分 ∵ π 6 <B< π 2 ， ∴tanB> 3 姨 3 ， ∴ a b ∈ 1 2 ， - ， 2 . …… 13 分 16. 解： （ 1 ） 由给定的 2×2 列联表， 得 字 2 = 100× （ 40×30-20×10 ） 2 50×50×60×40 = 100 6 =16.667>3.841. …… 2 分 有 95% 的把握认为 M 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关 . …… 4 分 （ 2 ） 设 A i 表示周 i 在 A 平台买菜， B i 表示周 i 在 B 平台买菜， 则 P （ A 1 ） =P （ B 1 ） = 1 2 ， P （ B 2 |A 1 ） = 1 5 ， P （ B 2 |B 1 ） = 2 3 ， …… 7 分 由全概率公式， 小张周二选择 B 平台买菜的概率为 P （ B 2 ） = 1 2 × 1 5 + 1 2 × 2 3 = 13 30 . …… 9 分 （ 3 ） 依题意知， 喜欢网上买菜的概率为 60 100 = 3 5 . …… 10 分 从 M 社区随机抽取 20 名市民， 其中喜欢网上买菜的市民人数 X 服从二项分布： X~B 20 ， 3 5 - ， ， …… 13 分 ∴E （ X ） =20× 3 5 =12 ， D （ X ） =20× 3 5 × 1- 3 5 - ， = 24 5 . …… 15 分 17． （ 1 ） 证明： 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ∥CC 1 ， AA 1 埭 平面 BCC 1 B 1 ， CC 1 奂 平面 BCC 1 B 1 ， ∴AA 1 ∥ 平面 BCC 1 B 1 ， …… 3 分 又过 A 1 A 的平面 AA 1 EF∩ 平面 BCC 1 B 1 ＝EF ， ∴AA 1 ∥EF. …… 6 分 （ 2 ） 解： 在平面 AA 1 C 1 C 内过点 A 作 AP⊥AC ， ∵ 平面 ABC⊥ 平面 AA 1 C 1 C ， 平面 ABC∩ 平面 AA 1 C 1 C＝AC ， ∴AP⊥ 平面 ABC ， …… 8 分 又 AB⊥AC ， 则可构建以 A 为原点， AB ， AC ， AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的空间直角坐标系， 又 AA 1 ＝AB＝AC＝2 ， ∠A 1 AC＝60° ， 且 BF＝2FC ， ∴A （ 0 ， 0 ， 0 ）， A 1 （ 0 ， 1 ， 3 姨 ）， C 1 （ 0 ， 3 ， 3 姨 ）， F 2 3 ， 4 3 ， ， ， 0 ， 则A 1 C 1 10 = （ 0 ， 2 ， 0 ）， AC 1 10 = （ 0 ， 3 ， 3 姨 ）， A 10 F = 2 3 ， 4 3 ， ， ， 0 ， …… 10 分 设 m＝ （ x ， y ， z ） 为平面 AFC 1 的法向量， 则 m ·AC 1 10 =3y+ 3 姨 z=0 ， m ·A 10 F = 2 3 x+ 4 3 y=0 0 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 ， 参考答案第 17 页 （共 28 页） 参考答案第 18 页 （共 28 页） z A B C E F A 1 C 1 B 1 P y x 第 17 题答图 45