2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(3)- 2025年高考数学考前模拟试卷

线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选 项是正确的 . 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 设集合 A={x|x 2 -4≤0} ， B={x|2x+a≤0} ， 且 A∩B={x|-2≤x≤1} ， 则 a= （ ） A． -4 B． -2 C． 2 D． 4 2． 已知 x>0 ， y>0 ， 且 2x+y=1 ， 则 y 2 +x xy 的最小值为 （ ） A． 4 B． 4 2 姨 C． 4 2 姨 +1 D． 2 2 姨 +1 3． 6 名研究人员在 3 个不同的无菌研究舱同时进行工作， 每名研究人员必须去一个舱， 且每个 舱至少去 1 人， 由于空间限制， 每个舱至多容纳 3 人， 则不同的安排方案共有 （ ） A． 720 种 B． 450 种 C． 360 种 D． 180 种 4． 已知等比数列 {a n } 的各项都为正数， 且当 n≥2 时， 有 a n-1 a n+1 =e 2n ， 则数列 {lna n } 的前 20 项 和为 （ ） A． 190 B． 210 C． 220 D． 420 5． 按照 “碳达峰” “碳中和” 的实现路径， 2030 年为碳达峰时期， 2060 年实现碳中和， 到 2060 年， 纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过 70% ， 新型动力电池迎来了蓬勃发展的 风口 . 普克特于 1898 年提出蓄电池的容量 C （单位： Ah ）， 放电时间 t （单位： h ） 与放电电 流 I （单位： A ） 之间关系的经验公式： C=I n · t ， 其中 n 为普克特常数， 为了测算某蓄电池的 普克特常数 n ， 在电池容量不变的条件下， 当放电电流 I=20 A 时， 放电时间 t=20 h ； 当放电 电流 I=30 A 时， 放电时间 t=10 h. 则该蓄电池的普克特常数 n 大约为 （ ） （参考数据： lg2≈0.30 ， lg3≈0.48 ） A． 4 3 B． 5 3 C． 8 3 D． 2 6． 已知 α ， β∈ 0 ， π 2 2 ) ， 2 （ sinβ+sin 2 β ） = sin2β tanα ， 则 tan 2α+β+ π 6 2 6 = （ ） A． - 3 姨 B． - 3 姨 3 C． 3 姨 3 D． 3 姨 7． 已知函数 f （ x ） 的定义域为 R ， 且满足 f （ x ） +f （ 3-x ） =4 ， f （ x ） 的导函数为 g （ x ）， 函数 y=g （ x-1 ） 的图象关于点 （ 2 ， 1 ） 中心对称， 则 f 3 2 2 6 +g （ 2 024 ） = （ ） A． 3 B． -3 C． 1 D． -1 数学 （三） 第 1 页 （共 7 页） 数学 （三） 第 2 页 （共 7 页） 8． 函数 f （ x ） =e mx + （ m-1 ） x-lnx （ m∈R ） . 若对任意 x>0 ， 都有 f （ x ） ≥0 ， 则实数 m 的取值范围为 （ ） A． 1 e ， + 6 ∞ , B． 2 e ， + ) ∞ , C． e 2 ， + ) ∞ , D． ［ e ， +∞ ） 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9． 已知 i 为虚数单位， 以下四个说法中正确的是 （ ） A． i+i 2 +i 3 +i 4 =0 B． 3+i>1+i C． 若 z= （ 1+2i ） 2 ， 则 z 的虚部为 4i D． 已知复数 z 满足 |z-1|=|z+1| ， 则 z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 10． 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边依次为 a ， b ， c ， 已知 sinA ∶ sinB ∶ sinC=2 ∶ 3 ∶ 4 ， 则下列 结论中正确的是 （ ） A． （ a+b ） ∶ （ b+c ） ∶ （ c+a ） =5 ∶ 6 ∶ 7 B． △ABC 为钝角三角形 C． 若 △ABC 的外接圆半径为 R ， 内切圆半径为 r ， 则 5R=16r D． 若 a+b+c=18 ， 则 △ABC 的面积是 6 15 姨 11． 已知抛物线 C ： x 2 =4y 的焦点为 F ， A ， B ， P 为抛物线 C 上的点， cos 〈 F F/ A ， F F/ B 〉 =-1 ， 若抛物 线 C 在点 A ， B 处的切线的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， 且两切线交于点 M ， 点 N 为抛物线 C 的准线 与 y 轴的交点， 则以下结论正确的是 （ ） A． 若 |AF|+|BF|=4 ， 则 A F/ F · B F/ F =-1 B． 直线 PN 的倾斜角 α≥ π 4 C． 若 k 1 +k 2 =2 ， 则直线 AB 的方程为 x-y+1=0 D． |MF| 的最小值为 2 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . （ 14 题为双空题， 第一空 2 分， 第二空 3 分） 12． 已知 （ 1+ x 姨 ） n 的展开式中第 9 项、 第 10 项、 第 11 项的二项式系数成等差数列， 则正整 数 n= . 13． 函数 f （ x ） =x （ x-a ） 2 的极小值点为 2 ， 则实数 a 的值为 . 14． 设 A ， B 是半径为 8 的球体 O 表面上两定点， 且 ∠AOB=60° ， 球体 O 表面上动点 P 满足 A F/ C = 3 4 A F/ B ， P F/ A · P F/ C =0 ， 则动点 P 的轨迹为 （在 “直线” “圆” “椭圆” “双曲线” “抛物线” 中选择） 则点 P 的轨迹长度为 . 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （三） （满分 150 分， 考试时间 120 分钟） 13 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15． （ 13 分） 如图， 直线 PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC=∠BAD=90° ， F 为线段 PA 的中点， PD= 2 姨 ， AB=AD= 1 2 CD=1 ， 四边形 PDCE 为矩形 . （ 1 ） 求证： AC∥ 平面 DEF. （ 2 ） 求直线 AE 与平面 BCP 所成角的正弦值 . 16． （ 15 分） 网上购物就是通过互联网检索商品信息， 并通过电子订购单发出购物请求， 厂商 通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门， 货到后通过银行转账等方式在线汇款 . 根据 2023 年中国消费者信息研究， 超过 40% 的消费者更加频繁地使用网上购物， 使得网上购物 和送货上门的需求量激增， 越来越多的消费者也通过第三方软件应用、 品牌官方网站和购 物社群等平台进行购物 . 某官方专营店统计了 2024 年 8 月 5 日至 9 日这 5 天到该专营店购 物的人数 y 和时间第 x 天间的数据， 列表如下： （ 1 ） 由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数 y 与时间 x 之间的关系？ 若可用， 估计 8 月 10 日到该专营店购物的人数 . （人数用四舍五入法取整数； 若 |r|>0.75 ， 则线 性相关程度很高， 可用线性回归模型拟合， 计算 r 时精确到 0.01 ） （ 2 ） 运用分层抽样的方法从第 1 天和第 5 天到该专营店购物的人中随机抽取 7 人， 再从这 7 人中任取 3 人进行奖励， 求这 3 人取自不同天的概率 . （ 3 ） 该专营店为了吸引顾客， 推出两种促销方案： 方案一， 购物金额每满 100 元可减 10 元； 方案二， 一次性购物金额超过 800 元可抽奖三次， 每次中奖的概率均为 1 3 ， 且每 次抽奖互不影响， 中奖一次打 9 折， 中奖两次打 8 折， 中奖三次打 6 折 . 某顾客计划在 此专营店一次性购买 1 000 元的商品， 请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪 种方案更优惠 . （参考数据： 4 340 姨 ≈65.88. 附： 相关系数 r= n i=1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） n i=1 移 （ x i -x ） 2 n i=1 移 （ y i -y ） 2 姨 ， 回归直线方程 的斜率： b 赞 = n i=1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） n i=1 移 （ x i -x ） 2 ， a 赞 =y-b 赞 x ） 数学 （三） 第 3 页 （共 7 页） 数学 （三） 第 4 页 （共 7 页） 第 15 题图 A B C D E F P x i 1 2 3 4 5 y i 75 84 93 98 100 14 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 17． （ 15 分） 已知曲线 f （ x ） =m+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y=h （ x ）， 且 f 1 e 2 ! " =0． （ 1 ） 求 h （ x ）的解析式 . （ 2 ） 求函数 g （ x ） = h （ x ） e x 的极值 . （ 3 ） 若 x≥0 时， 不等式 e x -ax 2 -h （ x ） ≥0 恒成立， 求实数 a 的取值范围 ． 18． （ 17 分） 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的离心率为 2 姨 2 ， 以该椭圆上的点和椭圆的左、 右焦点 F 1 ， F 2 为顶点的三角形的周长为 4 （ 2 姨 +1 ） . （ 1 ） 求椭圆 C 的标准方程 . （ 2 ） 设该椭圆 C 与 y 轴的交点为 M ， N （点 M 位于点 N 的上方）， 直线 y=kx+4 与椭圆 C 相 交于不同的两点 A ， B ， 求证： 直线 MB 与直线 NA 的交点 D 在定直线上 . 数学 （三） 第 5 页 （共 7 页） 数学 （三） 第 6 页 （共 7 页） 15 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19． （ 17 分） 高斯是德国著名的数学家， 近代数学奠基者之一， 享有 “数学王子” 的称号， 他 和阿基米德、 牛顿并列为世界三大数学家， 为了纪念他， 人们把函数 y= ［ x ］ （ x∈R ） 称为 高斯函数， 其中 ［ x ］ 表示不超过 x 的最大整数 . 已知 f n （ x ） = （ x+ 3 姨 ） n ， （ n∈N ， n≥1 ） . （ 1 ） 若 f n （ -1 ） =a n + 3 姨 b n ， a n ， b n ∈Z ， 求 a 4 +b 4 的值 . （ 2 ） 若 f n （ 1 ） =c n + 3 姨 d n ， c n ， d n ∈Z ， 求证： c 2 2n -3d 2 2n =4 n . （ 3 ） 设 S= 2 024 k=1 移 2 024 k +2 024k （ -1 ） k · 2 023 3 & ， 求 S 除以 2 023 的余数 . 数学 （三） 第 7 页 （共 7 页） 16 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （三） 姓 名： 准考证号 贴条形码区 （正面朝上， 切勿贴出虚线方框） ← 此方框为缺考考生标记， 由监考员用 2B 铅笔填涂 注 意 事 项 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 正 确 填 涂 示 例 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D ４. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 三、 填空题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 12. 13. 14. 四、 解答题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 二、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D A B C D E F P 17 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 18. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18 令 c n = 9+6n 4 · 2 3 ! " n ， 则 c n+1 -c n = 9+6 （ n+1 ） 4 · 2 3 ! " n+1 - 9+6n 4 · 2 3 ! " n = 1 4 × 2 3 ! " n （ 1-2n ）， ∵n≥1 ， c n+1 -c n <0 ， {c n } 为递减数列， …… 15 分 ∴c n 的最大值为 c 1 = 5 2 ， 则 λ≥ 5 2 . …… 16 分 从而整数 λ 的最小值为 3. …… 17 分 19. （ 1 ） 解： 由椭圆 C ： x 2 a 2 +2 + y 2 a 2 =1 （ a>0 ） 的方程， 得 c 2 = （ a 2 +2 ） -a 2 =2 ， 故 F （ 2 姨 ， 0 ） . ∵ 点 P 在椭圆 C 上， PF⊥x 轴， 且 ｜PF｜=1 ， 点 P 在第一象限， ∴P 的坐标为 （ 2 姨 ， 1 ）， 代入椭圆方程得 2 a 2 +2 + 1 a 2 =1 ， 解得 a 2 =2. 椭圆 C 的方程为 x 2 4 + y 2 2 =1. …… 2 分 设动点 M （ x 0 ， y 0 ）， 则 x 2 0 4 + y 2 0 2 =1 ， ∴y 2 0 =2- x 2 0 2 ， 故 ｜MF｜= （ x 0 - 2 姨 ） 2 +y 2 0姨 = （ x 0 - 2 姨 ） 2 +2- x 2 0 2 姨 = 1 2 （ x 2 0 -4 2 姨 x 0 +8 ） 姨 = 2 姨 2 ｜x 0 -2 2 姨 ｜ ， …… 3 分 又 ｜MN｜=｜x 0 -2 2 姨 ｜ ， ∴ ｜MF｜ ｜MN｜ = 2 姨 2 . …… 5 分 （ 2 ） 解： 不妨设 ∠AFB=γ ， △ABF 的外接圆半径为 R ， 由 ∠FBA=α ， ∠FAB=β ， 则在 △ABF 中， 由正弦定理 ｜AF ｜ sinα = ｜BF ｜ sinβ = ｜AB｜ sinγ =2R ， ∴｜AF ｜=2Rsinα ， ｜BF ｜=2Rsinβ ， ｜AB｜=2Rsinγ. 如图， 过点 A ， B 分别作直线 x=2 2 姨 的垂线， 垂足分别为 D ， E ， 过点 B 作 BG⊥AD 于点 G ， 由 （ 1 ） 的结论可得 ｜AF ｜ ｜AD｜ = 2 姨 2 ， ｜BF ｜ ｜BE｜ = 2 姨 2 ， ∴｜AF ｜-｜BF ｜= 2 姨 2 （ ｜AD｜-｜BE｜ ）， 即 2Rsinα-2Rsinβ= 2 姨 2 ｜AG｜. …… 7 分 又 ∵ 直线 AB 的斜率为 1 ， ∠BAG=45° ， 则在 Rt△BAG 中， ｜AB｜= 2 姨 ｜AG｜ ， 又 ∵｜AB｜=2Rsinγ ， ∴｜AG｜= 2 姨 Rsinγ ， 则 sinα-sinβ= 1 2 sinγ. …… 9 分 ∵sinγ≤1 ， ∴sinα-sinβ= 1 2 sinγ≤ 1 2 ， 当且仅当 γ= π 2 ， 即 FA⊥FB 时等号成立， ∴sinα-sinβ 的最大值为 1 2 . …… 11 分 （ 3 ） 证明： 设直线 AB 的方程为 y=kx+b ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， y 1 =kx 1 +b ， y 2 =kx 2 +b ， 联立直线与椭圆方程 y=kx+b ， x 2 4 + y 2 2 =1 1 + + + + * + + + + , ， 得 （ 1+2k 2 ） x 2 +4kbx+2b 2 -4=0 ， x 1 +x 2 =- 4kb 1+2k 2 ， x 1 · x 2 = 2b 2 -4 1+2k 2 ， Δ=16k 2 b 2 -4 （ 1+2k 2 ）（ 2b 2 -4 ） > 1 + + + + + + + + * + + + + + + + + , 0 …… 13 分 设直线 PA ， PB 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， 则 k 1 +k 2 =0 ， k 1 +k 2 = y 1 -1 x 1 - 2 姨 + y 2 -1 x 2 - 2 姨 =0 ， 则 kx 1 +b-1 x 1 - 2 姨 + kx 2 +b-1 x 2 - 2 姨 = 2kx 1 x 2 + （ b-1- 2 姨 k ）（ x 1 +x 2 ） -2 2 姨 （ b-1 ） x 1 x 2 - 2 姨 （ x 1 +x 2 ） +2 =0 ， 2k · 2b 2 -4 1+2k 2 + （ b-1- 2 姨 k ） -4kb 1+2k 2 -2 2 姨 （ b-1 ） =0 ， 化简得 2k 2 + 2 姨 （ b-2 ） k+ （ 1-b ） =0 ， 则 ［ 2 姨 k- （ 1-b ）］（ 2 姨 k-1 ） =0 ， 得 k= 2 姨 2 （ 1-b ）或 k= 2 姨 2 . …… 15 分 当 k= 2 姨 2 （ 1-b ）时， 直线 AB 的方程为 y= 2 姨 2 （ 1-b ） x+b ， 此时直线 AB 过点 P （ 2 姨 ， 1 ）， 与已知矛盾， ∴k= 2 姨 2 ， 即满足条件的直线 AB 的斜率为定值， 定值为 2 姨 2 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （三） 一、 选择题 1. B 2. D 3. B 4. B 5. B 6. A 7. A 8. A 二、 选择题 9. AD 10. BC 11. BCD 三、 填空题 12. 14 或 23 13. 2 14. 圆 24 3 姨 7 π 四、 解答题 15. （ 1 ） 证明： 设 CP∩DE=G ， 连接 FG ， ∵ 四边形 PDCE 为矩形， 参考答案第 9 页 （共 28 页） 参考答案第 10 页 （共 28 页） x y A B O F P E G D 第 19 题答图 41 ∴G 为 PC 的中点， 又 F 为 PA 的中点， 则 AC∥FG ， 又 FG奂 平面 DEF ， AC埭 平面 DEF ， ∴AC∥ 平面 DEF. …… 5 分 （ 2 ） 解： 以点 D 为坐标原点， D D% A ， D D% C ， D D% P 的正方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则 A （ 1 ， 0 ， 0 ）， B （ 1 ， 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 2 姨 ）， E （ 0 ， 2 ， 2 姨 ）， ∴B DB C = （ -1 ， 1 ， 0 ）， C DB P = （ 0 ， -2 ， 2 姨 ）， A DB E = （ -1 ， 2 ， 2 姨 ） . …… 7 分 设平面 BCP 的法向量为 n= （ x ， y ， z ）， 且 B DB C·n=-x+y=0 ， C DB P·n=-2y+ 2 姨 z=0 0 + + + + * + + + + , ， 令 y=1 ， 解得 x=1 ， z= 2 姨 ， ∴n= （ 1 ， 1 ， 2 姨 ） . …… 9 分 设直线 AE 与平面 BCP 所成角为 θ ， ∴sinθ= ｜A D% E·n｜ ｜A D% E ｜ · ｜n｜ = 3 7 姨 14 . 则直线 AE 与平面 BCP 所成角的正弦值为 3 7 姨 14 . …… 13 分 16. 解： （ 1 ） 由表中的数据可得， x=3 ， y=90 ， 5 i = 1 移 （ x i -x ） 2 =10 ， 5 i = 1 移 （ y i -y ） =434 ， 5 i = 1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） =64 ， 故 r= n i = 1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） n i = 1 移 （ x i -x ） 2 n i = 1 移 （ y i -y ） 2 姨 = 64 4 340 姨 ≈0.97>0.75 ， ∴ 变量 y 与 x 具有很强的线性相关性， 故可以用线性回归模型拟合人数 y 与天数 x 之间的关系， …… 3 分 ∴b 赞 = n i = 1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） n i = 1 移 （ x i -x ） 2 = 64 10 =6.4 ， a 赞 =y-b 赞 x=90-6.4×3=70.8 ， ∴y 赞 =6.4x+70.8. 令 x=6 ， 则有y 赞 =109.2 ， 故 8 月 10 日到该专营店购物的人数为 109 人 . …… 6 分 （ 2 ） ∵75 ∶ 100=3 ∶ 4 ， ∴ 第 1 天和第 5 天取的人数分别为 3 人和 4 人， 3 人取自不同天的种数为 C 1 3 C 2 4 +C 2 3 C 1 4 ， 故概率为 P= C 1 3 C 2 4 +C 2 3 C 1 4 C 3 7 = 6 7 . …… 10 分 （ 3 ） 若选方案一， 则需付款 1 000-100=900 元 . 若选方案二， 设需付款 X 元， 则 X 的可能取值为 600 ， 800 ， 900 ， 1 000 ， 相应的概率为 P （ X=600 ） =C 3 3 1 3 3 0 3 = 1 27 ， P （ X=800 ） =C 2 3 × 1 3 3 3 2 × 2 3 = 6 27 ， P （ X=900 ） =C 1 3 × 1 3 × 2 3 3 3 2 = 12 27 ， P （ X=1 000 ） =C 0 3 × 2 3 3 3 3 = 8 27 ， ∴E （ X ） =600× 1 27 +800× 6 27 +900× 12 27 +1 000× 8 27 = 24 200 27 <900. 故选择方案二更划算 . …… 15 分 17. 解： （ 1 ） f 1 e 2 3 3 =m+ln 1 e 2 =m-2=0 ， ∴m=2 ， ∴f （ x ） =2+lnx ， f （ 1 ） =2+lnx=2 ， f ′ （ x ） = 1 x ， f ′ （ 1 ） =1 ， 切线方程为 y-2=1 （ x-1 ）， 即 y=x+1 ， ∴h （ x ） =x+1. …… 3 分 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 g （ x ） = x+1 e x ， 函数定义域为 R ， ∴g′ （ x ） = -x e x ， 故当 x∈ （ 0 ， +∞ ） 时， g′ （ x ） <0 ， g （ x ） 单调递减， 当 x∈ （ -∞ ， 0 ） 时， g′ （ x ） >0 ， g （ x ） 单调递增， ∴ 函数 g （ x ）在 x=0 处取得极大值， 极大值为 g （ 0 ） =1 ， 无极小值 . …… 6 分 （ 3 ） 令 t （ x ） =e x -ax 2 -x-1 ， t′ （ x ） =e x -2ax-1 ， x≥0 ， e x -1≥0 ， ① 当 a≤0 时， t′ （ x ） ≥0 ， ∴t （ x ）在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增， ∴t （ x ） ≥t （ 0 ） =0 ， 即 a≤0 符合题意 . …… 8 分 ② 当 a>0 时， 设 u （ x ） =t′ （ x ）， u′ （ x ） =e x -2a ， i. 当 0<a≤ 1 2 ， 2a≤1 ， u′ （ x ） ≥0 ， ∴t′ （ x ）在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增， t′ （ x ） ≥t′ （ 0 ） =0 ， ∴t （ x ）在 ［ 0 ， +∞ ） 上单调递增， ∴t （ x ） ≥t （ 0 ） =0 ， ∴ 0<a≤ 1 2 符合题意 . …… 11 分 ii. 当 a> 1 2 时， u′ （ x ） =e x -2a=0 ， x=ln2a>0 ， ∴t′ （ x ） 在 （ ln2a ， +∞ ） 上递增， 在 （ 0 ， ln2a ） 上递减， t′ （ 0 ） =0 ， ∴ 当 x∈ （ 0 ， ln2a ）， t′ （ x ） <0 ， ∴t （ x ）在 ［ 0 ， ln2a ） 上单调递减， t （ 0 ） =0 ， ∴x∈ （ 0 ， ln2a ）， t （ x ） <0 ， 舍去 . …… 14 分 综上所述， a≤ 1 2 . …… 15 分 参考答案第 11 页 （共 28 页） 参考答案第 12 页 （共 28 页） A B C D E F P y z x G 第 15 题答图 42 18. （ 1 ） 解： 由题意知， 2a+2c=4 （ 2 姨 +1 ）， 又 e= c a = 2 姨 2 ， ∴a=2 2 姨 ， b=c=2 ， ∴ 椭圆的标准方程为 x 2 8 + y 2 4 =1. …… 4 分 （ 2 ） 证明： 由 （ 1 ） 得 M （ 0 ， 2 ）， N （ 0 ， -2 ）， 设 A （ x A ， kx A +4 ）， B （ x B ， kx B +4 ）， 则联立方程组 x 2 8 + y 2 4 =1 ， y=kx+4 4 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 化简得 （ 2k 2 +1 ） x 2 +16kx+24=0 ， 由 Δ=32 （ 2k 2 -3 ） >0 ， 解得 k 2 > 3 2 ， …… 8 分 由韦达定理， 得 x A +x B = -16k 2k 2 +1 ， x A · x B = 24 2k 2 +1 ， …… 10 分 直线 MB 的方程 y= kx B +2 x B x+2 ， 直线 NA 的方程 y= kx A +6 x A x-2 ， …… 12 分 联立得 y= 2 （ kx A x B +x A +3x B ） 3x B -x A = 2 24k 2k 2 +1 + -16k 2k 2 +1 +2x B B ' 4x B - -16k 2k 2 +1 = 2 8k 2k 2 +1 +2x B B B 4x B + 16k 2k 2 +1 =1 ， …… 16 分 即 y D =1 ， ∴ 直线 MB 与直线 NA 的交点 D 在定直线 y=1 上 . …… 18 分 19. （ 1 ） 解： ∵f n （ -1 ） =a n + 3 姨 b n ， f n （ x ） = （ x+ 3 姨 ） n ， ∴ 当 n=4 时， f 4 （ -1 ） = （ -1+ 3 姨 ） 4 =a 4 + 3 姨 b 4 ， 而 （ -1+ 3 姨 ） 4 = （ -1+ 3 姨 ） 2 （ -1+ 3 姨 ） 2 = （ 4-2 3 姨 ） 2 =28-16 3 姨 ， ∵a n ， b n ∈Z ， a 4 + 3 姨 b 4 =28-16 3 姨 ， ∴a 4 =28 ， b 4 =-16 ， a 4 +b 4 =28-16=12. …… 3 分 （ 2 ） 证明： ∵f n （ x ） = （ x+ 3 姨 ） n ， f n （ 1 ） =c n + 3 姨 d n ， c n ， d n ∈Z ， 则 c 2 2n -3d 2 2n = （ c 2n - 3 姨 d 2n ）（ c 2n + 3 姨 d 2n ） = （ 1- 3 姨 ） 2n （ 1+ 3 姨 ） 2n = ［（ 1- 3 姨 ）（ 1+ 3 姨 ）］ 2n = （ -2 ） 2n =4 n . 故 c 2 2n -3d 2 2n =4 n . …… 6 分 （ 3 ） 解： a k = 2 024 k +2 024k （ -1 ） k · 2 023 = （ 2 023+1 ） k +2 023k+k （ -1 ） k · 2 023 ， 又 （ 2 023+1 ） k =C 0 k 2 023 k +C 1 k 2 023 k-1 + … +C k-1 k 2 023+C k k 2 023 0 ， 则 （ 2 023+1 ） k 2 023 =C 0 k 2 023 k-1 +C 1 k 2 023 k-2 + … +C k-1 k + 1 2 023 . …… 8 分 又 2 024k 2 023 =k+ k 2 023 ， ∴ 2 024 k +2 024k 2 023 =C 0 k 2 023 k-1 +C 1 k 2 023 k-2 + … +C k-1 k + 1 2 023 +k+ k 2 023 =C 0 k 2 023 k-1 +C 1 k 2 023 k-2 + … +C k-1 k +k+ k+1 2 023 ， …… 10 分 ∴ 当 k=2n （ 1≤n≤1 010 ， n∈Z ）， 2 024 k +2 024k （ -1 ） k · 2 023 3 , = 2 024 2n +2 024 · 2n 2 023 3 , = C 0 2n 2 023 2n-1 +C 1 2n 2 023 2n-2 + … +C 2n-1 2n +2n+ 2n+1 2 023 3 , =C 0 2n 2 023 2n-1 +C 1 2n 2 023 2n-2 + … +C 2n-1 2n +2n ， 其除以 2 023 的余数为 C 2n-1 2n +2n=2n+2n=4n. …… 12 分 当 k=2n （ n=1 011 ， n=1 012 ） 时， 2 024 k +2 024k （ -1 ） k · 2 023 3 , = 2 024 2n +2 024 · 2n 2 023 3 , = C 0 2n 2 023 2n-1 +C 1 2n 2 023 2n-2 + … +C 2n-1 2n +2n+ 2n+1 2 023 3 , =C 0 2n 2 023 2n-1 +C 1 2n 2 023 2n-2 + … +C 2n-1 2n +2n+1 ， 其除以 2 023 的余数为 2 022 和 3. …… 14 分 当 1≤k≤2 024 且 k=2n-1 （ 1≤n≤1 011 ， n∈Z ） 时， 2 024 k +2 024k （ -1 ） k · 2 023 3 , = - 2 024 2n-1 +2 024 （ 2n-1 ） 2 023 3 B3 , = - C 0 2n-1 2 023 2n-2 +C 1 2n-1 2 023 2n-3 + … +C 2n-2 2n-1 +2n-1+ 2n 2 023 3 B3 , =- （ C 0 2n-1 2 023 2n-2 +C 1 2n-1 2 023 2n-3 + … +C 2n-2 2n-1 +2n ）， 其除以 2 023 的余数为 2 023- （ 4n-1 ） =2 024-4n. …… 16 分 当 k=2n-1 ， n=1 012 时， 2 024 k +2 024k （ -1 ） k · 2 023 3 , = - 2 024 2n-1 +2 024 （ 2n-1 ） 2 023 3 B3 , = - C 0 2n-1 2 023 2n-2 +C 1 2n-1 2 023 2n-3 + … +C 2n-2 2n-1 +2n-1+ 2n 2 023 3 B3 , =- （ C 0 2n-1 2 023 2n-2 +C 1 2n-1 2 023 2n-3 + … +C 2n-2 2n-1 +2n+1 ）， 其除以 2 023 的余数为 2 021 ， S 除以 2 023 的余数为 1 011 n=1 移 （ 4n ） +2 022+3+ 1 011 n=1 移 （ 2 024-4n ） +2 021 除以 2 023 的余数， 即 2 024×1 011+2 022+3+2 021=2 024×1 011+4 046 除以 2 023 的余数， 又 2 024×1 011+4 046= （ 2 023+1 ） ×1 011+2 023×2 =2 023×1 011+1 011+2 023×2. 其除以 2 023 的余数为 1 011. …… 18 分 参考答案第 13 页 （共 28 页） 参考答案第 14 页 （共 28 页） 43