2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(2)- 2025年高考数学考前模拟试卷

线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选 项是正确的 . 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 若 （ z+2 ）· i=5+i ， 则 z 的虚部为 （ ） A． -5i B． 5i C． -5 D． 5 2． 已知集合 A={x|-1≤x≤2} ， B={x||x|>1} ， 则图中的阴影部分表示的集合 为 （ ） A． {x|x<-1 或 1<x<2} B． {x|x≤1 或 x>2} C． {x|1≤x<2} D． {x|1<x<2} 3． 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 其中 S 9 =9 ， 又 2 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ， 8 成等比数列， 则 b 2 a 2 +a 8 的值是 （ ） A． 2 B． 2 或 -2 C． 4 D． 4 或 -4 4． 若 2cos （ π-α ） +cos α- π 2 2 # =0 ， 则 sin2α= （ ） A． 3 5 B． 4 5 C． ± 3 5 D． ± 4 5 5． 若 a=log 2 姨 3 姨 ， b= 2 3 3 & 2 3 ， c=sin 2 3 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 （ ） A． a>b>c B． b>a>c C． a>c>b D． b>c>a 6. 已知点 P 为椭圆 C ： x 2 9 + y 2 5 =1 上任意一点， 直线 l 过圆 M ： x 2 +y 2 -4x-5=0 的圆心， 且与圆 M 交于 A ， B 两点， 则 P '( A · P '( B 的取值范围是 （ ） A． ［ -8 ， -4 ］ B． ［ -9 ， 16 ］ C． ［ 1 ， 5 ］ D． ［ -8 ， 16 ］ 7． 若正三棱台有内切球 （与棱台的上、 下底面及侧面均相切的球）， 且侧面与底面所成的角为 π 3 ， 则此棱台与其内切球的体积之比为 （ ） A． 11 4π B． 33 4π C． 33 3 姨 2π D． 13 3 姨 2π 数学 （二） 第 1 页 （共 7 页） 数学 （二） 第 2 页 （共 7 页） 8. 已知函数 f （ x ） 的定义域为 R ， f （ 1 ） =2 ， f （ 2x+1 ） 为偶函数， 且函数 y=2f 1 3 x+ 3 # 1 的图象关于 点 （ 3 ， 1 ） 对称， 则 2 025 k=1 移 f （ k ） = （ ） A． 1 012 B． 1 014 C． 2 024 D． 2 025 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目 要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9． 已知函数 f （ x ） =sin2x ， g （ x ） =cos2x ， 则 （ ） A． 将函数 f （ x ）的图象向左平移 π 2 个单位长度， 可以得到函数 g （ x ）的图象 B． f （ x ）与 g （ x ）的图象在 ［ 0 ， π ］ 上有 2 个公共点 C. f （ x ）与 g （ x ）在 π 4 ， π 2 2 # 上具有相同的单调性 D. 设 h （ x ） =f （ x ） +g （ x ）， 则 h （ x ）在 0 ， π 4 2 4 上的值域为 ［ 1 ， 2 姨 ］ 10. 已知 F 1 ， F 2 分别是双曲线 C ： x 2 -y 2 =1 的左、 右焦点， 点 Q 是圆 M ： （ x- 2 姨 ） 2 + （ y-1 ） 2 = 1 2 上 的动点， 下列说法正确的是 （ ） A. 若双曲线 E 与双曲线 C 具有相同的渐近线， 且双曲线 E 的焦距为 4 ， 则双曲线 E 的方程 为 x 2 -y 2 =2 B. 若 A ， B 为双曲线 C 的左、 右顶点， P 为双曲线 C 上非顶点的任意一点， 则直线 PA ， PB 的斜率之积为 1 C. 直线 y=kx+1 与双曲线 C 有且仅有一个公共点， 则 k=± 2 姨 D． 若 P 是双曲线 C 左支上一动点， 则 |PF 2 |+|PQ| 的最小值是 5- 2 姨 2 11． 在棱长为 2 的正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， G 分别为 BC ， CC 1 ， AA 1 的中点， 则下列选 项正确的是 （ ） A． B 1 E⊥AF B． 过点 E ， F ， G 作正方体的截面， 截面面积为 3 3 姨 C． 三棱锥 G鄄AEF 的体积为 2 3 D． 存在实数 姿 ， μ ， 使得 B '( G ＝姿A '( E +μA '( F 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . （ 14 题为双空题， 第一空 2 分， 第二空 3 分） 12. 从抛物线 y 2 =4x 上各点向 x 轴作垂线， 则垂线段中点的轨迹方程为 . 13. 已知： 指数函数 f （ x ） =a x ， 对数函数 g （ x ） =log b x ， 幂函数 h （ x ） =x c ， 集合 A= - 1 2 ， - 1 3 ， 1 2 ， 1 3 ， 2 ， ， . 3 ， 若实数组 （ a ， b ， c ） 满足： （ a ， b ， c ） ∈A 且互不相等， 则使得函数 f （ x ）， g （ x ）， h （ x ）中 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （二） （满分 150 分， 考试时间 120 分钟） 第 2 题图 A B 7 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 至少有两个函数在 （ 0 ， +∞ ） 上是增函数的概率是 . 14． 某中学研究性学习小组为测量某建筑物的高度， 在和它底部 O 位于同 一水平高度的三点 A ， B ， C 测得建筑物顶端 P 处仰角均为 π 3 ， 且 AB= BC=5 m ， AC=6 m ， 则该建筑物的高度为 m ； 四棱锥 P鄄ABC 外 接球的表面积为 m 2 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 某校举办了高三年级数学竞赛 . 现随机抽取了 100 名学生的成绩， 并分成五组： 第 一组 ［ 45 ， 55 ）， 第二组 ［ 55 ， 65 ）， 第三组 ［ 65 ， 75 ）， 第四组 ［ 75 ， 85 ）， 第五组 ［ 85 ， 95 ］， 绘制成如图所示的频率分布直方图 . 已知第三、 第四、 第五组的频率之和为 0.7 ， 第一组和 第五组的频率相同 . 在第四、 第五两组学生成绩中， 采用分层抽样的方法从中抽取 10 人的 成绩， 然后再从这 10 人的成绩中选出 2 人的成绩 . （ 1 ） 求选出的 2 人的成绩中至少有 1 人的成绩来自第五组的概率 . （ 2 ） 设 X 为选出的 2 人的成绩中来自第四组的份数， 求 X 的分布列及期望 . 16. （ 15 分） 如图， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， 底面 ABCD 为菱形， △PCD 是边长为 2 的正三角形， ∠BCD=60° ， 平面 PCD⊥ 平面 ABCD. 点 E 为 PA 的中点， 点 F 为 PC 上的点， （ 1 ） 求证： PC∥ 平面 BDE. （ 2 ） 求四面体 F鄄BDE 的体积 . （ 3 ） 求平面 BDE 与平面 PCD 夹角的正弦值 . 数学 （二） 第 3 页 （共 7 页） 数学 （二） 第 4 页 （共 7 页） 第 14 题图 A B C P O 第 15 题图 频率 组距 分数 958575655545 0.020 0.045 O b a 第 16 题图 A B D C P 8 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 17． （ 15 分） 已知向量 a= （ x ， 1 ）， b= （ sinx ， msinx+cosx ）， m∈R ， 函数 f （ x ） =a · b. （ 1 ） 求函数 f （ x ）在 x∈ 0 ， π 2 "# 的单调区间 . （ 2 ） 当 m=1 时， 证明： 对于任意的 x 1 ， x 2 ∈ 0 ， π 2 "# ， 且 x 1 ≠x 2 ， 均有 |f （ x 1 ） -f （ x 2 ） |<|e x 1 -e x 2 | 成立 . 18. （ 17 分） 英国物理学家牛顿在 《流数法与无穷级数》 一书中， 给出了高次代数方程的一种 数值解法——牛顿法 . 具体做法如下： 先在 x 轴找初始点 （ x 1 ， 0 ）， 然后作 y=f （ x ） 在点 （ x 1 ， f （ x 1 ）） 处的切线， 切线与 x 轴交于点 （ x 2 ， 0 ）， 再作 y=f （ x ） 在点 （ x 2 ， f （ x 2 ）） 处的切 线， 切线与 x 轴交于点 （ x 3 ， 0 ）， 再作 y=f （ x ） 在点 （ x 3 ， f （ x 3 ）） 处的切线， 以此类推， 直 到求得满足精度的近似解 x n （ n≥2 ） 为止 . 已知 f （ x ） =x 3 2 ， 在横坐标为 x 1 =1 的点 P （ x 1 ， f （ x 1 ）） 处作 f （ x ） 的切线， 切线与 x 轴交点的横 坐标为 x 2 ， 继续牛顿法的操作得到数列 {x n }. （ 1 ） 求数列 {x n } 的通项公式 . （ 2 ） 若数列 {n · x n } 的前 n 项和为 S n ， 且对任意的 n∈N * ， 满足 S n ≥ 9 4 -姿 1 2 2 " n ， 求整数 姿 的 最小值 . 数学 （二） 第 5 页 （共 7 页） 数学 （二） 第 6 页 （共 7 页） 9 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. （ 17 分） 已知点 P 为椭圆 C ： x 2 a 2 +2 + y 2 a 2 =1 （ a>0 ） 上一点， 且点 P 在第一象限， F 为 C 的右 焦点， PF⊥x 轴， 且 |PF|=1 ， 如图， 过点 P 的两条动直线交椭圆于异于 P 的 A ， B 两点 . （ 1 ） 设 M 是 C 的动点， 过点 M 作直线 x=2 2 姨 的垂线 MN ， N 为垂足， 求 |MF| |MN| . （ 2 ） 记 ∠FBA=α ， ∠FAB=β ， 若直线 AB 的斜率为 1 ， 求 sinα-sinβ 的最大值 . （ 3 ） 若直线 PA ， PB 关于直线 PF 对称， 证明： 直线 AB 的斜率为定值， 并求出定值 . 数学 （二） 第 7 页 （共 7 页） 第 19 题图 x y A B O F M N P 10 线 封 弥 学 校 班 级 姓 名 考 号 考 试 科 目 弥 封 线 内 不 准 答 题 2025年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷 数学 （二） 姓 名： 准考证号 贴条形码区 （正面朝上， 切勿贴出虚线方框） ← 此方框为缺考考生标记， 由监考员用 2B 铅笔填涂 注 意 事 项 1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。 正 确 填 涂 示 例 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 1. A B C D 2. A B C D 3. A B C D ４. A B C D 5. A B C D 6. A B C D 7. A B C D 8. A B C D 三、 填空题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 12. 13. 14. 四、 解答题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写） 二、 选择题 （请用 2B 铅笔填涂） 9. A B C D 10. A B C D 11. A B C D A B D C P 11 弥 封 线 弥 封 线 内 不 准 答 题 19. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 18. 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答， 超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 x y A B O F M N P 12 （令 t= x 2 x 1 >1 ， 下面证明 F （ t ） =lnt- 2 （ t-1 ） t+1 >0 在 （ 1 ， +∞ ） 上恒成立） 令 t= x 2 x 1 >1 ， F （ t ） =lnt- 2 （ t-1 ） t+1 ， 则 F′ （ t ） = （ t-1 ） 2 t （ t+1 ） 2 >0 在 （ 1 ， +∞ ） 上恒成立， ∴F （ t ）在 （ 1 ， +∞ ） 上为增函数 . 当 t→1 时， F （ t ） →0 ， ∴F （ t ） >0 ， ∴x 1 +x 2 > 1 a . …… 10 分 （ ⅱ ） ∵x 2 -3x 1 ≥0 ， ∴t= x 2 x 1 ≥3 ， 由 （ ⅰ ） 知 lnx 1 +2=2ax 1 ， lnx 2 +2=2ax 2 2 ， ∴lnx 2 +lnx 1 +4=2a （ x 2 +x 1 ）， …… 12 分 ∴lnx 2 +lnx 1 +4= lnx 2 -lnx 1 x 2 -x 1 （ x 1 +x 2 ）， ∴ln （ x 1 x 2 ） +4= x 2 x 1 +1 x 2 x 1 -1 ln x 2 x 1 . …… 14 分 （令 G （ t ） = t+1 t-1 lnt （ t≥3 ）， 利用导数求 G （ t ）的最小值） 令 G （ t ） = t+1 t-1 lnt （ t≥3 ）， ∴G′ （ t ） = t- 1 t -2lnt （ t-1 ） 2 （ t≥3 ）， 令 h （ t ） =t- 1 t -2lnt （ t≥1 ）， ∴h′ （ t ） = （ t-1 ） 2 t 2 ≥0 且不恒为 0 ， ∴h （ t ）在 ［ 1 ， +∞ ） 上为增函数， h （ t ） ≥h （ 1 ） =0. …… 15 分 当 t≥3 时， h （ t ） ≥h （ 3 ） >h （ 1 ） =0 ， ∴G′ （ t ） = t- 1 t -2lnt （ t-1 ） 2 >0 ， ∴G （ t ）在 ［ 3 ， +∞ ） 上为增函数， ∴G （ t ） ≥G （ 3 ） =2ln3=ln9. ∴ln （ x 1 x 2 ） +4≥ln9 ， ∴ln （ x 1 x 2 ） ≥ln 9 e 4 ， ∴x 1 x 2 ≥ 9 e 4 . ∴x 1 +x 2 >2 x 1 x 2 姨 ≥2 9 e 4 姨 = 6 e 2 ， ∴x 1 +x 2 > 6 e 2 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （二） 一、 选择题 1. C 2. B 3. A 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 二、 选择题 9. BCD 10. BD 11. ABD 三、 填空题 12. y 2 =x 13. 1 2 14. 25 3 姨 8 625π 12 四、 解答题 15. 解： （ 1 ） ∵ 第三、 第四、 第五组的频率之和为 0.7 ， ∴ （ 0.045+0.020+a ） ×10=0.7 ， 解得 a=0.005 ， …… 2 分 ∴ 前两组的频率之和为 1-0.7=0.3 ， 即 （ a+b ） ×10=0.3 ， ∴b=0.025. …… 4 分 第四、 第五两组分别有 20 人的成绩、 5 人的成绩， 采用分层抽样的方法从中抽取 10 人的成绩， 则第四组抽 8 人的成绩， 第五组抽 2 人的成绩， 则从这 10 人中选出 2 人共 C 2 10 =45 种结果， 解法一： 2 人的成绩都来自第四组有 C 2 8 =28 种结果， ∴ 选出的 2 人的成绩中至少有 1 人的成绩来自第五组的概率 P=1- C 2 8 C 2 10 = 17 45 . …… 6 分 解法二： 选出的 2 人的成绩中至少有 1 人的成绩来自第五组的概率 P= C 1 8 C 1 2 +C 2 2 C 2 10 = 17 45 . （ 2 ） 随机变量 X 的取值范围是 {0 ， 1 ， 2} ， …… 7 分 P （ X=0 ） = C 0 8 C 2 2 C 2 10 = 1 45 ， …… 8 分 P （ X=1 ） = C 1 8 C 1 2 C 2 10 = 16 45 ， …… 9 分 P （ X=2 ） = C 2 8 C 0 2 C 2 10 = 28 45 . …… 10 分 X 的分布列为 …… 11 分 E （ X ） =0× 1 45 +1× 16 45 +2× 28 45 = 8 5 . …… 13 分 16. （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 连接 AC ， AC∩BD=M ， 则 M 为 AC 的中点， 由 E 为 PA 的中点知 PC∥EM ， …… 3 分 又 ∵EM奂 平面 BDE ， PC埭 平面 BDE ， ∴PC∥ 平面 BDE. …… 5 分 （ 2 ） 解： 如图 2 ， 取 CD 的中点 O ， 连接 PO ， 由 △PCD 是边长为 2 的正三角形， 知 PO⊥CD ， 又 ∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD ， ∴PO⊥ 平面 ABCD ， 且 PO= 3 姨 ， …… 7 分 连接 OA ， 取 OA 的中点 H ， 连接 EH ， 则 EH∥PO ， EH⊥ 平面 ABCD ， 且 EH= 1 2 PO= 3 姨 2 . 由 （ 1 ） 知 PC∥ 平面 BDE ， 则 V F鄄BDE =V C鄄BDE ， V C鄄BDE =V E鄄BDC = 1 3 S △BDC · EH= 1 3 × 1 2 ×2×2×sin60°× 3 姨 2 = 1 2 ， 参考答案第 5 页 （共 28 页） 参考答案第 6 页 （共 28 页） X 0 1 2 P 1 45 16 45 28 45 A B D C P E M 图 1 图 2 A B D C P E O H F 39 ∴ 四面体 F鄄BDE 的体积为 1 2 . …… 10 分 （ 3 ） 解： 如图 3 ， 连接 OB ， 在菱形 ABCD 中， ∠BCD=60° ， 则 △BCD 为等边三角形， ∴OB⊥CD ， 由 （ 2 ） 知 OP⊥ 平面 ABCD ， 以点 O 为原点， 分别以O O% C ， O O% B ， O O% P 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立 空间直角坐标系 . ∵OB=OP= 3 姨 ， 则 A （ -2 ， 3 姨 ， 0 ）， B （ 0 ， 3 姨 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 3 姨 ）， D （ -1 ， 0 ， 0 ）， E -1 ， 3 姨 2 ， 3 姨 2 2 ( ， B O% D = （ -1 ， - 3 姨 ， 0 ）， D O% E = 0 ， 3 姨 2 ， 3 姨 2 2 2 ， 平面 PCD 的法向量为 m= （ 0 ， 1 ， 0 ） . …… 11 分 设平面 BDE 的法向量 n= （ x ， y ， z ）， 则有 n ·B O% D =-x- 3 姨 y=0 ， n ·D O% E = 3 姨 2 y+ 3 姨 2 z=0 0 , , , , , + , , , , , - . 令 x=- 3 姨 ， 则 y=1 ， z=-1 ， ∴n= （ - 3 姨 ， 1 ， -1 ） . …… 13 分 cos 〈 m ， n 〉 = m · n ｜m｜｜n｜ = 1 5 姨 = 5 姨 5 . …… 14 分 设平面 BDE 与平面 PCD 夹角为 θ ， 则 sinθ= 1-cos 2 〈 m ， n 〉 姨 = 2 5 姨 5 ， 平面 BDE 与平面 PCD 夹角的正弦值为 2 5 姨 5 . …… 15 分 17. （ 1 ） 解： f （ x ） =a · b=xsinx+msinx+cosx ， f ′ （ x ） = （ x+m ） cosx. ① 当 m≥0 时， f ′ （ x ） ≥0 ， f （ x ）在 0 ， π 2 22 上单调递增 . …… 2 分 ② 当 - π 2 <m<0 时， x∈ （ 0 ， -m ） 时， f ′ （ x ） <0 ， x∈ -m ， π 2 2 2 时， f ′ （ x ） >0 ， ∴f （ x ）在 （ 0 ， -m ） 上单调递减， 在 -m ， π 2 2 2 上单调递增 . …… 4 分 ③ 当 m≤- π 2 时， f ′ （ x ） <0 ， f （ x ）在 0 ， π 2 22 上单调递减 . …… 5 分 综上所述， 当 m≥0 时， f （ x ）的单调递增区间为 0 ， π 2 22 ， 无减区间； 当 - π 2 <m<0 时， f （ x ）的单调递减区间为 （ 0 ， -m ）， 单调递增区间为 -m ， π 2 2 2 ； m≤- π 2 时， f （ x ）的单调递减区间为 0 ， π 2 22 ， 无增区间 . …… 6 分 （ 2 ） 证明： 由 （ 1 ） 知当 m=1 时， f （ x ）在 0 ， π 2 22 上单调递增， 不妨设 0≤x 1 <x 2 < π 2 ， 则 f （ x 1 ） <f （ x 2 ）， e x 1 <e x 2 ， 不等式 ｜f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ｜<｜e x 1 -e x 2 ｜圳f （ x 1 ） -f （ x 2 ） >e x 1 -e x 2 圳f （ x 1 ） -e x 1 >f （ x 2 ） -e x 2 ， 要证 ｜f （ x 1 ） -f （ x 2 ） ｜<｜e x 1 -e x 2 ｜ ， 只需证 f （ x 1 ） -e x 1 >f （ x 2 ） -e x 2 . …… 8 分 设 g （ x ） =f （ x ） -e x ， …… 10 分 g′ （ x ） = （ x+1 ） cosx-e x =e x （ x+1 ） cosx e x - 2 2 1 ， …… 12 分 设 h （ x ） = （ x+1 ） cosx e x -1 ， 则 h′ （ x ） = -xcosx- （ x+1 ） sinx e x ， ∵x∈ 0 ， π 2 22 ， ∴h′ （ x ） ≤0 ， h （ x ） 在 0 ， π 2 22 上为减函数， 再由 h （ 0 ） =0 ， 得 h （ x ） ≤0 ， 即 g′ （ x ） ≤0 ， ∴g （ x ）为减函数 . …… 14 分 ∵0≤x 1 <x 2 < π 2 ， ∴g （ x 1 ） >g （ x 2 ）， 即 f （ x 1 ） -e x 1 >f （ x 2 ） -e x 2 ， 得证 . …… 15 分 18. 解： （ 1 ） 函数 f （ x ） =x 3 2 ， 求导得 f ′ （ x ） = 3 2 x 1 2 ， 则 f （ x ）图象在点 x n ， x n 3 2 2 2 处的切线方程为 y-x n 3 2 = 3 2 x n 1 2 （ x-x n ） . …… 3 分 令 y=0 ， 得 x n+1 = 1 3 x n ， 而 x 1 =1 ， 因此 {x n } 是首项为 1 、 公比为 1 3 的等比数列， …… 5 分 ∴x n = 1 3 2 2 n-1 . …… 7 分 （ 2 ） 令 b n =n · x n =n · 1 3 2 2 n-1 ， …… 8 分 S n =1 · 1 3 2 2 0 +2 · 1 3 2 2 1 +3 · 1 3 2 2 2 + … +n · 1 3 2 2 n-1 ， 于是 1 3 S n =1 · 1 3 2 2 1 +2 · 1 3 2 2 2 +3 · 1 3 2 2 3 + … +n · 1 3 2 2 n ， 两式相减得 2 3 S n =1+ 1 3 2 2 1 + 1 3 2 2 2 + 1 3 2 2 3 + … 1 3 2 2 n-1 -n · 1 3 2 2 n = 3 2 1- 1 3 2 2 n 2 n -n · 1 3 2 ( n ， 整理得 S n = 9 4 - 9+6n 4 · 1 3 2 ( n . …… 11 分 由 S n ≥ 9 4 -λ 1 2 2 ( n ， 得 λ≥ 9+6n 4 · 2 3 2 ( n ， …… 13 分 参考答案第 7 页 （共 28 页） 参考答案第 8 页 （共 28 页） 图 3 第 16 题答图 A B D C P E O x y z 40 令 c n = 9+6n 4 · 2 3 ! " n ， 则 c n+1 -c n = 9+6 （ n+1 ） 4 · 2 3 ! " n+1 - 9+6n 4 · 2 3 ! " n = 1 4 × 2 3 ! " n （ 1-2n ）， ∵n≥1 ， c n+1 -c n <0 ， {c n } 为递减数列， …… 15 分 ∴c n 的最大值为 c 1 = 5 2 ， 则 λ≥ 5 2 . …… 16 分 从而整数 λ 的最小值为 3. …… 17 分 19. （ 1 ） 解： 由椭圆 C ： x 2 a 2 +2 + y 2 a 2 =1 （ a>0 ） 的方程， 得 c 2 = （ a 2 +2 ） -a 2 =2 ， 故 F （ 2 姨 ， 0 ） . ∵ 点 P 在椭圆 C 上， PF⊥x 轴， 且 ｜PF｜=1 ， 点 P 在第一象限， ∴P 的坐标为 （ 2 姨 ， 1 ）， 代入椭圆方程得 2 a 2 +2 + 1 a 2 =1 ， 解得 a 2 =2. 椭圆 C 的方程为 x 2 4 + y 2 2 =1. …… 2 分 设动点 M （ x 0 ， y 0 ）， 则 x 2 0 4 + y 2 0 2 =1 ， ∴y 2 0 =2- x 2 0 2 ， 故 ｜MF｜= （ x 0 - 2 姨 ） 2 +y 2 0姨 = （ x 0 - 2 姨 ） 2 +2- x 2 0 2 姨 = 1 2 （ x 2 0 -4 2 姨 x 0 +8 ） 姨 = 2 姨 2 ｜x 0 -2 2 姨 ｜ ， …… 3 分 又 ｜MN｜=｜x 0 -2 2 姨 ｜ ， ∴ ｜MF｜ ｜MN｜ = 2 姨 2 . …… 5 分 （ 2 ） 解： 不妨设 ∠AFB=γ ， △ABF 的外接圆半径为 R ， 由 ∠FBA=α ， ∠FAB=β ， 则在 △ABF 中， 由正弦定理 ｜AF ｜ sinα = ｜BF ｜ sinβ = ｜AB｜ sinγ =2R ， ∴｜AF ｜=2Rsinα ， ｜BF ｜=2Rsinβ ， ｜AB｜=2Rsinγ. 如图， 过点 A ， B 分别作直线 x=2 2 姨 的垂线， 垂足分别为 D ， E ， 过点 B 作 BG⊥AD 于点 G ， 由 （ 1 ） 的结论可得 ｜AF ｜ ｜AD｜ = 2 姨 2 ， ｜BF ｜ ｜BE｜ = 2 姨 2 ， ∴｜AF ｜-｜BF ｜= 2 姨 2 （ ｜AD｜-｜BE｜ ）， 即 2Rsinα-2Rsinβ= 2 姨 2 ｜AG｜. …… 7 分 又 ∵ 直线 AB 的斜率为 1 ， ∠BAG=45° ， 则在 Rt△BAG 中， ｜AB｜= 2 姨 ｜AG｜ ， 又 ∵｜AB｜=2Rsinγ ， ∴｜AG｜= 2 姨 Rsinγ ， 则 sinα-sinβ= 1 2 sinγ. …… 9 分 ∵sinγ≤1 ， ∴sinα-sinβ= 1 2 sinγ≤ 1 2 ， 当且仅当 γ= π 2 ， 即 FA⊥FB 时等号成立， ∴sinα-sinβ 的最大值为 1 2 . …… 11 分 （ 3 ） 证明： 设直线 AB 的方程为 y=kx+b ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， y 1 =kx 1 +b ， y 2 =kx 2 +b ， 联立直线与椭圆方程 y=kx+b ， x 2 4 + y 2 2 =1 1 + + + + * + + + + , ， 得 （ 1+2k 2 ） x 2 +4kbx+2b 2 -4=0 ， x 1 +x 2 =- 4kb 1+2k 2 ， x 1 · x 2 = 2b 2 -4 1+2k 2 ， Δ=16k 2 b 2 -4 （ 1+2k 2 ）（ 2b 2 -4 ） > 1 + + + + + + + + * + + + + + + + + , 0 …… 13 分 设直线 PA ， PB 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， 则 k 1 +k 2 =0 ， k 1 +k 2 = y 1 -1 x 1 - 2 姨 + y 2 -1 x 2 - 2 姨 =0 ， 则 kx 1 +b-1 x 1 - 2 姨 + kx 2 +b-1 x 2 - 2 姨 = 2kx 1 x 2 + （ b-1- 2 姨 k ）（ x 1 +x 2 ） -2 2 姨 （ b-1 ） x 1 x 2 - 2 姨 （ x 1 +x 2 ） +2 =0 ， 2k · 2b 2 -4 1+2k 2 + （ b-1- 2 姨 k ） -4kb 1+2k 2 -2 2 姨 （ b-1 ） =0 ， 化简得 2k 2 + 2 姨 （ b-2 ） k+ （ 1-b ） =0 ， 则 ［ 2 姨 k- （ 1-b ）］（ 2 姨 k-1 ） =0 ， 得 k= 2 姨 2 （ 1-b ）或 k= 2 姨 2 . …… 15 分 当 k= 2 姨 2 （ 1-b ）时， 直线 AB 的方程为 y= 2 姨 2 （ 1-b ） x+b ， 此时直线 AB 过点 P （ 2 姨 ， 1 ）， 与已知矛盾， ∴k= 2 姨 2 ， 即满足条件的直线 AB 的斜率为定值， 定值为 2 姨 2 . …… 17 分 2025 年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学 （三） 一、 选择题 1. B 2. D 3. B 4. B 5. B 6. A 7. A 8. A 二、 选择题 9. AD 10. BC 11. BCD 三、 填空题 12. 14 或 23 13. 2 14. 圆 24 3 姨 7 π 四、 解答题 15. （ 1 ） 证明： 设 CP∩DE=G ， 连接 FG ， ∵ 四边形 PDCE 为矩形， 参考答案第 9 页 （共 28 页） 参考答案第 10 页 （共 28 页） x y A B O F P E G D 第 19 题答图 41