重难点11 勾股定理与赵爽弦图问题-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点11 勾股定理与赵爽弦图问题 （ 基础题＆提升题＆压轴题 ） 基础题 1．（2024秋•晋江市期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•朝阳区校级期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024秋•广饶县期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 4．（2024秋•温州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个直角三角形，当EF＝7，DE＝12时，则正方形ABCD的边长是（　　） A．13 B．28 C．48 D．52 5．（2024秋•衡东县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 6．（2025•竞秀区开学）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4，那么AH＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 7．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．若AH⊥HF，AB＝5，则阴影部分的面积为（　　） A．5 B．7 C． D． 8．（2024秋•西安月考）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，则S2的值是（　　） A．672 B．673 C．674 D．675 9．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．49 B．51 C．76 D．96 10．（2024春•忠县期末）本期，我们学习了用赵爽弦图证明勾股定理．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的面积之差为（　　） A．3 B．2 C． D．不确定 11．（2024春•青秀区校级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 　 　． 12．（2024秋•阳城县期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是 　 　． 13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 　 　． 14．（2024秋•埇桥区期中）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． （1）如图1请你用它验证勾股定理． （2）如图2四边形ABCD中AC⊥BD于点O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，请直接写出AD＝ 　 　． 15．（2024秋•屯留区期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务： 赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法 给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是 由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积． 任务： （1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 　 　，正方形PQMN的面积可表示为 　 　．（用含a，b的式子表示） （2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之间的关系为 　 　． （3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值． 提升题 1．（2024秋•宝山区校级期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•安庆期末）代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（　　） A．24 B．6 C．2 D．2 3．（2024•大悟县校级开学）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 4．（2024秋•开福区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的三条边为边长向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方形BCGF，连接CE．若S正方形ABED＝25，S正方形BCGF＝16，则CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 5．（2024•宜城市一模）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，直角三角形的较长边为b，较短边为a．若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则a：b＝（　　） A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．1：3 6．（2024春•包河区期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 　 　． 7．（2024秋•万州区校级期末）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为60，则AD的长为 　 　． 8．（2024春•高邮市期末）赵爽的“弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，正方形ABCD的边长为13，点M、N是正方形ABCD内的两点，且AM＝CN＝12，BM＝DN＝5，则MN的长为 　 　． 9．（2024秋•上城区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF并延长，交BC于点M．若S正方形ABCD＝5，E为AF中点，则DF的长为　 　；BM的长为　 　． 10．（2024秋•两江新区校级期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　． 11．（2024春•济宁月考）综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． （1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2． （2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD） 12．（2024秋•扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值． 压轴题 1．（2024秋•新昌县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形ABCD，以BH为边再作一个正方形BHIJ，连结CH，DH，则△CDH的面积为（　　） A． B．7 C． D． 2．（2024•桐乡市校级开学）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2（S1＞S2），则下列四个判断：①S1+S2S四边形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，则S1＝3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1＝4S2，其中正确的序号是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 3．（2024秋•温州期末）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG＝5，则小正方形的面积为（　　） A．15 B．16 C．20 D．25 4．（2024秋•西湖区校级期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（　　） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 5．（2024秋•余杭区期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝5，则该长方形的面积为（　　） A．20 B．18 C． D． 6．（2024秋•霞浦县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． （1）利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：　 　； （2）用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c， ∠AED＝∠ACB＝90°，求证（1）中的定理结论； （3）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示） 7．为了突出勾股定理的价值，教科书上设计了大量的探究、验证活动，其中用“面积法”探究勾股定理的例子枚不胜举．受“面积法”启发，小明认为，利用赵爽弦图的一部分就可以证明勾股定理． （1）请把下面的证明过程补充完整；已知：将两个全等的直角三角形按图1所示拼在一起，其中∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝BD＝c，AC＝BE＝b，BC＝ED＝a， 求证：a2+b2＝c2． 证明：连接AD，过点A作AF⊥ED交DE的延长线于点F，则AF＝b﹣a． （2）应用：如图2，已知等腰直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝BC，AB1．点D，E分别在边AC，AB上，将△ABC沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A'正好落在边BC上．若△A'BE为直角三角形，请直接写出AE的长． 8．（2024秋•苏州期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”）． （1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； （2）如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该“勾股风车”图案的面积； （3）如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，则S2＝　 　． 9．（2024春•交城县期中）勾股定理被誉为“千古第一定理”，长期以来人们对它进行了大量的研究，找到了数百种不同的验证方法，这些方法不但验证了勾股定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展． 某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，对勾股定理的验证进行了如下探究： 实践操作 他们裁剪出若干张大小，形状完全相同的直角三角形纸片，三边长分别记为a，b，c，如图（1）所示．之后分别用4张直角三角形纸片拼成如图（2）（3）（4）所示的形状，通过观察推理，验证了勾股定理． 定理验证 （1）观察图（2）和图（3）可以发现：①它们整体上都是边长为 　 　的正方形；②阴影部分的面积都是由4个完全相同的直角三角形组成，所以阴影的面积为 　 　；③图（2）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 　 　；图（3）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 　 　；④从而得到a2+b2＝c2． （2）兴趣小组的同学通过观察图（4）中正方形的个数，以及它们之间的关系，验证了勾股定理，即a2+b2＝c2.请你帮他们写出推理验证的完整过程． 创新构图 （3）一个直立的火柴盒在平面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法．如图（5）同样是用4个完全相同的直角三角形拼成的图形，请你利用图中的直角梯形和等腰直角三角形证明勾股定理． 10．（2024春•市南区期中）【知识总结】几何学为人们当今的科学发展做出了杰出的贡献，中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：a2+b2＝c2． 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的“赵爽弦图”．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． 【温故知新】（1）如图①，求证：a2+b2＝c2； 【问题解决】（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝24，则S2＝　 　． （4）如图④，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长． 11．（2024秋•成都月考）课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2． 类比迁移 （2）小贤将四个全等的直角三角形拼成图2的“帽子”形状，若AH＝3，BH＝4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． 方法运用 （3）如图3，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，求S1，S2，S3之间的关系，并证明． 12．（2024春•开封期末）如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD． 问题发现： 如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则DE的长为 　 　． 知识迁移： 已知正方形ABCD，点P是直线CD上一动点，连接BP，分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G． （1）如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系为 　 　． （2）如图③，若点P在CD的延长线上，（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当直线BP与正方形ABCD一边的夹角为60°时，若FG＝3，请直接写出正方形ABCD的面积． 1．（2024秋•淮安期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（　　） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＜b，斜边是c，证明勾股定理的过程中用到的等式是（　　） A．a（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（b﹣a）2+4ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 3．（2024秋•金台区校级月考）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图），大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边和为（　　） A．5 B．7 C．25 D．3 4．（2024秋•吴兴区期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（　　） A．36 B．25 C．16 D．9 5．（2024春•思明区校级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（　　） A． ①② B．②④ C．①②③ D．①③ B． 6．（2024春•思明区校级期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和3．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝　 　． 7．（2024春•海淀区校级期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为49，则a的值为 　 　． 8．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为　 　． 9．（2024秋•中牟县期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）请利用图①证明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积． 10．（2024秋•伊川县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）． 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解； 【应用】 （2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点11 勾股定理与赵爽弦图问题 （ 基础题＆提升题＆压轴题 ） 基础题 1．（2024秋•晋江市期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【解答】解：选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积， ∴4ab+a2+b2＝（a+b）2， 故选项A不能得出勾股定理，符合题意； 选项B：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2， 故选项B能得出勾股定理，不符合题意； 选项C：如图， 由图可得abab+c2＝6ab+（a﹣b）2， 整理得a2+b2＝c2， 故选项C能得出勾股定理，不符合题意； 选项D：如图， 由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG， ∵大正方形的面积＝c2，小正方形的面积＝（a﹣b）2， ∴4ab+（a﹣b）2＝（a+b）2， 即c2＝a2+b2， 故选项D能得出勾股定理，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的证明方法，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键． 2．（2024秋•朝阳区校级期末）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【解答】解：∵勾a＝3，弦c＝5， ∴股b4， ∴小正方形的边长＝4﹣3＝1， ∴小正方形的面积＝12＝1， 故选：A． 【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 3．（2024秋•广饶县期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（　　） A．25 B．36 C．49 D．64 【分析】根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴c＝13， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴a5， ∴小正方形的边长＝12﹣5＝7， ∴小正方形的面积＝49． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握勾股定理是关键，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 4．（2024秋•温州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个直角三角形，当EF＝7，DE＝12时，则正方形ABCD的边长是（　　） A．13 B．28 C．48 D．52 【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可． 【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝12，EF＝FG＝7， ∴BF＝BG﹣FG＝5， 直角△ABF中，利用勾股定理得： AB13， 则正方形ABCD的边长为13． 故选：A． 【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角△ABF的两直角边的长度． 5．（2024秋•衡东县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；结合题意可得ab＝24，a2+b2＝129，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵ab＝24，a2+b2＝129， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81， 而a﹣b＞0， ∴a﹣b＝9， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式． 6．（2025•竞秀区开学）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4，那么AH＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【分析】根据勾股定理得出AH与AE的值，进而解答即可． 【解答】解：∵AB＝10，AH：AE＝3：4， 设AH为3x，AE为4x， 由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2， ∴5x＝10， ∴x＝2， ∴AH＝6， 故选：B． 【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得x的值． 7．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成．若AH⊥HF，AB＝5，则阴影部分的面积为（　　） A．5 B．7 C． D． 【分析】如图，连接FH，根据正方形的性质得到EF＝EH，∠EFH＝∠EHF＝45°，求得∠AHF＝90°，得到∠HAF＝∠AFH＝∠AHE＝45°，得到AD＝AB＝5，根据勾股定理得到AE，求得EF＝AE.DE＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，连接FH， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF＝EH，∠EFH＝∠EHF＝45°， ∵AH⊥HF， ∴∠AHF＝90°， ∴∠HAF＝∠AFH＝∠AHE＝45°， ∴AE＝EH， ∴AF＝DE＝2EF， ∵AD＝AB＝5， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴AE2+（2AE）2＝52， ∴AE， ∴EF＝AE.DE＝2， ∴阴影部分的面积2， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．（2024秋•西安月考）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，则S2的值是（　　） A．672 B．673 C．674 D．675 【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解． 【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b， 由题意可知： S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， 因为S1+S2+S3＝2022，即 （a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝2022， 3（a2+b2）＝2022， 所以3S2＝2022， S2的值是674． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 9．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．49 B．51 C．76 D．96 【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169， 所以x＝13， 所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76． 故选：C． 【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 10．（2024春•忠县期末）本期，我们学习了用赵爽弦图证明勾股定理．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的面积之差为（　　） A．3 B．2 C． D．不确定 【分析】由赵爽弦图可知，正方形EFGH的边长为，即AH﹣AE，AE＝CG，可得AH﹣CG，再表示出S△ADM﹣S△CDM，代入计算即可． 【解答】解：由赵爽弦图可知： 正方形EFGH的边长为，AH＝DG＝CF＝BE，AE＝DH＝CG＝BF， ∵DM＝GH， ∴EH＝AH﹣AE＝AH﹣CG， ∴S△ADM﹣S△CDM DM•AHDM•CG DM•（AH﹣CG） ＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了赵爽弦图的应用，三角形的面积，熟练掌握赵爽弦图中包含的等量关系是解题的关键． 11．（2024春•青秀区校级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 　 　． 【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，根据题意列出方程组，即可求得． 【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c， 根据题意得， 解得：c2＝25， 解得：c＝5或﹣5（舍去）， 故大正方形的边长为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 12．（2024秋•阳城县期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是 　 　． 【分析】根据△ABE是直角三角形，用勾股定理可得AE的长，再证明四边形HGFE是正方形，根据勾股定理，即可求出HF的长． 【解答】解：∵△ABE是直角三角形，AE＝10，BE＝24， 根据勾股勾股定理，可得AB26， ∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴CH＝BE＝DF＝AG＝24，AE＝BH＝CF＝DG＝10， ∴HE＝HF＝GF＝EG＝14， ∵∠AHD＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴四边形HGFE是正方形， 根据勾股定理，可得EF14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握并灵活运用勾股定理是解题的关键． 13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，若图中正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 　 　． 【分析】根据题意和图形，设BE＝x，则BF＝FL＝x+2，根据正方形ABCD的边长为14，列方程可解答． 【解答】解：设BE＝x，则BF＝FL＝x+2， ∵正方形ABCD的边长为14， ∴BC＝14， ∴x+2+x＝14， ∴x＝6， ∴BF＝8，BE＝6， ∵∠B＝90°， ∴EF10， 即正方形EFGH的边长为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查勾股定理的证明、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是表示四个直角三角形的直角边． 14．（2024秋•埇桥区期中）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． （1）如图1请你用它验证勾股定理． （2）如图2四边形ABCD中AC⊥BD于点O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，请直接写出AD＝ 　 　． 【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据△ABO，△BCO，△CDO，△ADO均为直角三角形，根据勾股定理得出AB2+CD2＝AD2+BC2即可求出AD的值． 【解答】解：（1）S小正方形＝（b﹣a）2＝b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）由题意可得，△ABO，△BCO，△CDO，△ADO均为直角三角形， 由勾股定理可得，AO2+BO2＝AB2①，CO2+DO2＝CD2②，AO2+DO2＝AD2③，BO2+CO2＝BC2④， ①+②，可得AO2+BO2+CO2+DO2＝AB2+CD2， ③+④，AO2+BO2++CO2+DO2＝AD2+BC2， 即：AB2+CD2＝AD2+BC2， ∴62+22＝AD2+52， ∴AD2＝15， ∴AD． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．（2024秋•屯留区期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务： 赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法 给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是 由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积． 任务： （1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 　 　，正方形PQMN的面积可表示为 　 　．（用含a，b的式子表示） （2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之间的关系为 　 　． （3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值． 【分析】（1）利用正方形的面积公式即可求解； （2）直接利用相等关系用代数式进行表示即可． （3）将代数式的值代入上一小题的等式中求解即可． 【解答】解：（1）∵大正方形边长为（a+b），小正方形边长为（a﹣b）， ∴大正方形面积为（a+b）2，小正方形面积为（a﹣b）2； 故答案为：（a+b）2；（a﹣b）2． （2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得， 故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2． （3）∵a+b＝5，ab＝4， ∴52＝4×4+（a﹣b）2， ∴（a﹣b）2＝9， ∴（a﹣b）2的值为9． 【点评】本题考查了赵爽“弦圈”与完全平方公式，解题关键是牢记并能灵活利用完全平方和与完全平方差公式进行变换． 提升题 1．（2024秋•宝山区校级期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据大正方形的面积为16结合a2+b2＝ab+10得出ab的值，再由小正方形的面积＝（b﹣a）2即可求解． 【解答】解：∵大正方形的面积是16， ∴a2+b2＝16， 又a2+b2＝ab+10， ∴ab＝6， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab ＝16﹣2×6 ＝4， 即小正方形的面积是4， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出小正方形的面积表示方法是解题的关键． 2．（2024春•安庆期末）代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（　　） A．24 B．6 C．2 D．2 【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可． 【解答】解：如图： ∵∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE＝AB， ∴∠AEF＝∠ABF， ∵AF⊥BE， ∴EF＝BFBE， ∴GE＝AH， ∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA， ∴△GEM≌△HAM（ASA）， ∴S△HAM＝S△GEM， ∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE， ∵AD＝4，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2， ∴AH＝4，DH＝8， ∴DG＝GE＝4， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 3．（2024•大悟县校级开学）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】如图2，由题意可设AB＝CD＝x，则可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1+S2＝m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决． 【解答】解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x， ∴S△ACDCD•ABx2， ∴S2＝4S△ACD＝2x2， ∵S1＝S2，S1+S2＝m2， ∴4x2＝m2， ∴m＝2x， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2， ∴x2+（x+n）2＝m2， ∴x2+（x+n）2＝4x2， ∴x+nx， ∴n＝（1）x， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键． 4．（2024秋•开福区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的三条边为边长向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方形BCGF，连接CE．若S正方形ABED＝25，S正方形BCGF＝16，则CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 【分析】先求出BC＝4，AC＝3，作EM⊥CB交CB的延长线于M，△ABC≌△BEM（AAS）得出BM＝AC＝3，EM＝BC＝4，再由勾股定理计算即可得解． 【解答】解：∵S正方形ABED＝25，S正方形BCGF＝16， ∴AB2＝25，BC2＝16， ∴BC＝4（负值已舍去）， ∵∠ACB＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2＝25﹣16＝9， 解得：AC＝3（负值已舍去）， 如图：作EM⊥CB交CB的延长线于M， 则∠EMB＝∠BCA＝90°， ∵四边形ABED为正方形， ∴AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴∠ABC+∠EBM＝∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠EBM＝∠BAC， 在△ABC和△BEM中， ， ∴△ABC≌△BEM（AAS）， ∴BM＝AC＝3，EM＝BC＝4， ∴CM＝BC+BM＝4+3＝7， ∴CE， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 5．（2024•宜城市一模）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，直角三角形的较长边为b，较短边为a．若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则a：b＝（　　） A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．1：3 【分析】设小正方形的面积为1，大正方形的面积是13，根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；由小正方形的面积求出（b﹣a）的值，进而求出a，b的值，则可求出答案． 【解答】解：设小正方形的面积为1，大正方形的边长为c， ∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13， ∴大正方形的面积是13， ∴c2＝13， ∴a2+b2＝c2＝13， ∵直角三角形的面积是3， 又∵直角三角形的面积是ab＝3， ∴ab＝6， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25， ∴a+b＝5． ∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1， ∴b＝3，a＝2， ∴a：b＝2：3． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 6．（2024春•包河区期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 　 　． 【分析】根据勾股定理可得CD＝4，由全等的直角三角形可求CE的长，进而可得CE，BE的长，再利用勾股定理求解BC的长，证明四边形ABCD为平行四边形，进而可求解． 【解答】解：如图，DF＝3，CF＝5，∠CDF＝90°， ∴CD＝4， ∵四个直角三角形全等， ∴CE＝DF＝3， ∴BE＝DE＝CD﹣CE＝4﹣3＝1， ∴BC， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD的周长为：2（BC+CD）＝2×（4）＝28． 【点评】本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，利用勾股定理求解线段长是解题的关键． 7．（2024秋•万州区校级期末）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为60，则AD的长为 　 　． 【分析】由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形EFGH面积的，从而阴影部分总面积为正方形EFGH面积的3倍，即可得正方形EFGH面积为4，继而得DH＝EH＝AE＝2，由勾股定理可求得AD的长． 【解答】解：由四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，可知E、F、G分别为AF、BG、CH的中点， 且AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF＝BE， ∴S△AEH＝S△DHG＝S△CGF＝S△BFES正方形EFGH， ∴S阴影＝3×S正方形EFGH＝60， ∴S正方形EFGH＝20， ∴EH＝DH＝2， ∴DE＝2EH＝4， 又∠AED＝90°， ∴AD10． 故答案为：10， 【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，找到周围三角形面积和中间正方形面积的关系是解题的关键． 8．（2024春•高邮市期末）赵爽的“弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，正方形ABCD的边长为13，点M、N是正方形ABCD内的两点，且AM＝CN＝12，BM＝DN＝5，则MN的长为 　 　． 【分析】延长BM交CN于E，延长DN交AM于点F，由赵爽弦图可知：四边形MENF是正方形，△ABM≌△BCE≌△CDN≌△DAF，利用全等三角形的性质可求ME＝NE＝7，再利用勾股定理可求解． 【解答】解：延长BM交CN于E，延长DN交AM于点F， 由题意知：四边形MENF是正方形，△ABM≌△BCE≌△CDN≌△DAF， ∴AM＝BE＝CN＝DF＝12，BM＝CE＝DN＝AF， ∵BM＝DN＝5， ∴CE＝AF＝5， ∴ME＝EN＝NF＝FM＝12﹣5＝7， ∴MN． 故答案为：． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明，理解赵爽弦图是解题的关键． 9．（2024秋•上城区期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF并延长，交BC于点M．若S正方形ABCD＝5，E为AF中点，则DF的长为　 　；BM的长为　 　． 【分析】根据SAS证明△AED≌△FED得出DF＝AD，根据勾股定理即可得出结果． 【解答】解：∵E为AF中点， ∴EFAF＝AE， 又∵∠AED＝∠FED＝90°，DE＝DE， ∴△AED≌△FED（SAS）， ∴DF＝AD， ∵S正方形ABCD＝5， ∴DF＝AD， ∵DE∥BG， ∴∠EDF＝∠DFG， ∵∠FBM＝∠EDF，∠DFG＝∠BFM， ∴∠FBM＝∠BFM， ∴BM＝FM， ∵DM2＝CM2+CD2， ∴（DF+BM）2＝CD2+（BC﹣BM）2， ∴， ∴BM， 故答案为：，． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△AED≌△FED是解题的关键． 10．（2024秋•两江新区校级期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　 　． 【分析】根据题意可得△IJC≌△KAM可以求出S△IJC＝S△KAM，即可得到图2中的阴影部分面积为S△GDC+S△BCM，用a，b表示后计算即可． 【解答】解：如图2， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴△FNK≌△GHI， ∴FN＝GH＝a， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， ∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a， ∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM ＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM ＝S△GDC+S△BCM ＝ab， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴， 即阴影部分的面积为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 11．（2024春•济宁月考）综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． （1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2． （2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD） 【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； （2）连接EC，CD，由面积的和差可求解． 【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即c2＝a2+b2； （2）连接EC，CD， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE， ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED， ∴∠AFE＝90°， ∴AC⊥DE， ∵四边形ABCD的面积（BC+AD）×AB， 四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACDAC×DEb2， ∴△BEC的面积＝四边形ABCD的面积﹣四边形AECD的面积b2aca2， ∴c2+a2＝b2． 【点评】本题考查勾股定理，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． 12．（2024秋•扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设CA＝x，则AH＝x﹣0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果； 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2+abb2， 即a2+b2＝c2； （2）∵CA＝x， ∴AH＝x﹣0.9， 在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2， 即x2＝1.22+（x﹣0.9）2， 解得x＝1.25， 即CA＝1.25， CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米）， 答：新路CH比原路CA少0.05千米； （3）设AH＝x，则BH＝6﹣x， 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2， 解得：x． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 压轴题 1．（2024秋•新昌县期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形ABCD，以BH为边再作一个正方形BHIJ，连结CH，DH，则△CDH的面积为（　　） A． B．7 C． D． 【分析】过点H作HK⊥CD于点K，先利用勾股定理分别求出CH，DH，设DK＝a，则CK＝CD﹣DK＝5﹣a，再利用勾股定理构造关于a的方程得10﹣a2＝17﹣（5﹣a）2，由此解得a，则HK，然后根据三角形的面积公式求出△CDH的面积即可得出答案． 【解答】解：过点H作HK⊥CD于点K，如图所示： 依题意得：AH＝DG＝CF＝BE＝3，BH＝EC＝DF＝AG＝4，AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∴正方形EFGH的边长为1，即EH＝HG＝GF＝EF＝1， ∵四边形BHIJ是正方形， ∴HI＝EC＝4， 在Rt△CEH中，EH＝1，EC＝4， 由勾股定理得：CH， 在Rt△DHG中，HG＝1，DG＝3， 由勾股定理得：DH， 设DK＝a，则CK＝CD﹣DK＝5﹣a， 在Rt△DHK中，由勾股定理得：HK2＝DH2﹣DK2＝10﹣a2， 在Rt△CHK中，由勾股定理得：HK2＝CH2﹣CK2＝17﹣（5﹣a）2， ∴10﹣a2＝17﹣（5﹣a）2， 解得：， ∴HK， ∴△CDH的面积为：CD•HK． 故选：C． 【点评】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 2．（2024•桐乡市校级开学）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2（S1＞S2），则下列四个判断：①S1+S2S四边形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，则S1＝3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1＝4S2，其中正确的序号是（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是b﹣a，由正方形面积公式，勾股定理，即可解决问题． 【解答】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是b﹣a， ∴正方形ABCD的面积S1＝b2，正方形EFGH的面积S2＝a2， ∴S1+S2＝a2+b2＝c2， ∵正方形MNPQ的边长是2c， ∴正方形MNPQ的面积＝（2c）2＝4c2， ∴S1+S2S四边形MNPQ， 故①符合题意； ∵AF＝b﹣a， ∴AG＝FG﹣AF＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b， ∴DG＝AD﹣AG＝b﹣（2a﹣b）＝2（b﹣a）， ∴DG＝2AF， 故②符合题意； ∵∠HME＝30°，∠MHE＝90°， ∴MHHE， ∴ba， ∴b2＝3a2， ∴S1＝3S2， 故③符合题意； ∵A是FG中点， ∴AG＝FA， ∴a﹣（b﹣a）＝b﹣a， ∴2b＝3a， ∴4b2＝9a2， ∴9S1＝4S2， 故④不符合题意． ∴正确的是①②③， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，用a，b，c表示出有关的量，从而可以解决问题． 3．（2024秋•温州期末）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点E为小正方形的顶点，延长CE交AD于点F，连结BF交小正方形的一边于点G，若△BCF为等腰三角形，AG＝5，则小正方形的面积为（　　） A．15 B．16 C．20 D．25 【分析】由等腰三角形性质可得出BF＝CF，利用HL可证得Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），得出AB＝AD＝2AF，根据余角的性质得出∠BAG＝∠ABF，进而推出CF＝BF＝2AG＝10，利用面积法求得BN＝8，再运用勾股定理求得CN＝4，即可求得答案． 【解答】解：设小正方形为EHMN，如图， ∵四边形ABCD和四边形EHMN是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°，CF∥AG， ∵△BCF为等腰三角形，且BF＞AB＝BC，CF＞CD＝BC， ∴BF＝CF， 在Rt△ABF和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCF（HL）， ∴∠AFB＝∠CFD，AF＝DF， ∴AB＝AD＝2AF， ∵CF∥AG， ∴∠CFD＝∠DAG， ∴∠AFB＝∠DAG， ∴AG＝FG， ∵∠AFB+∠ABF＝90°，∠DAG+∠BAG＝90°， ∴∠BAG＝∠ABF， ∴AG＝BG， ∴CF＝BF＝2AG＝10， 在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2， ∴（2AF）2+AF2＝102， ∴AF＝2， ∴AB＝BC＝4， ∵S△BCFBC•ABCF•BN， ∴BN8， ∴CN4， ∵△ABM≌△BCN， ∴BM＝CN＝4， ∴MN＝BN﹣BM＝8﹣4＝4， ∴S正方形EHMN＝（MN）2＝42＝16， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得BN是解题的关键． 4．（2024秋•西湖区校级期中）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（　　） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7﹣x，根据勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，x2+（7﹣x）2＝28，则2x2﹣14x＝﹣21，整体代入可得结论． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28， ∴AB2＝28， 设AE＝x， ∵AE+BE＝7， ∴BE＝7﹣x， Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2， ∴x2+（7﹣x）2＝28， ∴2x2﹣14x＝﹣21， ∵AH⊥BE，BE⊥CF， ∴AH∥CF， ∴∠EAP＝∠GCM， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD， ∴△AEB≌△CGD， ∴AE＝CG， ∴△AEP≌△CGM（ASA）， ∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG， ∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG（MG+PF）•FGEF•FGS正方形EHGF， ∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4x•（7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7， 则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5； 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，多边形的面积，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题． 5．（2024秋•余杭区期中）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝5，则该长方形的面积为（　　） A．20 B．18 C． D． 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理建立关于x的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积． 【解答】解：如图， 设小正方形的边长为x， 则AB＝a+x，BC＝b+x， ∵a＝2，b＝5， ∴AC＝5+2＝7， 在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2， 即72＝（2+x）2+（5+x）2， 整理得，x2+7x＝10， 矩形的面积为：（2+x）（5+x）＝x2+7x+10＝10+10＝20， ∴该矩形的面积为20． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理得证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于x的方程，并用整体代入思想解答是解题关键． 6．（2024秋•霞浦县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． （1）利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示：　 　； （2）用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c， ∠AED＝∠ACB＝90°，求证（1）中的定理结论； （3）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示） 【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解； （2）由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解； （3）分别求出a，b，由勾股定理可求解． 【解答】（1）解：∵大正方形的面积＝c2，大正方形的面积＝4a×b+（b﹣a）2， ∴c2＝4a×b+（b﹣a）2， ∴c2＝a2+b2， 故答案为：c2＝a2+b2； （2）证明：如图：连接BD， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE， ∴∠ADE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠ADE＝90°＝∠DAE+∠BAC， ∴∠DAB＝90°， ∵S四边形ABCDc2a×（b﹣a），S四边形ABCD＝2a•bb×（b﹣a）， ∴c2a×（b﹣a）＝2a•bb×（b﹣a）， ∴c2＝a2+b2； （3）由题意可得：CE＝CD+DE，GH＝AG﹣AH， ∴m＝a+b，n＝b﹣a， ∴a，b， ∴BD2＝BC2+CD2＝a2+b2， ∴正方形BDFA的面积为． 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7．为了突出勾股定理的价值，教科书上设计了大量的探究、验证活动，其中用“面积法”探究勾股定理的例子枚不胜举．受“面积法”启发，小明认为，利用赵爽弦图的一部分就可以证明勾股定理． （1）请把下面的证明过程补充完整；已知：将两个全等的直角三角形按图1所示拼在一起，其中∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝BD＝c，AC＝BE＝b，BC＝ED＝a， 求证：a2+b2＝c2． 证明：连接AD，过点A作AF⊥ED交DE的延长线于点F，则AF＝b﹣a． （2）应用：如图2，已知等腰直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝BC，AB1．点D，E分别在边AC，AB上，将△ABC沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A'正好落在边BC上．若△A'BE为直角三角形，请直接写出AE的长． 【分析】（1）连接AD，过点A作AF⊥ED交DE的延长线于点F，连接AE，用两种方法表示S四边形ABDE，可得b2abc2a（b﹣a），化简变形即有a2+b2＝c2； （2）分两种情况：当∠A'EB＝90°时，△A'BE是等腰直角三角形，可得AE＝BE，即得AEAB；当∠EA'B＝90°时，可得BEAE，即得AE＝1． 【解答】（1）证明：连接AD，过点A作AF⊥ED交DE的延长线于点F，连接AE，则AF＝b﹣a，如图： ∵S四边形ABDE＝S△ABE+S△BDE， ∴S四边形ABDEb2ab， ∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△AED， ∴S四边形ABDEc2a（b﹣a）， ∴b2abc2a（b﹣a）， ∴a2+b2＝c2； （2）解：当∠A'EB＝90°时，如图： ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝45°， ∴△A'BE是等腰直角三角形， ∴A'E＝BE， ∵△ABC沿DE所在直线折叠，点A的对应点为A'， ∴AE＝A'E， ∴AE＝BE， ∴AEAB； 当∠EA'B＝90°时，如图： ∵∠B＝45°， ∴△A'BE是等腰直角三角形， ∴BEA'E， ∵△ABC沿DE所在直线折叠，点A的对应点为A'， ∴AE＝A'E， ∴BEAE， ∵BE+AE1， ∴AE＝1， 综上所述，AE的长为或1． 【点评】本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的性质及应用，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是分类讨论思想的应用． 8．（2024秋•苏州期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”）． （1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； （2）如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该“勾股风车”图案的面积； （3）如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，则S2＝　 　． 【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，依据正方形EFGH内外四个直角三角形的面积之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根据S1+2S2+S3＝20，即可得出S2的值． 【解答】解：（1）由图1可得，大正方形的面积为c2， 大正方形的面积＝4ab+（a﹣b）2， ∴4ab+（a﹣b）2＝c2， 化简可得，a2+b2＝c2； （2）24÷4＝6， 设AC＝x，则AB＝6﹣x， 依题意得： （x+3）2+32＝（6﹣x）2， 解得x＝1， ∴该“勾股风车”图案的面积为：（3+1）×3×4 4×3×4 ＝24． 答：该“勾股风车”图案的面积为24； （3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则 S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a， 两式相加，可得2S2＝S1+S3， 又∵S1+2S2+S3＝20， ∴4S2＝20， ∴S2＝5， 故答案为：5． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理的证明以及正方形的性质，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用S1，S3表示出S2，再利用S1+2S2+S3＝20求出是解决问题的关键． 9．（2024春•交城县期中）勾股定理被誉为“千古第一定理”，长期以来人们对它进行了大量的研究，找到了数百种不同的验证方法，这些方法不但验证了勾股定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展． 某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，对勾股定理的验证进行了如下探究： 实践操作 他们裁剪出若干张大小，形状完全相同的直角三角形纸片，三边长分别记为a，b，c，如图（1）所示．之后分别用4张直角三角形纸片拼成如图（2）（3）（4）所示的形状，通过观察推理，验证了勾股定理． 定理验证 （1）观察图（2）和图（3）可以发现：①它们整体上都是边长为 　 　的正方形；②阴影部分的面积都是由4个完全相同的直角三角形组成，所以阴影的面积为 　 　；③图（2）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 　 　；图（3）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 　 　；④从而得到a2+b2＝c2． （2）兴趣小组的同学通过观察图（4）中正方形的个数，以及它们之间的关系，验证了勾股定理，即a2+b2＝c2.请你帮他们写出推理验证的完整过程． 创新构图 （3）一个直立的火柴盒在平面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法．如图（5）同样是用4个完全相同的直角三角形拼成的图形，请你利用图中的直角梯形和等腰直角三角形证明勾股定理． 【分析】（1）借助图形利用正方形和直角三角形的面积，即可得出答案； （2）利用以c为边的正方形和2个直角三角形的面积和等于以边为a，b的两个正方形的面积和两个直角三角形的面积和建立方程，即可得出结论； （3）利用直角梯形的面积等于一个等腰直角三角形的面积和2个直角三角形的面积建立方程，即可得出结论． 【解答】（1）解：由图（2）（3）得出大正方形的边长为a+b， 阴影部分的面积为2ab， 图（2）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 图（3）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式为c2＝（a+b）2﹣2ab； 故答案为：a+b，2ab，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c2＝（a+b）2﹣2ab； （2）解：∵整个图形得面积可以表示为， 整个图形得面积又可以表示为， ∴c2+ab＝a2+b2+ab， ∴a2+b2＝c2； （3）证明：∵， S直角梯形＝S等腰直角三角形+2S直角三角形c2+2， ∴， ∴（a+b）2＝c2+2ab， ∴a2+2ab+b2＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2． 【点评】此题主要考查了直角三角形、正方形、梯形的面积公式，正确识别图形是解本题的关键． 10．（2024春•市南区期中）【知识总结】几何学为人们当今的科学发展做出了杰出的贡献，中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：a2+b2＝c2． 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的“赵爽弦图”．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． 【温故知新】（1）如图①，求证：a2+b2＝c2； 【问题解决】（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝24，则S2＝　 　． （4）如图④，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的长． 【分析】（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可； （2）设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的长，从而解决问题； （3）设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y，则S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，根据S1+S2+S3＝24，即可得出x+4y＝8． （4）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2， S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12， 设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x， 在Rt△AOB中，由勾股定理得： OH2+OG2＝GH2， 即62+（6+x）2＝（12﹣x）2， 解得：x＝2， ∴S6×（6+2）×4＝96； （3）解：设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y， ∵S1+S2+S3＝24， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝24， ∴x+4y＝8， ∴S2＝8， 故答案为：8． （4）设BE＝x，则EC＝8﹣x， 由折叠的性质可知，AE＝EC＝8﹣x， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2， 则（8﹣x）2＝42+x2， 解得，x＝3， 则BE的长为3． 【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思想、方程思想是解题的关键． 11．（2024秋•成都月考）课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a2+b2＝c2． 类比迁移 （2）小贤将四个全等的直角三角形拼成图2的“帽子”形状，若AH＝3，BH＝4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． 方法运用 （3）如图3，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，求S1，S2，S3之间的关系，并证明． 【分析】（1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用三角形全等的性质求出BI＝DH＝2，再证明△BIC≌△DHC（AAS），利用勾股定理求出，同理得，即可求解； （3）设正方形ADEB，ACGF，BCIH的边长分别为x，y，z，则BC＝z，AB＝x，AC＝y，且x2+y2＝z2，分别表示出，，，即可证明． 【解答】（1）证明：， ， ∴c2+2ab＝a2+2ab+b2， ∴c2＝a2+b2； （2）解：∵BH＝4，AH＝3， ∴， ∵△AHB≌△AID， ∴AD＝AB＝5，AI＝AH＝3， ∴BI＝AB﹣AI＝2，DH＝AD﹣AH＝2， ∵∠ABH＝∠ADI，∠DCH＝∠BCI，BI＝DH， ∴△BIC≌△DHC（AAS）， ∴BC＝CD，CI＝HC， ∵BH＝DI＝4， 设CI＝x，则CD＝BC＝DI﹣CI＝4﹣x， ∴BC2＝CI2+BI2，即：（4﹣x）2＝4+x2， ∴， ∴， 同理得； ∴“帽子”外围轮廓（实线）的周长为：AB+BC+CD+DE+EF+AF＝20； （3）解：2（S1+S2）＝S3，证明如下： 设正方形ADEB，ACGF，BCIH的边长分别为x，y，z，则BC＝z，AC＝y，AB＝x，且x2+y2＝z2， ∴， ， ， ∵x2+y2＝z2， ∴2（S1+S2）＝S3． 【点评】本题考查勾股定理的几何应用，三角形全等的判定与性质，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． 12．（2024春•开封期末）如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周笔算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD． 问题发现： 如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则DE的长为 　 　． 知识迁移： 已知正方形ABCD，点P是直线CD上一动点，连接BP，分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G． （1）如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系为 　 　． （2）如图③，若点P在CD的延长线上，（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当直线BP与正方形ABCD一边的夹角为60°时，若FG＝3，请直接写出正方形ABCD的面积． 【分析】问题发现：根据全等三角形的性质得CD＝AB＝5，CE＝AG＝4，利用勾股定理即可求解； （1）如图②，过点D作DH⊥AE于H，可得四边形DHEG是矩形，DH＝EG，证明△AHD≌△CFB（AAS），则DH＝BF，可得BF＝EG，即可得出BE＝FG； （2）如图③，同（2）的方法即可求解； （3）分两种情况：①当直线BP与BC边的夹角为60°时，②当直线BP与AB边的夹角为60°时，根据含30°角的直角三角形的性质求出正方形ABCD的边长，即可求解． 【解答】解：问题发现：由题意得：Rt△CDE≌Rt△ABG， ∴CD＝AB＝5，CE＝AG＝4， ∴DE3， 故答案为：3； （1）如图②，过点D作DH⊥AE于H， ∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE， ∴四边形DHEG是矩形，∠ADH+∠DAH＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∠AHD＝∠CFB＝90°， ∴DH＝EG， ∵四边形ABCD是正方形形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝CB， ∴∠BAE+∠DAH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADH＝∠CBF， ∴△AHD≌△CFB（AAS）， ∴DH＝BF， ∵DH＝EG， ∴BF＝EG， ∴BF﹣EF＝EG﹣EF， ∴BE＝FG， 故答案为：BE＝FG； （2）若点P在CD的延长线上，（1）中结论成立，理由如下： 如图③，过点D作DH⊥AE于H， ∵AE⊥BP，DG⊥BP，CF⊥BP，DH⊥AE， ∴四边形DHFG是矩形，∠CDH+∠DCH＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°，∠CHD＝∠AEB＝90°， ∴DH＝FG， ∵四边形ABCD是正方形形， ∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∴∠BCF+∠DCH＝90°，∠CBF+∠ABE＝90°， ∴∠BCF＝∠CDH＝∠ABE， ∴△CHD≌△AEB（AAS）， ∴DH＝BE， ∵DH＝FG， ∴BE＝FG； （3）①当直线BP与BC边的夹角为60°时，如图， 分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．过点D作DH⊥AE于H， ∵∠CBP＝60°，CF⊥BP， ∴∠ABE＝30°． ∵BE＝FG，FG＝3， ∴BE＝3， ∴AE，AB＝2， ∴正方形ABCD的面积为2212； ②当直线BP与AB边的夹角为60°时，如图， 分别过点A，C，D向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，G．过点D作DH⊥AE于H， ∵∠ABP＝60°，AE⊥BP， ∴∠BAE＝30°． ∵BE＝FG，FG＝3， ∴BE＝3， ∴AB＝2BE＝6， ∴正方形ABCD的面积为6×6＝36． 综上，正方形ABCD的面积为12或36． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 1．（2024秋•淮安期末）如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（　　） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 【分析】根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【解答】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：B． 【点评】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键． 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＜b，斜边是c，证明勾股定理的过程中用到的等式是（　　） A．a（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（b﹣a）2+4ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【分析】用等面积法，大的正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，列等式化简即可证明，则可得出答案． 【解答】解：根据题意得，大正方形面积：c2， 小正方形面积：（b﹣a）2， 4个直角三角形面积之和：4×a×b2ab， ∵大正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和， ∴（b﹣a）2+2ab＝c2， ∴a2+b2＝c2． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，用等面积法列出等式，并化简是解本题的关键． 3．（2024秋•金台区校级月考）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图），大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边和为（　　） A．5 B．7 C．25 D．3 【分析】先设直角三角形的两直角边为a、b，然后根据题意，可以得到ab×4＝13﹣1，a2+b2＝13，然后即可计算出（a+b）2的值，从而可以求得a+b的值． 【解答】解：设直角三角形的两直角边为a、b， 由题意可得，ab×4＝13﹣1，a2+b2＝13， ∴ab＝6， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+b2）+2ab＝13+2×6＝13+12＝25， ∴a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去）， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积、三角形的面积、完全平方公式，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 4．（2024秋•吴兴区期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（　　） A．36 B．25 C．16 D．9 【分析】设大正方形的边长为c，则大正方形的面积为c2，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：设大正方形的边长为c，则大正方形的面积为c2， 根据勾股定理的a2+b2＝c2， ∵a2+b2＝25， ∴c2＝25， ∴黄实的面积为c2﹣4ab＝25﹣48＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2024春•思明区校级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②④ C．①②③ D．①③ 【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到（x+y）2＝94由此即可判断． 【解答】解：由题意知， 由①﹣②得2xy＝45 ③， ∴2xy+4＝49， ①+③得x2+2xy+y2＝94， ∴（x+y）2＝94， ∴x+y． ∴结论①②③正确，④错误． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，全等图形以及完全平方公式的几何背景等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型． 6．（2024春•思明区校级期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和3．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝　 　． 【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解． 【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b）， 根据图1得：a+b＝6， 根据图2得：a﹣b＝2， 联立解得， ∴S1＝16，S2＝4， 则S1﹣S2＝12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了勾股定理证明，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系． 7．（2024春•海淀区校级期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为49，则a的值为 　 　． 【分析】由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为2a+3，较短直角边长为a，根据图2中小正方形的面积等于两直角边差的平方得出方程求出a即可． 【解答】解：由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为2a+3，较短直角边长为a， ∵图2中阴影小正方形的面积为49， ∴（2a+3﹣a）2＝49， ∴a＝4（负值舍去）， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出小正方形的面积是解题的关键． 8．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为　 　． 【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积． 【解答】解：∵S正方形ABCD＝21， ∴AB2＝21， 设DH＝x， 则AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝21， ∴x2， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： S梯形NGFM（NG+FM）•FG （EM+MF）•FG FE•FG （2x）2 ＝2x2 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题． 9．（2024秋•中牟县期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）请利用图①证明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积． 【分析】（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可； （2）设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的长，从而解决问题． 【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2， S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20， 设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得： OH2+OG2＝GH2， 即52+（5+x）2＝（20﹣x）2， 解得：x＝7， ∴S5×12×4＝120． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思想、方程思想是解题的关键． 10．（2024秋•伊川县期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）． 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 （1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解； 【应用】 （2）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值． 【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可； （2）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a+1）； （2）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b） ＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2） ＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab） ＝（a2+b2）（a﹣b）2， ∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1， ∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1， ∴原式＝9． 【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$