八年级下册第一次月考检测试卷01（测试范围：二次根式＋勾股定理）-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

（人教版）2024-2025学年 八年级数学下册第一次月考检测试卷 （测试范围：第十六和第十七章） 测试时间：120分钟 满分：120分钟 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024春•武汉期中）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024 【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2024≥0， 解得x≥2024． 故选：D． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零是解题的关键． 2．（2024秋•兴庆区校级月考）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（　　） A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 【分析】首先利用非负数的性质得a＝3，b＝4，再分b＝4为直角边或b＝4为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， 当b＝4为直角边时，第三边的平方为32+42＝25， 当b＝4为斜边时，第三边的平方为42﹣32＝7， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了绝对值、算术平方根的非负数的性质，考查了分类讨论思想，本题中讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键． 3．（2024秋•兴宾区期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质． 4．（2024秋•遂川县期末）一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（　　） A．15 B．13 C．10 D．8 【分析】由等腰三角形的性质得BD＝DCBC＝6，再由勾股定理求出AD的长即可． 【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC， ∴BD＝DCBC＝6， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD8， 即底边上的高是8， 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2024春•滨城区校级月考）给出下列命题：其中，正确命题的个数为（　　） ①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°； ③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④△ABC中，若a：b：c＝1：2：，则这个三角形是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理判定①②④，根据三角形内角和定理判断③，即可求解． 【解答】解：①错误，因为没有说明3、4是直角边，还是斜边； ②错误，三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠B＝90°； ③正确，∵∠A：∠B：∠C＝1：5：6，∴∠C＝90°，所以是直角三角形； ④正确，设a＝k，b＝2k，， 则a2+b2＝c2 ∴是直角三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（2024春•淮北期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．2024 D．2025 【分析】根据二次根式有意义的条件求得x＝2，则y＝2024，然后代入求值即可． 【解答】解：根据题意知：． 所以x＝2． 所以y＝2024， 所以2024． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数． 7．（2024秋•高青县期末）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 【分析】画出图形，由勾股定理求出AB的长，即可求解． 【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，AC＝3米，BC＝4米， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得： AB5（米）， ∴AC+AB＝3+5＝8（米）， 即这棵树折断之前的高度为8米， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理求出AB的长是解题的关键． 8．（2024秋•宝安区校级月考）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 【分析】先根据数轴得到b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，则a+b＜0，a﹣c＞0，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：由数轴可知a+b＜0，a﹣c＞0， ∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣c） ＝﹣c﹣a﹣b﹣a+c ＝﹣2a﹣b， 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2024秋•顺德区期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵，且，，， ∴a2＝5，b2＝6，c2＝7， ∴ ， 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式混合运算法则是关键． 10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于E，交∠CAB的角平分线于F，连接CF、BF，若BF＝5，△CEF的周长为17，则AF的长度是（　　） A． B．10 C．12 D．13 【分析】由线段垂直平分线的性质可得CF＝BF＝5，CE＝BE，EF⊥BC，由平行线的性质和角平分线的性质可求AE＝EF，可证AE＝EF＝EB＝EC，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴CF＝BF＝5，CE＝BE，EF⊥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴EF∥AC， ∵∠CAF＝∠AFE， ∵AF平分∠CAE， ∴∠CAF＝∠EAF＝∠AFE， ∴AE＝EF， ∵△CEF的周长为17， ∴CF+CE+EF＝17， ∴BE+AE+5＝17， ∴AB＝12， ∵BE＝CE， ∴∠BCE＝∠EBC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠CAE， ∴AE＝CE， ∴AE＝EF＝BE， ∴∠AFB＝90°， ∴AF， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024春•岳池县期末）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是 　 ． 【分析】根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵点P的坐标为（1，3）， ∴点P到原点的距离为：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，熟记勾股定理是解题的关键． 12．最简二次根式与能合并，则a+b＝　 　． 【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案． 【解答】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：， 则a+b＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同． 13．（2024秋•招远市期末）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是﹣1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是　 　． 【分析】根据勾股定理求出AD，进而得到OE的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可． 【解答】解：由题意得，BD＝OB＝1， 在Rt△ABD中，AD， ∴OE＝AE﹣11， ∴点E对应的实数是1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 14．（2024秋•山亭区期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：a※b，例如3※2．那么6※2＝　 　． 【分析】利用定义的新运算可得6※2，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 6※2 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 15．（2024春•和平区校级期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为 　 　． 【分析】由勾股定理求得AB10cm，由折叠得ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°，则DE⊥AB，所以AB•DEBD•AC＝S△ABD，于是得10CD6（8﹣CD），求得CD＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵Rt△ABC的两直角边AC＝6cm，BC＝8cm， ∴∠C＝90°， ∴AB10（cm）， 由折叠得ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°， ∴DE⊥AB， ∴AB•DEBD•AC＝S△ABD， ∴10CD6（8﹣CD）， 解得CD＝3， ∴CD的长为3cm， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，求得AB＝10cm并且证明ED＝CD是解题的关键． 16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　 cm． 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了． 【解答】解：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D＝5（cm），BD＝12﹣3+AE＝12（cm）， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B13（cm）． 故答案为：13． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（每小4分，共8分）（2024秋•射洪市校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把二次根式化简为最简二次根式，计算零次幂和绝对值，然后合并即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并即可． 【解答】解：（1） ＝9． （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，先把各个二次根式化为最简二次根式，然后进行合并，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 18．（每小题5分，共10分）（1）已知x＝1，y＝1，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． （2）先化简，后求值：，其中． 【分析】（1）根据分式的减法法则求出x﹣y，根据乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）利用分母有理化把a化简，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代入计算得到答案． 【解答】解：（1）∵x＝1，y＝1， ∴x﹣y＝（1）﹣（1）＝﹣2，xy＝（1）（1）＝1﹣3＝﹣2， 则原式＝x2﹣2xy+y2+2xy﹣xy﹣（2x﹣2y） ＝（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y） ＝（﹣2）2+（﹣2）﹣2×（﹣2） ＝12﹣2+4 ＝10+4； （2）a2， 则2， ∴原式 ＝a﹣1 ＝21﹣（2） ＝21﹣2 ＝21． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则、分母有理化是解题的关键． 19．（8分）（2024秋•太平区期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离． （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【分析】（1）在Rt△OAB中，根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论； （2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OA的长，利用OC＝OA﹣OC即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝25米，OA＝15米，OE＝4米， ∴（米）， ∴BE＝OB+OE＝20+4＝24（米）， 答：B处与地面的距离是24米； （2）由题意得BD＝4米， ∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米）， ∴（米）， ∴AC＝OA﹣OC＝15﹣7＝8（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 20．（8分）（2024秋•榆阳区校级月考）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则2ab＝　 　； （2）已知实数m，n（n≠0）满足，求m﹣n的值； （3）若x，y为实数，且，求x+y的值． 【分析】（1）由题意可得，求出a，b的值，即可得出答案． （2）由题意可得，求出m，n的值，即可得出答案． （3）根据二次根式有意义的条件可得y﹣3≥0，3﹣y≥0，即可得y﹣3＝3﹣y＝0，则y＝3，进而可得x＝±8，从而可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴2ab＝2×2×（﹣5）＝﹣20． 故答案为：﹣20． （2）由题意得，， 解得， ∴m﹣n＝2﹣（﹣3）＝5． （3）由题意得，y﹣3≥0，3﹣y≥0， ∴y﹣3＝3﹣y＝0， 解得y＝3， ∴x2＝64， 解得x＝±8， ∴x+y＝11或﹣5． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件、非负数的性质：绝对值，熟练掌握二次根式有意义的条件、非负数的性质是解答本题的关键． 21．（8分）（2024秋•晋江市期中）如图，有一块面积为300平方分米的矩形铁皮，已知该矩形铁皮的长、宽之比为3：2． （1）求矩形铁皮的长与宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是边长为分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【分析】（1）运用长方形面积公式进行求解； （2）先求得长方体铁皮盒子的底面积，再计算其体积． 【解答】解：（1）设该矩形铁皮的长为3x cm，宽为2x cm， 得3x•2x＝300， 解得x＝5或x＝﹣5（不合题意，舍去）， ∴3x＝3×515（cm），2x＝2×510（cm）， ∴该矩形铁皮的长为15cm，宽为10cm； （2）由题意得， （152）×（102） ＝（158）×（108）×4 ＝724 ＝112（cm3）， ∴该长方体铁皮盒子的体积为112cm3． 【点评】此题考查了二次函数计算的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算． 22．（8分）（2024秋•浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中∠AGB＝∠DFA＝∠CED＝∠BHC＝90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB． （1）求证：EF＝DF； （2）若EF＝2，求PE的长． 【分析】（1）根据等角对等边得出AB＝AE，进而可得AD＝AE，根据三线合一，即可得证； （2）由（1）得：EF＝DF，可以求得AG＝HE＝2，进而证明△APG≌△EPH，得出PG＝PH＝1，再根据勾股定理，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴AB＝AD， ∴AE＝AD， ∵AF⊥DE， ∴EF＝DF； （2）解：由（1）得EF＝DF， ∵EF＝2，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴AG＝HE＝EF＝2， 在△APG和△EPH中， ， ∴△APG≌△EPH（AAS）， ∴PG＝PH＝1， 在Rt△HPE中， ∵HE＝2，HP＝1， ∴由勾股定理，得PE． 【点评】本题以“赵爽弦图”为背景考查等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 23．（10分）阅读材料，回答问题： 观察下列各式 ； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　＝　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 【分析】（1）根据题目所给的例题可知：可化为1，计算即可得出答案； （2）根据题意可知规律为，可化为1，计算即可得出答案； （3）根据题意可化为1+111•••+1，根据有理数加法计算即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可得：11； 故答案为：1，1； （2）根据题意可得：1（n为正整数）； 故答案为：1（n为正整数）； （3） ＝1+1111 ＝10 ＝9． 【点评】本题主要考查了数字的变化类规律型及二次根式的性质与化简，根据题意理解题目所给的规律应用二次根式的性质进行计算是解决本题的关键． 24．（12分）（2024秋•西湖区期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连接BE，AD交于点F．求证：BE＝AD，并直接写出∠AFB的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD＝AC，点E在AD的延长线上，且AB＝AE，连接BE，CE，求证：BE＝CE． ②如图（3），△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C恰好在ED延长线上，连接BD，若AB＝4，AE＝2，求△BDC的面积． 【分析】（1）如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答； （2）①证明△ABD≌△AEC（SAS），得BD＝CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答； ②设CD＝x，由①同理得：△ABD≌△ACE（SAS），根据勾股定理和三角形的面积即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴AC＝BC，∠DCE＝∠ACB＝60°，CD＝CE， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD， ∵∠BOC＝∠AOF， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°； （2）①证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵AB＝AE，AD＝AC， ∴△ABD≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE， ∵AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAE， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADC＝∠ACD， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BD＝BE， ∴BE＝CE； ②解：如图3，设CD＝x， ∵△ADE是等腰三角形，∠DAE＝90°，AE＝2， ∴DE2， 由①同理得：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE＝2x，∠ABO＝∠ACE， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠CDO＝∠BAO＝90°， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴（2x）2+x2＝42+42， x2x＝6， ∴S△BDC•BD•CDx（2x）x2x＝6． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等边三角形的性质，三角形的面积等知识；熟练掌握以上知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （人教版）2024-2025学年 八年级数学下册第一次月考检测试卷 （测试范围：第十六和第十七章） 测试时间：120分钟 满分：120分钟 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024春•武汉期中）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024 2．（2024秋•兴庆区校级月考）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（　　） A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 3．（2024秋•兴宾区期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•遂川县期末）一等腰三角形的底边长是12，腰长为10，则底边上的高是（　　） A．15 B．13 C．10 D．8 5．（2024春•滨城区校级月考）给出下列命题：其中，正确命题的个数为（　　） ①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5； ②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°； ③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④△ABC中，若a：b：c＝1：2：，则这个三角形是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024春•淮北期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．2024 D．2025 7．（2024秋•高青县期末）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 8．（2024秋•宝安区校级月考）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 9．（2024秋•顺德区期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于E，交∠CAB的角平分线于F，连接CF、BF，若BF＝5，△CEF的周长为17，则AF的长度是（　　） A． B．10 C．12 D．13 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024春•岳池县期末）在平面直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离是 　 ． 12．最简二次根式与能合并，则a+b＝　 　． 13．（2024秋•招远市期末）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是﹣1和1．过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是　 　． 14．（2024秋•山亭区期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：a※b，例如3※2．那么6※2＝　 　． 15．（2024春•和平区校级期末）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为 　 　． 16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　 cm． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（每小4分，共8分）（2024秋•射洪市校级期中）计算： （1）； （2）． 18．（每小题5分，共10分）（1）已知x＝1，y＝1，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值． （2）先化简，后求值：，其中． 19．（8分）（2024秋•太平区期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离． （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 20．（8分）（2024秋•榆阳区校级月考）二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则2ab＝　 　； （2）已知实数m，n（n≠0）满足，求m﹣n的值； （3）若x，y为实数，且，求x+y的值． 21．（8分）（2024秋•晋江市期中）如图，有一块面积为300平方分米的矩形铁皮，已知该矩形铁皮的长、宽之比为3：2． （1）求矩形铁皮的长与宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是边长为分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 22．（8分）（2024秋•浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中∠AGB＝∠DFA＝∠CED＝∠BHC＝90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB． （1）求证：EF＝DF； （2）若EF＝2，求PE的长． 23．（10分）阅读材料，回答问题： 观察下列各式 ； ； ． 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想：　 　＝　 　； （2）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：　 　； （3）应用：用上述规律计算． 24．（12分）（2024秋•西湖区期末）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连接BE，AD交于点F．求证：BE＝AD，并直接写出∠AFB的度数． 【应用模型】 （2）①如图（2），在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD＝AC，点E在AD的延长线上，且AB＝AE，连接BE，CE，求证：BE＝CE． ②如图（3），△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C恰好在ED延长线上，连接BD，若AB＝4，AE＝2，求△BDC的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$