精品解析：山东省烟台市芝罘区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 -

初三数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列四幅交通标示图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项中，因式分解正确的是（ ） A B. C. D. 3. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 5. “多读书，读好书”是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著，王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据： 时间（小时） 6 5 4 3 2 人数（人） 2 6 4 6 2 关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（ ） A. 众数是6 B. 平均数是4 C. 中位数是3 D. 方差是1 6. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ） A. B. C. D. DE平分 7. 如图，在中，，在平面内将绕点旋转到的位置，使点落在边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点为对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知、、为的三边，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 12. 如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 分式的值为零时，实数的值为________． 14. 已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为______． 15. 在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是______． 16. 如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若四边形的面积为，则平移距离为______． 17. 一组数据方差计算为：，则这组数据的平均数为________． 18. 已知实数m满足x2-3x+1=0，则代数式的值等于____． 19. 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是________． 20. 矩形中，点是的中点，于点，若，，则的长度是________． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解方程：． 22. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）作出以点C为对称中心的图形 （2）平移，若点A对应点A2的坐标为，画出平移后对应的 （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 24. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； （3）请估计全校1000名学生模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 25. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求面积． 26. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 27. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 阶段检测练习题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列四幅交通标示图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题的关键．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是中心对称图形，符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列各选项中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别对各式因式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意； B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意； C、原式=（m-2）2，符合题意； D、原式=-2y（y-3），不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意， 故选：D． 4. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案. 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴正边形的一个外角为， ∴的值为； 故选A 5. “多读书，读好书”是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著，王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据： 时间（小时） 6 5 4 3 2 人数（人） 2 6 4 6 2 关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（ ） A. 众数是6 B. 平均数是4 C. 中位数是3 D. 方差是1 【答案】B 【解析】 【分析】根据各统计数据的定义即可求解． 【详解】解：A：每周在家阅读中外名著的时间为出现的次数最多 故众数为，故A错误； B：，故B正确； C：中位数为：，故C错误； D：方差为： 故D错误． 故选：B 【点睛】本题考查了各统计数据的求解．掌握各统计数据的定义及求解公式是解题关键． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ） A. B. C. D. DE平分 【答案】D 【解析】 【分析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB=∠EBA， ∵点F是AB的中点， ∴AF=BF， ∵∠AFD=∠BFE， ∴△ADF≌△BEF， ∴AD=BE， ∵AD∥BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 7. 如图，在中，，在平面内将绕点旋转到的位置，使点落在边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，求出，再在中，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，交于点O． 由旋转变换的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为天，根据速度路程时间列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 则可列方程为， 故选：A 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形性质推出，，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 11. 已知、、为的三边，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理得逆定理，将等式化为或是解题的关键．先将等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，进而可得或，进而判定三角形的形状即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 或， （舍去负值）或， 是等腰三角形或直角三角形． 故选：B． 12. 如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），连接，作交于，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴, ∴, ∵交于， ∴， ∴, ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴，即③正确； 当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 分式的值为零时，实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为0时满足得条件是解题的关键，易错点在于容易忽视分式的分母不为0． 根据分式值为0的条件①分母不为0，②分子等于0计算即可． 【详解】解：依题意，且 ∴ 故答案为：． 14. 已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，设多项式的一个因式为，则，再根据多项式乘多项式法则展开合并，即可作答． 【详解】解：设多项式的一个因式为， ∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴ 则 ∴ 则 故答案为：． 15. 在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，先求出原数据的平均数，添加一个数使得新数据的平均数不变，则添加的数即为原数据的平均数，据此可得答案． 【详解】解：∵数据4，5，6，5的平均数为， ∴添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则添加的数为5， 故答案为：5． 16. 如图，在中，，，，将沿方向向右平移得到．若四边形的面积为，则平移距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，平移的性质、也考查了平行四边形的判定与性质．先根据含30度的直角三角形得到，再根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到的方程，则可计算出，即得平移距离． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵沿向右平移得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形的面积等于15， ∴， 即， ∴， 即平移距离等于3． 故答案为：3． 17. 一组数据的方差计算为：，则这组数据的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差计算公式和求一组数据的平均数，解题的关键是熟练掌握方差计算公式和平均数的计算公式．先根据方差计算的表达式，得出四个数为5，3，6，4，然后求这四个数的平均数即可． 【详解】解：∵一组数据的方差计算为：， ∴这组数据为5，3，6，4， ∴这组数据的平均数为：． 故答案为：． 18. 已知实数m满足x2-3x+1=0，则代数式的值等于____． 【答案】7． 【解析】 【分析】把m代入x2-3x+1=0中，再同时除以m，求出的值，即可求出的值. 【详解】∵实数m满足x2-3x+1=0， ∴m2-3m+1=0， ∴除以m得：m-3+=0， ∴=3， ∴， =（m+）2-2•m• =32-2 =7， 故答案为：7． 【点睛】本题是对代数式知识的考查，熟练掌握整体代入和完全平方知识是解决本题的关键. 19. 如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 由菱形的性质可得、，由三角形内角和定理结合等边对等角得出，求出，由直角三角形的性质可得，再根据等边对等角即可解答． 【详解】解：∵四边形菱形， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 矩形中，点是的中点，于点，若，，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】作的延长线和的延长线交于点，先根据证明三角形的全等，求出，再根据四点共圆求出，即可求出，得到，根据勾股定理求出，再根据求出的长度． 【详解】解：作的延长线和的延长线交于点， ∵矩形中，点是的中点，于点， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，四点共圆，圆周角的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键．先去分母，变成整式方程，解方程，然后进行检验即可得解． 【详解】解：方程两边都乘以得： ， 解得，， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 22. 化简，再从，，三个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】 当时，原式无意义 当时，原式无意义 当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后分别将，，三个数字代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）作出以点C为对称中心的图形 （2）平移，若点A对应点A2的坐标为，画出平移后对应的 （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别作出点A、B关于点C的对称点，再顺次连接可得； （2）由点A的对称点的位置得出平移方向和距离，据此作出另外两个点的对称点，顺次连接可得； （3）连接、，交点即为所求． 【小问1详解】 如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点P即为对称中心， ∵，，， ∴p的坐标为（， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转和平移的性质作出变换后的对应点． 24. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1）画图见解析 （2） （3）人 （4）甲的综合成绩比乙高. 【解析】 【分析】（1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案； （4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可 【小问1详解】 解：∵，而有20人， ∴有， 补全图形如下： 。 【小问2详解】 解：∵， 而的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83,83； 中位数为：； 【小问3详解】 解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为： （人）； 【小问4详解】 解：甲的成绩为：（分）； 乙的成绩为：（分）； ∴甲的综合成绩比乙高. 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的感觉. 25. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求的面积． 【答案】（1）证明过程见详解． （2）36． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可； （2）连接AF与BE相交于点M，过点A作AN⊥BC，垂足为点N，求出MB，根据勾股定理求出AM，即可得出菱形ABFE的面积，求出高AN，即可得出平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD平行四边形， ∴AD∥BC，即AE∥BF， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∴平行四边形ABFE菱形； 【小问2详解】 解：连接AF与BE相交于点M，过点A作AN⊥BC，垂足为点N． ∵四边形ABFE是菱形 ∴AF⊥BE，AM=AF，AB=BF BM=ME=BE=×8=4， 在Rt△AMB中，由勾股定理得： AM= = =3， ∴AF=2AM=6 ∴菱形ABFE的面积为 AF×BE＝BF×AN ×6×8=5×AN ∴AN=， ∵BC=BF+FC=5+=， ∴平行四边形ABCD的面积是BC×AN=×=36， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，解题的关键是能综合运用性质和判定进行推理． 26. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 27. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）因为为正方形，所以，，又因为，则，即可求证； （2）因为，，则有，又因为，所以，，则，故成立； （3）①过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得的长；②把旋转得到，过作于，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，把旋转得到，过作于， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $