精品解析：河北省沧州市三县学校联考2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试卷

2024~2025学年度第二学期高一年级第一次月考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若与共线，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】因为向量， 若与共线，则，解得. 故选：A. 2. 在中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确； 对于B：根据向量的加法的三角形法则有，故B正确； 对于C：根据向量的减法有，故C错误， 对于D：，故D正确； 故选：C. 3. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 设的夹角为， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 6. 已知向量，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直坐标运算列式，再结合齐次式计算求解即可得出正切值. 【详解】因为，所以， 所以， 解得或. 故选：C. 7. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 由题意知，，，所以， 在中，由正弦定理得：解得， 又，，所以，， 又， 在中，由余弦定理得：， 解得，所以、两岛屿之间的距离为海里． 故选：D． 8. 如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，不共线，可以作为基底； 对于B，方向相反，共线，不能作为基底； 对于C，，共线，不能作为基底； 对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底. 故选：BCD 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对向量新定义运算的理解，结合向量的数量积公式、三角函数关系以及向量模的计算公式来逐一分析各个选项. 【详解】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与垂直的单位向量的坐标为________. 【答案】或 【解析】 【分析】设与垂直的单位向量的坐标为，根据题意可得，解得答案即可. 【详解】设与垂直的单位向量的坐标为， 可得，解得或 ， 故答案为：或 13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得. 【详解】记与交于点O，， 由题知，①， 在中，由余弦定理有②， 联立①②解得， 所以， 因为，所以. 所以， 以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积为，利用扇形面积公式、三角形面积公式和正弦定理进行求解. 【详解】设，则，， 由，，得， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，， 所以，，则， ， 所以， 又知扇形AOB的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为. （1）写出向量的坐标; （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】(1) 由向量的坐标运算即可求解； (2) 由平行四边形的性质结合向量相等即可求出D的坐标. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 设，由，可得， 所以，故. 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由边的关系代入余弦定理可求角； （2）由已知条件结合余弦定理化角为边化简得，求解三角形进而判断形状. 【小问1详解】 在中，因为， 所以由正弦定理得， 由余弦定理得， 由，所以. 【小问2详解】 因为， 故，即，又，则， 所以为等腰三角形. 17. 已知向量满足，且. （1）求向量与的夹角的余弦值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算来求向量的模和夹角即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 ， 由题意知且向量与不共线， 所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 【小问2详解】 设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 19. 在中，是边上靠近的三等分点. （1）若，证明：； （2）若. （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1） 因为是边上靠近的三等分点，所以， 所以， 设内角的对边分别为，则， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以， 化简得， 即. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，在利用余弦定理可得，化简即可； （2）（i）由已知，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式得，则，即可求得面积的最大值；（ii）在中， 由正弦定理，可得，由，利用余弦定理，可得，可得，即可求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）在中，由余弦定理得， 又， 所以， 当且仅当，即为等边三角形时等号成立， 所以， 又是边上靠近的三等分点， 所以， 即的面积的最大值为. （ii）在中，， 由正弦定理，得， 又， 所以， 因为，所以， 由余弦定理，得， 将代入上式，化简得， 所以 ，其中， 当，即时，取得最小值， 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：（2）（i）由余弦定理可得后，再利用基本不等式得；（ii）因为，得到，利用余弦定理角化边，再将由正弦定理得到的代入，化简为，求得的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $