精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期高一年级3月教学质量检测 数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质解不等式得到，再利用交集的定义求解即可. 详解】令，解得，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意利用十字相乘法求解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 则不等式解集为或，故B正确. 故选：B 3. 命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】已知求解时，对条件和结论同时否定即可. 【详解】因为，， 所以，，故A正确. 故选：A 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的性质代入求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故B正确. 故选：B 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数，指数函数单调性可得答案. 【详解】因在上单调递增，在R上单调递增， 则， 即. 故选：C 6. 甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. D. 0.76 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可. 【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确. 故选：C 7. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B 8. 若函数是上的偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义建立方程，求解参数，再代回检验即可. 【详解】由题意得的定义域为，关于原点对称， 因为是上的偶函数，所以， 而，， 则，解得， 此时，， ， 符合题意，故A正确. 故选：A 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 若a，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为6 B. 的最小值为6 C. ab的最大值为9 D. ab的最小值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得出ab的最小值，正数a，b满足，可得，解出即可得出的最小值. 【详解】正数a，b满足，   ，即   ， 解得  ，即ab ，当且仅当时取等号，   ，即ab的最小值为9， 正数a，b满足，   ，即  ， 解得 ，当且仅当时取等号，   ，即的最小值为 故选：BD. 10. 下列命题中，真命题是（ ） A. 函数的最小值为3 B. “”是“”的充分不必要条件； C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“”； D. 设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件； 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断A，D，利用充分不必要条件的定义判断B，利用充要条件的定义判断C即可. 【详解】对于A，令，则， 则函数的最小值不可能为3，故A错误， 对于B，对于充分性，当时，成立，则充分性成立， 对于必要性，令，满足，不满足，则必要性不成立， 得到“”是“”的充分不必要条件，故B正确， 对于C，对于充分性，将代入中， 得到，故充分性成立， 对于必要性，当时，则， 代入方程中，得到， 则，显然是方程的一个根，即必要性成立，故C正确， 对于D，令，， 满足，此时化为， 解得，故， 此时可化为， 解得，故，显然， 则“”不可能是“”的充要条件，故D错误. 故选：BC 11. 设x为实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，.我们把函数叫做取整函数，下列关于取整函数的结论正确的是（ ） A. 对任意，都有； B. 对任意，，都有 C. 对任意，都有 D. 对任意，都有 【答案】AD 【解析】 【分析】利用取整函数的定义判断A，D，举反例判断B，C即可. 【详解】对于A，由的定义得， 则，即，故A正确， 对于B，令，，则，， 得到，即对任意，， 不可能都有，故B错误， 对于C，令，，则， ，即此时， 得到对任意，不可能都有，故C错误， 对于D，令，， 则，， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，对任意，都有，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某单位有男职工人，女职工人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为的样本，则女职工应抽取的人数为________. 【答案】 【解析】 【分析】依据题意求出分层比，再得到抽取的人数即可. 【详解】由题意得男女职工分层比为，而抽取一个容量为的样本， 则女职工应抽取的人数为. 故答案为：20 13. 已知，则的的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 14. 设，利用倒序相加法可求得________. 【答案】5 【解析】 【分析】由，进而利用倒序求和即可. 【详解】由， 记，则， 所以. 所以. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性及倒序求和的思想，属于中档题. 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： （1）编号为1，2的小球同时被取到的概率； （2）所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）先求出样本空间，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 从编号为的5个小球中任意取出3个， 样本空间为 记事件为“编号为的小球同时被取到”， 则，故. 【小问2详解】 记事件为“所取到的三个小球编号之和为偶数”， 则，故. 16. 若二次函数满足，. （1）求的解析式； （2）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出，结合给定条件建立方程，求解参数，得到函数解析式即可. （2）将转化为，利用判别式建立不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为是二次函数，所以设， 因为，所以，此时， 因为，所以， 化简得，对照系数得，， 解得，，则，即的解析式为. 【小问2详解】 由上问知，而对于任意实数， 由成立，得到，即， 得到，解得. 综上，实数a的取值范围是. 17. 如图，学校要在一个直角边长为20m的等腰直角三角形空地上修建一个矩形的花园，根据规划设计，花园的顶点E在的斜边BC上，分别在的直角边上. （1）设（单位：m），矩形花园的面积为S（单位：），写出S关于x的函数解析式； （2）当的长为多少时，花园的面积S取得最大值？求出面积S的最大值. 【答案】（1） （2）当时，S的最大值为 【解析】 【分析】（1）结合题意并利用矩形的面积公式得到函数关系即可. （2）利用二次函数的性质求解最值即可. 【小问1详解】 因为三角形是等腰直角三角形，所以， 得到， 则矩形花园的面积， 即. 【小问2详解】 由上问得，由二次函数性质得对称轴为， 而当时，S取得最大值100，即当时，S的最大值为. 18. 从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 （1）求频率分布直方图中的、的值； （2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 【答案】（1）， （2） （3）（小时） 【解析】 【分析】（1）利用频数、频率和总容量的关系可求得、的值； （2）利用表格中的数据可求得结果； （3）将每组的中点值乘以对应组的频率，将所得结果相加可得平均数. 【小问1详解】 由频率分布直方图和表格中的数据可得，解得，，解得. 【小问2详解】 由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生，这名学生课外阅读时间少于小时的频率为. 小问3详解】 由题意，样本中的名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为 （小时）. 19. 设函数. （1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参数范围即可. （2）对的大小情况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间即可. 【小问1详解】 由二次函数性质得对称轴， 因为函数在上是单调函数， 所以或，则实数m的取值范围是. 【小问2详解】 若，则， 假设存在实数，使得函数的定义域为，值域为， 分以下情况讨论：（i）若，函数在上单调递增， 由题意得，即， 解得，与矛盾，排除， （ii）若，函数在上单调递减， 由题意得，即， 解得，此时， （iii）若，函数在上单调递增，在上单调递减， 由题意得，解得，因为， ，所以， 解得，此时， 综上所述，存在实数，或， 使得函数的定义域为，值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一年级3月教学质量检测 数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. D. 0.76 7. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是上的偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 若a，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为6 B. 的最小值为6 C. ab最大值为9 D. ab的最小值为9 10. 下列命题中，真命题是（ ） A. 函数的最小值为3 B. “”是“”的充分不必要条件； C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“”； D. 设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件； 11. 设x为实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，.我们把函数叫做取整函数，下列关于取整函数的结论正确的是（ ） A. 对任意，都有； B. 对任意，，都有 C. 对任意，都有 D. 对任意，都有 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某单位有男职工人，女职工人，若根据性别采取分层抽样的方法，从中抽取一个容量为的样本，则女职工应抽取的人数为________. 13. 已知，则的的最大值为________. 14. 设，利用倒序相加法可求得________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： （1）编号为1，2的小球同时被取到的概率； （2）所取到三个小球的编号之和为偶数的概率. 16 若二次函数满足，. （1）求的解析式； （2）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 17. 如图，学校要在一个直角边长为20m的等腰直角三角形空地上修建一个矩形的花园，根据规划设计，花园的顶点E在的斜边BC上，分别在的直角边上. （1）设（单位：m），矩形花园面积为S（单位：），写出S关于x的函数解析式； （2）当长为多少时，花园的面积S取得最大值？求出面积S的最大值. 18. 从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 （1）求频率分布直方图中的、的值； （2）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 19. 设函数. （1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； （2）若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$