精品解析：江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

2024/2025学年度春学期 高三第一次联考数学学科试题 （总分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 已知复数z满足，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算求出，根据共轭复数的概念求出，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以复数的虚部为， 故选：B. 3. 已知向量，，，，满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行关系得，再利用乘“1”的方法求最值，即可求解. 【详解】因为向量，，，， 由，得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的性质结合所求双曲线的焦点位置即可得到答案. 【详解】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． 5. 对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么四位数的“渐升数”共有（ ） A. 126个 B. 91个 C. 84个 D. 125个 【答案】A 【解析】 【分析】在中任取4个数，其大小关系确定，故只需任取4个即可，结合组合数运算求解. 【详解】在中任取4个数，其大小关系确定，所以“渐升数”共有个. 故选：A. 6. 已知函数满足，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得关于对称，所以，再由，即可得出答案. 【详解】由可得关于对称， 所以，所以， 因为，所以a的最小值为. 故选：A. 7. 某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.9 C. 0.8 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】先算出同时爱好羽毛球和乒乓球的概率，利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：0.4+0.5-0.6=0.3， 设“该同学爱好羽毛球”为事件A，“该同学爱好乒乓球”为事件B. 则,, 所以. 故选：D. 8. 已知等差数列的前n项和，若，数列的前n项和为，且，则正整数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可. 【详解】当时，， 当时，，符合上式，故， 所以， 故， 由，得， 整理得，化简得，得（舍去负值）． 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式的二项式系数的和为128，且，则（ ） A. B. 除以13所得的余数为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数公式可得判断A；根据，可判断B；利用赋值法即可求解C；求导并赋值，即可求解D. 【详解】由，可得，A正确； ， 故除以13所得的余数为1，B错误； 令，则， 令，则，故，故C正确； 对求导可得： ， 令可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，该函数单调递增 B. 存在使得该函数为轴对称图形 C. 当时， D. 任意，过点可做函数两条切线 【答案】AC 【解析】 【分析】求出导函数，判断，即可判断A，根据函数值的特征判断B，求出导函数，计算即可判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，求出，即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 当时，，所以恒成立 所以在上单调递增，故A正确； 对于B：因为 ， 所以关于对称， 且当时，当时，三次函数的图象不可能为直线， 所以无论为何实数，不可能是轴对称图形，故B错误； 对于C：当时，，所以， 则，故C正确； 对于D：设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，解得或， 所以当时，过点的切线有且只有一条，故D错误. 故选：AC 11. 已知椭圆的左右焦点为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若直线经过点，则的最小值是 C. 椭圆上存在四个点，使得为直角三角形 D. 若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可得选项A错误；根据弦长公式计算可得选项B正确；根据点在以为直径的圆上可得选项C正确；利用点差法可得选项D正确. 【详解】 由题意得，， ∴，即，A错误. 由A得，， 当直线垂直于轴时，直线方程为， 将代入椭圆方程得，，. 当直线不垂直于轴时，设直线方程为， 由得，， ∴， ∴ ， ∴当直线垂直于轴时，的最小值是，B正确. 由题意得，以为直径的圆，圆心为，半径为，故圆方程为， 由得，或或或， ∴椭圆上存在四个点，使得为直角三角形，C正确. 设，则， 两式相减得， ∵线段中点为，则， ∴， ∴直线的方程为，即，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决选项B的关键是利用弦长公式计算可得通径长最短.解决选项C的关键是圆方程与椭圆方程联立得到四个根.解决选项D的关键是利用点差法计算斜率. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，，则的值为______． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性可求解. 【详解】因为随机变量且，所以， 则. 故答案为：0.3. 13. 已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用圆锥的体积公式计算即可． 【详解】如图所示， 圆锥SO中，底面圆半径为， 高为， 所以圆锥SO的体积为：. 故答案为：． 14. 若不等式（其中e是自然对数的底数），对恒成立，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不等式对恒成立，即对恒成立，则，再利用导数求得函数得最小值即可求解. 【详解】不等式对恒成立， 即对恒成立， 所以. 设，则， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）证明：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）因为， 所以由正弦定理有，则． 因为，， 所以， 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转换，结合两角差的正弦公式、正弦函数性质进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质求出角的取值范围，结合正切的二倍角公式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为锐角三角形， 所以，，， 解得， 则， 又，则，因为在上单调减， 所以，即． 16. 已知数列的前n项和，数列的前n项和． （1）求，的通项公式； （2）若，求的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由通项公式与前n项和的关系，作差即可求解； （2）由错位相减法即可求解； 【小问1详解】 因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时，， 此时满足上式，故． 因为数列的前n项和， 所以当时，； 当时， ，此时满足上式， 故． 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 两式相减得， 化简得． 17. 直三棱柱，已知∠ABC为直角，，，线段上有一点M，线段存在一点N，使得面MAB． （1）求CN长； （2）若二面角所成角余弦值为时，求AB长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法来求平面MAB的法向量，由共线，可求出假设的参量即可解决问题； (2)利用空间向量法来求两平面的法向量，再利用二面角的余弦值可得到方程求解即可. 【小问1详解】 以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，．设，， 则，，， 设平面MAB的法向量，则, 令，得，即． 由题意，，即，故， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量，则 ， 令，则，即． 而平面PAC的法向量． 所以． 由题意得， 解得，即． 18. 已知椭圆C：的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； （3）已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意． 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为．设，， 由得，所以，． 因为，所以，- 即，整理得，化简得， 所以直线l的方程为，所以直线l过定点． 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和椭圆过点，列方程求出即可得出椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系及可得或，即可求出直线l的方程； （3）分析直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系及可得，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 因为椭圆C的离心率为，且过点，则，， 又，解得，，所以椭圆C的方程； 【小问2详解】 因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为，设，， 由，消去y整理得， 则，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，则， 所以，即 整理得， 所以， 即，解得或， 因为， 显然当或时，成立，所以直线l的方程为或； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知函数． （1）若时，，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）设，若，当且仅当，求b的取值范围． 【答案】（1）a的最小值为－1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，并求出，再根据可求的最小值； （2）根据题意可证，即可得证； （3）令函数，据题意当且仅当时，，故．通过分析排除，从而确定，得到，，分，两种情况分析的单调性，结合题意即可确定b的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为． 当时，． 因为，所以，等号成立当且仅当． 由题意，，所以. 故a的最小值为－1. 【小问2详解】 因为的定义域关于3对称， 且， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为点． 【小问3详解】 令函数， 依题意当且仅当时， 所以． 若，因为，所以存在，使，矛盾， 从而，故． ． 若，当时，，从而，在区间单调递减， 当时，，不符合题目要求． 若，当时，．从而，等号成立当且仅当，故在区间单调递增， 当时，符合题目要求． 因此b的取值范围是． 【点睛】思路点睛：第二问根据函数中心对称的充要条件可证明；第三问，利用导数研究函数的单调结合分类讨论的思想计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度春学期 高三第一次联考数学学科试题 （总分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 3. 已知向量，，，，满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么四位数的“渐升数”共有（ ） A. 126个 B. 91个 C. 84个 D. 125个 6. 已知函数满足，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.9 C. 0.8 D. 0.75 8. 已知等差数列的前n项和，若，数列的前n项和为，且，则正整数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式的二项式系数的和为128，且，则（ ） A. B. 除以13所得的余数为2 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，该函数单调递增 B. 存在使得该函数为轴对称图形 C. 当时， D. 任意，过点可做函数两条切线 11. 已知椭圆的左右焦点为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的取值范围为 B. 若直线经过点，则的最小值是 C. 椭圆上存在四个点，使得为直角三角形 D. 若线段中点为，则直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，，则的值为______． 13. 已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，则此圆锥的体积为______． 14. 若不等式（其中e是自然对数的底数），对恒成立，则实数k的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）证明：； （2）求的取值范围． 16. 已知数列的前n项和，数列的前n项和． （1）求，的通项公式； （2）若，求的前n项和． 17. 直三棱柱，已知∠ABC为直角，，，线段上有一点M，线段存在一点N，使得面MAB． （1）求CN长； （2）若二面角所成角余弦值为时，求AB长． 18. 已知椭圆C：的离心率为，且过点，直线l交椭圆C于不同的两点M和N． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，求直线l的方程； （3）已知点，若点A是椭圆的右顶点，M和N两点都在x轴上方，且．证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 19. 已知函数． （1）若时，，求a的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）设，若，当且仅当，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $