期末大单元复习过基础 大单元整合1 三角形的证明-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

期末大单元复习 系统查漏补缺，科学分层复习 过基础 大单元整合1 三角形的证明 知识整合梳理 两底角① (简称“等边对等角”) 性质顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线② (简称“三线 等腰三角形 合一”)潮题技巧 有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义） 判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 解题技巧()等腰三角形“三线合一”是证明两直线垂直的重要方法，也是处理等腰三角形问题中常 见辅助线的作法； (2)等腰三角形中的分类讨论主要有两种：边：是腰还是底边：角：是顶角还是底角 性质：三边相等，三个内角相等，且都等于③ 等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形（定义） 判定)三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于④ 的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的⑤ 角 性质直角三角形的两个锐角⑥ 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 直 有一个角是直角的三角形是直角三角形（定义） 明 角 有两个角⑦ 的三角形是直角三角形 角 判定 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三角形 全等：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立 命题与证明互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和 条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 逆命题 线段的垂性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离⑧ 直平分线判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 角平分线 ,性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离⑨ 判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 典题针对训练 【典题1】如图，在△ABC中，AB=AC,点E在AB上，DE⊥BC于点D,交CA的延长线于点F (1)求证：△AEF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BE=4,AE=2,求CD的长. 解题依据：(1)问中用到的等腰三角形的判定依据是 ;(2)中用到的等边三角 形的判定依据是 【融会贯通】如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F,DE=DF (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)若∠A=60°，BE=1,求△ABC的周长. 【典题2】已知a,b,c是△ABC的三边长，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是 () A.a=2,b=5,c=3 B.∠A+∠B=∠C C.(a+b)2+(a-b)2=2c2 D.∠A:∠B:∠C=2:3:4 (勾股定理的逆定理（根据边的关系判定） 解题依据：直角三角形的判定依据 两锐角互余（根据角的关系判定） 【融会贯通】如图，在边长为1的正方形网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上， ∠ABC=90°. (1)求四边形ABCD的周长； (2)连接AC,试判断△ACD的形状，并求四边形ABCD的面积. 2 【典题3】串题训练在△ABC中，小明利用尺规作了如图所示的痕迹，已知AD=4,DE=2. (1)观察图中的尺规作图的痕迹，可以判断直线DF是线段AB的 ,射线AE是∠DAC的 (2)线段BE的长是 (3)若EG⊥AC,EG=1,则△ADE的面积是· 【融会贯通】 (1)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB,AC于点M,N;再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点 P:连接AP并延长，交BC于点D.下列结论错误的是 () A.AD是∠BAC的平分线 B.∠ADC=60 C.点D在线段AB的垂直平分线上 D.S△ABD：S△ABc=1:2 (第(1)题图) (第(2)题图) (2)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A,C为圆心，大于2AC的长为半径作 弧，两弧相交于点M,N;②作直线MN,交边BC于点P,连接AP.若∠C=45°，∠B= 30°，AC=4√2，则AB的长为· 易错易混专训 1.已知等腰三角形两个内角的度数之比为1：4，则它的顶角的度数为 【陷阱提示】题干中两内角的度数之比指向不明，需分类讨论：①顶角：底角=1：4：②底 角：顶角=1：4. 2.在△ABC中，BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC边于点D,E,且 DE=4,则BD+CE的值为 【陷阱提示】注意边AB,AC的垂直平分线必然相交，其交点可能在△ABC的内部，也可 能在外部. 3.若△ABC的三边a,b,c满足(a一b)(a2十b2一c2)=0,则△ABC的形状为 【陷阱提示】两因式相乘的积为0，则这两个因式中至少有一个的值为0，故需分类讨论。 4.在△ABC中，∠C为钝角，∠A=48°.如果经过△ABC其中一个顶点作一条直线能把 △ABC分成两个等腰三角形，那么∠C的度数为 【陷阱提示】题干中未明确把△ABC分成两个等腰三角形的直线过哪个顶点，故需分类 讨论。 提示 清完成P20重点巩固1对发训练 3I3.1)量明，：ED,EF是△AC的申位线，EDFC,EF∥DC,四边 ∠F,∠F+∠EAF=1,,AECF,,四边形ACE是平行四边形 (2)解：解不等式工十10，得⊙一1解不擎式交(r十4)<3，得士<2 形EFD是平行四边形，品OE=三EC(2)解：”网边形EFD是平行四 期末大单元复习 ,“.不等式组的解集为一1<2把不等式组的解集表示在数轴上如图氏示 边形，DF一OD一4.？ED,E下是△AC的中位线，D,F分判是AC, 过基础 BC的中点，.DF是△ABC的中位线.AB=2DFa& -2-10123 火单元整合1 14.柱明：(1)：四边形ACD是平行边形，：∠A=∠CD,由拆叠的性 【典题411)x>3(2)x>1(3)0<x61 如识整合棱理 质，得∠EG=∠A,,∠BCD=∠ECG..∠CD-∠ECF=∠ECG [融会蛋海】B 香相等②互相意合③6”①65⑦一单面互余的互介阅相 ∠CF,即∠CB一∠FCG.()四边形ABCD是平行曾边形，，∠D一 【典题5】解，(1》①图投每个A型笔记本的价格为元，每个B型笔记本 等①相等 ∠B,AD-BC由折叠的性题，得∠G=∠D,CG一AD,·∠B=∠G,BC= 【典题1(1)任明："AB=AC,∠B=∠C,:FD⊥BC,∠F+∠C= ∠B-∠G, 的价格为丁元酸端整痘腾，5“都得”容：每个A壶笔记 士+y=8, CG,在△EBC和△FGC中，C=GC, o°，∠BED+∠B=90.∠F=∠BED.∠IED-∠FEA,∠F= '.△EBC≌△FCCCASA) 本的价格为3元，每个B型笔已本约价格为5元（答案不军一(2）设A型 ∠FEA.AE=AF.,△AEF是等酸三角形.(2)解，在Rt△BDE中， ∠CB=∠F. 笔记本期买：个，则雨买B笔记木(50一4)个.根国题意，得3a中5(0 15,证明：(1》连接AC,交BD于点O,连接AE,AF,:E,F是BD的三等 Y∠B=60,六∠BED=90-∠B=30,六BD=支E=2,”AB=AC, )200,解得a25.客：A智笔记本至少的买25个. 分点，BE=EF=DF,G是A出的中点，BE=EF,G是△ABF的 ∠B=0°，”△ABC是等边三角形.BC=AB=AB十BE-4CD=C 【融会贯通1解：（小）设y,=1上把(2,640)代人·得24，=640，解得= 中位线.∴，EGAF,AF=2EG.同提可得FH∥AE,四边形APCE是平 -BD=4 30.J单=320丝.投J上=k:1+60.把(6,100)f代人，得6论：+G40= 行四边形.“CE=AF-22C.(2)由(1)知四边据AFCE是平行西边带， 解题依据：(1D等角对等边()有一个角等于0的要三角形是等边三角卷 1600,解得k:=160.E=160r+G40,(2)根据题意，额160x+640< ,OA=OC,OE=DF.由1加BE=DE,,OB=OD.∴，国边形ABCD是 【慰金贯通】1)证月：D为C边的中点，BD四CDDE⊥AH,DF⊥ 30x,解得>4，甲当人住改数大平4发时，这帮乙种“乐住卡“北甲种“乐 平行图边形 AC.∠ED=∠CFD=90.在R:△HDE:△CDF中， 住卡”更为划算 易情小满（十一） 易编易混专调 1.A1.C3.B 、B-E:△BDE△CDF(HL).÷∠B-∠C·AB-AC 132.w23.1山 4B【易撞点我】对平行四边形的判定方法翼解不透周南致精 △AC为等腰三角形.(2》解：：△ABC为等腰三角形，∠Am60°， 大单元整合3 5D6.CT,AD=BC答案不准一)深.18°男.310.6 :△AC为等边三角形.∠B=0,”∠BED=90.∠DE=90° 如识整合能理 11,解：段这个多边形的边数为n,根则题意，得180°×(n一2)=50°×3十 ∠B-30,“,BD一2BE-2.:C-2D=1.,△AC的周长为3C=12 心形款中大小平行审相等相等@旋转角功1附③对 80°，解得=9，，这个多边彩的边数为9.【易错.点我】对多边形的内角 【共题21D 将中心 和，外角和理解不透和面置情. 【类题1】D 【驰会里通】解，(1)：AB=4,C-3.CD=√3+一i,AD=+于 I2.正明，￥AE⊥BD.CF⊥BD,÷,∠AEB=∠CFD=90°.，BF-DE 【脑会贯通】解：∠C=0°，∠A=60°，∠AC=90一∠A=0,AB ,BF-EF-DE一EF,即BE=DF.在RtAABE和Rt△CDE中， 5V2.i元边形ACD的风长为AB十BC十D+AD=4+3+5+52 =2AC=L.由平移的性质，得DF=AC=2,∠FDE=∠A=0,:BF⊥ AB-CGD:R△ABER△CDF(HL.÷∠ABE-∠CDR.AB∥ 12十5区.()t接AC:AC=干=5，CD-5,AD=52,∴.A+ DE,∠FHD=90,∠DFB=0-∠FDE=30,∴BD=。DF=1 BE-DF. CP=50=A伊，AC=CD.△ACD是等餐直角三角形，且∠ACD=0' CD,因边形AD是平行四边形 “5aa=56a-8w-号AC,CD-专BC·AB=是X5X5-× .AD一AB一BD=8.,平移的真为发 3.《11正明：国边思ACD是平行再边形，OD=出，ADC 【典题2】昆维星现：AC ∠EO=∠FO,∠DEOm∠HFA.△DEXa△BFOCAAS.DE■ 3x4-号 《1)正明：△ABC是等边三角用.，”∠ACB一0”.由能转的性威，得CD BF.2)解，h《1》知BF=DEDE+CF=5,,BF十CF=BC=5,,四 -CE,∠D-∠ACB-60.△CDE是等边三角形.()解：△CDE 【典题S1(1)事直平分级平分线(2)6(3)2 是等边三角形，DE=CD.”△ABC是等边三角形，AC=C=AH= 边形ACD是平行西边形，六0C=AC=3,D=20:.AC⊥D, 【附金贯通11)D(2)8 B.由装转的性质，得AE■D时7，△ADE的周长为AE+DE十ADAE ·∠BOC-90在Rt△C中，OB=√E一OC-4.BD-2OB-& 易桶易混麦裙 +DC+ADAE+AC15. 1,20°拔120°2,6发143，等要三角形或直角三角思成等厦直角三角息 14.《1证明，：D,E分测是边AB,AC的中点，六DE∥BC,DE-号BC 【雕会贯通】解，1h餐转的性质，得DC=AC,:∠ACB=90,∠ABC- 4.99减108减116 0',,∠A=一∠ABC一0°.：△DAC是等边三角形.，∠DCA=G0', 大单元整合2 DEC原，CF-言BC,DE-CT四功形CDEF悬平行西攻形. 即前转角a的度数为60(2)CE⊥AB.星曲如下，由1)，得∠A=60°.由 知识整合棱理 黄转约性质，得CE=CB,∠E=∠ABC-30',∠CDE一∠A=6行，∠CE 2解：”国边形CDEF是平行国边形.5am一50o一号气a=4. ①>·②之③>④>⑦<®<①186xa@无解 -∠ACB-90,∴.∠CBE-∠E-30.·∠ABD=∠ABC+∠CBE=60 【典题11B -∠CDE∴AB∥CD.∠CE=90,CECD.CEAR 'E是边AC的中点，45aam-25a-8.D是边AB的中点，山Sam 【融会衡通】A 【题3】解：1》如图，△AB,C甲为所求.(6,2)2》如图：△ABC 【典惠2】>8w7 即为所求.(3)如图，AB,C即为所求.（一2，一3）《4)(1，一2) 15.(1》证明：：四边形ABCD是平行因边形，∴.DC∥AB,∠DCB= 恩量星现：小 ∠DAH=60.∠ADE=∠CBF=60,AE=ADC下CB.△AED: 【附会贯通B △CFB是等边三角形.∠E=∠BCF=60°，∠FE=∠拟C下十∠D用 【题311)x23>00<r62 =120'.∠E+∠FCE=180°，AECF,六四边形AFCE是平行四边 形.《2)解，成立.E明如下，：四边形ACD是平行四边形，CA出， 边有生方 ∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB..∠E+∠EAF=1B3',∠ADE (2)23 ∠CBE.AE=AD,CF-CB,∠E-∠ADE,∠F-∠CBF..∠E= 【融会贯通】(1)A -61 62 63