第1章 三角形的证明 课堂训练-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时全等三角形与等腰三角形的性质 知识梳理♪ 两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等，记 判定 三角形全等 为AAS.判定两个三角形全等的其他方法有 性质 全等三角形的对应边 、对应角 性质 等腰三角形的两底角相等，简述为等边对 等腰三角形 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的 及底边上的高线互相重合 在等腰三角形中求角度时，若没有指出所给的锐角是顶角还是底角，则要分情况 解题策略 讨论；若给出的内角是直角或钝角，则此角必为顶角 针对训练 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC 1.一个顶角为126°的等腰三角形，它的底角 上，且BD=AD,∠A=36°，则∠DBC的 的度数为 ( 度数为 A.18°B.24° C.27° D.34° 6.将下面的推理过程补充完整： 2.如图，AB,CD相交于点O,△OCA≌ 如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是 △OBD,AO=6,BO=4,则CD的长为 BC,AC上的点，且BD=CE,连接AD,DE 若∠ADE=∠B,求证：AD=DE A.9 B.10 C.11 D.12 B D (第2题图) (第3题图) 证明：，AB=AC(已知)， 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于 ∴.∠B=∠C( 点D (1)若∠BAC=100°，则∠CAD的度数为 ,∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+ ∠BAD,∠ADE=∠B, (2)若BC=8,则BD的长为 ∠ =∠ (等式的基本 4.如图，已知AB=AC,在不添加辅助线的 性质) 前提下请再添加一个条件： ∠B=∠C, 使△ABE≌△ACD 在△BAD和△CDE中， BD=CE, '.△BAD≌△CDE( ). ∴.AD=DE( B (第4题图) (第5题图) 第2课时等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质 知识梳理♪ 等腰三角形的 等腰三角形两底角的平分线 ,两腰上的高 ,两腰上的中线 特殊性质 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 针对训练♪ 5.如图，将一个等边三角形剪去一个角后， 1.如图，已知等边三角形ABC,则∠1的度 ∠1十∠2的度数为 数为 A.60° B.90° C.120 D.150 (第5题图) (第6题图) 6.如图，在△ABC中，AB=AC,BE,CD分别 是∠ABC,∠ACB的平分线，且BE,CD交 于点O.有下列结论：①∠ABE=∠ACD: (第1题图) (第2题图) ②BE=CD;③OC=OB;④CD⊥AB,BE⊥ 2.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于 AC,其中正确的是 .(填序号) 点D.若BD=3,则AB的长为( ) 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是 A.6 B.4 C.3 D.2 AB,AC的中点，F是BE,CD的交点. 3.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边 (1)求证：△ABE≌△ACD: 上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F, (2)求证：△BCD≌△CBE. DE⊥BC,交AB于点E,则∠EDF的度 数为 A.50° B.60° C.65° D.75° (第3题图) (第4题图) 4.如图，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点 C在直线b上，∠1=40°，则∠2的度数为 ( A.100° B.90 C.80° D.60° ·2· 第3课时等腰三角形的判定与反证法 知识梳理 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 反证法 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法 针对训练♪ 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°， 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=3,则 BD平分∠ABC,交AC于点D.求证： AD=BC. AC的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 2.根据下列条件能判定△ABC是等腰三角 形的是 ( ) A.∠A=30°，∠B=60 B.∠A=70°，∠B=50° C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=60°，∠B=80° 3.用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有 7.如图，在△ABC中，∠DAC的平分线与 一个为0”时，第一步应假设 ( BC的延长线交于点E.用反证法证明： A.a=0,b=0 B.a≠0，b≠0 AB≠AC C.a≠0，b=0 D.a=0,b≠0 4.一块三角形木板的残余部分如图所示，测量 出∠A=100°，∠B=40°，AB=3cm,则这块 三角形木板另一边AC的长是 cm. (第4题图) (第5题图) 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B, CE∥DA,交AB于点E.若BC=10,则 CE的长为 ·3 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识梳理♪ 三个角都 的三角形是等边三角形 等边三角形的判定 有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形 含30°角的直角 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 三角形的性质 当题中出现15°，120°，150°求线段长度时，可考虑构造30°的角，再构造直角 解题策略 三角形 针对训练 5.如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， (点B,C为小路端，点)和一棵小树（点A为 AB=4,则AC的长是 小树位置)，测得相关数据如下：∠ABC= A.3.5 60°，∠ACB=60°，BC=48m,则AC的长 B.3 为 m. C.2.5 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= D.2 120°，AD⊥AB,交BC于点D,AE⊥AC,交 2.下列图形一定是等边三角形的是( BC于点E.求证：△ADE是等边三角形 3.在△ABC中，∠A=60°，添加下列条件后，仍 不能判定△ABC是等边三角形的是( A.AB=AC B.∠A=∠B C.AB⊥BC D.∠B=∠C 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是 AB边上的高，∠A=30°，AB=16,则下列 结论正确的是 A.BD=4 B.CD=4 C.AC=8 D.CD=8 D (第4题图) (第5题图) ·4 2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 直角三角形的两个锐角 性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的 等于斜边的平方 直角三角形 有两个角 的三角形是直角三角形 判定 如果三角形两边的 等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三角形 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 互逆命题与 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过 互逆定理 证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理 针对训练 5.有下列命题：①直角都相等；②若ab>0 1.在一个直角三角形中，一个锐角是40°，则 且a十b>0,则a>0,b>0;③一个角的补 另一个锐角的度数是 ( 角大于这个角.其中原命题和逆命题都为 A.70° B.50° 真命题的是.（填序号） C.30° D.10° 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 2.下列各组数中，不能构成直角三角形的一 BC=2,则AC的长为 组是 ( ) 7.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点， A.3,4,5 B.5,12,13 AB=13,AD=12,AC=15,BD=5. C.7,24,26 D.8,15,17 (1)求证：AD⊥BC: 3.如图，AB∥DF,AC⊥BC于点C,CB的 (2)求△ABC的面积. 延长线交DF于点E.若∠A=20°，则 ∠CEF的度数为 A.110 B.100° C.80° D.70° 4.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列不能 判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A=∠B-∠C B.∠A:∠B:∠C=3：4：5 C.a2=(b+c)(b-c) D.a:bc=5:12:13 ·5. 第2课时直角三角形全等的判定 知识梳理 直角三角形 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“ 全等的判定 (1)“HL”只适合直角三角形，不适合一般三角形； 解题策略 (2)判定两个直角三角形全等，既可以用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”,也可以用“HL” 针对训练 5.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且 1.如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,若用 AD=BE,∠1=∠2.求证：Rt△ADE≌ “HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等， Rt△BEC 则需要添加的条件是 A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD=CB 2.下列条件不能判定两个直角三角形全等 的是 ( 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF A.两个锐角分别相等 (1)写出图中所有全等的三角形： B.两条直角边分别相等 (2)从(1)中选择一对全等三角形进行证明， C.一条直角边和斜边分别相等 D.一个锐角和一条斜边分别相等 3.如图，点E,C在BF上，BE=CF,∠A ∠D=90°，请添加一个条件： 使Rt△ABC≌Rt△DFE. (第3题图) (第4题图)》 4.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB= DC,∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O, 则有 ≌ ,其判定依 据是 ,还有 ≌ 其判定依据是 6· 3线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 针对训练 3.如图，D是△ABC的边BC延长线上一点， 1.如图，已知CD是AB的垂直平分线， BD=BC十AC,则点C在线段 的 AC=4cm,则BC的长是 垂直平分线上. A.8 cm 4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接 B.6 cm AD,点E在线段AD上，且∠1=∠2， C.4 cm ∠3=∠4，求证：AD垂直平分BC. D.2 cm 2.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别 交AB,BC于点D,E,连接CD,∠ACD= 20°，∠B=45°，则∠A的度数是( A.60°B.65°C.70 D.75 E B C (第2题图) (第3题图) 第2课时 三角形三边的垂直平分线 针对训练♪ 3.如图，已知△ABC,求作：AB边上的高 1.甲、乙、丙三人玩抢凳子游戏，他们站在一 CH.(不写作法，保留作图痕迹) 个三角形的三个顶点位置上，在他们中间 放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜.为使游 戏公平，则凳子应放在三角形的( A.三边中线的交点上 B.三条角平分线的交点上 C.三边垂直平分线的交点上 4.如图，已知线段a,求作以线段a为底边， D.三边上高的交点上 2.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 以为高的等腰三角形.（不写作法，保 线交于点P,连接AP,BP,CP.若∠BAC 留作图痕迹) 50°，则∠PBC的度数为 A.40 B.50° C.80° D.100° 4角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 针对训练 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 1.如图，∠B=∠D=90°，根据角平分线的 ∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3, 性质填空： BD=5,则BE的长为· (1)若∠1=∠2，则 4.如图，BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E, BF和CE交于点D,且BE=CF,连接 (2)若∠3=∠4，则 AD,求证：AD平分∠BAC. 2.如图，PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点 N,PM=PN,∠BOC=20°，则∠AOB的 度数为 (第2题图) (第3题图) 第2课时 三角形的三条角平分线 针对训练♪ 3.如图，O是△ABC内一点，且点O到三边 1.如图，在△ABC中，BO与CO分别是 AB,BC,CA的距离OF=OD=OE,∠A= ∠ABC与∠ACB的平分线.若∠BAC 70°，连接BO,CO,求∠BOC的度数. 52°，则∠BAO的度数为 A.25° B.26 C.30° D.32° 2.如图，某市有一块由三条马路围成的三角 形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小 憩，使小亭中心到三条马路的距离相等， 试确定小亭中心的位置.（尺规作图，不写 作法，保留作图痕迹) 817..(5)如。八A.BC跟为所求.②如:△A.BC胆为所求 课堂练 2 直角三角 (2)转中心的坐标为(0.一3). 第一章 三角形的证明 第1课时 或角三形的性腐与判定 1.三角形 知识梳理 第1课时 全等三角形与等腰三角形的性质 互余 平方和 互余 平方和 知识梳理 针对线 对边 SSS.5A5.ASA 相等 相等 等角 中线 1.B 2.C 3.A 4.B 5.2 625 针对证练 7.(1明.AB-13,AD-12,BD-5.$AD+BD-169.AF-169 1.C 2.B 3.(1)50” (2)4 4.AD-A(答案不-) 5.36] $.A-AD+BD.$△ABD为角三角形,且ADB-90△AD 6.第对等角 BAD CDF /BAD-/CD AA 全等三角系的 18.(1)证明:AB-AC.D是BC的中点..AD分乙BACDE aC.(2).AD1BC.i乙ADC-0.在△ADC.CD- 应等 AB.DF IAC..DF-DE.(2)解.:DEAB.i./BFD-9./B VAC-AD-.2aC-CD+an-14.$=BC.AD-x14x 30-乙BDE-”AB-AC.C-乙B-5'.乙BAC-180'-乙B 第2课时 等腰三涌形的特殊性质与等选三角形的性质 -C-1. 知理 12- 第2 19.等,(3)设每台A型电礼的选骨是5元,则每合B型电乱的进价是 相等 相等 相等 60” 监角三么形全等的定 却说梳理 针对路 H 1.C 2.A 3.B 4.C 5.240* 6.②② 2000是题方程的根,且符合题意。2+400-2000+400-?400.答:每台 计对练 7.证明.(1D:AB-AC.D.E分别是AB,AC中点...AD-BD-AF- A.型视的进价是2000元,每台B型电机的进价是2400元.(2)设购进 1.D 2.A 3.D-AC(答不-) A-AD. A型电机:台,购进B型电机(30一a)台,般据题意,得2000a十 4. Rt^ABC Bt△DCB HL. △ABO △DCO AAS CE.在△ABE和△ACD中.乙A-乙A.△ABE△ACD(SAS). 2.400(30-)70000,解得5.答:至少需要购进5台A型电机。 5.班:.'1-2.&DE-FC 在R △ADER△BFC中 AH-AC. DE-FC..R△ADEaR:△BEC(HL). 20.(1明.CNA.'/DAM/NCMM是AC的点..'AM -C. 乙DAM-CNCM. AD-HE. (2AB-AC乙DICCB在△ICD和△CB 乙DBC乙EC。 -CM.在AMD和△CMN中.AM-CM. 2.△AMD△CMN 6.解:(1)△ABD△ACD.△ADE△ADF.△BDE△CDF.(2)答 a~Cg. 乙AMD-CMN. 不一.如:选ABDE△CDF证明如下:DE1AB.DF1AC -△BC△CBE(SAS. (ASA)△.DM-NM&四边形 ADCN是平行四形.2.CD-AN .乙BEDCFD-90”.D是BC的中点.BD-CD.在R△BDE程 △CDr中问E一C学 第3课时 等三角形的判定与反证法 .BD-CD.-R△BDFR△CDFOHL). (2:AC1DN.乙CAN-30'.MN-1.AN-2MN-22AM VAN-M-③.AS-AM·M-x5X1-.(1知四 知识梳理 等角等 3 线经的睡直平分线 计对 对练 边形ADCN是平行四边形..Sm*s-45-4x③-2、 1.B 2.C 3.B 4.3 5.10 1.C 2.C 3.AD 6.证明.A-AC.乙AC-C乙A-3.ABCC- 21.第:(1)由旋转的性看,得乙BAD-40”,AB-AD..乙ABD-乙D-1 4.证:1乙2.乙乙4.B-.乙1+2+乙4. (180*-乙A)-7”BD平分乙ABC1-乙2-乙ABC-36。 乙ABC乙ACB.2点E在BC的直平分线上.AB一AC2.点A在BC X(1B0”一乙BAD)-70”-BC平分乙ABD.乙ABC-乙ABD-35”。 的重直平分线上AD宜平分BC .1A. DC1+ACADBD.BCBD 第2课前 三角形三选的直手分 -MAN-.乙ACB-3-乙ABC-55.(2△ABD是三 .ADBC 针对练 形 理电E:.HC分/AD /AB/BBE”AD HC: 2.:论AACABAC.i/BACBDC/B 1C2.A 乙AB-乙DB. 乙ACB-?乙ACB·AE平分DAC...DAC-2CAE..乙ACB- 3.解:如图,线段CH为所求 2.BEA- BED-90”在△ABE△DBE中.BE-BE. 乙BA-乙BED. CAE.AE/BC.这与乙DAC的平分线与BC的题长线交干点E相 2.AABE△DBE(A5A)..AB一DB.由转的性质,提AB-AD. .AB-AC不立...ABAC 2.AB-BD-AD2.△ABD是等边三角形.(3)过点 F作FH1AC于点 第4课时 等边三角形的到定与含30角的直角三角形的性质 知说 (露3题图) H.由(2)舞△ABD是等边三角形。2.乙ABD-60。BC平分乙ABD。 相等 60一率 (第(题) .乙AaC-乙ABD-30.:ZMAN-90°AAB1AC-FH/AB. 4.解:如图,△ABC即为%求. 计对详 4角分线 1D2B 3C 4A 5.4 .CFH=ABC=CH=CF-2FH-C-CH-. 第1课时 角平分线的性度与文 证:”AB-AC乙BAC-120”.乙B-C-(18*-乙BAC)- 针对 AF平分 CAB..CAF-乙CAB-45.AFH-90-CAF 1.(1)BC DC (AB AD 2.40* 3.4 30°.-AD1AB.A1AC:BADCA-0'$: ADg-]3- -5-:A¥H-CAF.2AH-FH-2AC-CH+AH-2+ 乙BAD-B-.乙AFC-180-CAF-C-:乙EAD-18 4. 证 ·. AC.CEAB /ED CFD9 在△BDE 乙BD-CFD. 2.:nC-2AC-4+45 一乙ADB-乙AEC-0'2.乙ADE乙AED=乙EAD2.△ADE是等 ACDF甲.乙BDE-CDF.-△BDEICDF(AAS)..DF-DE 三珍. In-CF. -37 -短 -- .AD分乙BAC. 针对诞练 20r.设-r+100.(20,300)代,得20。+100-300,得-10 第2课时 三角形的三条角分路 1.B 2.B 3.A 4.3 5.5 -10r+100.(2) y,得2010+100,解得10. 针对 6.等;(1)移项,合并回项,提24.面边除以2.得1?.这个不等式 y.得20r-10r+100.解得v-10.由y,得20r10+100.解 1.B 的解集在数轴上的表示姓围所示. 10.上析述,当人园次数小于10次时,选择甲消费卡比较合算;当人 2.幅:如图,点P即为所求 -一。1一 园次数等于10次时,选择两种清费卡费用一样;当入园次数大于10次时 (2)移项,合并数项,得一3r一9.两边都除以一3.得1<一3.这个不等式 选乙清费卡比校合篇 的解集在数轴上的表示如图所示. 6-元一不试组 第1课时 颤较隔的一元一次不等式组 3.解:.点0到三边AB.BC.CA的距离OF一0D-0E...0分 知识梳理 (3)去括号,得5r-5<4+2z.,得5-2<4+5.合并闻项,得r 公共部分 无解 乙ABC.CO平分乙ACB.:.OBC-1乙ABC.OCB-1乙ACB 之.两边都除以3.得3.这个不等式的解集在数输上的表示如图所示. 针难练 1 .OBC+乙0CB-(乙AaC+乙ACB)-1s-乙A)-5 1.D2.C 3.D 4.2 (4)去分每,得13-3(-2)2.去括号,得15-3+52.移项,得 5.解;(1)解不等式①,得3.解不等式②,得5.2不等式组的解 2.B0C-180'-(z0pC+0CB)-125° 一一2一1一6.合并同类项,得一一24.两边都除以一,得 是C5.幅集在数抽上的表示如图所示 第二章 一元一次不等式与一元一次不。 21.这个不等式的集在数轴上的表示如图所示. 1 不美 士1),十1 针对临 (2)哪不等式①,得:2.解不等式②,得一22夏不等式组的解是 1.A 2.B 3.D 4.1C40 12.解集在数上的表示如密所示 第?课时 一死一次不等式的应用 2-。),) 5.:0131.(2+10.(332y+3.(4)y-0(5+25 t对诞t 第2深时 1.A 2.D 3.4 较复杂的一元一次不等式级与应展 ()+8 4.等:设需要祖用工揭甲融客车:则祖用(一等乙种客车,眼漏随宜:得 牡对 2 不善式的基本性历 45-+30(8-3一300,部得24.答,至少看要用种客车4 1.C 2.B 3.士1.0 针对蕴 5.解:设商店老板每辆白行车可以降价:元,根题意,得720一1-400 4.解.(1)解不等式①,得1一1.解不等式②,得2.2.原不等式组的 1.A 2.C 3.1 (2) (3 400×40%,解得160.答,高店老板每辆自行车最多可以降价160无 是一1<2.(20不等式①,得>1.解不等式②,得4..原不 4.解:(15.(2)z-1.(30r>10.(0<-3. 6.解,设需借调:名工人.根据题意,得5×10×10+(30-10)×10(: 式组的解集是1<24.(3)解不等式①,得3.解不等式②,得16 5)2000,解得12.5.:为整数.^.1的最小为3.答。至少需借词3 3 不善式的解则 .不等式组的集是13.(4解不等式.得一3.不等式, 名工人. 知识梳理 一2.原不等式组的幅集是一312. 所有解 集 >), 5一元一实不等式与一涵数 第1课时 一元一次不等点与一次数 针对练 30~2. 知识 1.A 2.C 3.A 4.-12(答案不唯-) 第三章 图形的平移与转 rrrzr 1 形的移 5.解,(1)如图图. 针对详高 1课时 平移的念,性质及作图 -)-1 1.C2.日 3.A4r-15-2 如说梳理 (2)图所. 方向 距离 大小 平行 相等 平行 稻等 相等 -. 士古11 针对谢练 6.解:(1)襄立 _. 1.C 2C 3.C 4.D (3如图所示. 5.解:知图.△AB.C即为所求 -1--1--1-1 (2)根图象,得不等式2一-+4的集为 (4)如图所示. 对练 第?课时 一元一次不等式与一次品数的应用一-方案选择 1.B2.C 6..(1)AE/C.ACDF,BCEF(2AD-CF-BE-? m(3AF 3.第;在甲场购买付(-100)×90%+100-0.9x+10(元),在乙商 6.解:(1)不等式1二看无数个解,如。--1.r-0.--1.(2)不等式。 CF. ABC-65..BC-ABC-65?BCF.EFC+ 胸买应付(-50)×95+50-0.95r十2.5(元).①若两家南场物花费 BCF=180°乙EFC-180*-乙BCF=115 一样,0.9+10一0.x+2.5.得:-150.②若到甲高场狗物花少。 <有3个正整数解,分则为z-1.:-2.x-3. 第2课时 沿工轴或y物方向一次平移的生标变化 则0.9+10、0.%:+2.5.解得150.③若则乙育场购物花费少,期 针对 4一元一次不等式 0.9+10>D.95+2.5.解得1<150.综上所述,一次购物超过100元但 1.A 2.C3.(-6.9) 64.左 5.(1.2) 6.(3.2) 第1课时 一元一次不等式的解法 少干150元时,{乙场购物花费少,※一次购物150元时,预面家商场数 第3课时,没土勃,特方向两次平精的松变化 知识 物花费一,当一次数物超过150元时,死甲南场购物花少. 整式1 针难练 4.解(1设y-.(5.1003代人,得5$-100,得-20.2y” 1.D2.B 一40 -41一 -42一