1.4 角平分线-【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版）

失.A10.27 7.解，如图，点P甲为所求 核心考点实破 11.解：如图，点P甲为所求 1.C2.B3.154.9 12.解，(1)￥DM,EN分别垂直平分AB,AC,,AD一BD,AE-CE 5.《1》解：，AB-AC,AD⊥BC,,.∠BAD-∠CAD,∠ADC=90° △ADE的周长为6，AD+DE十AE=6.BD十DE+CE=6,事C ∠BAD=∠CAD=0一∠C■45，(2》证明：：EF∥AC,∠F .2》由1》知AD-BD,AE-CE,∴∠B-∠BAD,∠C-∠CAE在 ∠CAD:∠BAD-∠CAD,∠BAD=∠F..AE-FE. △AC中，∠B+∠C=180°-∠AC=0,∠BAD+∠CAE=∠B+ ￥.A9,D 6.证期，(1)“△ABC为等边三角形，，AB-AC,∠BAC=∠B-∠ACD ∠C-8.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)-20 19.1》压明.过点O作OM⊥AB于点M.BD平分∠ABC,OE L BC =0°，∴∠ACD=180”-∠AB=10,CE平分∠ACD.∠ACE= 13.解，小星的作法如容因①所示，方法正确.理山虹下，”点P在AB的毛 (AN⊥AB.OE=AM,OE■F,.FmAM,OF⊥AC,点O在 ∠ACD-0-∠B.又CE-BD,△ABDOAACE8AS.(2)墙(D 直平分线上·PA=PH,∠PAB=∠B.∠AFC=∠PAH十∠B ∠BAC的平分线上，(2)解：连报OC由(1)知DE=CF-0M.在R1△ABC 2∠B小红的作法如容周②所示，方法错图.观由如下，：PA≠PB,∠P4B≠ 知△ABD≌△ACE,.AD=AE,∠CAE-∠BAD.∴.∠DAE-∠BAC- ∠丛，：∠AF-∠B+∠PAB,∠APC≠2∠H《任选-的即可》 电7AC=5,BC=12,5w=交AC·BC=0,AB=√AC+风■ 的，，△ADE为等边三角形. T.D米B9,B 1.:56c=56r+56=+56m7×120E+是×80E+号X]30E 1《1)正明&￥AN⊥OB,BMLOA,,∠OfP=∠ONP=0°在 =30.,0E-2. RAPOME和R△PON中.0.RAPOM@R△PON CHL. 1,解：(I):AD,CE分料是∠HMC,∠CA的平分线，”∠FAC= .PM=PN.()解，在Rt△AON中，：∠AOB=30',QA=2AN- 答图① 容需② z∠BAC,∠PCA-∠BCA.÷∠FAC+∠PCA-2∠BAC+∠BCA》 ON=VOA-AN=23.OM=ON=23. 4角平分线 11.B12.2w5 第1深时角平分线的性发与判文 -718时-∠B)-60.六∠Ar-1w-（∠PAC+∠PCA)-12 1.C2.C31 13《1)证期：，AD是△AC的角平分线，DE,D下分别是△ABD和 (2)下-DE.证明如下，过点F作FG⊥C于点G,FH⊥AB于点H,生 △ACD的高，DE=DF,点D雀线段EF的看直半分线上，在 4.任明，”AC平分∠BAD,CE⊥AB.CD⊥AD,∠CEB=∠D=90°，CE 接BF.AD,CE分别是∠BAC∠CA的平分线：G=FH,∠ABF■ =CD,在R△CBE和R△CFD中，CB-CE,:R△CBERIA△CFD ∠CBF-室∠ABC-0.·∠BFH-∠BFG-90'-30-0.∠HFG R△ADE和△MDE中，设-P:△AEa△DF(H CE-CD. AE=AF点A在线段EF的康直平分线上，”AD重直平分EF (HI)...BEFD =∠BFH+∠BFG=10.∠EFD=∠AFC=120°，∠EFH 5.36.C7.A ∠DFG.∠EHF-∠DGF-90,-△EFI≌△DFG(ASA).EF- (2)m,s4-S+Sa-1,DE-DP,六7AB·DE+壹AC: 保.证明：DE⊥AB.DF⊥AC,∠DEB=∠DFC=p0.'D是C的中 DF. 点BD-Cm,在△BDE和△CDF中，股-CP:R△BDE 专题师：和用角平分线构西全等三伦形解题【通性通法】 DF-AB+AC·DE-15.∴DE-号.：AD是△ABC钩角平分线， 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC-90,”∠D=0,CD Rt△CDF(HL).DE=DF点D在∠BAC的平分线上.拜AD是 AD.:AC平分∠BAD,:CD一CF.在Rt△ADC和RI△，AFC中 ∴∠BAD-是∠HAC-30∴在R△ADE中，AD-2DE-5 △AC约角平分发， 9.C10.D11.56°12.6 CDCE:R△ADCGRLAAFCCHL.AD-AR.同圆.得F-BB, 第二章一元一次不等式与一元一次不等式姐 1不等关系 I3.E明，过点E作EF⊥DA下点F.,∠C=B0',DE平分∠ADC,,CE AB-AF+BF-AD+BE 1.B2.C3D4.B5.D =EF,E是C的中点，BE=CEBE=EF.'∠B=0”,EF⊥AD: C■FC, 6.解：1)2以一4>0.42)x十3<x.(3》设小用跑步的第度为am/s,小属跑 ,AB平分∠BAD 【堂式愿】证法一：正阴：在△BCE和△FCE中，∠CE一∠下CE, 步的速度为6曲/，则6{》授苹果的质量为■kg,香然的质量为6k: I4.解：(1)DE垂直半分AB,AE=BE,∠BAE=∠B=30°.AE CEeCE, 则a十b30. 平分∠BAC,∴.∠BAC-2∠BAE=0°.∠C=180°-∠BAC-∠B= ,△BCE2△FCE(SAS》,·∠B-∠CFE.AD/BC,∠A十∠B= 7.B8.(1)2x+310x)25(2)29x+28(10-x)430 90°，(2)AE平分∠MC,∠C=90°，DE⊥AB,,“.E=D=2.DE毛 10,∠CFE+∠DFE-10°，：∠A-∠DFE.在△ADE和△PDE中， 9,解：答案不电一，如：(1》长方形花腰的长为xm宽为ym:流花国的周长 直平分AH,∠BDE=0,在Rt△BDE中，：∠B=0,∴HE=2DE= ∠A=∠DFE, 小于10m(2)学教组领闻学们春善，都用45儒靠车x辆，的属靠车y舞 4.÷,BC=BE+CE=& ∠ADE-∠FDE,.AADEAAFDE(AAS).∴AD=FD.,CD=FDt 酸客总量不少平00人， 15,《1)证期：过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F,”CE⊥AD, DE-DE. 2不署式的基本性质 ,∠DEC-∠F-90,∠D+∠AC-1o',∠CBF+∠ABC-18, FC-AD+BC 1.C-2.(1)<《2<《3)>3.且4.1)<(2》<(3》> ∠D=∠GBF, MD-CD. ∠D=∠CBF,在△CDE和△CBF中， ∠DEC-∠F,.△CDE2 证法二：正明：在△DME和△DE中，∠MDE=∠CDE,△DA时E 5解：1)银出不等式的基本性数2，两边都乘一子，得不<一0，(2)银黏不 CDmC出. DE-DE. 等式的基本性质1，再边冪相3x,得x2 △CBECAAS).CE-CF.AC平分∠DAH,(2)解：△CDE≌ △DCE($As..ME=CE,∠M=∠CE.,∠DCE=∠CE,∠M= 6.C7.A米.(1》2(2)<(3) △CBF,·BF-DE-.在R:AACE南RE△ACF中，ACAC ∠BCE,?AD∥B,∠MAE=∠B,在△AAME和△BCE中： 9.解，10>=<《2)2：2-2z-〔x2一2x》=2x2-2一x+2a=2 CF-CF. ∠M=∠BCE, x30,2x-2xx2-2x ,R△AC2☑R△，ACR(HL).AF=AE=1O.,AB=AP-BF=6. ∠MAE=∠B,△ANE2△HCE{AAs).AM=BCCD=ND= 3不等式的醉集 幂2课时三角帮岭二条角平分线 ME-CE. 1.A2.A3.A4.C5C 1.A2.B3.3 AD+AM-AD+BC. 6,解：(1)解集在数轴上表示如图所承 4.正明：，AP平分∠B4C,PF⊥AD,G⊥AE,.PF=G.,BP平分 2证明：过点E作FFLC于点F,则∠HFE=∠CFE=90.:HD半分 ∠CBD.PF⊥AD,PH⊥C,PF=PH.G-PH.YPGLAE.PHL ∠AC,EA⊥AB,EA-F,∠BAE-∠BFE-90'.在R1AABE和 1十方寸十 BC,CP平分∠BCE (2)解集在数箱上表示如图所示， 5.解，：点D到△AC三边的面真椎等，BD,AD分别为∠CBA R△FEE中，EEFR△ABE☑R△PEEH.·AB-FRE -EC,EF LBC.FB-FC..BC-2FB-2AB. 31十十方方寸 ∠GAB的平分线..∠CA-2∠DBA:∠CAB-2∠DAB.”∠ADE- 7.D 8.A 9.C ∠DBA+∠DAB-50°，：∠CBA+∠CAB-2(∠DBA+∠DAB=10O 第一章日钠与提升 10.解，1)不等式的两边韩系3，得x<6,解集在数轴上表示妇图所示 ∠C10°-∠CBA十∠CAB)=80, 思罐异图核理 4.A 等角等边60相等0°一半相等相等 -2-0T236 一7 一8 94 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 A④夯基础·逐点练 知识点2角平分线的判定 知识点①角平分线的性质 5.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C, 1.(2024·青海中考)如图，OC平分∠AOB,点 PD⊥OB于点D,PC=3cm.当PD的长为 P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA cm时，点P在∠AOB的平分线上. 的距离是 A.4 B.3 C.2 (第5题图) (第6题图) D.1 6.如图，AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D.若 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分 CB=CD,且∠1=30°，则∠CAD的度数是 ∠ABC,交AC于点D.,AC=15cm,AD 9cm,DE⊥AB于点E,则DE的长为()》 A.90 B.60° C.30° D.15 A.9 cm B.7 cm C.6 cm D.5 cm 7.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示， 则到∠AOB两边距离相等的点是( A.点M B.点N (第2题图) (第3题图) C.点P 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB D.点Q 于点E.若AC=2,DE=1,则△ACD的面积为 8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DEI AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF 4.如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB,CDI 求证：AD是△ABC的角平分线， AD,垂足分别为E,D,点F在AD上，且 CB=CF.求证：BE=FD. 23 芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北师大版 B提能力·整合练 14.(教材P30习题T3变式)如图，在△ABC 9.(2024·云南中考)已知AF是等腰三角形 中，DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点 ABC的底边BC上的高，若点F到直线AB的 D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°. 距离为3，则点F到直线AC的距离为( (1)求∠C的度数： A号 (2)若DE=2,求BC的长. B.2 C.3 n号 10.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥ OA,ED⊥OB,垂足分别是C,D,连接CD. 下列结论不一定成立的是 A.DE=CE B.EO平分∠DEC C.OE垂直平分CD D.CD垂直平分OE 11.两把完全相同的长方形直尺按如图所示的 方式摆放，两把直尺的接触点为P,其中一 把直尺边缘恰好与射线OA重合，而另一把 直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射 线OA交于点M,作射线OP.若∠BOP C培素养·拓展练 28°，则∠AMP的度数为 15.(教材P31例3变式)如图，CB=CD, ∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于点E. (1)求证：AC平分∠DAB: (2)若AE=10,DE=4,求AB的长. B (第11题图) (第12题图) 12.如图，OE平分∠AOB,∠AOE=15°，DE∥ OB,交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若 EC=3,则OD的长为 13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C 90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求 证：AE平分∠BAD. 第一章三角形的证明 24 第2课时 三角形的三条角平分线 A夯基础·逐点练 5.如图，点D到△ABC三边的距离相等，连接 知识点①三角形角平分线的性质与判定 BD,AD,BD的延长线交AC于点E.若 L.到三角形三边的距离都相等的点是三角形的 ∠ADE=50°，求∠C的度数 A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 相交于点O,下列结论正确的是 ( A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1=2∠2 知识点2三角形角平分线的应用 B 1 6.如图，三条公路把A,B,C三个村庄连成一 (第2题图) (第3题图) 个三角形区域，某地区决定在这个三角形区 3.如图，△ABC的外角的平分线BD,CE相交 域内修建一个集贸市场.要使集贸市场到三 于点P,PF⊥AC于点F,PH⊥AB于点H, 条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 PG⊥BC于点G.若PF=3,则PH的长为 A.三角形三条角平分线的交点 4.(教材P32习题T2变式)如图，在△ABC B.三条边的垂直平分线的交点 中，D,E分别是边AB,AC延长线上的点， C.三角形三条高的交点 AP平分∠BAC,BP平分∠CBD,PF⊥ D.三角形三条中线的交点 AD,PG⊥AE,PH⊥BC,垂足分别为F,G, 7.如图，三条笔直的公路l1,2,l两两相交，交 H.求证：CP平分∠BCE 点分别为A,B,C.要在△ABC的区域内建 一个到三条公路距离相等的仓库P,请在图 中画出点P的位置，（尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹) 25 芝麻助优三点分层作业数学八年级下所北师大版 B提能力·整合练 C培素养·拓展练 8.如图，△ABC的三边AC,BC,AB的长分别 1L.(教材P31随堂练习变式)如图，在△ABC 是8,12,16，O是△ABC三条角平分线的交 中，∠ABC=60°，AD,CE分别是∠BAC, 点，则S△an#:S△Wc:S△ac= ( ∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F A.4:3:2 B.1:2:3 (1)求∠AFC的度数： C.2:3:4 D.3:4:5 (2)猜想EF与DF之间的数量关系，并证明 你的猜想. (第8题图) (第9题图) 9.(教村P32习题T4变式)如图，l1,l2,l3表示 三条相互交叉的公路，现在要建一个加油 站，要求它到三条公路的距离相等，则可供 选择的地址有 ( A.1处B.2处 C.3处 D.4处 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是 Rt△ABC的角平分线，点O在BD上，过 点O作OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F, OE=OF. (1)求证：点O在∠BAC的平分线上： (2)若AC=5,BC=12,求OE的长. 0 提示 猜完成几何专练（二） 第-章三角形的证明26 专题特训：利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】墨 模型呈现及分析： 证法二（补短法）：延长DA到点M,使MD (1)如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM于点A. CD,连接EM(请将证明过程补充完整) 作PB⊥ON 于点B 结论：PA=PB,△AOP≌△BOP: (2)如图，OP是∠MON的平分线，A是射线OM上 任意一点 在U上载敬 0B=OH.连接PB 结论：△AOP≌△BOP. 本质：“角平分线十戴长补短法”构造全等三角形。 1.如图，∠D=∠E=90°，AC,BC分别平分 ∠BAD,∠ABE,点C在线段DE上，求证： AB=AD十BE. 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E是 BD上一点，EA⊥AB于点A,且EB=EC. 求证：BC=2AB. 【变式题·一题多解】如图，AD∥BC,点E 在线段AB上，∠ADE=∠CDE,∠DCE= ∠BCE.求证：CD=AD+BC 证法一（藏长法）：在CD上取点F,使FC BC,连接EF.(请将证明过程补充完整) 27 芝麻助优三点分层作业数学八年级下册北饰大版