信息必刷卷05（新高考八省专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

2025年高考考前信息必刷卷05（新高考八省专用） 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A D B C B D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．10 13．15,72 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）若选择①②， 由可知，或，（3分） 因此或，（5分） 结合可知，选择①②时，不存在；（6分） 若选择②③ 由利用正弦定理可得，（2分） 又，可得，显然不成立，（5分） 即选择②③，也不存在.(6分) 若选择①③，利用正弦定理可得，即，（2分） 又，可得，此时存在；（4分） 所以可得.（6分） （2）由可得，（8分） 由可得；（11分） 所以的面积为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）数列是等差数列，且，， 所以，（2分） 设等差数列公差为， 所以，（3分） 所以，（4分） 所以，（5分） 所以.（6分） （2）因为， 当为整数时，则为整数，（7分） 所以，（8分） 所以有5项为整数.(9分) （3）因为，所以，（10分） 数列的前n项和. 设， 于是，（12分） 两式相减得，（13分） 所以，（14分） 所以.(15分) 17．（15分） 【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 .（1分） .（2分） 故，. 设表示零件直径，则，即.（3分） 则，（4分） ，即.（5分） （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为，（6分） 则，（7分） ，（8分） ，（9分） ，（10分） ，（11分） 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望.（13分） （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，，（15分） 则，（16分） ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为.(17分) 18．（17分） 【解析】（1）由，得， 记，所以，（1分） 当时，恒成立，为增函数，不符合题意；（2分） 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，（4分） 因为在区间上不是单调函数，所以，解得 即的取值范围为.（5分） （2）方程， 当时，显然方程不成立，所以，则.（6分） 方程有两个不等实根，即与的图象有个交点， 且，其中， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增.（8分） 当时，，当时， 则当时，且当时，取得极小值，（9分） 作出函数的图象，如图所示：    因此与有个交点时，，即，故的取值范围为.（11分） （3）由题得在上恒成立，即恒成立， 即，（12分） 令， 则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，（14分） 当时，令， 则，所以函数在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点，（16分） 且当时，，则， 当时，，则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以.(17分) 19．（17分） 【解析】（1）由题意得：，(2分) 解得.（3分） 故折叠前椭圆的标准方程.（4分） （2）当时，直线的方程为：， 联立，解得，，（5分） 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则： ，，，， 故，， 设平面的法向量为，则 ，即. 取，则，，故， .（8分 ） 平面的一个法向量为， 故.（9分） 设平面与平面的夹角为，则. 即平面与平面所成角的余弦值为.(10分) （3）以原来的轴为轴，轴正半轴为轴，轴负半轴为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设折叠前，则折叠后，， 设直线的方程为，其中， 联立，消去x得：， 显然，且，,（11分） 由，，得， 即①，（12分） ， ②，（13分） 由①②得：， 即是， ， 即，（15分） 即是，解得，（16分） 注意到，故， 从而存在满足条件的，且.（17分） 试卷第2页，共22页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷05（新高考八省专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：2025年高考数学改革将延续“文起理落”的命题原则，即以文科生为命题起点，命制一部分易得分的试题，同时以理科生为着落点，命制思维量大、具有综合性及探究性的试题，即低起点、多层次、高落差，突出对数学思维和核心素养的考查，从而提高试卷的区分度，加强拔尖创新人才的选拔功能。整体来看，2025年高考数学将延续“稳中求变”的命题思路，学生需在保持常规复习节奏的基础上，适度提升对新题型的适应能力，同时通过错题归因精准补强知识漏洞。 高考·新考法：1.新定义问题，将创新性与综合性、灵活性整合，有利于引导减少机械刷题。例如第11题。 2.知识交汇问题，将学科内知识交汇，甚至将学科间知识交汇是今后几年高考命题改革的一个方向，例如，第14题，将平面向量与双曲线巧妙融合，第18题，将正态分布、超几何分布、全概率公式有机综合，第19题，将空间向量与椭圆知识完美交汇，这些试题立意新颖，综合性强，有较高的训练价值。 3.解答题的题量增大，本卷第16、17、18、19都有3个小问。信息来源于2025年八省联考，其中4道大题有3个小问。 高考·新情境：情境题目的创新性、实时性成为新亮点。 例如第5题，以古代数学文化为背景，在考查等比数列知识的同时，借助我国古代取得的数学成就，激发民族自豪感； 第9题，第11题，第19题，分别以销售智能手机、冬运会、工厂机器生产为背景，体现了数学来源于生活、也服务于生活，分别考查了“五育”中的智育、体育、劳育，同时也激发了学生学习数学的兴趣。 命题·大预测： 预测1：数学文化题，例如第5题。 预测2：新定义函数题，例如第11题。 预测3：社会热点题，例如第9题，第13题，第17题，。 预测4：知识交汇题，例如第14题（双曲线与向量的交汇），第17题（正态分布与超几何分布的综合），第19题（空间向量与椭圆的交汇）。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象是（   ） A． B． C． D． 5．如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（   ） A．2两4铢 B．2两14铢 C．3两2铢 D．3两12铢 6．若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 7．如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 8．直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某手机商城统计的2024年5个月智能手机的销量（万部）如下表所示： 月份 7月 8月 9月 10月 11月 1 2 3 4 5 2 2 3 4 根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（    ） A． B．与正相关 C．当月份编号增加1时，销量增加0.5万部 D．预测2025年6月份该手机商城的销量约为6万部 10.已知函数，，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于对称 C．函数的所有零点构成的集合为 D．函数在上是增函数 11．若函数的图象上存在无数个点，使得在这无数个点处的切线重合，则称为“共切线函数”，则下列函数中是“共切线函数”的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知角的终边过点，则 . 13．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行. 4男3女共7名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人.若只考虑3个场馆的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个场馆至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到冰球馆，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案)(前一空2分，后一空3分). 14．已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于、两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积. 16．（15分） 已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)试问有多少项为整数？ (3)求数列的前n项和. 17．（15分） 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 18．（17分） 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围. 19．（17分） 平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为（）的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8.现将平面沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前C的标准方程； (2)当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值； (3)探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 7 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷05（新高考八省专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：2025年高考数学改革将延续“文起理落”的命题原则，即以文科生为命题起点，命制一部分易得分的试题，同时以理科生为着落点，命制思维量大、具有综合性及探究性的试题，即低起点、多层次、高落差，突出对数学思维和核心素养的考查，从而提高试卷的区分度，加强拔尖创新人才的选拔功能。整体来看，2025年高考数学将延续“稳中求变”的命题思路，学生需在保持常规复习节奏的基础上，适度提升对新题型的适应能力，同时通过错题归因精准补强知识漏洞。 高考·新考法：1.新定义问题，将创新性与综合性、灵活性整合，有利于引导减少机械刷题。例如第11题。 2.知识交汇问题，将学科内知识交汇，甚至将学科间知识交汇是今后几年高考命题改革的一个方向，例如，第14题，将平面向量与双曲线巧妙融合，第18题，将正态分布、超几何分布、全概率公式有机综合，第19题，将空间向量与椭圆知识完美交汇，这些试题立意新颖，综合性强，有较高的训练价值。 3.解答题的题量增大，本卷第16、17、18、19都有3个小问。信息来源于2025年八省联考，其中4道大题有3个小问。 高考·新情境：情境题目的创新性、实时性成为新亮点。 例如第5题，以古代数学文化为背景，在考查等比数列知识的同时，借助我国古代取得的数学成就，激发民族自豪感； 第9题，第11题，第19题，分别以销售智能手机、冬运会、工厂机器生产为背景，体现了数学来源于生活、也服务于生活，分别考查了“五育”中的智育、体育、劳育，同时也激发了学生学习数学的兴趣。 命题·大预测： 预测1：数学文化题，例如第5题。 预测2：新定义函数题，例如第11题。 预测3：社会热点题，例如第9题，第13题，第17题，。 预测4：知识交汇题，例如第14题（双曲线与向量的交汇），第17题（正态分布与超几何分布的综合），第19题（空间向量与椭圆的交汇）。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 2．已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 3.已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 4．函数的部分图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为，， 则为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC， 又，排除B，只有D符合， 故选：D. 5．如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢，1斤=16两），且按从小到大的顺序排列后前3项构成等差数列，后7项构成公比为2的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（   ） A．2两4铢 B．2两14铢 C．3两2铢 D．3两12铢 【答案】B 【解析】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为， 由题意知，，，得， 则，，，铢两14铢． 故选：B. 6．若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则，故. 故选：C. 7．如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，， 设，则由得：， 由抛物线定义得：， 由此可知在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 由抛物线定义得：，，， ，从而得， ， 解得. 故选：B. 8．直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】根据题意利用正四面体的性质得出棱长与高之间的关系，再由10个球在正四面体盒子内部摆放规则以及内切关系，利用三角形相似即可求得的最大值. 如图所示， 因为正四面体的高等于其棱长的倍，所以其高为. 10个半径为的小球放进棱长为的正四面体中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为个， 当取最大值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 则该正四面体的棱长为， 可得正四面体的高. 连接并延长交于点，连接，过点作于点， 易知，所以， 所以， 所以正四面体的高， 解得，所以的最大值为2. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某手机商城统计的2024年5个月智能手机的销量（万部）如下表所示： 月份 7月 8月 9月 10月 11月 1 2 3 4 5 2 2 3 4 根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（    ） A． B．与正相关 C．当月份编号增加1时，销量增加0.5万部 D．预测2025年6月份该手机商城的销量约为6万部 【答案】AB 【解析】由表中数据，计算得，所以， 则，解得，A说法正确； 由回归直线方程中的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，B说法正确； 当月份编号增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误； 2025年6月份对应的月份编号，，D说法错误； 故选：AB. 10.已知函数，，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于对称 C．函数的所有零点构成的集合为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【解析】对于A，，其最小正周期为，故A错误； 对于B，，其图象关于对称，故B正确； 对于C，，由（），故C正确； 对于D，，由，所以函数在上为增函数，又，所以D正确. 故选：BCD. 11．若函数的图象上存在无数个点，使得在这无数个点处的切线重合，则称为“共切线函数”，则下列函数中是“共切线函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A项，，其中为锐角且， 显然直线是图象的切线且切点有无数个，故A项正确． 对于B项，，则， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 当时，，单调递珹， 当时，，单调递增， 所以（为常数）至多有两个解， 即不存在无数个点处的切线斜率相同，故B项锴误． 对于C项，作出的部分图象，如图所示： 则的图象与直线相切，切点的横坐标分别为， 所以是“共切线函数”，故C项正确． 对于D项，，则， 注意到，， 所以在点处的切线方程均为，故D项正确． 故选:ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知角的终边过点，则 . 【答案】10 【解析】由角的终边过点，得， 所以. 故答案为：10. 13．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行. 4男3女共7名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人.若只考虑3个场馆的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个场馆至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到冰球馆，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案)(前一空2分，后一空3分). 【答案】15,72 【解析】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板，共有种分配方式；第二空，先将3女分配到3个场馆，有种， 再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到冰球馆有1种，然后将剩余两组分配到其他两个场馆，有种分法，所以共有种分配方式. 故答案为：15,72. 14．已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于、两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】设另一个焦点，连接、、，设，则      再根据双曲线的定义可知：，， 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：① ②③． (1)求的值； (2)当时，求的面积. 【解析】（1）若选择①②， 由可知，或，（3分） 因此或，（5分） 结合可知，选择①②时，不存在；（6分） 若选择②③ 由利用正弦定理可得，（2分） 又，可得，显然不成立，（5分） 即选择②③，也不存在.(6分) 若选择①③，利用正弦定理可得，即，（2分） 又，可得，此时存在；（4分） 所以可得.（6分） （2）由可得，（8分） 由可得；（11分） 所以的面积为.（13分） 16．（15分） 已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)试问有多少项为整数？ (3)求数列的前n项和. 【解析】（1）数列是等差数列，且，， 所以，（2分） 设等差数列公差为， 所以，（3分） 所以，（4分） 所以，（5分） 所以.（6分） （2）因为， 当为整数时，则为整数，（7分） 所以，（8分） 所以有5项为整数.(9分) （3）因为，所以，（10分） 数列的前n项和. 设， 于是，（12分） 两式相减得，（13分） 所以，（14分） 所以.(15分) 17．（15分） 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 .（1分） .（2分） 故，. 设表示零件直径，则，即.（3分） 则，（4分） ，即.（5分） （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为，（6分） 则，（7分） ，（8分） ，（9分） ，（10分） ，（11分） 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望.（13分） （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，，（15分） 则，（16分） ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为.(17分) 18．（17分） 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围. 【解析】（1）由，得， 记，所以，（1分） 当时，恒成立，为增函数，不符合题意；（2分） 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，（4分） 因为在区间上不是单调函数，所以，解得 即的取值范围为.（5分） （2）方程， 当时，显然方程不成立，所以，则.（6分） 方程有两个不等实根，即与的图象有个交点， 且，其中， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增.（8分） 当时，，当时， 则当时，且当时，取得极小值，（9分） 作出函数的图象，如图所示：    因此与有个交点时，，即，故的取值范围为.（11分） （3）由题得在上恒成立，即恒成立， 即，（12分） 令， 则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，（14分） 当时，令， 则，所以函数在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点，（16分） 且当时，，则， 当时，，则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以.(17分) 19．（17分） 平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为（）的直线l与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8.现将平面沿x轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前C的标准方程； (2)当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值； (3)探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意得：，(2分) 解得.（3分） 故折叠前椭圆的标准方程.（4分） （2）当时，直线的方程为：， 联立，解得，，（5分） 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则： ，，，， 故，， 设平面的法向量为，则 ，即. 取，则，，故， .（8分 ） 平面的一个法向量为， 故.（9分） 设平面与平面的夹角为，则. 即平面与平面所成角的余弦值为.(10分) （3）以原来的轴为轴，轴正半轴为轴，轴负半轴为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设折叠前，则折叠后，， 设直线的方程为，其中， 联立，消去x得：， 显然，且，,（11分） 由，，得， 即①，（12分） ， ②，（13分） 由①②得：， 即是， ， 即，（15分） 即是，解得，（16分） 注意到，故， 从而存在满足条件的，且.（17分） 24 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$