第四单元 长方体（二）-2024-2025学年北师大版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第四单元 长方体（二） (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：体积与容积 1.物体所占空间的大小，是物体的体积。 2.容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 3.体积和容积的区别： （1）意义不同：体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。 （2）测量方法不同：体积是从物体的外部测量，容积是从物体的内部测量。 （3）大小不同：同一个容器，因为容器壁有一定的厚度，体积大于容积；当容器壁很薄时，体积近似等于容积；当容器壁忽略不计时，体积等于容积。 知识点02：体积单位 1. 常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别记作立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 体积约是1cm3的有学生的大拇指指尖、一粒蚕豆、计算机键盘的方形按键、骰子…… 体积约是1dm3的有罐头盒、魔方… 体积约是1m3的有洗衣机、冰箱…… 2. 常见的容积单位有升（L）和毫升（mL）。 3.棱长为1dm的正方体的容积是1L；棱长为1cm的正方体的容积是1mL。 知识点03：长方体的体积 1. 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh 2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a3 3. 长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh 4. 已知长方体的体积、底面积、高三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。 知识点04：体积单位的换算 1.相邻两个体积单位之间的进率是1000。1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3 2. 在解决体积、容积的实际问题时，要注意单位的统一。 知识点05：测量问题 1.在测量不规则物体的体积时，一般把不规则物体的体积转化为可测量的水的体积。水面升高部分的水的体积（或水满时溢出的水的体积）就是不规则物体的体积。 2. 向盛有水的长方体或正方体容器里面放入物体，且物体完全浸入水中，若有水溢出，则放入的物体和原来水的体积之和减去容器的容积就等于溢出水的体积。 1. 物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关。 2. 如果容器壁的厚度不可忽略时，容器的体积一定大于它的容积。 3. 物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。 4. 就一个物体所占空间的大小而言，指的是体积；计量它能装多少物体的体积，指的是容积。 5. 体积与面积是不同类的量，不能比较大小。 6. 并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。 7. 表面积和体积不是同类的量，无法比较大小。 8. 如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。 9. 在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。 10. 只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。 11. 计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。 12. 用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。 13. 在测量体积较小的不规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，再算出一个物体的体积。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•商河县期末）暑假期间，光明小学开展“暑假读一本好书”的活动，小明每天阅读时，小华每天阅读时，小芳每天阅读0.8时，谁每天阅读的时间最长？　　 A．小明 B．小华 C．小芳 D．一样长 2．（2分）（2024春•沈河区期末）棱长是的正方体水槽，里面有水，水面高，放入一个石块，溢出水，石块体积是　　。 A．80 B．120 C．160 D．180 3．（2分）（2024春•荔城区期中）如图，一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是50厘米，制作这个木箱的木板厚度是5厘米。这个木箱的容积是　　。 A．64000 B．72000 C．91125 D．125000 4．（2分）（2024春•安阳县期中）一个长方体水箱，从里面量长，宽，深。往里面加入深的水，小明将一块石头放入水中后，水面上升到，石头的体积是　　。 A．1750 B．1400 C．700 D．350 5．（2分）（2023春•大埔县期中）一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积扩大到原来的　　 A．16倍 B．8倍 C．64倍 D．4倍 6．（2分）（2024秋•阎良区期末）一个长方体木块，如果从上部截去高为2分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了48平方分米。原来长方体的体积是　　立方分米。 A．144 B．216 C．252 D．288 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分16分） 7．（2分）（2024•墨竹工卡县）一个长方体，长是分米，宽是分米，高是分米。这个长方体的占地面积是 　　平方分米，体积是 　　立方分米。 8．（2分）（2024•东莞市）如图（单位：，图中一个小球的体积是 　　，一个大球的体积是 　　。 9．（2分）（2024春•良庆区期末）张师傅要制作一个棱长的正方体花灯。给花灯的表面全部贴上彩纸，至少需要彩纸 　　，花灯的体积是 　　。 10．（2分）（2024春•安阳县期中）程程借助一个盛有水的圆柱形水槽测量一个小铁球的体积，他先把一个棱长为的正方体铁块浸没在水槽中，水面上升了，接着他又把小铁球浸没在水槽中，水面又上升了。这个小铁球的体积是 　　。（两次浸没过程中，水均没有溢出） 11．（2分）（2023秋•邗江区校级期末）把3米长的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加3.6平方分米，原来这根木料的体积是 　　立方分米。 12．（2分）（2024秋•海安市期末）在我国古典数学名著《九章算术》中，我国古人记录了12种不同的体积计算公式。图是古代城、垣、堤等的形状，它的上下面是长相等、宽不等的两个长方形，前后面是相同的两个长方形，左右面是相同的两个等腰梯形。请试着写出它的体积计算公式， 　　。 13．（2分）（2024秋•南京期末）如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是 　　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 14．（2分）（2024秋•瑞安市月考）一张长方形纸板，长60厘米，宽12厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高12厘米的长方体纸箱的侧面。如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是 　　平方厘米，这个长方体纸箱的容积是 　　立方厘米。（纸箱的厚度忽略不计） 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 15．（2分）（2024秋•小店区期末）把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度升高到，土豆的体积是。 　　（判断对错） 16．（2分）（2024秋•小店区期末）把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的形状变了，体积不变． 　　． （判断对错） 17．（2分）（2024春•琼海期中）两个完全一样的长方体拼成一个新的长方体，跟原来两个长方体的表面积之和及体积之和相比，新长方体的体积变大了，表面积也变大了。 　　（判断对错） 18．（2分）（2024秋•隰县期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。 　　（判断对错） 19．（2分）（2023•颍东区）《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　　（判断对错） 四、注意身体，列式计算（共8分） 20．（4分）（2018春•惠安县期中）如图是长方体的展开图，根据有关数据，求出这个长方体的表面积和体积． 21．（4分）（2024春•祁县期末）小刚将一个土豆浸没在水中，求土豆的体积是多少立方厘米？ 五．联系生活，解决问题（共10小题，满分55分） 22．（5分）（2024春•河东区期末）如图，在一块长46厘米、宽26厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，正好可以折成一个高6厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计） 23．（6分）（2024•遂溪县）在一节数学活动课中，王老师和4名同学在测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下的测量与操作； ①小军准备了一个圆柱形玻璃杯，从玻璃杯里面测量到底面直径是，高是。 ②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是。 ③小明把20枚相同的螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 ④小丁测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据上面的信息，请你计算出一枚螺丝钉的体积。 24.（5分）（2024春•六盘水期末）乐乐喜欢养鱼，爸爸便给他买了一个鱼缸，下面是乐乐和爸爸的对话，请你帮乐乐解决爸爸提出的问题。 我在给鱼缸加水时发现随着水面的上升，水与鱼缸接触的面积会不断发生变化。 当水与鱼缸接触的面第一次出现有一组相对面是正方形时，想一想，此时鱼缸里有多少升水？水与鱼缸接触面的面积是多少平方分米？ 25．（6分）（2024•涵江区）2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为，铜的密度约为，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有。（提示：密度质量体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 26．（5分）（2024春•高要区期中）一个底面是正方形的长方体玻璃缸，从里面量底面周长，高，里面水深。将一块铁放入玻璃缸中（完全浸没），里面水深，这块铁的体积是多少？ 27．（5分）（2024秋•南海区校级月考）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米（冰块能完全浸没）。已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 28．（6分）（2024春•信丰县期末）在一个高为的空长方体内按照一定的速度注水，5分钟后关掉水龙头，又过了3分钟，在长方体内放入一块石头，石头完全浸没且水没有溢出。（水面高度变化如图） （1）5分钟后，长方体水面高度高是长方体高的几分之几？ （2）石头的体积是多少？ 29．（6分）（2024春•道县期末）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是 　　分米。 （2）当甲容器中第2次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 30．（5分）（2024春•万州区期末）（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为。这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 31．（6分）（2024•天门模拟）如图，一个长方体水槽宽，高，水槽正中间有一块高的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分。 现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第四单元 长方体（二） (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：体积与容积 1.物体所占空间的大小，是物体的体积。 2.容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 3.体积和容积的区别： （1）意义不同：体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积。 （2）测量方法不同：体积是从物体的外部测量，容积是从物体的内部测量。 （3）大小不同：同一个容器，因为容器壁有一定的厚度，体积大于容积；当容器壁很薄时，体积近似等于容积；当容器壁忽略不计时，体积等于容积。 知识点02：体积单位 1. 常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别记作立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 体积约是1cm3的有学生的大拇指指尖、一粒蚕豆、计算机键盘的方形按键、骰子…… 体积约是1dm3的有罐头盒、魔方… 体积约是1m3的有洗衣机、冰箱…… 2. 常见的容积单位有升（L）和毫升（mL）。 3.棱长为1dm的正方体的容积是1L；棱长为1cm的正方体的容积是1mL。 知识点03：长方体的体积 1. 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh 2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a3 3. 长方体（正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh 4. 已知长方体的体积、底面积、高三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。 知识点04：体积单位的换算 1.相邻两个体积单位之间的进率是1000。1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3 2. 在解决体积、容积的实际问题时，要注意单位的统一。 知识点05：测量问题 1.在测量不规则物体的体积时，一般把不规则物体的体积转化为可测量的水的体积。水面升高部分的水的体积（或水满时溢出的水的体积）就是不规则物体的体积。 2. 向盛有水的长方体或正方体容器里面放入物体，且物体完全浸入水中，若有水溢出，则放入的物体和原来水的体积之和减去容器的容积就等于溢出水的体积。 1. 物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关。 2. 如果容器壁的厚度不可忽略时，容器的体积一定大于它的容积。 3. 物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。 4. 就一个物体所占空间的大小而言，指的是体积；计量它能装多少物体的体积，指的是容积。 5. 体积与面积是不同类的量，不能比较大小。 6. 并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。 7. 表面积和体积不是同类的量，无法比较大小。 8. 如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。 9. 在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。 10. 只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。 11. 计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。 12. 用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。 13. 在测量体积较小的不规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，再算出一个物体的体积。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•商河县期末）暑假期间，光明小学开展“暑假读一本好书”的活动，小明每天阅读时，小华每天阅读时，小芳每天阅读0.8时，谁每天阅读的时间最长？　　 A．小明 B．小华 C．小芳 D．一样长 【思路点拨】先把分数转化成小数，然后按照多位小数比较大小的方法进行比较即可。 【规范解答】解： 答：小华每天阅读时间长。 故选：。 【考点评析】本题考查的是分数大小比较的应用。 2．（2分）（2024春•沈河区期末）棱长是的正方体水槽，里面有水，水面高，放入一个石块，溢出水，石块体积是　　。 A．80 B．120 C．160 D．180 【思路点拨】依据题意可知，石块的体积溢出水的体积加上底面边长是10厘米，高是厘米的长方体的体积，由此解答本题。 【规范解答】解： 答：石块的体积是。 故选：。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 3．（2分）（2024春•荔城区期中）如图，一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是50厘米，制作这个木箱的木板厚度是5厘米。这个木箱的容积是　　。 A．64000 B．72000 C．91125 D．125000 【思路点拨】依据题意结合图示可知，木箱内部长方体的长、宽均为厘米、高是厘米，利用长方体的体积长宽高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） （立方厘米） 答：木箱的容积是72000立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是长方体的体积公式的应用。 4．（2分）（2024春•安阳县期中）一个长方体水箱，从里面量长，宽，深。往里面加入深的水，小明将一块石头放入水中后，水面上升到，石头的体积是　　。 A．1750 B．1400 C．700 D．350 【思路点拨】依据题意结合图示可知，石头的体积等于长14厘米，宽10厘米，高是厘米的长方体的体积，由此解答本题。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：石头的体积是350立方厘米。 故选：。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 5．（2分）（2023春•大埔县期中）一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积扩大到原来的　　 A．16倍 B．8倍 C．64倍 D．4倍 【思路点拨】根据正方体的体积棱长棱长棱长以及积的变化规律，我们可以得到，一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积扩大到原来的倍。据此解答。 【规范解答】解： 一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积扩大到原来的64倍。 故选：。 【考点评析】本题考查了正方体的体积及积的变化规律，解题关键是熟记体积公式。 6．（2分）（2024秋•阎良区期末）一个长方体木块，如果从上部截去高为2分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积比原来减少了48平方分米。原来长方体的体积是　　立方分米。 A．144 B．216 C．252 D．288 【思路点拨】根据题意：高截去2分米，表面积减少了48平方分米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出一个面的面积，再用一个面的面积除以2分米，即可求出原来长方体的长和宽，原来长方体的高比长多2分米，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （分米） （分米） （立方分米） 答：原来长方体的体积是288立方分米。 故选：。 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分16分） 7．（2分）（2024•墨竹工卡县）一个长方体，长是分米，宽是分米，高是分米。这个长方体的占地面积是 　　平方分米，体积是 　　立方分米。 【思路点拨】根据长方体的底面积长宽，长方体的体积底面积高，代入数据解答即可。 【规范解答】解：（平方分米） （立方分米） 这个长方体的占地面积是平方分米，体积是立方分米。 故答案为：；。 【考点评析】本题考查了长方体体积公式的应用，掌握相应的公式是解答本题的关键。 8．（2分）（2024•东莞市）如图（单位：，图中一个小球的体积是 　15　，一个大球的体积是 　　。 【思路点拨】从左往右，图一的长方体容器中没有水；图二，往装有水的圆柱体容器中放入4个小球，此时长方体容器中水深为；则长方体容器中高的水的体积就是4个小球的体积；根据长方体的体积长宽高，求出4个小球的体积，再除以4，即是一个小球的体积； 图三，继续往圆柱体容器中放入2个大球，此时长方体容器中水深为；则长方体容器中高的水的体积就是2个大球的体积；根据长方体的体积长宽高，求出2个大球的体积，再除以2，即是一个大球的体积。 【规范解答】解：4个小球的体积： 一个小球的体积： 2个大球的体积： 一个大球的体积： 答：图中一个小球的体积是，一个大球的体积是。 故答案为：15；45。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 9．（2分）（2024春•良庆区期末）张师傅要制作一个棱长的正方体花灯。给花灯的表面全部贴上彩纸，至少需要彩纸 　54　，花灯的体积是 　　。 【思路点拨】依据题意可知，彩纸的面积等于棱长3分米的正方体的表面积，花灯的体积等于棱长为3分米的正方体的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（平方分米） （立方分米） 答：彩纸的面积是54平方分米，花灯的体积是27立方分米。 故答案为：54；27。 【考点评析】本题考查的是正方体的表面积、体积公式的应用。 10．（2分）（2024春•安阳县期中）程程借助一个盛有水的圆柱形水槽测量一个小铁球的体积，他先把一个棱长为的正方体铁块浸没在水槽中，水面上升了，接着他又把小铁球浸没在水槽中，水面又上升了。这个小铁球的体积是 　36　。（两次浸没过程中，水均没有溢出） 【思路点拨】水面上升的体积就是铁块与铁球的体积和，利用正方体的体积棱长棱长棱长计算出铁块的体积，然后计算水槽的底面积，铁球的体积水槽的底面积第二次水面上升的高度，由此解答本题。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：这个小铁球的体积是36立方厘米。 故答案为：36。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 11．（2分）（2023秋•邗江区校级期末）把3米长的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加3.6平方分米，原来这根木料的体积是 　27　立方分米。 【思路点拨】长方体材料平均锯成3段，需要锯次，每锯一次增加2个面，据此确定增加的截面数量，增加的表面积增加的截面数量截面积，根据长方体体积截面积长，列式计算即可，注意统一单位。 【规范解答】解： （个 3米分米 （立方分米） 答：原来这根木料的体积是27立方分米。 故答案为：27。 【考点评析】本题考查的是长方体体积公式的应用。 12．（2分）（2024秋•海安市期末）在我国古典数学名著《九章算术》中，我国古人记录了12种不同的体积计算公式。图是古代城、垣、堤等的形状，它的上下面是长相等、宽不等的两个长方形，前后面是相同的两个长方形，左右面是相同的两个等腰梯形。请试着写出它的体积计算公式， 　　。 【思路点拨】首先根据梯形的面积公式：，求出底面积，再根据柱体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：由分析得：这个图形的体积计算公式是： 故答案为：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握柱体体积的计算方法及应用。 13．（2分）（2024秋•南京期末）如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是 　464　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】由于三个正方体粘合在一起，上面和中间的正方体只求4个侧面的面积，下面的正方体求出表面积，然后合并起来；这个组合图形的体积等于三个正方体的体积和，根据正方体的表面积公式：，正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：这个模型的表面积是464平方厘米，体积是584立方厘米。 故答案为：464；584。 【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．（2分）（2024秋•瑞安市月考）一张长方形纸板，长60厘米，宽12厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高12厘米的长方体纸箱的侧面。如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是 　225　平方厘米，这个长方体纸箱的容积是 　　立方厘米。（纸箱的厚度忽略不计） 【思路点拨】根据题意看，用这张长方形纸围成一个高12厘米的长方体纸箱的侧面，围成的长方体的底面周长是60厘米，根据正方形的周长边长，那么边长周长，据此求出围成的长方体的底面边长，再根据正方形的面积边长边长，长方体的容积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个底面的面积是225平方厘米，这个长方体纸箱的容积是2700立方厘米。 故答案为：225，2700。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，正方形的周长公式、正方形的面积公式、长方体的容积公式及应用，关键是熟记公式。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 15．（2分）（2024秋•小店区期末）把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度升高到，土豆的体积是。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据用“排水法”测量实物体积的方法，把一个土豆浸没在水中后，水面从刻度升高到，土豆的体积是水上升的体积，据此解答即可。 【规范解答】解：（毫升） 200毫升立方厘米 答：土豆的体积是200立方厘米，所以原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了用“排水法”测量实物体积的方法，结合题意分析解答即可。 16．（2分）（2024秋•小店区期末）把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的形状变了，体积不变． 　　． （判断对错） 【思路点拨】物体的体积是指：物体所占空间的大小．把一块橡皮泥无论捏成一个正方体还是一个长方体，它的形状虽然变了，但是所占空间的大小没变，即体积不变，解答判断即可． 【规范解答】解：把一块橡皮泥无论捏成一个正方体还是一个长方体，它的形状虽然变了，但是所占空间的大小没变，即体积不变． 所以“把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的形状变了，体积不变”的说法是正确的． 故答案为： 【考点评析】此题考查对物体体积的理解，虽然形状变了，但是所占空间的大小没变，即体积不变． 17．（2分）（2024春•琼海期中）两个完全一样的长方体拼成一个新的长方体，跟原来两个长方体的表面积之和及体积之和相比，新长方体的体积变大了，表面积也变大了。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据长方体表面积的意义、长方体体积的意义可知，两个完全一样的长方体拼成一个新的长方体，跟原来两个长方体的表面积之和及体积之和相比，新长方体的体积不变，表面积变小了。据此判断。 【规范解答】解：两个完全一样的长方体拼成一个新的长方体，跟原来两个长方体的表面积之和及体积之和相比，新长方体的体积不变，表面积变小了。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义、体积的意义及应用。 18．（2分）（2024秋•隰县期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。 　　（判断对错） 【思路点拨】观察图示可知，挖掉一个小正方体后，体积减小了1个小正方体的体积，表面积增加了2个长和宽都是1厘米的正方形的面积，据此判断。 【规范解答】解：一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积比原来大，体积比原来小。即原说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了长方体表面积和体积计算的应用。 19．（2分）（2023•颍东区）《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　　（判断对错） 【思路点拨】我国古代数学名著《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。据此判断。 【规范解答】解：“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积公式及应用，了解古代数学家对长方体体积计算方法的研究。 四、注意身体，列式计算（共8分） 20．（4分）（2018春•惠安县期中）如图是长方体的展开图，根据有关数据，求出这个长方体的表面积和体积． 【思路点拨】由图意可知：这个长方体的长、宽、高分别为8分米、6分米和3分米，分别利用长方体的表面积公式和长方体的体积公式，即可求出其表面积和体积． 【规范解答】解： 答：表面积是，体积是． 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，关键是弄清楚长方体的长、宽、高的具体数值． 21．（4分）（2024春•祁县期末）小刚将一个土豆浸没在水中，求土豆的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】根据图示，土豆的体积等于水上升的体积，根据长方体的体积公式，解答即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：土豆的体积是100立方厘米。 【考点评析】本题考查了用排水法测量实物体积的方法，结合题意分析解答即可。 五．联系生活，解决问题（共10小题，满分55分） 22．（5分）（2024春•河东区期末）如图，在一块长46厘米、宽26厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，正好可以折成一个高6厘米的无盖铁盒。求这个铁盒的容积。（铁皮的厚度忽略不计） 【思路点拨】根据题意，在长方形铁皮的四个角上分别剪掉一个面积相同的正方形后，折成一个高6厘米的无盖铁盒，那么这个正方形的边长是6厘米；则长方形铁皮的长、宽分别减去2个6厘米，即是长方体铁盒的长与宽；根据长方体的体积（容积）公式，求出这个铁盒的容积。 【规范解答】解：长方体铁盒的长：（厘米） 长方体铁盒的宽：（厘米） （立方厘米） 答：这个铁盒的容积是2856立方厘米。 【考点评析】本题考查的是长方体体积公式的应用。 23．（6分）（2024•遂溪县）在一节数学活动课中，王老师和4名同学在测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下的测量与操作； ①小军准备了一个圆柱形玻璃杯，从玻璃杯里面测量到底面直径是，高是。 ②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是。 ③小明把20枚相同的螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 ④小丁测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是。 根据上面的信息，请你计算出一枚螺丝钉的体积。 【思路点拨】先根据①和②求出注入水的高度，再根据③和④求出放入20枚螺丝钉后水面的高度，作差求出水面高度差；加入20枚螺丝钉增加的体积为底面直径为，高度为的圆柱的体积，求出体积再除以20即可求出一枚螺丝钉的体积。 【规范解答】解： 答：一枚螺丝钉的体积为。 【考点评析】本题考查用排水法求不规则图形的体积，掌握比的应用和圆柱的体积公式是解题的关键。 24．（5分）（2024春•六盘水期末）乐乐喜欢养鱼，爸爸便给他买了一个鱼缸，下面是乐乐和爸爸的对话，请你帮乐乐解决爸爸提出的问题。 我在给鱼缸加水时发现随着水面的上升，水与鱼缸接触的面积会不断发生变化。 当水与鱼缸接触的面第一次出现有一组相对面是正方形时，想一想，此时鱼缸里有多少升水？水与鱼缸接触面的面积是多少平方分米？ 【思路点拨】依据题意结合图示可知，当水与鱼缸接触的面第一次出现有一组相对面是正方形时，水面高度是3分米，利用长方体的体积长宽高，计算水的容积，水与鱼缸接触面的面积等于3个长是5分米，宽是3分米的长方形的面积，加上2个边长是3分米的正方形的面积，由此解答本题。 【规范解答】解：（立方分米） 45立方分米升 （平方分米） 答：此时鱼缸里有45升水，水与鱼缸接触面的面积是63平方分米。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 25．（6分）（2024•涵江区）2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为，铜的密度约为，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有。（提示：密度质量体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 【思路点拨】（1）假设没有掺了铜，利用排出水的体积皇冠的重量金子的密度，由此解答本题； （2）设皇冠被掺了克铜，铜的质量铜的密度金子的质量金子的密度，由此列方程计算即可。 【规范解答】解：（1）（立方厘米） 50立方厘米 答：这顶皇冠被掺了铜，纯金的皇冠排出的水是，这顶皇冠排出的水的体积是。 （2）设皇冠被掺了克铜，由题意得： 答：皇冠被掺了342克铜。 【考点评析】本题考查的是探索某些实物体积的测量方法的应用。 26．（5分）（2024春•高要区期中）一个底面是正方形的长方体玻璃缸，从里面量底面周长，高，里面水深。将一块铁放入玻璃缸中（完全浸没），里面水深，这块铁的体积是多少？ 【思路点拨】依据题意可知，这块铁的体积等于长、宽都是分米，高是分米的长方体的体积，由此列式计算即可。 【规范解答】解：（分米） （立方分米） 答：这块铁的体积是162立方分米。 【考点评析】本题考查的是长方体体积公式的应用。 27．（5分）（2024秋•南海区校级月考）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米（冰块能完全浸没）。已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 【思路点拨】根据题意可知，把冰块放入容器中上升部分水的体积就等于冰块的体积，根据长方体的体积公式：，求出冰块的体积，冰融化成水，体积减小原来的，据此可以求出这块冰块融化成水的体积，用原来水的体积加上冰块融化成水的体积和除以容器的底面积求出现在的水深。 【规范解答】解：（立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （厘米） 答：容器内水深是6.7厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式及应用，关键是熟记公式。 28．（6分）（2024春•信丰县期末）在一个高为的空长方体内按照一定的速度注水，5分钟后关掉水龙头，又过了3分钟，在长方体内放入一块石头，石头完全浸没且水没有溢出。（水面高度变化如图） （1）5分钟后，长方体水面高度高是长方体高的几分之几？ （2）石头的体积是多少？ 【思路点拨】（1）长方体的高是20厘米，通过观察折线统计图可知，3分钟注水的高度是9厘米，据此可以求出1分钟注水的高度，再求出5分钟注水的高度，然后根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。 （2）放入石块后，水面上升到17.5厘米，上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1） （厘米） 答：5分钟后，长方体水面高度高是长方体高的。 （2） （立方厘米） 答：石头的体积是150立方厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式及应用。 29．（6分）（2024春•道县期末）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是 　5　分米。 （2）当甲容器中第2次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 【思路点拨】（1）根据正方形的特征可知，第一次出现正方形时，注水高度是5分米。 （2）当甲容器中第2次出现正方形时，注水高度是6分米，根据长方体的体积公式：，把数据代入求出甲容器中水的体积，用甲容器中水的体积除以甲、乙两个容器的底面积之和即可求出此时水面的高度，然后把数据代入公式求出乙容器中水的体积即可。 【规范解答】解：（1）第一次出现正方形时，注水高度是5分米。 （2）（立方分米） （分米） （立方分米） 答：需要从甲容器中倒出72立方分米水。 故答案为：5。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 30．（5分）（2024春•万州区期末）（如图）一个长方体容器中浸没着一个长方体铁块，如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高为。这个长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】根据题意可知，把铁块放入容器中完全浸没在水里（水未溢出），水面高是8厘米，当把铁块竖直放入容器中（铁块的底面与容器底面完全接触），铁块露出水面部分的高是9厘米，此时水面下降了厘米，根据长方体的体积公式：，可以求出铁块高9厘米的体积，进而求出铁块的底面积，整个铁块的高是厘米，然后把数据代入公式求出铁块的体积。 【规范解答】解： （立方厘米） 答：铁块的体积是1400立方厘米。 【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 31．（6分）（2024•天门模拟）如图，一个长方体水槽宽，高，水槽正中间有一块高的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分。 现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【思路点拨】（1）设右边每分钟注水升，先求出右边注水的体积，左边比右边多用1.5分钟，据此列方程求出右边注水的时间，再根据长方体的体积公式：，那么，据此求出水槽左边（或右边）的长，进而求出最高水槽的长，然后把数据代入公式解答。 （2）用水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可。 【规范解答】解：（1）设右边每分钟注水升， （升 18升立方厘米 （厘米） （厘米） （立方厘米） 60000立方厘米升 答：水槽的容积是60升。 （2） （分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，列方程解决问题的方法及应用，关键是熟记公式 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$