专题18 圆锥曲线离心率归类（16题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题18 圆锥曲线离心率归类 目录 题型01 定义型 1 题型02 中点型（点差型） 4 题型03 焦点三角形型 6 题型04 基本量齐次型 9 题型05 双曲线渐近线型 11 题型06 焦点三角形：焦半径型 13 题型07 焦点三角形：双余弦定理型 16 题型08 焦点三角形：双角度型 20 题型09 焦点三角形：内切圆型 22 题型10 焦点三角形：重心型 25 题型11 焦点三角形：离心率范围最值型 29 题型12 定比分点型 32 题型13 共焦点型椭圆双曲线离心率 35 题型14 共焦点范围最值型 38 题型15 离心率压轴单选题 40 题型16 离心率压轴填空题 44 题型01 定义型 【解题规律·提分快招】 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； 特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 1.椭圆第一定义： 双曲线第一定义： 2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 （椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减） 【典例1-1】 （2022·福建厦门·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，． 考点：椭圆的几何性质. 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率. 【典例1-2】 （20-21高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合椭圆定义求出焦半径，利用可得离心率的不等关系，求得其范围． 【详解】所以，又，所以， ，故选：D． 【变式1-1】 （23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆内一点，对称中心在坐标原点，焦点在轴上的等轴双曲线E经过点，点在上，若椭圆上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出双曲线的方程为，由及椭圆的性质可知，再根据点在上和为椭圆内一点，求出的取值范围进而即可得到离心率的取值范围. 【详解】因为等轴双曲线经过点，所以将代入可得双曲线的方程为， 由点在上，得，所以椭圆的左焦点的坐标是，   因为，所以，即， 又，当且仅当共线时等号成立， 所以，解得①，又因为点在椭圆内，所以，即， 解得（舍去）或②，由①②得，， 所以，故选：B 【变式1-2】 （24-25高三上·河南·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令椭圆的左焦点为，利用椭圆的定义可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】令椭圆的左焦点为，则，由椭圆定义知，则，设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号.当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以.故选：B. 【变式1-3】 （2022河北石家庄·模拟预测）已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意，，又， ∴，∴， 在中， 即，∴． 故选：D． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式． 题型02 中点型（点差型） 【解题规律·提分快招】 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 【典例1-1】 （21-22高三上·福建厦门·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据双曲线的定义得出，从而求出，在中利用余弦定理以及离心率的定义即可求解. 【详解】点为线段的中点，且，则, 设，则，又为直角三角形， ，即，，，由双曲线的定义可得， ，，，， 又，在中，由余弦定理可得 ，，离心率.故选：A 【典例1-2】 （21-22高三上·浙江·期中）已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得AM垂直平分，再结合双曲线定义及三角形余弦定理列式计算作答. 【详解】因，则点是线段中点，由得，即AM垂直平分， 则有，，而，则， 又，令双曲线的半焦距为c，在中，，， 由余弦定理得：，即， 化简得，所以双曲线的离心率是.故选：C 【变式1-1】 （21-22高二上·重庆九龙坡·期中）已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于渐近线的一条直线交双曲线右支于A，垂足为M，若M是的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先作出辅助线，根据中位线得到⊥，求出直线：，直线：，联立后求出A点坐标，代入到双曲线方程，得到，进而求出离心率. 【详解】连接，因为若M是的中点，O是中点，所以是三角形的中位线，所以∥OM，因为⊥OM，所以⊥，因为，所以，，所以直线：①，直线：②，联立①②得：，，将代入到双曲线方程中，解得：，所以双曲线离心率为.故选：B 【变式1-2】 （2022·山西临汾·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A，B分别在其左、右两支上，，M为线段AB的中点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合双曲线的定义求，结合勾股定理求出的关系，由此可得离心率. 【详解】因为，所以，又M为线段AB的中点，所以， 设，因为，M为线段AB的中点，所以，， 由双曲线定义可得，，所以，，又， 所以，故，所以，由，可得， 由已知，所以，即， 所以，所以离心率，C正确；故选：C 【变式1-3】 （20-21高三下·河北唐山·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若，，，由求得，进而可求、，在中有得到关于a、c的齐次方程，即可求离心率. 【详解】  由题意，若，，， ∴，即，得， ∵，得， ∴在中，，即，∴.故选：A 题型03 焦点三角形型 【解题规律·提分快招】 焦点三角形 （1）焦点三角形面积： 椭圆：，双曲线： 2．顶角 椭圆顶角在短轴顶点处最大。 3．与正余弦定理结合 设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 设双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 【典例1-1】 （2021·河北保定·二模）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】如下图所示，设，则，，所以，， 所以，，由椭圆定义可得，，，所以，，所以，为等腰直角三角形，可得，，所以，该椭圆的离心率为. 【典例1-2】 （19-20高二上·天津和平·期末）已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为当Q 为椭圆上下顶点时最大，不妨让Q是椭圆上定点，则,则,即可求得离心率取值范围. 【详解】当Q是椭圆上下顶点时最大，∴,∴， ∴，∵，∴，∴椭圆离心率取值范围为， 故选：D【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及标准方程，属中档难度题目. 【变式1-1】 （22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，根据得到，再计算离心率即可. 【详解】由题知：，因为，所以，整理得， 所以，得，.故选：A 【变式1-2】 （21-22高二上·北京房山·期末）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用为等边三角形，构造焦点三角形，根据几何关系以及椭圆定义，得到的等量关系，即可求得离心率. 【详解】连接，根据题意，作图如下：因为为等边三角形，即可得：，且则， 由椭圆定义可知：，故可得：.故选：A. 【变式1-3】 （21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得为直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解 【详解】由题意，故为直角三角形，， 又，， 又为直角三角形，故，， 即，.故选：D. 题型04 基本量齐次型 【解题规律·提分快招】 基本量齐次型： 基本量是指椭圆和双曲线的a，b，c三个量。要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)，两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； 【典例1-1】 （21-22高三上·天津南开·期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示： 由题意可知，点为的中点，也为的中点，且， 则四边形为矩形，故，由已知可知， 由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故， 所以，， 由双曲线的定义可得，所以，.故选：A. 【典例1-2】 （20-21高三下·全国·阶段练习）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量数量积等式推出l⊥x轴，求出点Q坐标，进而得点B坐标，再代入双曲线方程求解即得. 【详解】由已知得，设，由，得， 所以轴，即，不妨设点在第一象限，则.设，由，得， ，，即，点在双曲线上， ，整理得，， 解得，或(负值舍去).故选C.故选：C 【变式1-1】 （19-20高三上·福建泉州·阶段练习）是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题可先通过构造几何图形，先设为，再利用双曲线第一定义，列出与的关系式，与的关系式，利用几何关系，在中，利用余弦定理即可求得答案． 【详解】设，由于为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，所以根据余弦定理有：， 整理得：，即，所以离心率．故本题正确答案为B． 【变式1-2】 （2011·辽宁锦州·一模）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B， l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0）， ∴，∵， ∴，b=2a，∴，∴，∴ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质 【变式1-3】 （2019·山东临沂·一模）是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率． 【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点 所以（-c，0），（c，0）因为关于直线l的对称点为，设为（x，y） 则 解得所以为（） 因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得 化简整理得 ，所以 所以选B 题型05 双曲线渐近线型 【解题规律·提分快招】 利用渐近线性质构造齐次型。双曲线渐近线性质： （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则. （4）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；②；③ 【典例1-1】 （2022·新疆克拉玛依·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的面积为1，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出点纵坐标，再根据的面积为1列出、的方程，即可求出、，进而求出双曲线的离心率. 【详解】解：由题意，设双曲线的一条渐近线方程为：因为直线与渐近线垂直，即 又且，所以直线的方程为：即设，联立直线与渐近线方程得解得因为△OPF的面积为1，即，又 所以化简得，解得所以 所以该双曲线的离心率为故选：B. 【典例1-2】 （2019·天津红桥·二模）已知点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率为 A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】根据抛物线和双曲线的对称性，设点A是抛物线与双曲线的一条渐近线在第一象限的交点，根据抛物线的定义可以直接求出点A的横坐标，代入抛物线方程中，可求出点A的纵坐标，因为点在渐近线上，得到等式，最后结合，求出双曲线的离心率. 【详解】由题意和抛物线、双曲线的对称性可设点A的坐标为，，根据抛物线的定义有，，所以点A的坐标为， 由题意可知：点A在渐近线上，所以有，而 ，所以有，故本题选A. 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，解决本题的关键是利用抛物线的定义求出点的坐标. 【变式1-1】 （2022·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，从而得到的最小值为，求出的值，得到双曲线的离心率． 【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线， 因为双曲线， ，由双曲线的定义可知，，， 当且仅当点，，三点共线时，等号成立， 渐近线方程为，即，且，此时，的最小值为， ，，所以离心率，故选：A． 【变式1-2】 （23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得，点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为，所以，即，所以，即双曲线的离心率为.故选：D 【变式1-3】 （2022·宁夏石嘴山·一模）过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，再判断直线与渐近线交点所在象限，从而求出交点坐标，再根据等比中项的性质得到方程，整理可得，即可求出离心率. 【详解】解：因为双曲线， 所以渐近线为， 因为，即，则，则直线与渐近线的交点位于第二象限，直线与渐近线的交点位于第一象限， 又、、三点的横坐标成等比数列， 所以直线与渐近线，即，解得，即，同理可得与渐近线交于，因为，且、、三点的横坐标成等比数列， 所以，化简整理，解得，因为，所以双曲线的离心率 故选：B． 题型06 焦点三角形：焦半径型 【解题规律·提分快招】 圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言 对于抛物线，则 【典例1-1】 （23-24高二上·辽宁大连·期中）已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质列式求，进而可得离心率. 【详解】由题意可知：，解得，所以椭圆的离心率.故选：A. 【典例1-2】 （21-22高三下·河北衡水·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为，最小值为，可求出，即可计算出离心率 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率， 故选：A. 【变式1-1】 （高二上·安徽安庆·期末）已知椭圆上任一点到两焦点的距离分别为，，焦距为，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设条件，结合椭圆的定义知：，由成等差数列，得到，由此能求出椭圆的离心率． 【详解】∵椭圆+=1（）上任意一点到两焦点的距离分别为， ∴由椭圆的定义知：，由成等差数列，得到，∴，即， ∴=故选：A． 【变式1-2】 （19-20高二上·天津·期末）已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率. 【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为 因为是椭圆的左､右焦点，所以 抛物线准线为：直线，所以 因为是底角为的等腰三角形，则 则 则 ，整理得： 所以离心率. 故答案为：A. 【变式1-3】 （2023·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，A是椭圆的上顶点，过点A且斜率为的直线上有一点P，满足是以为顶角的等腰三角形，其中，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意易知直线AP的方程为，因为为等腰三角形，，求出的值，再结合三角函数和椭圆离心率的求法进行求解即可. 【详解】椭圆的定义和几何性质由题意易知直线AP的方程为①，因为为等腰三角形，，所以直线的方程为，联立①②可得． 如图，过点P向x轴引垂线，垂足为H，则， 所以，即，， 所以，所以.故选：B． 题型07 焦点三角形：双余弦定理型 【解题规律·提分快招】 与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1. 焦点四边形具有中心对称性质。 2. 焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3. 焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 【典例1-1】 （23-24高二上·广东广州·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，，即，又，故，则，即， 即平分，又，故，则，则，，，由，故，即，即，又，故.故选：B. 【典例1-2】 （2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，．解法一，，由，得， 整理得，得，（，舍去）所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点，交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义，即有，， 设与轴的夹角为，则有，于是有， 可得， ，可得，同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即，整理得，得，（ ，舍去） 所以.故选：A． 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得，连接并利用椭圆的定义求，再由余弦定理求，易知，建立方程求间的关系，进而可得椭圆的离心率 【详解】如下图所示：  因为为平行四边形的边的中点， 所以， 所以，所以．连接，由椭圆的定义可知，；设，则，故， 在中，．在中，．在平行四边形中，，所以， 所以，则，整理得， 所以椭圆的离心率为，故选：D． 【变式1-2】 （24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知点是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定在上，设，由椭圆的定义用表示出，由余弦定理确定的关系，然后在中用余弦定理求得关系，得离心率． 【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设，则，，， 又，∴， 中，由余弦定理得：， ∴，化简得，∴，，中，， 由余弦定理得，解得，故选：C． 【变式1-3】 （24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率. 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故，则，则， ，， 由， 故，即， 即，即，故.故选：B. 题型08 焦点三角形：双角度型 【解题规律·提分快招】 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.[来源:学科网ZXXK] 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 【典例1-1】 （21-22高二上·山西晋城·阶段练习）设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】设，在中，由正弦定理得， 可得，又由，所以， 所以.故选：B. 【典例1-2】 （2021·安徽黄山·二模）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率. 【详解】由题意及正弦定理得：， 令，则，，可得， 所以椭圆的离心率为：.故选：B 【变式1-1】 （19-20高二上·江西抚州·期末）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用正弦定理，结合椭圆的定义以及焦半径的取值范围列出关于的不等式，进而可得结果. 【详解】由正弦定理得因为， ，即，又，故选：D. 【变式1-2】 （19-20高二上·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线斜率得直线倾斜角，从而的三个内角都能求出，可确定是正三角形，于是有，把点坐标代入椭圆方程，变形整理可解得． 【详解】如图，由题意得，又，∴，， 于是是正三角形，∴，点在椭圆上，∴，整理得，即，（舍去），． 故选：D. 【变式1-3】 （2022高三·全国·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右两个焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由几何关系得，再由椭圆性质求解 【详解】由题意为直角三角形，，而，则，又， ∴，，由椭圆的定义知，， ∴离心率为．故选：A 题型09 焦点三角形：内切圆型 【解题规律·提分快招】 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 【典例1-1】 （24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内切圆性质可得，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】连接并延长，交x轴于点Q， 则，则，所以， 所以， 由得，所以.故选:C. 【典例1-2】 （2021·湖南永州·模拟预测）已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，连接､，是的内心， 可得､分别是和的角平分线， 由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点， 则为的角平分线，则到直线､的距离相等， 所以，同理可得，， 由比例关系性质可知. 又因为，所以椭圆的离心率. 故选：A. 【变式1-1】 （24-25高三上·天津河北·期末）设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，到渐近线的距离为， ，则直角三角形的内切圆的半径， 如图，设三角形的内切圆与切于，则，， 可得，，即，则，所以，由，，，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：直角三角形内切圆的半径. 【变式1-2】 （22-23高三上·陕西安康·阶段练习）已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率的值，可得的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由及余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由，可得的值，进而求出椭圆的方程． 【详解】由离心率，得，即．因为的内切圆的面积为，设内切圆的半径为，所以，解得，由椭圆的定义可知，在中，，由余弦定理得，即， ∴，∴，可得， 所以，而， 所以可得，解得，，由，得， 所以该椭圆的方程为．故选：A． 【变式1-3】 （2023·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，左顶点为为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】渐近线与圆联立求出点坐标，两点间的距离公式求出的长，利用三角形等面积可建立之间的等量关系，同除，建立的一元二次方程，求解即可. 【详解】由题意知，双曲线过第一､三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为.联立解得或所以，则.又的内切圆半径为，所以， 则.结合，得， 所以，解得或（舍去）.故选：A 题型10 焦点三角形：重心型 【解题规律·提分快招】 重心：中线交点 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 椭圆中的中点弦解题步骤: 第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则， 第二步：两式相减得， 第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。 【典例1-1】 （2022高三·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率. 【详解】设为的重心，点坐标为， ∵，∴IG∥x轴  ∴I的纵坐标为，在中，， ， 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即为内切圆半径， 内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，， 即，， ∴椭圆C的离心率.故选：A 【典例1-2】 （24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，确定,再结合列出等式即可求解. 【详解】 设为的中点，设两点坐标为，， 则，两式作差化简可得： 即，得，所以， 由恰好为的重心，则即可得：，解得： 所以，则，平方后得， 即，解得：或，由条件，所以. 故选：D 【变式1-1】 （高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率． 【详解】椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0）， ∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为， 又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|， 又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径， 内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形， ∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||， 即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A． 【变式1-2】 （23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的内心和重心重合，判断为等边三角形，得即可. 【详解】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合，所以为等边三角形，又因为， 所以，即.故选：C. 【变式1-3】 （23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点，，两式相减得，化解得，即，得， 所以，，，由F恰好为的重心， 则，即，得，，即，， 所以，则，平方后得， ，即，解得：或， 由条件，得，即，得，所以. 题型11 焦点三角形：离心率范围最值型 【解题规律·提分快招】 求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 【典例1-1】 （2023·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，我们可证直线且，据此可求离心率的范围. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题设可得不为右顶点. 设，则. 双曲线在处的切线斜率必存在，设切线方程为， 由可得， 整理得到：， 故， 整理得：即， 故，故切线方程为：即.    因为存在2个P使直线与E仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设在第一象限， 此时，均为锐角且存在唯一的满足题设条件.故直线与渐近线平行或与双曲线相切或. 若直线与渐近线平行，则，而为的平分线，故其倾斜角满足，故，故，故，但, 故，而，由基本不等式可得， 当且仅当即时等号成立，此时，这不可能，故直线与渐近线不平行. 若直线与双曲线相切，且切点为，双曲线在的切线方程为：， 故且该切线的斜率为，所以直线的斜率为. 此时， 而， 即，故，矛盾.故直线，所以，而直线的倾斜角为， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，且在之间，故， 由在第一象限内的唯一性可得存在唯一的，使得，而，故，所以即，所以，故选：D. 【典例1-2】 （2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案. 【详解】易知，设，则，所以， 又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有， 消去得：，则要使方程有根，需使. 故选：D 【变式1-1】 （21-22高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，由求出的范围，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），然后利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离，利用三角函数的性质可求得的最值， 从而可得当直线与椭圆相切或相离时满足题意，再由可求出离心率的范围 【详解】解：联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，∴1<a2≤3，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离 ，其中，d的最小值､最大值分别为：，，满足最大值与最小值之和为，∴1<a2≤3，.故选：A. 【变式1-2】 （23-24高二上·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），与椭圆方程联立可得矩形的面积，变形利用基本不等式结合题意求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等，因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 所以，则，即，，即，解得：，即.故选：C. 【变式1-3】 （2021·黑龙江哈尔滨·三模）双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据过的直线的倾斜角为，且与双曲线右支交于，两点，由求解. 【详解】因为过的直线的倾斜角为，所以直线斜率，因为直线与双曲线右支交于，两点，如图所示：由图象知：，所以， 又，所以.故选：A. 题型12 定比分点型 【典例1-1】 （22-23高二上·北京东城·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，，由题意推得四边形为矩形，可设，则，分别在直角三角形和直角三角形中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，， 由以AB为直径的圆恰好过右焦点F可得AF⊥BF，由双曲线的对称性得四边形为矩形， 可设，则， 在直角三角形中，可得，即为， 解得，又在直角三角形中，， 即为，即为，即有，故选：B． 【典例1-2】 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点，分别在双曲线的左、右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令双曲线左焦点，利用给定条件证得四边形为矩形，再利用双曲线定义结合勾股定理列式求解作答. 【详解】令双曲线右焦点，则其左焦点，连接，如图， 显然与互相平分于点O，即四边形为平行四边形，又，则，因此四边形为矩形，令，由得， 由双曲线定义知，， 在中，，即，解得， 在中，，而， 于是得，解得，所以双曲线的离心率.故选：B 【变式1-1】 （22-23高二上·江西宜春·阶段练习）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，令且，，则，根据题设有、、，进而有，将它们整理为关于的齐次方程求离心率即可. 【详解】由题设，令且，，则，且①，   由，即②， 由，即， 又C在双曲线上，则③，由①得：，代入③并整理得：， 由①②及得：， 所以，即， 显然，则.故选：B 【变式1-2】 （2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案. 【详解】解：如图，设与的交点为，，因为，所以， 所以，由双曲线的定义可知：，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以，在中，， 所以 ，由余弦定理有：， 代入，，，整理得， 解得，（舍），所以，,，， 所以，在中，由余定理有：， 代入数据整理得：，所以，双曲线的离心率为：.故选：B 【变式1-3】 （24-25高三下·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先直线方程与椭圆方程联立，再根据条件，以及韦达定理，建立等量关系，即可求离心率. 【详解】由条件可知，，过点且倾斜角为的直线方程为，设， 因为，所以，得，即 联立，得，所以，，①，② 由①②可得，又因为得，且，得，， 所以双曲线的离心率.故选：B 题型13 共焦点型椭圆双曲线离心率 【解题规律·提分快招】 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 【典例1-1】 （2021·江西·模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设 ， ，利用余弦定理可得，再分别利用椭圆与双曲线的定义可得，可得，结合，解方程即可得答案. 【详解】设 ， ，在椭圆：中， ， ， 在双曲线：中， ， 即，则所以， 又因为，所以，解得，故选：C. 【典例1-2】 （2018·山东·一模）我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】设F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m， 可得PF1+PF2=2a，PF1﹣PF2=2m，可得PF1=a+m，PF2=a﹣m， 由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°， 即有4c2=（a+m）2+（a﹣m）2﹣（a+m）（a﹣m）=a2+3m2， 由离心率公式可得+=4，e1e2=1，即有e24﹣4e22+3=0，解得e2=故选C． 【变式1-1】 （19-20高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆与双曲线的焦点相同，，分别为左焦点和右焦点，椭圆和双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据椭圆与双曲线的定义求得，再在中，利用余弦定理，化简变形求解. 【详解】设 ，根据题意， ，解得 ，在中，设 ， 由余弦定理得 ，所以， ，，， 所以.故选：B 【变式1-2】 （21-22高二·全国·课后作业）已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果. 【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形， 则．由点P在第一象限，知， 即，即，即．故选：B 【变式1-3】 （2022·海南·一模）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，且，由题意，在焦点三角形中由余弦定理得，代入（），整理化简可得答案. 【详解】由题意设椭圆方程为，双曲线方程为，且， 由题意，由，椭圆离心率，由余弦定理得：椭圆中， 双曲线中：，可得，代入（）， ， 即，得，即.故选：B. 题型14 共焦点范围最值型 【典例1-1】 （21-22高三上·山东德州·）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 ，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D．] 【答案】A 【详解】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为 利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出 的取值范围; 设椭圆与双曲线的半焦距为 由题意知 ，且,， ，故选A 考点：双曲线与椭圆的性质 【典例1-2】 （高二上·重庆·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为 由于是以为底边的等腰三角形.若 即有 由椭圆的定义可得 由双曲线的定义可得 即有再由三角形的两边之和大于第三边，可得 则即有由离心率公式可得 由于 ，则有 ，即故选C． 【变式1-1】 （20-21高三下·河南·阶段练习）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为．这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，以及三角形两边之和大于第三边的性质进行求解即可. 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，， 由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，， 由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得， 即由，，再由三角形的两边之和大于第三边， 可得，由离心率公式可得， 由于，，则的取值范围是，故选：C. 【变式1-2】 （高二·湖北武汉·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设椭圆与双曲线的方程为，，再由题意求出与的关系，以及求出的范围，进而可求出结果. 【详解】设椭圆与双曲线的标准方程为，， 因为是以为底边的等腰三角形，， 所以，即， 再由三角形的两边之和大于第三边可得，即，所以有； 因此，由离心率公式可得，, 又因为，所以，因此；令，则， 设，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，因此.故选B 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线离心率的问题，熟记椭圆与双曲线的性质即可，属于常考题型. 【变式1-3】 （2023·湖南长沙·模拟）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为 利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围; 设椭圆与双曲线的半焦距为 由题意知 ，且,， ，故选A． 考点：椭圆与双曲线离心率问题． 题型15 离心率压轴单选题 【解题规律·提分快招】 求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： 一：求出，代入公式计算； 二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 【典例1-1】 （2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率. 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，，则 ，即，，所以.故选：B 【典例1-2】 （24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，求出，利用椭圆的定义求出，然后在、求出，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设， 则, 则，直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 设椭圆的左焦点为，连接，则，在中，， 在中，由余弦定理可得, 所以，，解得，因此，椭圆的离心率为.故选：B. 【变式1-1】 （22-23高二上·天津静海·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由N在椭圆外部，则 ，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质， ，由，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【详解】∵点在椭圆的外部，∴， ， 由椭圆的离心率 ， 又因为，且，要恒成立，即，则椭圆离心率的取值范围是．故选D． 【点睛】本题考查椭圆离心率公式及点与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题 【变式1-2】 （2024·天津武清·模拟预测）双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（    ） A．离心率为2 B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：根据垂直关系可得的值，进而可求得离心率，对于B：分析可知为线段的中垂线，即可得结果；对于C：联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可；对于D：由求解即可. 【详解】如图所示，由题意知，，直线方程为， 对于选项A：因为，则，整理得， 所以离心率，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：直线的斜率分别为， 可知，即为线段的中垂线，所以，故B正确； 对于选项C：过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示，由选项A可知：直线方程为，直线方程为， 联立方程，解得，即，联立方程，解得，即，联立方程，解得（负值舍去），即， 所以，，，可知， 即、为线段的三等分点，所以， 设到直线距离为，则，， 所以，故C正确；对于选项D：如图所示， 由选项A可知：，所以，故D不正确；故选：D. 【变式1-3】 （2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取右焦点，连接、，作于点，由题意结合几何性质可得相应的边长及角度间的关系，借助余弦定理列出与、、有关齐次式，计算即可得. 【详解】取右焦点，连接、，作于点， 由为圆的切线，故，又， 为中点，故为中点，又，故为中点， ，则， ，则， ，由直线为双曲线的渐近线， 故有，则， 在中，由余弦定理可得， 则，即， 即，化简得，即， 故. 故选：D. 题型16 离心率压轴填空题 【典例1-1】 （23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是 . 【答案】/ 【分析】根据切线长计算可得的最小值为，再由焦半径公式可得，整理成关于的齐次方程可得结果. 【详解】如下图所示：易知， 又的最小值为可得的最小值为， 根据焦半径公式可得的最小值为，即可知, 所以，又，所以，整理可得，即，可得，即，解得.故答案为： 【典例1-2】 （22-23高二上·天津静海·期中）已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则 ． 【答案】 【分析】】由题意画出图形，利用圆锥曲线定义及勾股定理可得 ，然后结合隐含条件列式求得 ，再由即可求得． 【详解】如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得 ， 同理可得 即， ∵，∴．故答案为． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，利用三角形面积相等是解答该题的关键，属于中档题． 【变式1-1】 （24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的对称性，可得，结合二倍角公式，求出直线的斜率，联立直线、可得点坐标，根据在椭圆上，可得关于的齐次方程，结合的关系，解方程可求椭圆的离心率. 【详解】如图：易知，设，则，因为，所以.因为，所以， 所以直线的斜率为：.所以直线：；直线：. 由得：.因为点在椭圆：上， 所以，所以， 又，所以.所以. 故答案为： 【变式1-2】 （23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设，，则，由题意得，，， 则，两边平方得，整理得， 又，所以，变形得到， 即上式在上有解， 其中， 令， 则， ， 要想使得在上有解， 只需要开口向上，即， 即，所以，，解得 故离心率的取值范围是.  故答案为： 【变式1-3】 （2023·云南昆明·一模）椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件求得，根据直线与轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，解得，所以椭圆的方程为， 由于，，所以是等腰直角三角形， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 设直线与的交点为，与轴的交点为， ①当与重合时，，则，所以，解得. ②当在之间时，， 所以， 由解得，，由令，得， 所以，所以，整理得，由解得. ③当在左侧，则，， 设直线与的交点为，由解得， 因为，所以， ，所以，所以，所以. 综上所述，的取值范围是.故答案为： 冲高考 1．（2020·安徽马鞍山·二模）已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则 . 【答案】 【解析】根据双曲线的离心率与左焦点可得双曲线,再根据可得为的中点,再设,根据可得坐标,代入渐近线方程可求得关于的表达式,再代入双曲线求得,进而求出直线的方程,再联立双曲线与其渐近线的方程即可得. 【详解】因为双曲线的离心率为,左焦点,故又,故 故.因为,故为的中点. 设,因为,故,解得.不妨设在渐近线上,则,即.代入则,解得,即.故直线的斜率,故的方程：. 联立双曲线方程：即. 设,则.再联立渐近线,即. 故.故答案为： 2．（19-20高三上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，又，，运用向量共线的坐标表示，可得的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，由的坐标满足椭圆方程，化简整理可得的方程，求得，由，解不等式结合离心率公式即可得到范围． 【详解】解：设，，又，，， ，可得，，，可得，， 又，，，由，可得， 化为，由在椭圆上，可得，即有，可得， 化为，解得，或（舍去），由，可得， 即有，又，可得，该椭圆的离心率的取值范围是， 故答案为：，． 3．（2022高二上·全国·专题练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为. 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】根据离心率得到为等边三角形，为的垂直平分线，所以，，由椭圆定义得到的周长为，设直线的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由韦达定理和弦长得到方程，求出，，求出三角形的周长. 【详解】因为离心率为，故，则，又，故，故为等边三角形，为的垂直平分线，所以，， 则的周长等于，其中，则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为，故直线的方程为，联立曲线，，又，故 设，则，故， 解得，故，则的周长为.故答案为：16 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据离心率得到为等边三角形，为的垂直平分线，由对称性得到的周长等于，结合椭圆定义进行求解. 5．（2023·河北衡水·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆的切线，若，且的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则的值为 . 【答案】 【分析】分焦点在轴和轴两种情况进行求解，先考虑焦点在轴上时，根据题目条件得到，，即，，再得到椭圆在处的切线方程斜率为，得到，设，结合点在椭圆上，，求出，得到，求出，再用同样的方法考虑焦点在轴上时，求出离心率为复数，舍去，得到答案. 【详解】设椭圆方程为，则，设，故， 因为的垂心恰好为坐标原点O，所以，，即， 即，， 下面证明椭圆在处的切线方程斜率为，理由如下： 因为时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得：， 即，因为点在椭圆上，所以，，所以，即， 即，解得：，所以，化简得：，即，设， 同除以得：，即，故， 因为点在椭圆上，所以，即，即，因为，所以，即，将代入中，可得：，即 所以，设椭圆方程为，此时， 同理可得：，此时椭圆在处的切线方程斜率为，所以，化简得：，设，同除以得：， 即，故，因为点在椭圆上，所以， 即，即，因为，所以，即， 将代入中，可得：，所以（舍去）； 故答案为： 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 圆锥曲线离心率归类 目录 题型01 定义型 1 题型02 中点型（点差型） 2 题型03 焦点三角形型 3 题型04 基本量齐次型 5 题型05 双曲线渐近线型 6 题型06 焦点三角形：焦半径型 6 题型07 焦点三角形：双余弦定理型 7 题型08 焦点三角形：双角度型 8 题型09 焦点三角形：内切圆型 9 题型10 焦点三角形：重心型 11 题型11 焦点三角形：离心率范围最值型 12 题型12 定比分点型 13 题型13 共焦点型椭圆双曲线离心率 14 题型14 共焦点范围最值型 15 题型15 离心率压轴单选题 16 题型16 离心率压轴填空题 17 题型01 定义型 【解题规律·提分快招】 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； 特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 1.椭圆第一定义： 双曲线第一定义： 2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 （椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减） 【典例1-1】 （2022·福建厦门·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【典例1-2】 （20-21高三·云南昆明·阶段练习）已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆内一点，对称中心在坐标原点，焦点在轴上的等轴双曲线E经过点，点在上，若椭圆上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高三上·河南·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022河北石家庄·模拟预测）已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型02 中点型（点差型） 【解题规律·提分快招】 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 【典例1-1】 （21-22高三上·福建厦门·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 【典例1-2】 （21-22高三上·浙江·期中）已知双曲线的左右焦点分别为， ，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 【变式1-1】 （21-22高二上·重庆九龙坡·期中）已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于渐近线的一条直线交双曲线右支于A，垂足为M，若M是的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】 （2022·山西临汾·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A，B分别在其左、右两支上，，M为线段AB的中点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （20-21高三下·河北唐山·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型03 焦点三角形型 【解题规律·提分快招】 焦点三角形 （1）焦点三角形面积： 椭圆：，双曲线： 2．顶角 椭圆顶角在短轴顶点处最大。 3．与正余弦定理结合 设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 设双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 【典例1-1】 （2021·河北保定·二模）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （19-20高二上·天津和平·期末）已知椭圆C:()的左右焦点分别为,如果C上存在一点Q,使,则椭圆的离心率的取值范围为 A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高二上·北京房山·期末）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型04 基本量齐次型 【解题规律·提分快招】 基本量齐次型： 基本量是指椭圆和双曲线的a，b，c三个量。要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)，两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； 【典例1-1】 （21-22高三上·天津南开·期末）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【典例1-2】 （20-21高三下·全国·阶段练习）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为(    ) A．2 B． C． D． 【变式1-1】 （19-20高三上·福建泉州·阶段练习）是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式1-2】 （2011·辽宁锦州·一模）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 A． B． C． D． 【变式1-3】 （2019·山东临沂·一模）是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为 A． B． C．2 D． 题型05 双曲线渐近线型 【解题规律·提分快招】 利用渐近线性质构造齐次型。双曲线渐近线性质： （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则. （4）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；②；③ 【典例1-1】 （2022·新疆克拉玛依·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，的面积为1，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【典例1-2】 （2019·天津红桥·二模）已知点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率为 A． B．2 C． D． 【变式1-1】 （2022·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022·宁夏石嘴山·一模）过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型06 焦点三角形：焦半径型 【解题规律·提分快招】 圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言 对于抛物线，则 【典例1-1】 （23-24高二上·辽宁大连·期中）已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （21-22高三下·河北衡水·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （高二上·安徽安庆·期末）已知椭圆上任一点到两焦点的距离分别为，，焦距为，若，，成等差数列，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （19-20高二上·天津·期末）已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式1-3】 （2023·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左，右焦点，A是椭圆的上顶点，过点A且斜率为的直线上有一点P，满足是以为顶角的等腰三角形，其中，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型07 焦点三角形：双余弦定理型 【解题规律·提分快招】 与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1. 焦点四边形具有中心对称性质。 2. 焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3. 焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 【典例1-1】 （23-24高二上·广东广州·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知点是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型08 焦点三角形：双角度型 【解题规律·提分快招】 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.[来源:学科网ZXXK] 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 【典例1-1】 （21-22高二上·山西晋城·阶段练习）设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2021·安徽黄山·二模）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （19-20高二上·江西抚州·期末）已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （19-20高二上·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于 A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022高三·全国·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右两个焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型09 焦点三角形：内切圆型 【解题规律·提分快招】 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 【典例1-1】 （24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2021·湖南永州·模拟预测）已知椭圆的方程为，､为椭圆的左右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （24-25高三上·天津河北·期末）设F是双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三上·陕西安康·阶段练习）已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·河南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，左顶点为为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型10 焦点三角形：重心型 【解题规律·提分快招】 重心：中线交点 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 椭圆中的中点弦解题步骤: 第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则， 第二步：两式相减得， 第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。 【典例1-1】 （2022高三·全国·专题练习）已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点. 的重心为，内心为，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型11 焦点三角形：离心率范围最值型 【解题规律·提分快招】 求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 【典例1-1】 （2023·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】 （2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （21-22高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高二上·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2021·黑龙江哈尔滨·三模）双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 题型12 定比分点型 【典例1-1】 （22-23高二上·北京东城·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，以AB为直径的圆恰好过右焦点F，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点，分别在双曲线的左、右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高二上·江西宜春·阶段练习）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】 （24-25高三下·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型13 共焦点型椭圆双曲线离心率 【解题规律·提分快招】 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 【典例1-1】 （2021·江西·模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【典例1-2】 （2018·山东·一模）我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率 A． B． C． D． 【变式1-1】 （19-20高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆与双曲线的焦点相同，，分别为左焦点和右焦点，椭圆和双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高二·全国·课后作业）已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】 （2022海南·一模）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（        ） A． B． C． D． 题型14 共焦点范围最值型 【典例1-1】 （21-22高三上·山东德州·）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 ，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D．] 【典例1-2】 （高二上·重庆·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-1】 （20-21高三下·河南·阶段练习）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为．这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （高二·湖北武汉·期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·湖南长沙·模拟）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 题型15 离心率压轴单选题 【解题规律·提分快招】 求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： 一：求出，代入公式计算； 二：只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 【典例1-1】 （2024·天津·二模）设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【典例1-2】 （24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高二上·天津静海·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-2】 （2024·天津武清·模拟预测）双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，下列结论不正确的是（    ） A．离心率为2 B． C． D． 【变式1-3】 （2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型16 离心率压轴填空题 【典例1-1】 （23-24高二上·天津·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值为，则椭圆的离心率是 . 【典例1-2】 （22-23高二上·天津静海·期中）已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则 ． 【变式1-1】 （24-25高三下·山东聊城·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为 ． 【变式1-2】 （23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 . 【变式1-3】 （2023·云南昆明·一模）椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是 . 冲高考 1．（2020·安徽马鞍山·二模）已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则 . 2．（19-20高三上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 3．（2022高二上·全国·专题练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是 ． 5．（2023·河北衡水·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆的切线，若，且的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则的值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$