精品解析：福建省泉州市惠安县2024-2025学年七年级上册期末数学试卷

2024－2025学年福建省泉州市惠安县七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 中国乒乓球队团结拼搏，为国争光，包揽巴黎奥运会乒乓球项目全部金牌．比赛所采用的乒乓球的标准尺寸是，则下列尺寸的乒乓球不符合标准的是（ ） A B. C. D. 2. 2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示应是（ ） A B. C. D. 3. 单项式的次数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 4. 观察下列的立体图形，从正面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（ ） A. 第一天比第二天多的游客人数 B. 第二天比第一天多的游客人数 C. 这两天所有游客人数 D. 第二天游客人数 6. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 7. 某种商品进价为a元，商店将价格提高作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以八折的优惠价开展促销活动，这时该商品的售价为（ ） A. 元 B. 元 C. a元 D. 元 8. 已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图，则化简式子的结果是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A. B. C. D. 10. 如图，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），、两点在线段上，且，．现将该细线沿点折叠，使点落在处，如图所示．分别在点和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 的倒数是______． 12. 已知的度数是，则的余角的度数是________． 13. 如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则______． 14. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为________． 15. 若，则的值为________． 16. 对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．①请写出一个四位数“平衡数”是________；②对任意一个“平衡数”，将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数，记．若，是“平衡数”，且的千位为，的个位为，当时，则的最大值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知点M是∠ABC边BA上一点，请用直尺和圆规按下列步骤作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）在射线BC上作线段BO，使BO=BM； （2）以点O为顶点，OB为一边作∠BON，使∠BON=∠B，边ON交射线BA于点N； 21. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字． 如图②是由图①抽象几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点P． ∵（已知）， ∴（______________）． 又∵（______________）， ∴________________（等量代换）． ∴（______________）． ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵__________（已知）， ∴（_________________）． ∴（_______________）． 22. 小莹非常喜欢数学，十分爱护数学用书，她通常会选用封皮来精心包裹书本．现有一本如图的数学课本，其长为、宽为、厚为，小莹用一张长方形纸包好了这本数学书，封皮展开如图所示．图中虚线为折痕，阴影是被裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折进去的宽度． （1）求小红所用包书纸的周长是多少？（用含的代数式表示，并化简） （2）当封面和封底各折进去时，请帮小莹计算一下封皮展开图面积． 23. 点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．请根据你的理解，回答下列问题： （1）用数学符号语言表示：，的大小关系； （2）若，异号，，且． ①试判断： ；（填“”、“”、“”） ②把下面五个数：，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． （3）已知式子表示数轴上有理数所对应的点分别到数和所对应的点的距离之和．若为有理数，问式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时的值；若没有，请说明理由． 24. 生活在数字时代我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． （3）随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 25. 如图1，，的平分线交于点G，． （1）试说明：； （2）如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分； （3）如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年福建省泉州市惠安县七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 中国乒乓球队团结拼搏，为国争光，包揽巴黎奥运会乒乓球项目全部金牌．比赛所采用的乒乓球的标准尺寸是，则下列尺寸的乒乓球不符合标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加减法的应用，掌握正数和负数的定义是关键．由标准尺寸是得出范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，乒乓球的合格尺寸在范围内． 选项B、C、D中尺寸在范围内，不符合题意； 选项A中尺寸不在范围内，符合题意， 故选：A． 2. 2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，“神舟十九号”载人飞船的飞行速度约为484000米/分，数据“484000”用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查科学记数法的运用，理解并掌握运用科学记数法表示数的方法，正确确定取值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此表示即可． 【详解】解：， 故选：A ． 3. 单项式的次数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式次数的定义．确定单项式的次数时，找准单项式中每一个字母的指数，是确定单项式的次数的关键．注意指数是1时，不要忽略． 根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式定义得：单项式的次数是：． 故选：C． 4. 观察下列的立体图形，从正面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】从正面看：共分二列，从左往右第一列有2个，第二列下面1个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题时注意：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 5. 惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（ ） A. 第一天比第二天多游客人数 B. 第二天比第一天多的游客人数 C. 这两天所有游客人数 D. 第二天游客人数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． 6. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 某种商品进价为a元，商店将价格提高作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以八折的优惠价开展促销活动，这时该商品的售价为（ ） A. 元 B. 元 C. a元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式．根据原售价折扣数=折后价，求解即可． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 8. 已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图，则化简式子的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴判断式子的符号、去绝对值、整式的加减运算，先根据数轴判断和的正负，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴知，， ，， ， 故选A． 9. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中的度数，即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项符合题意； 故选：． 10. 如图，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），、两点在线段上，且，．现将该细线沿点折叠，使点落在处，如图所示．分别在点和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键． 根据，，，的比例关系，设绳子为，求出对应的线段长度即可解得． 【详解】解：设，则，，，， ，，从图的点及与点重叠处一起剪开后， 细线分成三段为：，，， ∴三段细线的长度比是； 故选：D 二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 的倒数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：， 的倒数是， 故答案为：． 12. 已知的度数是，则的余角的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，角度的计算，熟练掌握余角的定义是解题关键．根据余角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故答案为：． 13. 如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则______． 【答案】##85度 【解析】 【分析】本题考查了方向角的定义，理解方向角的定义是本题的关键．利用角度的和差即可直接求解． 【详解】解：． 故答案为： 14. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图是边长为的大正方形，图是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、七巧板问题的求解等知识与方法，正确地找出组成图中阴影部的图形与图中的对应图形是解题的关键． 由题意可知四边形和四边形都是正方形，且正方形的边长为，则，所以，求得，而平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积，所以，因为图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，由题意可知，四边形和四边形都是正方形，且正方形边长为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ， 、、都是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ∴平行四边形、正方形、面积相等，与面积的和等于的面积， ， ∵图中的阴影部分由图中的和平行四边形组成， ， 故答案为： 15. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键； 将提取公因式将把代入求值即可． 【详解】解：当时， 故答案为： 16. 对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．①请写出一个四位数“平衡数”是________；②对任意一个“平衡数”，将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数，记．若，是“平衡数”，且的千位为，的个位为，当时，则的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“平衡数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键． （1）根据题意，写一个满足条件的“平衡数”即可； （2）设的百位数字为，十位数字为，则个位数字为，根据“平衡数”的定义及可求出，设B的百位数字为，十位数字为，则千位数字为，并得出，最后根据求出与的关系，即可求出的最大值． 【详解】解：（1）随意写一个满足条件的四位数“平衡数”就可以， 这里写了， 因为其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和， 故答案为：； （2）设百位数字为，十位数字为，则个位数字为， 根据题意得：， 则， 设的百位数字为，十位数字为，则千位数字为， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 为十位上的数字，最小取， 的最大值为， 则的最大值为， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键，原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，先计算乘方和绝对值，然后计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】8x2y-4xy2-15， 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，代入x，y即可求解． 详解】解：（2x2y-xy2）-3（xy2-2x2y+5） =2x2y-xy2-3xy2+6x2y-15 =8x2y-4xy2-15 当x=， y=3时， 原式=8×（）2×3-4×32-15 = +12-15 = 【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的加减运算法则． 20. 如图，已知点M是∠ABC边BA上一点，请用直尺和圆规按下列步骤作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）在射线BC上作线段BO，使BO=BM； （2）以点O为顶点，OB为一边作∠BON，使∠BON=∠B，边ON交射线BA于点N； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用尺规在BO的上方，作∠BON=∠B即可． 【小问1详解】 解：如下图，线段BO即为所求； 【小问2详解】 如上图，射线ON即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图：作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握作图的方法． 21. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字． 如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点P． ∵（已知）， ∴（______________）． 又∵（______________）， ∴________________（等量代换）． ∴（______________）． ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵__________（已知）， ∴（_________________）． ∴（_______________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 先根据证得，再根据已知等量代换证得，利用同位角相等，两直线平行证得，再根据平行线的性质，利用同角的补角相等得出． 【详解】解答：证明：如图，延长交于点． ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)． 又∵(已知)， ∴(等量代换)． ∴(同位角相等，两直线平行)． ∴(两直线平行，同旁内角互补)． 又∵(已知)， ∴(两直线平行，同旁内角互补)． ∴(同角的补角相等)． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 22. 小莹非常喜欢数学，十分爱护数学用书，她通常会选用封皮来精心包裹书本．现有一本如图的数学课本，其长为、宽为、厚为，小莹用一张长方形纸包好了这本数学书，封皮展开如图所示．图中虚线为折痕，阴影是被裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折进去的宽度． （1）求小红所用包书纸的周长是多少？（用含的代数式表示，并化简） （2）当封面和封底各折进去时，请帮小莹计算一下封皮的展开图面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值，读懂题意是解题的关键． （1）将封面和封底各折进去列出代数式计算即可； （2）把分别求出长和宽，求解即可． 【小问1详解】 解：小红所用包书纸的周长： ， 答：小红所用包书纸的周长为； 【小问2详解】 解：当时， 包书纸长为：， 包书纸宽为：， 所以面积为：， 答：需要的包书纸的面积为； 23. 点、在数轴上分别表示有理数，，则、两点之间的距离可以表示为．请根据你的理解，回答下列问题： （1）用数学符号语言表示：，的大小关系； （2）若，异号，，且． ①试判断： ；（填“”、“”、“”） ②把下面五个数：，，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来． （3）已知式子表示数轴上有理数所对应的点分别到数和所对应的点的距离之和．若为有理数，问式子有最小值吗？若有，请写出它的最小值及此时的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3）有，当时，有最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查有理数大小比较、数轴及绝对值，熟练运用“奇点偶段”是解题的关键． （1）分情况描述a，b的大小关系； （2）①根据有理数的加法运算法则，进行作答即可； ②根据已知条件画出数轴即可； （3）根据绝对值的几何意义，利用“奇点偶段”求出最小值． 【小问1详解】 解：若，且，则， 若，且，则， 若，且，则， 若，且，则， 若，，则， 若，，则． 【小问2详解】 解：①若，异号，，且， 则； 故答案为：； ②数轴见下图： ； 【小问3详解】 解：， ∴当时，有最小值为； 24. 生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． （3）随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】（1）21 （2）见解析 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； 【小问2详解】 解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： 【小问3详解】 解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 25. 如图1，，的平分线交于点G，． （1）试说明：； （2）如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分； （3）如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）5或 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得证； （2）过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可得证； （3）设，则，，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分①点在的下方和②点在的上方两种情况，根据角的和差可得和的值，由此即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点作于， ， 由（1）已证：， ，即， 又， ， ， 又∵， ∴平分． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴，， ， ， 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在的下方时， ∴， ， ∴； ②如图，当点在的上方时， ∴， ， ∴； 综上，的值是5或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$