第十八章平行四边形章节提优测试卷-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

第十八章平行四边形章节提优测试卷（解析版） 时间：90分钟 总分：100分 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B A A C A B A 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面性质中菱形有而矩形没有的是（　　） A．邻角互补 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【思路引领】本题要熟知菱形以及矩形的性质方能解答要对比两者之间的相同点以及不同点． 【完整解答】解：A、∵平行四边形的邻角互补， ∴矩形的邻角互补．故矩形和菱形的邻角均互补，故不符合题意； B、菱形对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故符合题意． C、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直且平分，故不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，矩形对角线互相平分．故矩形和菱形的对角线互相平分，故不符合题意； 故选：B． 【总结提升】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 2．关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引领】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．按照平行四边形的判定方法进行判断即可． 【完整解答】解：①符合平行四边形的定义，故①正确； ②两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故②正确； ③由一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④错误； 所以正确的结论有三个：①②③， 故选：C． 【总结提升】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定方法是解答此类题目的关键． 3．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 【思路引领】根据菱形的判定逐项判断即可． 【完整解答】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不能判定是菱形，不符合题意； B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，符合题意； C．对角线相等的四边形不能判定是菱形，不符合题意； D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不能判定是菱形，不符合题意； 故选：B． 【总结提升】本题考查了菱形的判定，解答本题的关键要明确：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边均相等的四边形是菱形；4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；5、两条对角线分别平分每组对角的四边形是菱形；6、有一对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 4．已知△ABC的周长为60cm，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，且DF＝12cm，EF＝10cm，那么DE的长是（　　） A．6cm B．8cm C．11cm D．13cm 【思路引领】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出△DEF的周长等于△ABC的周长的一半，然后列式计算即可得解． 【完整解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、CA的中点， ∴DEAC，EFAB，DFBC， ∴DE+EF+DF（AC+AB+BC）， ∵△ABC的周长为60cm， ∴AC+AB+BC＝60， ∴△DEF的周长60＝30， ∵DF＝12cm，EF＝10cm， ∴DE＝30﹣12﹣10＝8cm． 故选：B． 【总结提升】本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 5．已知平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则CD、AD的长分别为（　　） A．6cm、10cm B．10cm、6cm C．12cm、20cm D．20cm、12cm 【思路引领】由平行四边形ABCD的周长为32cm，可得AB+BC＝16cm，即可求得AB与BC的长，继而可求得答案． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AB：BC＝3：5， 设AB＝3xcm，BC＝5xcm， ∴CD＝3xcm，AD＝BC＝5xcm， ∵平行四边形ABCD的周长为32cm， ∴3x+5x+3x+5x＝32， 解得：x＝2， ∴CD＝6cm，AD＝10cm． 故选：A． 【总结提升】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握方程思想的应用． 6．在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AO＝BO，∠A＝∠C D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 【思路引领】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而确定最后答案． 【完整解答】解：A，能，因为对角线相等且互相垂直平分； B，不能，只能判定为等腰梯形； C，不能，不能判定为特殊的四边形； D，不能，只能判定为菱形； 故选：A． 【总结提升】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 7．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．AC＝BD AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 【思路引领】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【完整解答】解：A、不能，只能判定为矩形； B、不能，只能判定为平行四边形； C、能； D、不能，只能判定为菱形． 故选：C． 【总结提升】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 8．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【思路引领】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABD＝S△CBD． ∵BP是平行四边形BEPH的对角线， ∴S△BEP＝S△BHP， ∵PD是平行四边形GPFD的对角线， ∴S△GPD＝S△FPD． ∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S▱AEPG＝S▱HCFP， ∴S▱ABHG＝S▱BCFE， 同理S▱AEFD＝S▱HCDG． 即：S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AGPE＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG． 故选：A． 【总结提升】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，可以把平行四边形的面积平分． 9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】利用勾股定理求出DE，根据菱形ABCD的面积＝AB•DE计算即可． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝2， ∵E是AB的中点， ∴AE＝EB＝1， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90° 在Rt△ADE中，DE， ∴菱形ABCD的面积＝AB•DE＝22， 故选：B． 【总结提升】本题考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　） A． B． C．4 D．6 【思路引领】根据直角三角形中30°角的性质，得到BF＝CH＝1，根据勾股定理，得到EF，根据平行四边形的性质，AB＝CD＝3，AB∥CD，从而得到DH⊥EF，根据面积公式计算即可． 【完整解答】解：因为四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点， 所以AB＝CD＝3，BC＝AD＝2BE＝2EC＝4，AB∥CD， 因为EF⊥AB， 所以EF⊥CD， 所以∠BFE＝∠CHE＝90°，∠BEF＝∠CEH， 所以△BEF≌△CEH（AAS）， 所以BF＝CH， 因为AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°， 所以∠BEF＝30°， 所以BF＝CH＝1，根据勾股定理，得到EF，DH＝DC+CH＝4， 所以△DEF的面积是， 故选：A． 【总结提升】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，BC＝4cm，则∠C＝　50°　；AD＝　4cm　． 【思路引领】根据平行四边形的对角相等，对边相等，即可求解． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝50°， ∴AD＝BC＝4cm． 故答案为：50°，4cm． 【总结提升】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等． 12．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝　4　cm． 【思路引领】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则BC比AB长7cm，所以根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长． 【完整解答】解：∵平行四边形的周长为20cm， ∴AB+BC＝10cm； 又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm， ∴BC﹣AB＝2cm， 解得：AB＝4cm，BC＝6cm． ∵AB＝CD， ∴CD＝4cm 故答案为：4． 【总结提升】此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分． 13．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，∠FAD＝　22.5　度． 【思路引领】首先证明∠DAC＝45°，再证明Rt△AFE≌Rt△AFD（HL）即可解决问题． 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，∠DAC＝45°， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝∠D＝90°， 在Rt△AFE和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△AFD， ∴∠FAD＝∠FAE＝22.5°， 故答案为22.5． 【总结提升】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 14．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120°，则该矩形的面积为　16　cm2． 【思路引领】根据矩形的性质，画出图形求解． 【完整解答】解：∵ABCD为矩形 ∴OA＝OC＝OB＝OD ∵两条对角线的一个交角为120°， ∴∠AOD＝60°， ∴BC＝OB＝4cm ∴根据勾股定理CD4（cm）， ∴面积＝BC•CD＝4×416cm2． 故答案为16． 【总结提升】此题主要考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算BC的长是解题的关键． 15．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是 　对角线相等（答案不唯一）　．（写出一种即可） 【思路引领】已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD，进而得到，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，使四边形ABCD是矩形． 【完整解答】解：若四边形ABCD的对角线相等， 则由AB＝DC，AD＝BC可得． △ABD≌△BAC≌△DAC≌△CDB， 所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角， 所以四边形ABCD是矩形， 故答案为：对角线相等（答案不唯一）． 【总结提升】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，记住平行四边形的判定方法以及矩形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型． 16．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是　16　． 【思路引领】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB＝60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E＝2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案． 【完整解答】解：在矩形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝60°， ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处， ∴∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E＝2，AB＝A′B′， 在△EFB′中， ∵∠DEF＝∠EFB＝∠EB′F＝60° ∴△EFB′是等边三角形， Rt△A′EB′中， ∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°， ∴B′E＝2A′E，而A′E＝2， ∴B′E＝4， ∴A′B′＝2，即AB＝2， ∵AE＝2，DE＝6， ∴AD＝AE+DE＝2+6＝8， ∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝28＝16． 故答案为：16． 【总结提升】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 17．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为 　20　，面积为 　24　． 【思路引领】根据M是边AD的中点，得AM＝DM＝6，根据勾股定理得出BM＝CM＝10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM＝FM＝5，再根据N是边BC的中点，得出EM＝FN，EN＝FM，从而得出四边形EN，FM的周长，进而得出面积． 【完整解答】解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB＝8，AD＝12， ∴AM＝DM＝6， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴BM＝CM＝10， ∵E、F分别是线段BM、CM的中点， ∴EM＝FM＝5， ∴EN，FN都是△BCM的中位线， ∴EN＝FN＝5， ∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5＝20， ∴四边形ENFM的面积四边形ABCD的面积＝24， 故答案为：20；24． 【总结提升】本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，关键是根据三角形中位线定理解答． 18．如图，已知AB＝8，点C、D在线段AB上且AC＝1，DB＝3，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 　2　． 【思路引领】分别延长AE、BF交于点H，证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可． 【完整解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．连接CH，DH，取CH，DH的中点M，N，连接MN， ∵∠A＝∠FPB＝60°， ∴AH∥PF， ∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G也正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点， ∴G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD＝8﹣1﹣3＝4， ∴MN＝2，即G的移动路径长为2． 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线的性质． 三．解答题（共5小题，共46分） 19．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点． （1）求证：AF＝CE； （2）若四边形AFCE的周长为12，AF＝4，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长． 【思路引领】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论； （2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AE∥CF， 又∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴AEAD，CFBC， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴AF＝CE； （2）解：∵四边形AECF的周长为12，AF＝4， ∴AE+CF＝12﹣2×4＝4， ∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8， ∵AB＝3， ∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×3＝14． 【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 20．已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F． （1）求证：AM＝DM； （2）若DF＝3，求菱形ABCD的周长． 【思路引领】（1）连接BD，由菱形的性质可得BD⊥AC，AB∥CD，则EF∥BD，得四边形EFDB是平行四边形，则DF＝EB，再证△AME≌△DMF，即可得出结论； （2）求出AB＝6，再由菱形的性质求解即可． 【完整解答】（1）证明：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB∥CD， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BD， ∴四边形EFDB是平行四边形， ∴DF＝EB， ∵E是AB中点， ∴AE＝EB， ∴AE＝DF， ∵AB∥CD， ∴∠EAM＝∠ADF， 在△AEM和△DMF中， ， ∴△AME≌△DMF（AAS）， ∴AM＝DM； （2）解：由（1）知△AME≌△DMF， ∴AE＝DF＝3， .∵E为AB的中点， ∴AB＝2AE＝6， ∴菱形ABCD的周长为6×4＝24． 【总结提升】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质，证明△AME≌△DFM是解题的关键． 21．如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE＝AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF． （1）请你判断所画四边形的形状，并说明你的理由； （2）连接EF，若AE＝8cm，∠A＝60°，求线段EF的长． 【思路引领】（1）由题意得：AE＝AF＝DE＝DF，即可得出四边形AEDF是菱形； （2）证△AEF是等边三角形，的EF＝AE＝8cm即可． 【完整解答】解：（1）四边形AEDF是菱形，理由如下： 由题意得：AE＝AF＝DE＝DF， ∴四边形AEDF是菱形； （2）∵AF＝AE＝8cm，∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝8cm． 【总结提升】本题考查了菱形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 22．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证DE+DF＝AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②，线段DE，DF，AC之间的数量关系是　DF＝AC+DE　，为什么？ （3）当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，线段DE，DF，AC之间的数量关系是　DE＝AC+DF　（不需要证明）． 【思路引领】（1）根据平行四边形的性质得到DF＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的性质、结合图形证明即可； （2）（3）仿照（1）的方法证明即可． 【完整解答】（1）证明：如图①，∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴DF＝AE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B， ∴∠EDC＝∠C， ∴DE＝EC， ∴DE+DF＝EC+AE＝AC； （2）解：DF＝AC+DE， 理由如下：如图②，∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴AE＝DF， ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠BDE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴∠BDE＝∠DCE， ∴DE＝CE， ∴AC+DE＝AC+CE＝AE＝DF， 故答案为：DF＝AC+DE； （3）解：DE＝AC+DF， 理由如下：如图③，∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴AE＝DF， ∵DE∥AB， ∴∠ABC＝∠BDE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠BDE＝∠DCE， ∴DE＝CE＝AE+AC＝AC+DF， 故答案为：DE＝AC+DF． 【总结提升】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（不与点B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连结CF． （1）当点D在线段BC上时（如图1）．求证：CF+CD＝BC； （2）当点D在线段BC的延长线上时（如图2），其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系 　CF﹣CD＝BC　； （3）当点D在线段CB的延长线上时（如图3），且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变． ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系 　CD＝BC+CF　； ②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连结OC．直接写出OC的长度为 　2　． 【思路引领】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可证得； （2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC； （3）①同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CD＝BC+CF； ②证出△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，根据直角三角形斜边上的中线即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， 则在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF， ∵BD+CD＝BC， ∴CF+CD＝BC； （2）解：∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝90°+∠DAC，∠CAF＝90°+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAF， 则在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF， ∴CF﹣CD＝BD﹣CD＝BC， 故答案为：CF﹣CD＝BC； （3）解：①∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∴∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF， ∵CD＝BC+BD， ∴CD＝BC+CF， 故答案为：CD＝BC+CF； ②∵△BAD≌△CAF， ∴∠ACF＝∠ABD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD＝135°， ∴∠ACF＝∠ABD＝135°， ∴∠FCD＝90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O． ∴DFAD＝4，O为DF中点． ∴OCDF＝2． 故答案为：2． 【总结提升】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章平行四边形章节提优测试卷（原卷版） 时间：90分钟 总分：100分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面性质中菱形有而矩形没有的是（　　） A．邻角互补 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 4．已知△ABC的周长为60cm，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，且DF＝12cm，EF＝10cm，那么DE的长是（　　） A．6cm B．8cm C．11cm D．13cm 5．已知平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则CD、AD的长分别为（　　） A．6cm、10cm B．10cm、6cm C．12cm、20cm D．20cm、12cm 6．在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AO＝BO，∠A＝∠C D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 7．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．AC＝BD AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 8．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（　　） A． B． C．4 D．6 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，BC＝4cm，则∠C＝　 　；AD＝　 　． 12．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝　 　cm． 13．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，∠FAD＝　 　度． 14．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120°，则该矩形的面积为　 　cm2． 15．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是 　 　．（写出一种即可） 16．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是　 　． 17．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为 　 　，面积为 　 　． 18．如图，已知AB＝8，点C、D在线段AB上且AC＝1，DB＝3，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 　 　． 三．解答题（共5小题，共46分） 19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点． （1）求证：AF＝CE； （2）若四边形AFCE的周长为12，AF＝4，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长． 20．（8分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F． （1）求证：AM＝DM； （2）若DF＝3，求菱形ABCD的周长． 21．（8分）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE＝AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF． （1）请你判断所画四边形的形状，并说明你的理由； （2）连接EF，若AE＝8cm，∠A＝60°，求线段EF的长． 22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证DE+DF＝AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②，线段DE，DF，AC之间的数量关系是　 　，为什么？ （3）当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，线段DE，DF，AC之间的数量关系是　 　（不需要证明）． 23．（12分）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（不与点B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连结CF． （1）当点D在线段BC上时（如图1）．求证：CF+CD＝BC； （2）当点D在线段BC的延长线上时（如图2），其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系 　 　； （3）当点D在线段CB的延长线上时（如图3），且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变． ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系 　 　； ②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连结OC．直接写出OC的长度为 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$