浙江省宁波市“十校”2025届高三下学期3月联考数学试卷

浙江省宁波“十校”2025届高三3月联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量，则(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，动点满足方程，则动点轨迹的离心率为(    ) A. B. 2 C. D. 4.已知函数为偶函数，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，则的最大值为(    ) A. B. C. 1 D. 6.对空间中的非零向量，记向量与的夹角为，，对，，，则m的最大值是(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7.在四边形ABCD中，已知，若，，，则BD的长度为(    ) A. 4 B. C. 5 D. 8.已知函数，对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是(    ) A. B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C. 常数项为 D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项 10.已知函数部分图像如图所示，则下列说法中正确的是(    ) A. 的图像关于直线对称 B. 的图像关于点对称 C. 将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 11.在棱长为2的正方体中，P为面内以AD为直径的半圆上的动点，则(    ) A. BP的最大值为 B. BP与平面ABCD所成角的最大值的正弦值为 C. 的最小值为 D. 二面角的最小值的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z满足，则的最小值为          . 13.已知点F为抛物线的焦点，过F的直线倾斜角为锐角与交于A，B两点点A在第一象限，交其准线于点C，过点A作准线的垂线，垂足为D，若，则          . 14.生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数.设，对于有序数组，记为，，，，中所包含的不同整数的个数，比如：，当取遍所有的个有序数组时，的总和为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数 化简，并求的值; 在锐角中，内角A满足，求的值. 16.本小题15分 在三棱锥中，，，，D为AC的中点. 求证： 若二面角的大小为，求直线AC与平面PBC所成的角. 17.本小题15分 已知函数，，为自然对数的底数. 当时，求函数在点处的切线方程; 若不等式对任意恒成立，求k的取值范围. 18.本小题17分 已知椭圆的离心率为，且过点 求椭圆E的标准方程; 已知点，，过点P作直线不与x轴重合交椭圆E于A，B，连接BG交E于点C，连接AC，直线AC与x轴交于点 ⅰ求的值; ⅱ若点A在线段BP上，求的取值范围. 19.本小题17分 对于数列，若存在正整数T，使得从数列的第N项起，恒有成立，则称数列为第N项起的周期为T的周期数列. 已知数列满足，且，证明：3是的一个周期. 已知数列，，其中a，，a，b不全为，，证明：存在正整数N，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期 已知数列，，，求证：不是周期数列. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：因为随机变量， 所以 2.【答案】C  【解析】解：因为集合， 所以  故选 3.【答案】C  【解析】解：由式子的意义可知动点P的轨迹是以和为焦点的双曲线， 故，，可得离心率 4.【答案】A  【解析】解：因为函数为偶函数， 则定义域关于原点对称， 因为，即，则， 故当时，，解得 5.【答案】B  【解析】解：因为，而， 所以， 因此要求的最大值，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最大值为 6.【答案】B  【解析】解：因为对，，，所以任意两个向量的夹角都在之间， 由于求m的最大值，所以令，， 故根据空间坐标系，两两垂直的向量以原点为起点，恰好有6个， B正确 7.【答案】D  【解析】解：，， ， ， ， ， ， 即， 四边形ABCD为平行四边形， ， 即， 解得 8.【答案】C  【解析】解：函数，定义域为R， 且，所以函数为奇函数， 当时，函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，函数值恒为正， 且函数在上的最大值为， 所以函数的图像大致如下： 由对任意，都有恒成立， 即对任意，都有， 又， 因为，，且， 结合图象可得，即，在上恒成立， 所以， 又在上的最大值为3， ，当且仅当时等号成立， 则在上的最小值为4， 所以， 故选 9.【答案】ABD  【解析】解：展开式的通项为， 则第1项的系数：当时，； 第2项的系数：当时，； 第3项的系数：当时，， 由前3项的系数成等差数列，得，解得舍去，故A正确； 展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确； 令，得，则常数项为，故C错误； 设展开式中第项的系数最大， 则，又，解得或3， 则展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确. 10.【答案】AB  【解析】【分析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦型函数的图象和性质，属于中档题． 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由函数图象过点 求出的值，可得函数的解析式，再结合正弦型函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：由函数的图象可得，   ，求得 所以  ，又 ，求得 ， 函数  当 时，，是最值，故A成立； 当 时，，故B成立； 将函数  的图象向左平移 个单位， 得到函数   的图象，故C不成立； 当 ，时，  ，    ， ， 故方程在 上有两个不相等的实数根时， 则m的取值范围是 故D不成立. 11.【答案】ACD  【解析】解：以A为原点，AB，AD，所在方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，， 由题意可设， ， 当，即时，BP取得最大值为，故A正确； ，平面ABCD的法向量为， 设BP与平面ABCD所成角为， 则， 令， 则， 令，则， 当时，，此时为增函数； 当时，，此时为减函数. 所以的最大值为， 则的最大值为，故B错误； ，， ， 因为，所以的最小值为，此时，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，，则， 平面的法向量为， 由题可知二面角的大小为，且为锐角， 则， 令，则， 则，其中， 所以，解得：， 故的最大值为，此时最小， 则的最小值为，故D正确. 12.【答案】  【解析】解：由，得 得z在复平面内对应的点在以为圆心，以3为半径的圆上. 则的最小值为 故答案为： 13.【答案】2  【解析】解：，设，，， 设直线AB为，且，代入得， 即， ，， 又，代入，得 由②得代入①得，， 又，，，， 又， ，，， ， ， 故答案为 14.【答案】10505  【解析】解：当时，意味着，，，，这5个数都相同，而， 那么这样的有序数组有个； 当时，先从5个数中选2个数，有种选法. 然后将这5个位置分配给这2个数，有种方法是每个位置有2种选择的总情况数，减去2种全是其中一个数的情况， 所以时有序数组的个数为个； 当时，先从5个数中选3个数，有种选法. 把5个位置分配给这3个数，可先将5个数分成3组可以是或者的分组形式，再全排列. 的分组方法有种，的分组方法有种， 那么分组方法一共有种，再对这3组进行全排列种， 所以共有个； 当时，先从5个数中选4个数，有种选法. 把5个位置分配给这4个数，所以共有个； 当时，即，，，，这5个数都不同，那么有序数组的个数为个， 故的总和为 15.【答案】【解答】解：， ，因为，故， 因为，故，所以， 故  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：证明：作于E，连 在中，，则， 又，故， 在中，， 则， 在中，， 又，则 由于，，，则平面PDE， 又平面PDE，故 由得，，， 则二面角的平面角为， 又，，则， 在中，，则 由得，， 则平面ABC，取AB中点F，连DF，则，， 以D为坐标原点，分别以DA，DF，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面PBC的一个法向量， 则 令得，得， 设直线AC与平面PBC所成的角为， 则 故直线AC与平面PBC所成的角为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：当时，， 由于， ，， 故函数在点处的切线方程为，即 由于， 令，则， 因为，有， 则在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以 ①当时，有， 则在区间上单调递增， 由， 得，故 ②当时，有， 因为在区间上单调递增， 若，有， 则存在使得， 当时，取，有， 则存在，使得， 综上，当时，存在，使得，即 故当时，，则在区间上单调递减; 当时，，则在区间上单调递增， 故， 由，得， 代入得， 令， 则 由于，由得，， 当时，，在区间上单调递增; 当时，，在区间上单调递减， 又因为，，，故当时，， 所以满足的实数的取值范围为 又因为， 令，则， 所以在区间上单调递增，故 综上所述，实数k的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】【解答】解：根据已知得，，，，， 则椭圆E的标准方程为 设，，，记，， 则直线AB的方程：，联立椭圆方程，消去x得， 由韦达定理得，则 另一方面，联立椭圆方程， 消去x得，由韦达定理得，则 由于，则 ，； 由上面的结论可知，H为线段AC的中点，则进一步有 由上面的直线AB与联立椭圆方程，消去x得 由判别式，得 由韦达定理得，， ，得，故的取值范围是  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：由于，① ，② 由②-①得，， 即， 又，则，故3是的一个周期. 由递推和，，得，，， 若，则，，，， 若，则，，，， 无论何种情况，都有， 由递推关系得，会逐渐进入循环，对的自然数，恒有 故是的一个周期. 假设是周期数列，则至少存在m，，不妨设，使得 由递推关系得，整理得 再进一步得到，如此进行下去，最后得到 设，则，得，但这不可能. 接下来证明：， 设，， 则 以此类推，得到， 于是有， 若存在，不妨设，其中s，t都是非负整数， 则式经过s步倒推后，得到， 则，得， 由于，得， 但经过递推后得到都是有理数，两者矛盾. 故，，假设不成立，故不是周期数列.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$