第6章 变量之间的关系-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第6章 变量之间的关系 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度最长为，与所挂物体质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为时，弹簧长度为 C．在弹性限度内，物体每增加，弹簧长度就增加 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 【答案】D 【思路点拨】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加，弹簧长度就增加，可以计算当所挂物体为或时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为． 【规范解答】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x是自变量，y是因变量．故本选项正确，不符合题意； B．当所挂物体为时，弹簧的长度为．故本选项正确，不符合题意； C．从表格数据中分析可知，物体每增加，弹簧长度就增加．故本选项正确，不符合题意； D．当所挂物体为时，弹簧长度为．故本选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（本题2分）（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（    ） 所处深度 2 3 7 10 13 地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查用表达式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可． 【规范解答】解：由表格中数据可知，从2千米开始，每下降1千米，气温升高， ∴y与x的关系可以近似的表示为． 故选A． 3．（本题2分）（23-24八年级下·辽宁大连·期末）食用油的沸点一般都在以上，适当地掌握加热时间和油的温度，能使菜肴酥松香脆．为了掌握家中的食用油加热时间，小明用刻度不超过的温度计，在锅内倒入一些油，用煤气灶均匀加热，每隔测量一次锅中的油温，测量得到的数据如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 小明家的油是花生油，他在网上查得以下信息：①花生油的沸点是；②炸薯条时在油温达到沸点的8成时将薯条下锅，口感最好．若花生油按上述实验中的速度继续升温，小明在油倒入锅后放入薯条的时间约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式．由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把代入即可求出答案． 【规范解答】解：由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，设油温与时间的函数关系，把分别代入得， 则， 解得 ∴， 当时，， 解得， 即小明在油倒入锅后放入薯条的时间约是， 故选：D． 4．（本题2分）（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【思路点拨】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 5．（本题2分）（23-24七年级下·重庆奉节·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 【答案】C 【思路点拨】本题考查函数的应用，根据表格数据逐项判断即可得出答案，提取表格数据反映的信息是求解本题的关键． 【规范解答】解：由表格的数据可得：放水时间是自变量，水池中水量是因变量，每分钟水闸排水，故A、B正确，不符合题意； ∵一个蓄水池有水， ∴与的关系式为，放水后，水池中还有水，故D正确，C错误； 故选：C． 6．（本题2分）（23-24七年级下·山东济南·期中）如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：由图象，当点P在边上时，，则， 又点P运动8秒时到点B处， ∴，故①正确； ∵点P运动c秒时到达点D处， ∴，故②错误； 点从点运动到点用时秒，故③正确； 当的值为10时，点在边上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误； 由题意，长方形面积为， 当的面积是长方形面积的时，， 由图知，点P在边上时，由得； 当点P在边上时，由得， ∴， 即当的面积是长方形面积的时，的值为4或15，故⑤错误， 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 7．（本题2分）（23-24八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义； 根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题． 【规范解答】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误； 小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误； 故选：B． 8．（本题2分）（22-23八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【思路点拨】根据表格数据，自变量x所挂物体的重量与因变量y弹簧的长度的关系，依次判断正误即可． 【规范解答】解：根据条件，可列关系式为：． A、在没挂物体时，弹簧的长度为，根据图表，当质量时，，故此选项正确，不符合题意； B、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故此选项错误，符合题意； C、在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加，故此选项正确，不符合题意； D、由关系式，，解得，在弹簧的弹性范围内，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 【考点评析】此题考查了函数关系式，主要考查了函数的定义和结合几何图形列函数关系式．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 9．（本题2分）（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的，下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 299.3 265.5 234.8 209.6 182.1 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量 B．在海拔高度为的地方空气含氧量是 C．海拔高度每上升，空气含氧量减少 D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了 【答案】C 【思路点拨】根据题目中表格给出的数据进行解答即可． 【规范解答】解：A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量，故A正确，不符合题意； B．在海拔高度为的地方空气含氧量是，故B正确，不符合题意； C．， ， 海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是，故C错误，符合题意． D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是理解题意，熟练掌握自变量和因变量． 10．（本题2分）（10-11八年级下·四川眉山·期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案． 【规范解答】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误； B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误； C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确； D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误， 故选：C． 【考点评析】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【思路点拨】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【规范解答】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 12．（本题2分）（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【思路点拨】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【规范解答】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 13．（本题2分）（23-24七年级下·广东揭阳·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 【答案】 【思路点拨】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【规范解答】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 14．（本题2分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系． 根据题意可知应付款为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用． 【规范解答】解：由题意得：， 化简得：， 故答案为：． 15．（本题2分）（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【思路点拨】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【规范解答】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【考点评析】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 16．（本题2分）（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 【答案】190 【思路点拨】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价），将已知数据代入上式即可求得要求的量． 【规范解答】解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加 5件， ∴降价之前的日销量为件， ∴日销量与降价之间的关系为：日销量（原价-售价）， ∴售价为440元时，日销量件， 故答案为：190． 【考点评析】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键． 17．（本题2分）（22-23七年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为 ．    【答案】5 【思路点拨】根据程序流程图，分别求出自变量的值是2和时的因变量值，根据因变量值相等进行计算即可． 【规范解答】解：由图可知：当时，，当时，， ∵输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等， ∴， ∴； 故答案为：5． 【考点评析】本题考查求因变量的值，解题的关键的读懂流程图，正确的进行计算． 18．（本题2分）（21-22七年级下·安徽宿州·期中）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 22 26 30 34 38 写出与的关系式 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意，表中数据变化满足一次函数，代入数值求解即可． 【规范解答】解：由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm，与的关系满足一次函数， 设， 将与代入表达式，得， 解得， 与的关系为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握一次函数的定义，根据题干中表格信息求解是解决问题的关键． 19．（本题2分）（23-24七年级下·山西运城·期中）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 6 9 … 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查观察表格规律求关系式问题，找出表格中的规律是解答此题的关键. 销售总价y是一个整数加一个小数的形式，通过观察发现分别是：，，，……，从而得到销售总价y与销售量x之间的关系. 【规范解答】解：观察表格即可得到：当时，， 当时，， 当时， … ∴销售总价（元）与销售量之间的关系式为 故答案为：. 20．（本题2分）（20-21七年级下·重庆沙坪坝·期末）我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率\与温度的关系如表： 温度 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 【答案】 【思路点拨】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案． 【规范解答】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以当导热率为时，温度为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 【答案】（1）．其中变量是S，x，常量是30；（2）．当时，t的值为100 【思路点拨】本题主要考查利用关系式表示变量之间的关系，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意矩形周长与面积的计算公式得到关系式； （2）根据路程时间速度写出关系式即可． 【规范解答】解：（1）长方形场地总长为， 另一边为， ．其中变量是S，x，常量是30； （2）由题意可得：， 当时，t的值为100． 22．（本题6分）（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）； (2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值： (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)剩余油量Q的值为17升； (3)能在汽车报警前回到家，见解析 【思路点拨】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据数量关系列出关系式是解题的关键． （1）单位耗油量=耗油量÷行驶里程，剩余油量=油箱内油的升数-行驶路程的耗油量； （2）把千米代入剩余油量公式，计算即可； （3）计算出升油能行驶的距离，与来回400千米比较大小即可得． 【规范解答】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米）， ∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为； （2）解：当时，（升）， 答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升； （3）解：他们能在汽车报警前回到家， （千米）， 由知他们能在汽车报警前回到家． 23．（本题8分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 【答案】(1)提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y (2)56.3 (3)13分钟 (4)见解析 【思路点拨】此题主要考查了用表格表示变量间的关系，正确利用表格中数据得出结论是解题关键． （1）利用表格中数据得出答案； （2）利用表格中数据得出答案； （3）利用表格中数据得出答案； （4）先根据表格可知：当时，y的值最大是59.9，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，从而得出答案． 【规范解答】（1）解：上表反映的两个变量中，自变量是提出概念所用的时间x，因变量是学生对概念的接受能力y． 故答案为：提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y （2）解：观察表格可知，当时，， ∴当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是56.3． （3）解：∵当时，y的值最大是59.9， ∴当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （4）解：当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而增大； 当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而减小． 24．（本题8分）（24-25七年级上·山东聊城·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】（1）t， h；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米． 【思路点拨】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据这个变化过程中变化的量可得答案； （2）根据图象读取信息求解即可； （3）根据用圆的周长除以分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以分钟即可求解． 【规范解答】解：（1）在这个变化过程中，变量是t， h； （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 25．（本题8分）（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度 (2)0.6 (3) (4)小乐与燃放烟花所在地大约相距 【思路点拨】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【规范解答】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高， 故答案为：0.6； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 故答案为：； （4）当时，， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 26．（本题8分）（23-24七年级下·全国·单元测试）某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过8立方米，则按每立方米1.5元收费；若每月用水超过8立方米不超过20立方米，则超过8立方米的部分按每立方米a元收费；若每月用水超过20立方米，则超过20立方米的部分按每立方米4元收费． (1)如果某居民户今年5月用水14立方米，缴纳了27元水费，求a的值； (2)设每月用水量为x立方米，应缴水费为y元，求y与x的关系式及x的取值范围； (3)小明家4、5两个月一共用水30立方米，两次一共缴纳水费60.5元．试确定4月份和5月份小明家分别用水多少立方米？ 【答案】(1) (2) (3)小明家4、5月份用水量是9立方米和21立方米或4、5月份用水量是21立方米和9立方米 【思路点拨】本题考查一元一次方程方程的实际应用，列函数关系式： （1）根据收费标准列出方程进行求解即可； （2）根据收费方式，列出函数关系式即可； （3）设小明家4月份用水立方米，则5月份用水立方米，分情况讨论，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）由题意，得：当时，， 当时，， 当时，， 综上：； （3）设小明家4月份用水立方米，则5月份用水立方米， ①当时，则：， ∴， 解得：，不合题意； ②当时，则：， ∴，解得：， 此时； ③当时，此时4月份用水量在第二档，而5月份用水量在第二档， 故，不合题意，舍去； ④当时，4月份用水量在第三档，而5月份用水量在第二档， 故， 解得，此时， 综上所述，小明家4、5月份用水量是9立方米和21立方米或4、5月份用水量是21立方米和9立方米． 27．（本题8分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 【答案】(1)， (2)容器B的底面积是 (3)将容器A注满水需要 (4)见解析 【思路点拨】本题考查从函数图象获取信息，用图象表示函数关系；结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水； （1）根据在时达到容器A顶部根据时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，求注水速度和容器A高度，； （2）根据时注水总量为，设容器B的底面积是，根据注水总量列方程求解即可； （3）根据当时，容器A由底部小孔慢慢进水，求出小孔注水速度，再计算将容器A注满水需要时间即可； （4）分析不同时间段容器B水位变化情况即可． 【规范解答】（1）结合图形，由函数图象可得当时，容器A由底部小孔慢慢进水，在时达到容器A顶部，当时，水漫过容器A顶部，容器A高度增速加快，当时容器A装满水，直到时容器B装满水， ∴当时，水漫过容器A顶部，此时水全部进入容器A顶，这段时间注水量为，容器A高度为， ∴注水速度为 故答案为：，； （2）时注水总量为， 设容器B的底面积是， 由题意可得： 解得， ∴容器B的底面积是； （3）当时，容器A高进水量为， ∴小孔注水速度为， ∵将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，此时水会从小孔流入容器B， ∴将容器A注满水需要时间为； （4）当时，水深达到容器A顶部，此时达到容器B水面高度为， 当时，水漫过容器A顶部，所有水都进入容器A中，容器B水面高度不变， 当时容器A装满水，容器B水面高度上升， 直到时容器B装满水，此时水深， 故函数图象为： 28．（本题8分）（22-23七年级下·广东深圳·期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 (1)如图1，，，分别在，上，平分交于点，是直线上一点，平分交于点． ①当在点的右侧，且，，求和的度数； ②过点作，垂足为，记度，度，直接写出与的关系式； 【拓展】 (2)中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即，连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①，；② (2)，，， 【思路点拨】（1）①根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的定义得到，进而根据，以及平行线的性质即可求解； ②分点在点的右侧，与在点的左侧，分别讨论，根据平行线的性质即可求解； （2）分三种情形讨论，①未到时，②从返回时，③第2次从出发，根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解： ①， ． 平分， ， ． ，， ， 又平分， ． ②解：如图所示，点在点的右侧， ∵平分交于点，，平分交于点． ∴ 设，记度，度， ∵ ∴， 即，则 ∵ ∴ 即 ∴ ∴， 点在点的左侧， ∵平分交于点，，平分交于点． ∴ 设，记度，度， ∵ ∴， ∴ ∴, ∵， ∴ ∴； （2）解：如图所示， ①当未相遇时，设射线交于点，射线交于点， ∵与互相垂直时， ∴ ∵， ∴ 解得：； ②如图所示，当返回时， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：； 或如图所示，当返回时， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得：； ③当第2次从出发，与垂直时，如图所示， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得： 综上所述，，，，． 【考点评析】本题考查了三角形的外角的性质，垂直的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第6章 变量之间的关系 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）在一定范围内，弹簧挂重物后会伸长，测得弹簧长度最长为，与所挂物体质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，x是自变量，y是因变量 B．所挂物体为时，弹簧长度为 C．在弹性限度内，物体每增加，弹簧长度就增加 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 2．（本题2分）（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（    ） 所处深度 2 3 7 10 13 地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475 A． B． C． D． 3．（本题2分）（23-24八年级下·辽宁大连·期末）食用油的沸点一般都在以上，适当地掌握加热时间和油的温度，能使菜肴酥松香脆．为了掌握家中的食用油加热时间，小明用刻度不超过的温度计，在锅内倒入一些油，用煤气灶均匀加热，每隔测量一次锅中的油温，测量得到的数据如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 小明家的油是花生油，他在网上查得以下信息：①花生油的沸点是；②炸薯条时在油温达到沸点的8成时将薯条下锅，口感最好．若花生油按上述实验中的速度继续升温，小明在油倒入锅后放入薯条的时间约是（    ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 5．（本题2分）（23-24七年级下·重庆奉节·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 6．（本题2分）（23-24七年级下·山东济南·期中）如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（本题2分）（23-24八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（22-23八年级下·山东德州·期末）弹挂上物体后伸长，已知一弹的长度（）与所挂物体的质（）之间的关系如表：下列说法错误的是（    ） 物体的质量（） 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度（） 10 12.5 15 17.5 20 22.5 A．在没挂物体时，弹簧的长度为． B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，物体的质量是弹簧的长度的函数 C．在弹簧能承受的范围内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增加 D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为时，弹簧的长度为 9．（本题2分）（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的，下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 299.3 265.5 234.8 209.6 182.1 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量 B．在海拔高度为的地方空气含氧量是 C．海拔高度每上升，空气含氧量减少 D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了 10．（本题2分）（10-11八年级下·四川眉山·期中）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（   ） A． B． B． C． D． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 12．（本题2分）（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 13．（本题2分）（23-24七年级下·广东揭阳·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率 ，则温度为 ． 温度 导热率 14．（本题2分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ． 15．（本题2分）（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    16．（本题2分）（22-23七年级下·陕西榆林·期末）某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如下表所示： 降价/元 10 20 30 40 50 60 日销量/件 155 160 165 170 175 180 根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件． 17．（本题2分）（22-23七年级下·四川·期末）我们可以根据如图的程序计算因变量的值．若输入的自变量的值是2和时，输出的因变量的值相等，则的值为 ．    18．（本题2分）（21-22七年级下·安徽宿州·期中）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度与所挂物体质量的几组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 18 22 26 30 34 38 写出与的关系式 ． 19．（本题2分）（23-24七年级下·山西运城·期中）运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 6 9 … 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式： ． 20．（本题2分）（20-21七年级下·重庆沙坪坝·期末）我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率\与温度的关系如表： 温度 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 22．（本题6分）（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）； (2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值： (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 23．（本题8分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 24．（本题8分）（24-25七年级上·山东聊城·期中）【问题情境】 数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩时对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制变化图如图1． 【问题研究】 请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中变量是_____； （2）摩天轮最高点距地面_____（米），摩天轮最低点距地面_____（米）； 【问题解决】 （3） 如图2，摩天轮某个吊舱从点旋转到点需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 25．（本题8分）（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 26．（本题8分）（23-24七年级下·全国·单元测试）某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过8立方米，则按每立方米1.5元收费；若每月用水超过8立方米不超过20立方米，则超过8立方米的部分按每立方米a元收费；若每月用水超过20立方米，则超过20立方米的部分按每立方米4元收费． (1)如果某居民户今年5月用水14立方米，缴纳了27元水费，求a的值； (2)设每月用水量为x立方米，应缴水费为y元，求y与x的关系式及x的取值范围； (3)小明家4、5两个月一共用水30立方米，两次一共缴纳水费60.5元．试确定4月份和5月份小明家分别用水多少立方米？ 27．（本题8分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图． (1)注水速度为 ，容器A高度为 ． (2)请计算容器B的底面积是多少？ (3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？ (4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像． 28．（本题8分）（22-23七年级下·广东深圳·期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 (1)如图1，，，分别在，上，平分交于点，是直线上一点，平分交于点． ①当在点的右侧，且，，求和的度数； ②过点作，垂足为，记度，度，直接写出与的关系式； 【拓展】 (2)中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即，连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至 便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$