第2章 相交线与平行线-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第2章 相交线与平行线 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•麦积区期末）下列说理（演绎推理）过程正确的是　　 A．因为，所以（两直线平行，同位角相等） B．因为，所以（内错角相等，两直线平行） C．因为，所以（两直线平行，同位角相等） D．因为，所以（两直线平行，内错角相等） 【思路点拨】根据平行线的判定和性质定理，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：．因为，所以（同位角相等，两直线平行），所以此选项错误，不符合题意； ．因为，所以（内错角相等，两直线平行），所以此选项错误，不符合题意； ．因为，所以（两直线平行，同位角相等），所以此选项错误，不符合题意； ．因为，所以（两直线平行，内错角相等），所以此选项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查平行线的判定和性质，关键是平行线判定定理和性质的熟练掌握． 2．（2分）（2024秋•射洪市期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【规范解答】解：由题意可知，， ， ，所以结论①正确； ， ，所以结论②正确； 如果，则，故，所以结论③正确； 如果，则，故，所以结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项正确，符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查了余角和补角、平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理的熟练掌握． 3．（2分）（2024秋•蒙阴县期末）将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中和相等的序号是　　 A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【思路点拨】观察图形，根据三角尺中角的度数、同角的余角相等、补角的性质，判断选择即可． 【规范解答】解：①图形中，根据同角的余角相等可得； ②图形中，，，故； ③图形中，和互补，是锐角，是钝角，故； ④图形中，， 综上所述，和相等的序号是①和④； 故选：． 【考点评析】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解题的关键． 4．（2分）（2024春•金凤区校级期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【规范解答】解：过作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查平行线的性质．熟练掌握该知识点是关键． 5．（2分）（2024•罗湖区校级模拟）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，延长到点，如图，先由两直线平行，同旁内角互补求出，则，再由两直线平行，内错角线段即可得到． 【规范解答】解：延长到点，如图： ， ， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2分）（2024春•白塔区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据平行线的性质可知，再根据平行线的性质可知即可解答． 【规范解答】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，根据做出平行线是解题的关键． 7．（2分）（2024春•宁阳县期中）如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论． 【规范解答】解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． ． 故选：． 【考点评析】本题考查的是平行线的性质，关键是平行线性质的应用． 8．（2分）（2024春•玉州区期中）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论： ①；②；③；④， 其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【规范解答】解：平分，平分， ， ， ， ，①正确； ，， ，， ， ，②正确； ， ， ，③正确； ， ，④错误； 故选：． 【考点评析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键， 9．（2分）（2024秋•儋州期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【规范解答】解：延长，交于． ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ①错误；②正确， 平分， ， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ③平分，④平分不一定正确． 故选：． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 10．（2分）（2024春•和平区校级期末）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数用含的式子一定可以表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】过点作，过点作，则；设设，，则，，，所以，，，，由平行的性质可知，，，可得，所以． 【规范解答】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，， 设，，，， ， ，， ，， ， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查平行线的性质，几何直观得出角之间的和差关系，正确添加辅助线是解题的关键． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2025•兴宁区校级开学）已知的补角的度数为，则的度数为　　． 【思路点拨】根据概念进行计算． 【规范解答】解：由题意可得：的度数为：． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了互为补角的概念，正确记忆如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角是解题关键． 12．（2分）（2025•诸城市校级开学）如图，已知，若，，则 　　． 【思路点拨】根据平行线的性质得到，，即可得到答案． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 13．（2分）（2023秋•市北区期末）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则　72　． 【思路点拨】先根据求出的度数，进而可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得． 【规范解答】解：， ，， 即，， ． ， ． 由折叠可得：， ． 故答案为：72． 【考点评析】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键． 14．（2分）（2024春•天河区校级期中）消防云梯其示意图如图1所示，其由救援台、延展臂在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角　　． 【思路点拨】延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数． 【规范解答】解：延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，如图： 平行，， ， 延展臂与支撑臂所在直线互相垂直， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线． 15．（2分）（2024春•乌当区校级期中）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线40，50，在刻度线的右侧，下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线145；③若，则图中共有5对角互为余角．其中正确的是 　①②　（填序号）． 【思路点拨】①根据得，则，由此可对结论①进行判断； ②依题意得，，则，进而得，再根据与互补，由此得，则，进而得射线经过刻度线是，由此结论②进行判断； ③先求出，根据射线经过刻度线90，则与互余；与互余；再求出，，则与互余，根据，得与互余；根据，得与互余；根据，得与互余，由此得图中共有6对角互为余角，据此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①， ， ， 故结论①正确； ②射线，分别经过刻度线40，50， ，， ， ， ， 与互补， ， ， ， ， 射线经过刻度线是， 故结论②正确； ③， ， 射线经过刻度线90， ， ，， 与互余；与互余； ，， ， 与互余， 又， ， 与互余； ， ， 与互余； 又， 与互余， 图中共有6对角互为余角． 故结论③不正确． 综上所述：结论正确的是①②． 故答案为：①②． 【考点评析】此题主要考查了互为余角的概念，理解互为余角的概念，熟练掌握量角器的使用方法，角的计算是解决问题的关键． 16．（2分）（2024春•新城区校级期中）小明将一副直角三角板的直角顶点重合后按如图示摆放，其中，，，．他固定三角板，将三角板绕点顺时针以每秒6度的速度旋转，设它的旋转时间为秒，则在旋转过程中，当边时，　2.5或32.5　．秒． 【思路点拨】分两种情况根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质得出，求出旋转角度，再除以6即可得到结论． 【规范解答】解：情形1，如图，延长交于点， ，， ， 又，， ， 三角板旋转的角度为：， （秒； 情形2，如图，延长交于点， ，， ， 又，， ， 三角板旋转的角度为：， （秒； 故答案为：2.5或32.5． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定与性质，余角和补角，关键是平行线性质的熟练掌握． 17．（2分）（2024秋•射洪市期末）已知，，，，若，则　　． 【思路点拨】先求出，在求出的度数，在中求出度数，设，则，进而表示出，再表示出，求出，进一步可求得结果． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，角的和差关系等知识，解决问题的关键是弄清角与角的数量关系． 18．（2分）（2024春•张店区校级期中）如图，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为．若，那等于 　　． 【思路点拨】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数． 【规范解答】解：如图①，过作， ， ， ，， ， ； 如图②，和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 如图②，和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当时，等于． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质，掌握两直线平行，内错角相等，作平行线构造内错角是解题的关键． 19．（2分）（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于，点、的对应点分别是，，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论： ①； ②； ③若，则； ④． 上述正确的结论是 　②③④　． 【思路点拨】由折叠性质得到，，根据平行线性质得到，再由三角形外角性质确定，设，，则 ，只有当时结论①才成立；由，得到，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知，设，则，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案． 【规范解答】解：由折叠性质得，， ， ， ，则， 是一个外角， ， 设，，则， 当时，， 但题中并未明确、的度数，故①错误； ， ， 由折叠性质可知，则，故②正确； 由折叠性质得，． 由①的证明过程可知，， 设，则， ， ， ， 解得，即，故③正确； 由①知， 是的一个外角， ，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 【考点评析】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质． 20．（2分）（2024春•简阳市期中）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论：①；②；③；④，正确的有 　①②③④　． 【思路点拨】根据平行线的性质由，得到；根据折叠的性质得，则，利用平角的定义得到；再根据折叠性质有，利用平角的定义得到；根据平行线性质可得． 【规范解答】解：， ，所以①正确； ， ， ，所以②正确； ，所以④正确； ，所以③正确． 故答案为：①②③④． 【考点评析】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•阳谷县期末）如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点，，求的度数． 【思路点拨】（1）由已知可证得，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质即可得到； （2）根据角平分线的定义得到，即，由平行线的性质可求得，再平行线的判定和性质定理求出，继而求出． 【规范解答】（1）证明：， ， 又， ， ， ； （2）解：平分， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出是解题的关键． 22．（6分）（2024秋•三原县期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数． 【思路点拨】先根据平行线的性质，得出，再根据，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数． 【规范解答】解：扶手与底座都平行于地面， ， ， 又， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质的运用，掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． 23．（8分）（2024秋•内乡县期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， 　　，　　， 又． 　　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点，，求的度数． （3）如图3，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【思路点拨】（1）过点作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）过点作， ，， 又， ， 故答案为：；；； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．（8分）（2025•越秀区校级开学）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）请填空：　10　秒后与重合； （2）如图2，请问经过 　　秒后，； （3）若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ （4）在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出的值． 【思路点拨】（1）用角的度数除以转动速度即可得； （2）求出，结合旋转速度可得时间； （3）设，则，由题意列出方程，解方程即可； （4）分四种情况讨论：平分时（都在上方），平分，平分时上方、下方各一个角），平分，根据转动速度关系列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：（1）， 秒后与重合． 故答案为：10． （2）分两种情况： 在上方时，如图2.1， ， ， ， ， （秒， 经过秒后，，秒； 在下方时，如图2.2， ，， ， ， ， 经过20秒或80秒后，． 故答案为：20秒或80秒． （3）如图3所示： ，， 三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转， 设，则， 与重合， ， 可得：， 解得：（秒； 即经过20秒时间与重合； （4）分三种情况： ①平分时，此时、在上方，如图4所示： ，， ，无解； ②平分，此时、在上方，如图5所示： ，， ， 解得：（秒； ③当平分时，如图6， ，， ， 解得：（秒； ④当平分时，如图7， ，， ，无解； 故的值为秒或秒． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 25．（8分）（2024春•金凤区校级期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系． （1）如图1，，．与的关系是：　　． （2）如图2，，．与的关系是：　　． （3）如图3，，．与的关系是：　　，并说明理由． （4）由（1）（2）（3）你得出的结论是：　　． 【思路点拨】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，可求出； （2）根据“两直线平行，同位角相等”以及“两直线平行，内错角相等”，可求出； （3）根据两直线平行，同位角相等，及同旁内角互补可求出； （4）由（1）（2）（3）可得出结论． 【规范解答】解：（1）． 证明：如图，，， ，（两直线平行，同位角相等）， （等量代换）； 故答案为：； （2）． 证明：如图，， （两直线平行，同位角相等）， ， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）； 故答案为：； （3）， 证明：，， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换）； 故答案为：； （4）由（1）（2）（3）我得出的结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【考点评析】本题考查的是平行线的性质，应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．熟练掌握以上知识点是关键． 26．（8分）（2024秋•惠安县期末）如图，，的平分线交于点，． （1）试说明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，线段上有点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，求的值． 【思路点拨】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）根据三角形外角的性质可证明结论； （3）有两种情况： ①当在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论； ②当在的上方时，如图6，同理可得结论． 【规范解答】（1）证明：， ， 平分， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：有两种情况： ①当在的下方时，如图5， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②当在的上方时，如图6， 同理得：， ， ． 综上，的值是5或． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题． 27．（8分）（2024春•海淀区校级期中）如图，线段，交于点，为射线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点与不重合）． （1）如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． （2）当点在射线上运动时，直接写出与的数量关系． 【思路点拨】（1）①依据过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点，画出图形即可； ②根据平行线的性质即可得到，再根据平行线的性质，即可得出，进而得出； （2）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质即可得到，进而得出． 【规范解答】解：（1）①补全图形如图 ②判断：， 证明：过点作， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （平行于同一直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （垂直的定义）， ， 即； （2）， 理由：如图，过点作， ， （已知）， （平行于同一直线的两直线平行）， ， 又， ， ， 即． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 28．（8分）（2024春•武汉期末）已知，直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、． （1）如图（1），若，，求的度数； （2）如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图（3），若，，，点、、在同一直线上，直接写出的值（用含的式子表示） 【思路点拨】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，过点作，则，可设，，由得到，，，，故， ，因此得到，即； （3）设，，则 ，，过点作，过点作，过点作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，则． 【规范解答】解：（1）如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作，过点作， 平分，平分， 设，， ， ， ，，，， ，， ， 即； （3）如图，过点作，过点作，过点作， ， ， ，， 设，，则 ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 即， ， 即． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期章节优选题培优检测卷（新教材） 第2章 相交线与平行线 试题满分：100分 难度系数：0.41（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2分）（2024秋•麦积区期末）下列说理（演绎推理）过程正确的是　　 A．因为，所以（两直线平行，同位角相等） B．因为，所以（内错角相等，两直线平行） C．因为，所以（两直线平行，同位角相等） D．因为，所以（两直线平行，内错角相等） 2．（2分）（2024秋•射洪市期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2分）（2024秋•蒙阴县期末）将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中和相等的序号是　　 A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 4．（2分）（2024春•金凤区校级期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2024•罗湖区校级模拟）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024春•白塔区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2024春•宁阳县期中）如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2024春•玉州区期中）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论： ①；②；③；④， 其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．（2分）（2024秋•儋州期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2分）（2024春•和平区校级期末）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数用含的式子一定可以表示为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（2分）（2025•兴宁区校级开学）已知的补角的度数为，则的度数为　　． 12．（2分）（2025•诸城市校级开学）如图，已知，若，，则 　　． 13．（2分）（2023秋•市北区期末）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则　　． 14．（2分）（2024春•天河区校级期中）消防云梯其示意图如图1所示，其由救援台、延展臂在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角　　． 15．（2分）（2024春•乌当区校级期中）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线40，50，在刻度线的右侧，下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线145；③若，则图中共有5对角互为余角．其中正确的是 　　（填序号）． 16．（2分）（2024春•新城区校级期中）小明将一副直角三角板的直角顶点重合后按如图示摆放，其中，，，．他固定三角板，将三角板绕点顺时针以每秒6度的速度旋转，设它的旋转时间为秒，则在旋转过程中，当边时，　　．秒． 17．（2分）（2024秋•射洪市期末）已知，，，，若，则　　． 18．（2分）（2024春•张店区校级期中）如图，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，第次操作，分别作和的平分线，交点为．若，那等于 　　． 19．（2分）（2024春•武汉期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于，点、的对应点分别是，，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论： ①； ②； ③若，则； ④． 上述正确的结论是 　　． 20．（2分）（2024春•简阳市期中）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论：①；②；③；④，正确的有 　　． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（6分）（2024秋•阳谷县期末）如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点，，求的度数． 22．（6分）（2024秋•三原县期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数． 23．（8分）（2024秋•内乡县期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， 　　，　　， 又． 　　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点，，求的度数． （3） 如图3，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 24．（8分）（2025•越秀区校级开学）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． （1）请填空：　　秒后与重合； （2）如图2，请问经过 　　秒后，； （3）若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？ （4）在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出的值． 25．（8分）（2024春•金凤区校级期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系． （1）如图1，，．与的关系是：　　． （2）如图2，，．与的关系是：　　． （3）如图3，，．与的关系是：　　，并说明理由． （4）由（1）（2）（3）你得出的结论是：　　． 26．（8分）（2024秋•惠安县期末）如图，，的平分线交于点，． （1）试说明：； （2）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分． （3）如图2，线段上有点，满足，过点作．若在直线上取一点，使，求的值． 27．（8分）（2024春•海淀区校级期中）如图，线段，交于点，为射线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点与不重合）． （1）如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． （2）当点在射线上运动时，直接写出与的数量关系． 28．（8分）（2024春•武汉期末）已知，直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、． （1）如图（1），若，，求的度数； （2）如图（2），的角平分线的反向延长线交的角平分线于点，猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图（3），若，，，点、、在同一直线上，直接写出的值（用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$