第2章 相交线与平行线（思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第2章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：两条直线的位置关系 2 知识点梳理02：平行线的判定与性质 3 知识点梳理03：用尺规作线段和角 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：基本概念混淆 5 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 5 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 5 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 6 优选真题考点汇编讲连 6 期末考向一：两条直线的位置关系 6 重点考点讲练01：与余角、补角有关的计算 6 重点考点讲练02：同(等)角的余(补)角相等的应用 10 重点考点讲练03：垂线段最短 14 重点考点讲练04：点到直线的距离 17 期末考向二：探索直线平行的条件 20 重点考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 20 重点考点讲练06：同位角相等两直线平行 22 重点考点讲练07：用直尺、三角板画平行线 25 重点考点讲练08：平行公理推论的应用 29 重点考点讲练09：内错角相等两直线平行 33 重点考点讲练10：同旁内角互补两直线平行 36 期末考向三：平行线的性质 38 重点考点讲练11：根据平行线的性质探究角的关系 38 重点考点讲练12：根据平行线的性质求角的度数 44 重点考点讲练13：平行线的性质在生活中的应用 48 重点考点讲练14：根据平行线判定与性质求角度 54 重点考点讲练15：根据平行线判定与性质证明 57 优选真题难度分层练 61 中档题—夯实基础能力 61 压轴题—强化解题技能 67 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点梳理02：平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：用尺规作线段和角 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 易错知识点01：基本概念混淆 1. 对顶角与邻补角识别错误 对顶角：两条直线相交形成的两个角，必须满足“顶点相同，两边互为反向延长线”。但学生常将相邻的角误认为对顶角，例如在复杂图形中忽略反向延长线的条件 邻补角：相邻且和为180°的角，但可能误将非相邻的补角视为邻补角（如两条直线相交时，对角线的两个角虽互补但不是邻补角） 2. 平行线与相交线定义混淆 平行线：“同一平面内永不相交”是核心条件，但学生可能忽略“同一平面”导致错误（如立体几何中不相交的直线未必平行） 垂线：认为垂直必须形成90°角即可，但需明确垂线是相交的特殊情况，且交点称为垂足 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 1. 余角、补角的条件混淆 余角需和为90°，补角需和为180°，但学生可能将互补的角误认为余角，或忽略“同角或等角”的前提（如认为任意两个和为90°的角都是余角） 应用错误：例如已知∠A与∠B互余，求∠A的补角时，可能直接写为180°-∠A，而忽略需结合具体图形关系 2. 同位角、内错角、同旁内角的位置误判 同位角：需满足“F型”结构，但在复杂图形中可能误判非同位角（如将不同截线形成的角视为同位角） 内错角：需满足“Z型”结构，学生可能将同旁内角（“C型”）误认为内错角 同旁内角：需和为180°，但可能误将互补的非同旁内角代入计算 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 1. 性质与判定颠倒使用 平行线性质：已知平行，推导角的关系（如同位角相等）。学生可能在未证明平行时直接使用性质，导致逻辑错误 平行线判定：需通过角的关系（如内错角相等）证明平行，但可能误用性质反向推导（如用“同位角相等”直接作为判定条件时未确认两直线被同一条直线所截） 2. 垂线段最短的应用错误 例如求最短路径时，学生可能误将斜线段长度当作垂线段处理，或未明确“点到直线的距离”是垂线段的长度而非线段本身 实际应用题：如“在河岸建水站到村庄的最短管道”，需转化为垂线段，但可能错误选择斜线或其他路径 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 1. 条件缺失的跳跃性推理 例如证明平行时，直接写“同位角相等”而未说明两直线被第三条直线所截，或未标注截线的位置。 步骤跳跃：如从“∠1=∠2”直接推出“a∥b”，忽略需明确“∠1和∠2是同位角”的条件。 2. 忽略隐藏条件 角的非负性：如在动态几何问题中，未验证角度或线段长度是否为合理值（如时间为负数或角度超过180°） 零角或平角误用：例如误认为平角（180°）的两边是反向延长线，因此属于对顶角 期末考向一：两条直线的位置关系 重点考点讲练01：与余角、补角有关的计算 【母题精讲】（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当点在上方时， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴， ∴． 当点在下方时， ∵与互余， ∴， ∵平分，由（1）知， ∴，则， ∴． 即：的度数为或． 【训练1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，已知直线经过点，与互余，是的平分线． (1)若，则______； (2)若，求的度数； (3)，直接写出______；（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据余角的定义即可求解； （2）根据，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论； （3）根据，结合求得，由角平分线定义得，利用角的差可得结论； 【规范解答】（1）解：∵与互余，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 【训练2】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分线的定义，互为余角，互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【规范解答】解：∵平分平分平分， ， ， ， ∴，故①正确，②错误， ， ， ， ∴与互补，故③正确， ， ∴．故④正确． 故选：D． 重点考点讲练02：同(等)角的余(补)角相等的应用 【母题精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】B 【思路点拨】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【规范解答】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∴选项不正确； C、∵， ∴选项正确； D、∵, ∴选项正确． 故选：B． 【训练1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，使得一条直角边在射线上．另一边在直线的上方，将直角三角板绕着点以/秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，的度数为_______，的度数为_______； (2)当直角三角板旋转到图②的位置时．恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中．是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在．请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)秒或秒或秒 【思路点拨】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差、余角的性质等； （1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线；结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解； 掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：； 理由如下： ， ， ， 恰好平分， ， ， ； （3）解：存在； 理由如下： ①当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ②当是、构成夹角的平分线， ， （秒）； ③当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， （秒）； 综上所述：的值为秒或秒或秒． 【训练2】（24-25七年级上·天津·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； (2)如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路点拨】（1）由垂线的定义得，从而，结合对顶角的性质得，可得结论； （2）由角平分线的定义得，由补角的性质得，然后结合可求出． 【规范解答】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是，． 故答案为：，； （2）解： ∵平分， （角平分线的定义）， （同角的补角相等）． 又∵， ∴， ∴． 重点考点讲练03：垂线段最短 【母题精讲】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了三角形中线等分面积，垂线段最短，关键是由三角形面积公式求出的面积． 【规范解答】解：过作于，连接，延长交于， 、分别是、的中点， 的面积面积的一半，的面积面积的一半， 的面积的面积， 的面积四边形的面积， 、分别是、的中点， 的面积的面积，的面积的面积． 的面积的面积的面积的面积四边形的面积， 的面积， 的面积， ， ， ， 线段的最小值是6． 故答案为：6． 【训练1】（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】// 【思路点拨】本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知是的平分线，过点作交于点，再过点作交于点，此时有最小值． 【规范解答】解：点D到的距离等于的长， ∴是的平分线， 过点作交于点，再过点作交于点， ∴， ∵， ∴此时有最小值， ∵中，，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】8 【思路点拨】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【规范解答】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 重点考点讲练04：点到直线的距离 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离求解． 【规范解答】解：选项A，B，C中，与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意； 选项D中，于，则线段的长表示点到直线距离，符合题意． 故选：D． 【训练1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】（1）①图见解析；②图见解析 （2）直线； 【思路点拨】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． 【规范解答】解：（1）如图所示：①即为所求； ②如图所示：即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是， 故答案为：，，． 【训练2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)；垂线段最短 【思路点拨】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）借助网格，根据垂线的定义画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． （3）根据垂线段最短可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． （3）解：线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 期末考向二：探索直线平行的条件 重点考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 【母题精讲】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和 (2)内错角：和，和；同旁内角：和，和 (3)内错角：和，和；同旁内角：和，和 【思路点拨】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，找准截线与被截线是解题的关键．两线被第三条直线所截，在截线的异旁，被截线的内部就是内错角，截线的同位置，被截线的同旁是同位角，截线同旁，被截线的内部就是同旁内角．依次判断即可． 【规范解答】（1），被所截形成的同位角：和；内错角：和 （2），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和 （3），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和 【训练1】（22-23七年级·全国·课后作业）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（   ）    A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】D 【思路点拨】根据邻补角的定义，可判断A，根据对顶角的定义，可判断B，根据同位角的定义，可判断C，根据内错角的定义，可判断D 【规范解答】解：A、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，故A正确； B、与的两边互为反向延长线，故B正确； C、与的位置相同，故C正确； D、与是同旁内角．故D错误； 故选：D． 【训练2】（22-23七年级下·甘肃武威·期中）下列命题中正确的有（　　） ①相等的角是对顶角； ②在同一平面内，若，，则；③同旁内角互补； ④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路点拨】根据对顶角、平行公理推论、同旁内角、邻补角和角平分线的定义逐个判断即可得． 【规范解答】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则原命题错误； ②在同一平面内，若，，则，则原命题正确； ③同旁内角不一定互补，则原命题错误； ④因为互为邻补角的两角的度数之和为，所以它们的角平分线互相垂直，则原命题正确； 综上，命题正确的有2个， 故选：C． 重点考点讲练06：同位角相等两直线平行 【母题精讲】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理依次判断即可． 【规范解答】解：A，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意； B，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意； C，和是直线被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意； D，和是直线被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意； 故选：A． 【训练1】（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)求证． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，多边形的内角和定理的应用，平行线的判定，角平分线的定义，熟练的利用多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键． （1）由四边形内角和定理得到，由平分即可得到答案； （2）设，证明，在中，，则，即可证明． 【规范解答】（1）解：∵在四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴． （2）证明：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴在四边形中，， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【训练2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点N作， ∴， ∴， 设， ∵分别平分， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：， ∵，即 ∴ ∴， ∴， 又∵和是角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 重点考点讲练07：用直尺、三角板画平行线 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了画平行线，画垂线，垂线段最短； （1）根据题意过点画直线，使得且，即可求解； （2）根据垂线段最短，找到的格点，连接，则交点为，则点即为所求； 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴当垂足时，最小， 【训练1】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．请按下述要求画图并回答问题： (1)连结，作射线，直线； (2)过点B作交于点E； (3)在直线上求作一点P，使点P到B、D两点的距离最小，作图依据是； (4)四边形的面积是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路点拨】（1）根据射线，直线的定义画出图形即可； （2）根据平行线的判定，画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短，画出图形即可； （4），即可求解。 【规范解答】（1）解：如图1，射线，直线即为所求； （2）解：如图1，即为所求； （3）解：如图2，连接交于点P，点P即为所求，根据两点之间线段最短，可知当P、B、D三点共线时，为最小值， 故答案为：两点之间线段最短； （4）解：如图3，，，，且，， ， 故答案为：。 【训练2】（21-22七年级上·河南南阳·期末）已知平面上有A、C、D三点，如图，请按要求完成下列问题． (1)画射线AD，线段AC； (2)利用圆规在射线AD上截取DB，使（保留作图痕迹），连接BC； (3)过点D画出AC的平行线DF，交BC于E； (4)通过测量猜测线段DE与AC之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路点拨】（1）根据射线，线段的定义画出图形即可； （2）以D为圆心在射线AD上截取DB=AD，连接BC即可； （3）根据要求画出图形即可； （4）利用测量法解决问题即可． 【规范解答】（1）解：如图，射线AD，线段AC即为所求； （2）如图，线段DB即为所求； （3）如图，直线DE即为所求； （4）经测量可得： 重点考点讲练08：平行公理推论的应用 【母题精讲】（23-24七年级下·福建福州·期末）已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．    (1)如图（），若，，求证：； (2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)补全图形见解析，． 【思路点拨】（）过作，可得，即得，，进而得，即可求证； （）过作，过作，可得，设，，则，即得，，由角平分线可得，，进而得，，得到，即可得，即可求证； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即；    （2））如图，补图如下：    过作，过作， ∵， ∴， 设，，则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【训练1】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【训练2】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）过点作于点，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后计算即可得证； （2）过点作于点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得． 【规范解答】（1）证明：如图，过点作于点， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点， ，， ， ， 解得， 平分，平分， ， ， 由（1）已得：， ． 重点考点讲练09：内错角相等两直线平行 【母题精讲】（21-22八年级上·辽宁丹东·期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【规范解答】解：①由于和是同位角，则①可判定； ②由于和是内错角，则②可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定； ④由于和是同旁内角，则④可判定； 即①②④可判定． 故选A． 【训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知和射线，作于E． (1)仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在射线上作一点F（异于点B），使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若平分，证明：． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查的是作一条线段等于已知线段，角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练的画图是解本题的关键. （1）以为圆心，为半径画弧交于，则； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论； 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【训练2】（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【规范解答】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②③④ 重点考点讲练10：同旁内角互补两直线平行 【母题精讲】（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 【训练1】（21-22七年级下·辽宁丹东·期末）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余． (1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由． (2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)ABCD，理由见解析； (2)∠E＝∠EAB +∠DCE，理由见解析． 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义得出∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，再根据∠1和∠2互余可知∠1+∠2＝90°，故可得出∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，进而得出结论； （2）根据已知求出∠BAE+∠DCE＝90°，根据三角形的内角和定理可得∠E＝90°，从而证得结论． 【规范解答】（1）解：ABCD， 理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD， ∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE， ∵∠1和∠2互余， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°， ∴ABCD； （2）∠E＝∠EAB +∠DCE， 理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD， ∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠BAE+∠DCE＝90°， ∵∠1+∠2+∠E＝180°， ∴∠E＝90°， ∴∠E＝∠EAB +∠DCE． 【训练2】（20-21七年级下·安徽阜阳·期末）请补全证明过程及推理依据：如图，B、E 分别是AC、DF上的点，∠A＋∠ABF＝180°，∠A＝∠F．求证：∠C＝∠D 证明：因为∠A＋∠ABF＝180°（     ），所以AE//BF（    ）， 所以∠A＝ （    ），又因为∠A＝∠F（    ） 所以∠_ ＝∠ （     ）， 所以 // （         ） 所以∠C＝∠D（     ） 【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；;两直线平行，同位角相等；已知；；;等量代换；;;内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【思路点拨】结合图形，根据已知证明过程，写出相关的依据即可． 【规范解答】证明：因为（已知），所以(同旁内角互补，两直线平行) 所以(两直线平行，同位角相等),又因为(已知) 所以 所以(内错角相等，两直线平行) 所以(两直线平行，内错角相等) 期末考向三：平行线的性质 重点考点讲练11：根据平行线的性质探究角的关系 【母题精讲】（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【训练1】（20-21七年级上·吉林长春·期末）填空：(将下面的推理过程及依据补充完整) 如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 【答案】；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质并灵活运用是解题的关键．根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答． 【规范解答】证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴平分 （角平分线的定义）． 故答案为：；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义． 【训练2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【规范解答】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 重点考点讲练12：根据平行线的性质求角的度数 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 【训练1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【规范解答】解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒， 故选：C． 【训练2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题． (1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数． (2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记平行线的性质，利用角的关系求解； （1）先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求出，，再根据角的和差求出的度数即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 重点考点讲练13：平行线的性质在生活中的应用 【母题精讲】（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【答案】（1）15°或115°；（2）120° 【思路点拨】（1）根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案． （2）过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，根据平角的定义可求∠ADB=30°，根据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H． 【规范解答】解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 【训练1】（20-21七年级上·湖南长沙·期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2） ；（3）当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【思路点拨】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果； （2）过点作，利用平行线的相关性质求解即可； （3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，返回时，第一次与相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第二次与相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒， ∴P灯照射一次需要的时间是：（秒） Q灯照射一次需要的时间是：（秒）； （2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚， ∴, ， 如下图示，过点作， 则有 ∴， ， ∴， ∴； （3）①当两灯开启时间小于18秒时， 如图1所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第一次与相遇，则如图2所示， 过点作， 则有 ∴， ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第二次与相遇，则如图3所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； 综上所述，当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【训练2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【规范解答】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为 （平角的定义）， 又因为（已知）， 所以 （等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以 （平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 重点考点讲练14：根据平行线判定与性质求角度 【母题精讲】（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【训练1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；． 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，由，得到，从而得到，则，即可求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；． 【训练2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 重点考点讲练15：根据平行线判定与性质证明 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角板的角度问题，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由两直线平行，内错角相等，得到，进而得出，即可证明全等； （2）由三角板可知，，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：与平行，理由见解析； ， ， ， ， ； （2）解：由三角板可知，， ， 平分， ， ， ． 【训练1】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线，当点E在直线与之间时． (1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）； (2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明． 【答案】(1) (2)或，见解析 【思路点拨】本题考查的是平行线的判定与性质， （1）过点E作，先证明，得出，根据角的和差计算得出结论； （2）分两种情况：当E在的上方时或当E在的下方时，分别作辅助线根据平行线的性质求出结论． 【规范解答】（1）解：与之间的关系为：，理由如下： 如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图2，当E在的上方时，，证明如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3，当E在的下方时，，证明如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【训练2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，于点，于点，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：（已知）， _____________，（                   ）， _____________，（                   ）， ，（已知）， ____________，（                   ）， ___________，（                   ）， ． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行（或，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行）；；两直线平行，同位角相等 【思路点拨】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 由，可以判断，进而得到，由，，可得，进而得到，于是得出结论． 【规范解答】解：，理由如下： （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （垂直于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行（或，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行）；；两直线平行，同位角相等． 中档题—夯实基础能力 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂线段最短，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短求解即可． 【规范解答】解：在点与、、、四点的连线中，线段最短，依据是“垂线段最短”． 故选：D． 2．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【规范解答】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行公理，根据平行公理即可求解，理解并熟记平行公理是解题的关键． 【规范解答】解：这样判定的依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：． 4．（17-18七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明利用一副直角三角板绕着直角顶点旋转实验，探究旋转过程中各角之间的关系．他旋转至如图所示时，即，则此时的度数为 度． 【答案】45 【思路点拨】本题主要考查了几何图形中角的计算，垂线定义理解，先根据垂线定义结合三角板中的角度大小求出，再根据，求出结果即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【思路点拨】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【规范解答】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 7．（21-22七年级下·重庆江津·期末）如图，直线分别与直线交于点E、点F，，射线分别与直线交于点M、N，且，则与有何数量关系，并给出证明． 请你将以下证明过程补充完整． 解：∵， ∴_____（同位角相等，两直线平行）， ∴____（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴______， ∵_____， ∴_____． 【答案】；；；； 【思路点拨】本题主要查了平行线的判定和性质．根据，可得，从而得到，再由，可得，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；；；； 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用． （1）根据补角的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴ ②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，根据同角的补角相等，平行线的判定方法和性质，进行作答即可． 【规范解答】解：∵（已知） （平角的定义） ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，点A，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，是直角，直角顶点与点重合，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度的计算． 先利用角的和差关系可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用平角定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行可得答案．关键是掌握平行线的判定定理． 【规范解答】解：A、当时，可得，不合题意； B、当时，无法得到，不合题意； C、当且时，可得，可得，符合题意； D、当时，可得，不合题意． 故选：C． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解答本题的关键． 根据题意计算、结合图形比较，即可得到答案． 【规范解答】解：A、图形中，，故A不符合题意； B、图形中，根据同角的余角相等可得，故B符合题意； C、图形中，，和互余且，故C不符合题意； D、图形中，，和互补且，故D不符合题意； 故选：B． 14．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，点A，O，E在同一条直线上，于点O，．有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有 ． 【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【规范解答】解：由且、、共线，可知，故①正确； 在点周围作简单的“坐标式”分析（或利用“两组对应线均两两垂直时夹角相等”的性质）可得且，则，故②正确； 继续利用坐标式分析可得：，它们互为余角，故③正确； 同理可得：，它们互为补角，故④正确； 综上，①②③④均成立； 故答案为：①②③④； 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则 ．    【答案】/度 【思路点拨】本题考查了余角的概念，角平分线的定义，利用，再根据角平分线得到，再根据与互余即可解答，注意掌握平角中套直角这种模型，理清各角之间的关系． 【规范解答】解：， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，． 【答案】或20 【思路点拨】本题考查平行线的性质，分未到达和从返回两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 设当射线转动时，，则： ①当未到达时，，， ∴，解得：； ②当从返回时，则：，， ∴， 解得：； 故答案为：或20． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【思路点拨】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 18．（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 【答案】（1），；（2），见解析；（3） 【思路点拨】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． （1）过点A作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点E作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数． 【规范解答】 解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴． 19．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的平判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的判定作出图形； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据垂线的定义画出图形即可． 【规范解答】（1）解:如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第2章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：两条直线的位置关系 2 知识点梳理02：平行线的判定与性质 3 知识点梳理03：用尺规作线段和角 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：基本概念混淆 5 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 5 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 5 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 6 优选真题考点汇编讲连 6 期末考向一：两条直线的位置关系 6 重点考点讲练01：与余角、补角有关的计算 6 重点考点讲练02：同(等)角的余(补)角相等的应用 7 重点考点讲练03：垂线段最短 9 重点考点讲练04：点到直线的距离 10 期末考向二：探索直线平行的条件 11 重点考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 11 重点考点讲练06：同位角相等两直线平行 12 重点考点讲练07：用直尺、三角板画平行线 13 重点考点讲练08：平行公理推论的应用 15 重点考点讲练09：内错角相等两直线平行 16 重点考点讲练10：同旁内角互补两直线平行 17 期末考向三：平行线的性质 18 重点考点讲练11：根据平行线的性质探究角的关系 18 重点考点讲练12：根据平行线的性质求角的度数 21 重点考点讲练13：平行线的性质在生活中的应用 23 重点考点讲练14：根据平行线判定与性质求角度 25 重点考点讲练15：根据平行线判定与性质证明 27 优选真题难度分层练 28 中档题—夯实基础能力 28 压轴题—强化解题技能 32 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点梳理02：平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：用尺规作线段和角 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 易错知识点01：基本概念混淆 1. 对顶角与邻补角识别错误 对顶角：两条直线相交形成的两个角，必须满足“顶点相同，两边互为反向延长线”。但学生常将相邻的角误认为对顶角，例如在复杂图形中忽略反向延长线的条件 邻补角：相邻且和为180°的角，但可能误将非相邻的补角视为邻补角（如两条直线相交时，对角线的两个角虽互补但不是邻补角） 2. 平行线与相交线定义混淆 平行线：“同一平面内永不相交”是核心条件，但学生可能忽略“同一平面”导致错误（如立体几何中不相交的直线未必平行） 垂线：认为垂直必须形成90°角即可，但需明确垂线是相交的特殊情况，且交点称为垂足 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 1. 余角、补角的条件混淆 余角需和为90°，补角需和为180°，但学生可能将互补的角误认为余角，或忽略“同角或等角”的前提（如认为任意两个和为90°的角都是余角） 应用错误：例如已知∠A与∠B互余，求∠A的补角时，可能直接写为180°-∠A，而忽略需结合具体图形关系 2. 同位角、内错角、同旁内角的位置误判 同位角：需满足“F型”结构，但在复杂图形中可能误判非同位角（如将不同截线形成的角视为同位角） 内错角：需满足“Z型”结构，学生可能将同旁内角（“C型”）误认为内错角 同旁内角：需和为180°，但可能误将互补的非同旁内角代入计算 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 1. 性质与判定颠倒使用 平行线性质：已知平行，推导角的关系（如同位角相等）。学生可能在未证明平行时直接使用性质，导致逻辑错误 平行线判定：需通过角的关系（如内错角相等）证明平行，但可能误用性质反向推导（如用“同位角相等”直接作为判定条件时未确认两直线被同一条直线所截） 2. 垂线段最短的应用错误 例如求最短路径时，学生可能误将斜线段长度当作垂线段处理，或未明确“点到直线的距离”是垂线段的长度而非线段本身 实际应用题：如“在河岸建水站到村庄的最短管道”，需转化为垂线段，但可能错误选择斜线或其他路径 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 1. 条件缺失的跳跃性推理 例如证明平行时，直接写“同位角相等”而未说明两直线被第三条直线所截，或未标注截线的位置。 步骤跳跃：如从“∠1=∠2”直接推出“a∥b”，忽略需明确“∠1和∠2是同位角”的条件。 2. 忽略隐藏条件 角的非负性：如在动态几何问题中，未验证角度或线段长度是否为合理值（如时间为负数或角度超过180°） 零角或平角误用：例如误认为平角（180°）的两边是反向延长线，因此属于对顶角 期末考向一：两条直线的位置关系 重点考点讲练01：与余角、补角有关的计算 【母题精讲】（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【训练1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，已知直线经过点，与互余，是的平分线． (1)若，则______； (2)若，求的度数； (3)，直接写出______；（用含的式子表示） 【训练2】（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 重点考点讲练02：同(等)角的余(补)角相等的应用 【母题精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【训练1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图①，点是直线上一点，在直线上方作射线，使，将一直角三角板（其中）的直角顶点放在点处，使得一条直角边在射线上．另一边在直线的上方，将直角三角板绕着点以/秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，的度数为_______，的度数为_______； (2)当直角三角板旋转到图②的位置时．恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中．是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在．请求出的值；若不存在，请说明理由． 【训练2】（24-25七年级上·天津·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； (2)如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 重点考点讲练03：垂线段最短 【母题精讲】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 【训练1】（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【训练2】（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 重点考点讲练04：点到直线的距离 【母题精讲】（23-24七年级上·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【训练2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 期末考向二：探索直线平行的条件 重点考点讲练05：同位角、内错角、同旁内角 【母题精讲】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 【训练1】（22-23七年级·全国·课后作业）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（   ）    A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【训练2】（22-23七年级下·甘肃武威·期中）下列命题中正确的有（　　） ①相等的角是对顶角； ②在同一平面内，若，，则；③同旁内角互补； ④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 重点考点讲练06：同位角相等两直线平行 【母题精讲】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，在四边形中，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)求证． 【训练2】（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 重点考点讲练07：用直尺、三角板画平行线 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点都在网格的格点上）： (1)过点画直线，使得且，标出点的位置（请用铅笔或黑色水笔加黑加粗）； (2)在直线上画出点，使最小． 【训练1】（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．请按下述要求画图并回答问题： (1)连结，作射线，直线； (2)过点B作交于点E； (3)在直线上求作一点P，使点P到B、D两点的距离最小，作图依据是； (4)四边形的面积是． 【训练2】（21-22七年级上·河南南阳·期末）已知平面上有A、C、D三点，如图，请按要求完成下列问题． (1)画射线AD，线段AC； (2)利用圆规在射线AD上截取DB，使（保留作图痕迹），连接BC； (3)过点D画出AC的平行线DF，交BC于E； (4)通过测量猜测线段DE与AC之间的数量关系． 重点考点讲练08：平行公理推论的应用 【母题精讲】（23-24七年级下·福建福州·期末）已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．    (1)如图（），若，，求证：； (2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． 【训练1】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【训练2】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）已知，． (1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E； (2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，，求∠A的度数． 重点考点讲练09：内错角相等两直线平行 【母题精讲】（21-22八年级上·辽宁丹东·期末）如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，已知和射线，作于E． (1)仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在射线上作一点F（异于点B），使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若平分，证明：． 【训练2】（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 重点考点讲练10：同旁内角互补两直线平行 【母题精讲】（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【训练1】（21-22七年级下·辽宁丹东·期末）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余． (1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由． (2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由． 【训练2】（20-21七年级下·安徽阜阳·期末）请补全证明过程及推理依据：如图，B、E 分别是AC、DF上的点，∠A＋∠ABF＝180°，∠A＝∠F．求证：∠C＝∠D 证明：因为∠A＋∠ABF＝180°（     ），所以AE//BF（    ）， 所以∠A＝ （    ），又因为∠A＝∠F（    ） 所以∠_ ＝∠ （     ）， 所以 // （         ） 所以∠C＝∠D（     ） 期末考向三：平行线的性质 重点考点讲练11：根据平行线的性质探究角的关系 【母题精讲】（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【训练1】（20-21七年级上·吉林长春·期末）填空：(将下面的推理过程及依据补充完整) 如图，已知：平分，，，求证：平分 ． 证明：平分(已知)， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴ ， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴ （            ）， （                 ）， ∴ （等量代换）， ∴平分 （    ）． 【训练2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 重点考点讲练12：根据平行线的性质求角的度数 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【训练1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【训练2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题． (1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数． (2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数． 重点考点讲练13：平行线的性质在生活中的应用 【母题精讲】（20-21七年级下·浙江杭州·期末）（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 【训练1】（20-21七年级上·湖南长沙·期末）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【训练2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 重点考点讲练14：根据平行线判定与性质求角度 【母题精讲】（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【训练1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）填空：如图，，，，求的度数． 解：∵， ∴________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵， ∴（等量代换）， ∴（________）， ∴________（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴________． 【训练2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为 ． 重点考点讲练15：根据平行线判定与性质证明 【母题精讲】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线． (1)若，判断与是否平行，并说明理由； (2)若射线平分，求的度数． 【训练1】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，已知直线，当点E在直线与之间时． (1)与之间有怎样的关系（写出结论即可）； (2)当点E在直线与之外时，试猜想这三个角的关系并加以证明． 【训练2】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，于点，于点，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：（已知）， _____________，（                   ）， _____________，（                   ）， ，（已知）， ____________，（                   ）， ___________，（                   ）， ． 中档题—夯实基础能力 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 2．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4．（17-18七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．    5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小明利用一副直角三角板绕着直角顶点旋转实验，探究旋转过程中各角之间的关系．他旋转至如图所示时，即，则此时的度数为 度． 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 7．（21-22七年级下·重庆江津·期末）如图，直线分别与直线交于点E、点F，，射线分别与直线交于点M、N，且，则与有何数量关系，并给出证明． 请你将以下证明过程补充完整． 解：∵， ∴_____（同位角相等，两直线平行）， ∴____（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴______， ∵_____， ∴_____． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 9．（24-25七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴ ②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 压轴题—强化解题技能 11．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，点A，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，是直角，直角顶点与点重合，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，点A，O，E在同一条直线上，于点O，．有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有 ． 15．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，此时是的角平分线，则 ．    16．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，． 17．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 18．（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， ∴____， ____． 又∵， ∴． 【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明． 【解决问题】 （3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数． 19．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的正方形方格纸中，点A、B、C均在格点上．利用网格只用直尺画图： (1)过点A画直线的平行线，并标出格点D的位置； (2)过点C画直线的垂线，并标出格点E的位置； (3)过点B画直线的垂线，并标出格点F的位置． 第 1 页 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