第5章 图形的轴对称（思维导图+知识梳理+6大考点讲练+优选真题难度分层练 共48题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第5章 图形的轴对称 （思维导图+知识梳理+6大考点讲练+优选真题难度分层练 共48题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：轴对称 2 知识点02：作轴对称图形 3 知识点03：等腰三角形 3 重点知识考点讲练 5 考向一：轴对称及其性质 5 考点讲练01：轴对称的性质 5 考点讲练02：轴对称图形 6 考点讲练03：作图-轴对称变换 6 考向二：简单的轴对称图形 7 考点讲练04：角平分线的性质 7 考点讲练05：线段垂直平分线的性质 8 考点讲练06：等腰三角形的性质 9 优选真题难度分层练 9 基础夯实真题练 9 培优拔尖真题练 9 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：轴对称 【高频考点精讲】 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 【易错点剖析】成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 【易错点剖析】 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【易错点剖析】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 3.角平分线 角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 【易错点剖析】前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 知识点02：作轴对称图形 【高频考点精讲】 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 知识点03：等腰三角形 【高频考点精讲】 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 【易错点剖析】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 【易错点剖析】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 【易错点剖析】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 考向一：轴对称及其性质 考点讲练01：轴对称的性质 【典例精讲01】（2024秋•冠县期末）如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠B′AC′ B．CC′∥BB′ C．BD＝B′D′ D．AD＝DD′ 【变式训练1】（2024•玉林模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【变式训练2】（2024春•天宁区校级期中）如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　 　°． 考点讲练02：轴对称图形 【典例精讲02】（2024秋•高要区期末）秦始皇统一六国后，推行“书同文，车同轨”，统一度量衡的政策，下令以秦国的“小篆”作标准，统一全国文字．下列四个字是中，国，你，好四个汉字对应的小篆体，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024•湖北一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024春•鄄城县期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 　 　． 考点讲练03：作图-轴对称变换 【典例精讲03】（2024秋•苍梧县期末）如图，已知△ABC的顶点都在正方形网格的格点上． （1）请画出△ADE，使得△ADE与△ABC关于直线OP对称，点B，C的对应点分别为点D，E； （2）在（1）的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1，试求△ADE的面积． 【变式训练1】（2024春•耀州区期末）在网格中画出所给图形关于直线BE对称的图形，点A、D的对应点分别为点A1、D1． 【变式训练2】（2024春•冷水滩区期末）已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点（正方形的顶点）上． （1）△ABC的面积等于 　 　个平方单位； （2）画出△ABC关于直线l的对称图形． 考向二：简单的轴对称图形 考点讲练04：角平分线的性质 【典例精讲04】（2024秋•海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC 【变式训练1】（2024秋•开福区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 【变式训练2】（2024秋•增城区期中）如图，已知△ABC的周长为15，∠BAC和∠ABC的平分线AD和BE相交于点P．若点P到边AB的距离为2，则△ABC的面积为　 　． 考点讲练05：线段垂直平分线的性质 【典例精讲05】（2024秋•曲阜市期末）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（　　） A．87° B．62° C．90° D．93° 【变式训练1】（2023秋•白云区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【变式训练2】（2024春•兴庆区校级期末）如图，已知OD、OE是△ABC的两边的垂直平分线，它们交于点O，OD、OE分别交BC于M、N，若∠MAN＝10°，则∠BAC的度数为 　 　． 考点讲练06：等腰三角形的性质 【典例精讲06】（2023春•莲池区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的腰长为 　 　． 【变式训练1】（2023秋•西平县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点（不与B、C重合），连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为（　　） A．80° B．110° C．120° D．80°或110° 【变式训练2】（2024春•南岗区校级期中）一个等腰三角形两边是6cm、7cm，则这个等腰三角形的周长为 　 　 cm． 基础夯实真题练 1．（2024秋•琼海期末）如图，在△ABC中，PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°．则∠PAQ的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 2．（2024秋•微山县期末）如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B，C．若PB＝PC，∠MAN＝46°，则∠APC的度数为（　　） A．23° B．44° C．46° D．67° 3．（2024秋•新安县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 4．（2024秋•临淄区期末）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1 5．（2024秋•开封期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024秋•雁江区校级期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若AC＝7，BC＝12，则△ACD的周长为 　 　． 7．（2024秋•徐水区期末）如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 　 　． 8．（2024秋•朝天区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　 　． 9．（2024秋•邹平市期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝34°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD的度数为 　 　． 10．（2024秋•利辛县期末）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　 　°． 11．（2024秋•谯城区期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，1），点C的坐标为（﹣1，3）． （1）请在网格中建立平面直角坐标系xOy，并写出点C关于x轴的对称点C'的坐标； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． 12．（2025•城阳区校级开学）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请直接写出点A、B的坐标； （2）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'； （3）求△ABC的面积； （4）若在x轴上有一点P，使得△BCP的面积为4，则点P的坐标是 　 　． 13．（2024秋•曲阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积． 14．（2024秋•陵城区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上； （2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数． 15．（2023秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． 培优拔尖真题练 16．（2025•朝阳区校级开学）已知等腰三角形的一条边等于4cm，另一条边等于9cm，那么这个三角形的周长是（　　） A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．以上都不对 17．（2024秋•南平期末）下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．数 B．字 C．中 D．国 18．（2024秋•凉州区期末）已知一个等腰三角形两边长分别为3，6，则它的周长为（　　） A．9 B．15 C．12或15 D．9 或12 19．（2024秋•邵东市期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2024秋•张店区期末）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点E，F在等腰三角形ABC的内部，连接AE，EF，CF，使∠BAE＝∠AEF＝60°，且CF平分∠ACB．若AE＝5，EF＝3，则AB＝　 　． 21．（2024秋•新疆期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB于点D，CE＝4，△BCD的周长等于18，则△ABC的周长为 　 　． 22．（2024秋•满洲里市期末）如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是　 　． 23．（2024秋•大丰区期末）已知等腰三角形的一边等于3cm，另一边等于7cm，则它的周长为　 　． 24．（2024秋•长沙期末）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 　 　． 25．（2024秋•即墨区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　 　． 26．（2024秋•蒙城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC的延长线上，AD＝AE． （1）若∠BAD＝120°，求∠EDC的度数； （2）猜想∠BAD与∠EDC的关系，并说明理由． 27．（2024秋•张店区期末）如图，已知△ABC，点D为边BC上一点（点D不与点B，C重合）． （1）尺规作图：作直线MN，使得点A与点D关于直线MN对称，直线MN交直线AC于M，交直线AB于N；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的基础上，连接DM，AD，AD交MN于点P．若已知AB+AC＝16，S△ABC＝24，当MP＝NP时，请求出点D到直线AC的距离． 28．（2024秋•方城县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 29．（2024秋•福山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 30．（2024秋•宿迁期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第5章 图形的轴对称 （思维导图+知识梳理+6大考点讲练+优选真题难度分层练 共48题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：轴对称 2 知识点02：作轴对称图形 3 知识点03：等腰三角形 3 重点知识考点讲练 5 考向一：轴对称及其性质 5 考点讲练01：轴对称的性质 5 考点讲练02：轴对称图形 7 考点讲练03：作图-轴对称变换 9 考向二：简单的轴对称图形 11 考点讲练04：角平分线的性质 11 考点讲练05：线段垂直平分线的性质 13 考点讲练06：等腰三角形的性质 15 优选真题难度分层练 17 基础夯实真题练 17 培优拔尖真题练 29 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：轴对称 【高频考点精讲】 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 【易错点剖析】成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 【易错点剖析】 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【易错点剖析】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 3.角平分线 角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 【易错点剖析】前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 知识点02：作轴对称图形 【高频考点精讲】 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 知识点03：等腰三角形 【高频考点精讲】 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 【易错点剖析】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 【易错点剖析】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 【易错点剖析】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 考向一：轴对称及其性质 考点讲练01：轴对称的性质 【典例精讲01】（2024秋•冠县期末）如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′分别交AC，AC′于点D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAC＝∠B′AC′ B．CC′∥BB′ C．BD＝B′D′ D．AD＝DD′ 【思路点拨】利用轴对称的性质，全等三角形的性质一一判断即可． 【规范解答】解：∵△ABC与△AB′C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△AB′C′，BB′⊥l，CC′⊥l，AB＝AB′，AC＝AC′ ∴∠BAC＝∠B′AC′，BB′∥CC′， ∴OD＝OD′，OB＝OB′， ∴BD＝B′D′， 故选项A，B，C正确， 故选：D． 【考点评析】本题考查轴对称变换，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练1】（2024•玉林模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【思路点拨】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 【考点评析】本题考查轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 【变式训练2】（2024春•天宁区校级期中）如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　70　°． 【思路点拨】由折叠的性质可得：∠BED＝∠B′ED，求出∠BED＝∠B′ED＝90°，从而得出∠EDF+∠B′ED＝180°，即可推出AB∥DF，再由平行线的性质即可得出答案． 【规范解答】解：由折叠的性质可得：∠BED＝∠B′ED， ∵∠BED+∠B′ED＝180°， ∴∠BED＝∠B′ED＝90°， ∴∠EDF+∠B′ED＝180°， ∴AB∥DF， ∴∠CFD＝∠A＝70°， 故答案为：70． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 考点讲练02：轴对称图形 【典例精讲02】（2024秋•高要区期末）秦始皇统一六国后，推行“书同文，车同轨”，统一度量衡的政策，下令以秦国的“小篆”作标准，统一全国文字．下列四个字是中，国，你，好四个汉字对应的小篆体，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【规范解答】解：B，C，D选项中的文字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的文字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【考点评析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式训练1】（2024•湖北一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意利用轴对称图形定义即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵沿着一条直线折叠，直线两边的部分能完全重合的图形为轴对称图形， ∴为轴对称图形， 故选：D． 【考点评析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义和识别是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•鄄城县期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 　正方形　． 【思路点拨】根据轴对称图形的概念求解即可． 【规范解答】解：等腰直角三角形，半圆只有1条对称轴； 等边三角形有3条对称轴； 正方形有4条对称轴； 所以这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是正方形． 故答案为：正方形． 【考点评析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 考点讲练03：作图-轴对称变换 【典例精讲03】（2024秋•苍梧县期末）如图，已知△ABC的顶点都在正方形网格的格点上． （1）请画出△ADE，使得△ADE与△ABC关于直线OP对称，点B，C的对应点分别为点D，E； （2）在（1）的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1，试求△ADE的面积． 【思路点拨】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点A、D、E即可； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：（1）如图，△ADE即为所求． （2）△ADE的面积． 【考点评析】本题考查作图—轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【变式训练1】（2024春•耀州区期末）在网格中画出所给图形关于直线BE对称的图形，点A、D的对应点分别为点A1、D1． 【思路点拨】作出点A、D的对应点A1、D1，连接A1B，A1C，CD1，D1E即可． 【规范解答】解：如图即为所求， 【考点评析】此题考查了作图—轴对称变换，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•冷水滩区期末）已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点（正方形的顶点）上． （1）△ABC的面积等于 　3　个平方单位； （2）画出△ABC关于直线l的对称图形． 【思路点拨】（1）根据网格特征用矩形法求解即可； （2）根据网格特点作出对称点，画出对应的图形即可得到答案． 【规范解答】解：（1）3， 故答案为：3． （2）如图，△A1B1C为所求． 【考点评析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 考向二：简单的轴对称图形 考点讲练04：角平分线的性质 【典例精讲04】（2024秋•海港区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．DE⊥AB B．AD＝BD C．DE＝DC D．∠BDE＝∠BAC 【思路点拨】根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，依据这两个条件即可逐项判断即可． 【规范解答】解：∵根据尺规作图的痕迹，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∴∠BDE＝90°﹣∠B， ∵△ABC是直角三角形， ∴∠BAC＝90°﹣∠B， ∴∠BDE＝∠BAC， 无法证明AD＝BD， 所以选项A、B、C一定正确，不符合题意，选项B不一定正确，符合题意， 故选：B． 【考点评析】本题考查了作图﹣基本作图，垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 【变式训练1】（2024秋•开福区期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 【思路点拨】作PE⊥OB于点E，根据角平分线的性质，得到PE＝PC＝2，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：作PE⊥OB于点E， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴根据角平分线的性质，PE＝PC＝2， ∴△POD的面积为，即△POD的面积为5， 故选：C． 【考点评析】本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 【变式训练2】（2024秋•增城区期中）如图，已知△ABC的周长为15，∠BAC和∠ABC的平分线AD和BE相交于点P．若点P到边AB的距离为2，则△ABC的面积为　15　． 【思路点拨】连接CP，过点P作PF⊥AB于点F，PH⊥BC于点H，PG⊥AC于点G．可得PG＝PF＝PH＝2．据此即可求解． 【规范解答】解：如图，连接CP，过点P作PF⊥AB于点F，PH⊥BC于点H，PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠CAB，PG⊥AC于点G，PF⊥AB于点F， ∴PG＝PF． 同理可得：PF＝PH． ∴PG＝PF＝PH＝2． ∵△ABC的周长为15， ∴AB+BC+AC＝15． ∴S△ABC＝S△ABP+S△BCP+S△ACP ＝15． 故答案为：15． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握该定理是关键． 考点讲练05：线段垂直平分线的性质 【典例精讲05】（2024秋•曲阜市期末）如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（　　） A．87° B．62° C．90° D．93° 【思路点拨】根据垂直平分线的性质得到∠DBE＝∠ECE＝31°，再根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝31°，由三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：由条件可知DB＝DC， ∴∠DBE＝∠DCE＝31°， ∵∠ABC的平分线BD交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝31°， ∴∠ABC＝62°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣62°﹣31°＝87°， 故选：A． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握垂直平分线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【变式训练1】（2023秋•白云区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【思路点拨】由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，又由AC＝5cm，BC＝4cm，即可求得△DBC的周长． 【规范解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵AC＝5cm，BC＝4cm， ∴△DBC的周长是：BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝5+4＝9（cm）． 故选：C． 【考点评析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等的应用． 【变式训练2】（2024春•兴庆区校级期末）如图，已知OD、OE是△ABC的两边的垂直平分线，它们交于点O，OD、OE分别交BC于M、N，若∠MAN＝10°，则∠BAC的度数为 　95°　． 【思路点拨】根据垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两段的距离相等，可得MA＝MB，NA＝NC，再由等腰三角形性质和三角形内角和即可求解． 【规范解答】解：∵OD、OE是△ABC的两边的垂直平分线， ∴MA＝MB，NA＝NC， ∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC， ∴2∠B+2∠C+∠MAN＝180°， ∵∠MAN＝10°， ∴∠B+∠C＝85°， ∴∠MAB+∠NAC＝85°， ∴∠BAC＝∠MAB+∠NAC+∠MAN＝85°+10°＝95°， 故答案为：95°． 【考点评析】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握这些性质进行计算是解题的关键． 考点讲练06：等腰三角形的性质 【典例精讲06】（2023春•莲池区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为18和21两个部分，则这个等腰三角形的腰长为 　12或14　． 【思路点拨】因为已知条件给出的18或21两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论． 【规范解答】解：根据题意， ①当18是腰长与腰长一半时，ACAC＝18， 解得AC＝12， 所以腰长为12； ②当21是腰长与腰长一半时，ACAC＝21，解得AC＝14， 所以腰长为14， 所以腰长等于12或14． 故答案为：12或14． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 【变式训练1】（2023秋•西平县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点（不与B、C重合），连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为（　　） A．80° B．110° C．120° D．80°或110° 【思路点拨】根据三角形内角和为180°，△ACD为等腰三角形，分三种情况分别计算即可． 【规范解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵△ACD为等腰三角形， 当AD＝CD时，∠C＝∠CAD＝40°， ∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝80°； 当AD＝AC时，∠C＝∠ADC＝40°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝140°； 当CD＝AC时，∠C＝40°， ∴∠ADC70°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°； 故选：D． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•南岗区校级期中）一个等腰三角形两边是6cm、7cm，则这个等腰三角形的周长为 　19或20　cm． 【思路点拨】分腰长为6和腰长为7两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：当6cm为腰长时，等腰三角形的周长为6+6+7＝19cm； 当7cm为腰长时，等腰三角形的周长为6+7+7＝20cm； 故答案为：19或20． 【考点评析】本题考查等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 基础夯实真题练 1．（2024秋•琼海期末）如图，在△ABC中，PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°．则∠PAQ的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° 【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可． 【规范解答】解：∵∠BAC＝110°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵PM，QN分别是线段AB，AC的垂直平分线， ∴AP＝BP，CQ＝AQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°， 故选：B． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟知三角形内角和是180°；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 2．（2024秋•微山县期末）如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B，C．若PB＝PC，∠MAN＝46°，则∠APC的度数为（　　） A．23° B．44° C．46° D．67° 【思路点拨】根据角平分线的判定得到AP平分∠MAN，求出∠PAC，根据直角三角形的性质求出∠APC． 【规范解答】解：∵点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，PB＝PC， ∴AP平分∠MAN， ∵∠MAN＝46°， ∴∠PAC＝23°， ∵PC⊥AM， ∴∠APC＝90°﹣∠PAC＝90°﹣23°＝67°， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是角平分线的判定，在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 3．（2024秋•新安县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【思路点拨】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数． 【规范解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 4．（2024秋•临淄区期末）如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1 【思路点拨】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【规范解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称， ∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN， 故选项A、B、C正确，不符合题意； AB∥B1C1不一定成立， 故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 5．（2024秋•开封期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用角平分线的定义得到∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，则∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理得到180°﹣∠BOC（180°﹣∠A），则可对①进行判断；根据平行线的性质得到∠AEF＝∠EBC，然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO∠EBC，则可对②进行判断；利用互余和∠OCB＝∠OCD可对③进行判断；根据角平分线的性质得到O点到AE的距离等于m，然后利用三角形面积公式可对④进行判断． 【规范解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴180°﹣∠BOC（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝90°∠A，所以①正确； ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠EBC， 而OB平分∠EBC， ∴∠EBO∠EBC， ∴∠EBO∠AEF，所以②正确； ∵OD⊥AC于D， ∴∠ODC＝90°， ∴∠DOC+∠OCD＝90°， ∵OC平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等， ∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m， ∴S△AEFAE•mAF•mm（AE+AF）mn，所以④正确． 故选：D． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质． 6．（2024秋•雁江区校级期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若AC＝7，BC＝12，则△ACD的周长为 　19　． 【思路点拨】由尺规作图可知，MN为AB的垂直平分线，得AD＝BD，则△ACD的周长为可转化为AD+DC+AC＝BC+AC进而可得答案． 【规范解答】解：由作图可知，MN为AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴△ACD的周长为：AD+DC+AC＝BC+AC， ∵AC＝7，BC＝12， ∴△ACD的周长为：BC+AC＝19． 故答案为：19． 【考点评析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，作图﹣基本作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2024秋•徐水区期末）如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 　16　． 【思路点拨】先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论． 【规范解答】解：当等腰三角形的另一边为7时，7﹣2＜7＜7+2，符合三角形的三边关系，此三角形的周长＝7+7+2＝16； 当等腰三角形的另一边为2时，2+2＜7，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在； 故答案为：16． 【考点评析】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 8．（2024秋•朝天区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 　60°或120°　． 【思路点拨】分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为60°；当顶角为锐角时，可求得顶角为60°；可得出答案． 【规范解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°； 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°； 综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°． 故答案为：60°或120°． 【考点评析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等及直角三角形两锐角互余是解题的关键． 9．（2024秋•邹平市期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝34°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD的度数为 　39°　． 【思路点拨】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝34°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝34°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数． 【规范解答】解：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝34°， ∵B′D∥AC， ∴∠ADB′＝∠A＝34°， ∵点B关于直线CD的对称点为B′， ∴∠CDB′＝∠CDB（34°+180°）＝107°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣34°﹣107°＝39°． 故答案为：39°． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质． 10．（2024秋•利辛县期末）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　44　°． 【思路点拨】连接OA、OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠CBO，计算即可． 【规范解答】解：如图，连接OA、OC， ∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SSS）， ∴∠ABO＝∠CBO， ∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°， ∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°， ∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°， 故答案为：44． 【考点评析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 11．（2024秋•谯城区期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，1），点C的坐标为（﹣1，3）． （1）请在网格中建立平面直角坐标系xOy，并写出点C关于x轴的对称点C'的坐标； （2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1． 【思路点拨】（1）根据点B，C的坐标建立平面直角坐标系即可；关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． 【规范解答】解：（1）建立平面直角坐标系xOy如图所示． 点C关于x轴的对称点C'的坐标为（﹣1，﹣3）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 【考点评析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 12．（2025•城阳区校级开学）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请直接写出点A、B的坐标； （2）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'； （3）求△ABC的面积； （4）若在x轴上有一点P，使得△BCP的面积为4，则点P的坐标是 　（2，0）或（﹣6，0）　． 【思路点拨】（1）由图可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）设点P的坐标是（m，0），根据题意可列方程为4，求出m的值，进而可得答案． 【规范解答】解：（1）由图可得，A（﹣4，4），B（﹣2，0）． （2）如图，△A'B'C'即为所求． （3）△ABC的面积为9﹣1﹣4＝4． （4）设点P的坐标是（m，0）， ∵△BCP的面积为4， ∴4， 解得m＝2或﹣6， ∴点P的坐标是（2，0）或（﹣6，0）． 故答案为：（2，0）或（﹣6，0）． 【考点评析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 13．（2024秋•曲阳县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积． 【思路点拨】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作DH⊥AB于H．只要证明CD＝DH，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【规范解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示． （2）作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3， ∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABDBC•CDAB•DH3BC3AB（BC+AB）3×16＝24． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 14．（2024秋•陵城区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P． （1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上； （2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数． 【思路点拨】（1）连接BP，AP，PC，根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PA＝PC，从而证明结论即可； （2）先根据相等垂直平分线的性质证明FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°，再设∠B＝x，∠C＝y，然后根据三角形ABC的内角和是180°，求出x+y，再根据直角三角形的性质求出∠BFE和∠CNM，再根据对顶角的性质求出∠PFN，∠PNF，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【规范解答】（1）证明：如图所示：连接BP，AP，PC， ∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴PB＝PC， ∴点P在线段BC的垂直平分线上； （2）解：∵PE⊥AB，PM⊥AC， ∴FA＝FB，NA＝NC，∠AEP＝∠AMP＝∠BEF＝∠CMN＝90°， ∴∠B+∠BFE＝∠C+∠MNC＝90°， 设∠B＝x，∠C＝y， ∴∠B＝∠BAF＝x，∠C＝∠CAN＝y，∠BFE＝90°﹣x，∠MNC＝90°﹣y， ∴∠PFN＝∠BFE＝90°﹣x，∠PNF＝∠MNC＝90°﹣y， ∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∠FAN＝56° ∴2x+2y+56°＝180°， 2（x+y）＝124°， x+y＝62°， ∵∠PFN+∠PNF+∠FPN＝180°， ∴90°﹣x+90°﹣y+∠FPN＝180°， ∴∠FPN＝180°﹣180°+（x+y）＝62°． 【考点评析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质等． 15．（2023秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． 【思路点拨】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后再利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝75°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵AB＝AC，D为BC的是中点， ∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠CAD）＝75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°， ∴∠EDC的度数为15°． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 培优拔尖真题练 16．（2025•朝阳区校级开学）已知等腰三角形的一条边等于4cm，另一条边等于9cm，那么这个三角形的周长是（　　） A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．以上都不对 【思路点拨】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 【规范解答】解：当腰长为4cm时，4+4＜9不满足三角形三边关系， 当腰长为9cm时，4+9＞9，满足三角形三边关系，此时三角形的周长是4+9+9＝22（cm）， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，关键是三角形三边关系是熟练掌握． 17．（2024秋•南平期末）下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．数 B．字 C．中 D．国 【思路点拨】根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【规范解答】解：根据轴对称图图形的定义逐项分析判断如下： A、“数”不是轴对称图形，不符合题意； B、“字”不是轴对称图形，不符合题意； C、“中”可以看作是轴对称图形，符合题意； D、“国”不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查轴对称图形，熟练掌握定义是关键． 18．（2024秋•凉州区期末）已知一个等腰三角形两边长分别为3，6，则它的周长为（　　） A．9 B．15 C．12或15 D．9 或12 【思路点拨】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：3是腰长时，三边分别为3、3、6时，3+3＝6不能组成三角形； 3是底边时，三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长＝3+6+6＝15， 故选：B． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握． 19．（2024秋•邵东市期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE． 【规范解答】解：①∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE；故①正确； ②∵D为BC中点，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDE＝50°， ∵∠C＝40°， ∴∠DEC＝90°， ∴DE⊥AC，故②正确； ③∵∠C＝40°， ∴∠AED＞40°， ∴∠ADE≠∠AED， ∵△ADE为等腰三角形， ∴AE＝DE， ∴∠DAE＝∠ADE＝40°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝60°， 或∵△ADE为等腰三角形， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠AED＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝30°， 故③错误， ④∵∠BAD＝30°， ∴∠CDE＝30°， ∴∠ADC＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∴∠DAC＝∠ADC， ∴CD＝AC， ∵AB＝AC， ∴CD＝AB， ∴△ABD≌△DCE（ASA）， ∴BD＝CE；故④正确； 故选：C． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键． 20．（2024秋•张店区期末）如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，点E，F在等腰三角形ABC的内部，连接AE，EF，CF，使∠BAE＝∠AEF＝60°，且CF平分∠ACB．若AE＝5，EF＝3，则AB＝　8　． 【思路点拨】延长CF交AB于点G，延长EF交AB于点D，可得△ADE是等边三角形，∠EDA＝60°，进而可得AE＝AD＝ED＝5，然后利用线段的和差关系可得DF＝2，再利用等腰三角形的性质可得AB＝2AG，∠CGB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DFG＝30°，进而在Rt△DGF中，利用含30度角直角三角形的性质可得DG＝1，据此进行计算即可解答． 【规范解答】解：延长CF交AB于点G，延长EF交AB于点D， ∵∠BAE＝∠AEF＝60°， ∴△ADE是等边三角形，∠EDA＝60°， ∴AE＝AD＝ED＝5， ∵EF＝3， ∴DF＝2， 由条件可知AB＝2AG，∠CGB＝90°， ∴∠DFG＝90°﹣∠ADE＝30°， ∴， ∴AG＝AD﹣DG＝5﹣1＝4， ∴AB＝2AG＝8， 故答案为：8． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2024秋•新疆期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB于点D，CE＝4，△BCD的周长等于18，则△ABC的周长为 　26　． 【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，△BCD的周长等于18，即BD+CD+BC＝18，再根据CE＝4得到AC＝8即可进行解答． 【规范解答】解：∵ED是线段AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长等于12， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝AB+BC＝18， ∵CE＝4， ∴AC＝8． ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝18+8＝26． 故答案为：26． 【考点评析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 22．（2024秋•满洲里市期末）如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是　42　． 【思路点拨】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE＝OD＝4和OF＝OD＝4，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝4， 同理OF＝OD＝4， △ABC的面积AB×4AC×4BC×4＝42． 故答案为：42． 【考点评析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 23．（2024秋•大丰区期末）已知等腰三角形的一边等于3cm，另一边等于7cm，则它的周长为　17cm　． 【思路点拨】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于3cm，另一边等于7cm，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长． 【规范解答】解：当3为腰，7为底时， ∵3+3＜7， ∴不能构成三角形； 当腰为7时， ∵3+7＞7， ∴能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：7+7+3＝17． 故它的周长为17， 故答案为17cm． 【考点评析】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 24．（2024秋•长沙期末）已知一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角等于 　40°或100°　． 【思路点拨】分两种情况：当40°的内角为顶角时；当40°的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质可计算求解． 【规范解答】解：当40° 的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为40°； 当40°的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为40°， ∴顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°， 故答案为40°或100°． 【考点评析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论． 25．（2024秋•即墨区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　27°　． 【思路点拨】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝44°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝44°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数． 【规范解答】解：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝44°， ∵B′D∥AC， ∴∠ADB′＝∠A＝44°， ∵点B关于直线CD的对称点为B′， ∴∠CDB′＝∠CDB（44°+180°）＝112°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣44°﹣112°＝24°． 故答案为：24°． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质． 26．（2024秋•蒙城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC的延长线上，AD＝AE． （1）若∠BAD＝120°，求∠EDC的度数； （2）猜想∠BAD与∠EDC的关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ACB，∠E＝∠ADE，由三角形内角和定理得到2（∠DCE+∠E）+∠BAD＝360°，求出∠DCE+∠E＝120°，即可得到∠EDC的度数； （2）由（1）知：2（∠DCE+∠E）+∠BAD＝360°，由三角形内角和定理得到2（180°﹣∠EDC）+∠BAD＝360°，即可得结论． 【规范解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AD＝AE， ∴∠E＝∠ADE， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠E+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴2∠ACB+2∠E+∠BAD＝360°， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴2（∠DCE+∠E）+∠BAD＝360°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠DCE+∠E＝120°， ∴∠EDC＝180°﹣120°＝60°； （2）∠BAD＝2∠EDC，理由如下： 由（1）知：2（∠DCE+∠E）+∠BAD＝360°， ∴2（180°﹣∠EDC）+∠BAD＝360°， ∴∠BAD＝2∠EDC． 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点推出2（∠DCE+∠E）+∠BAD＝360°． 27．（2024秋•张店区期末）如图，已知△ABC，点D为边BC上一点（点D不与点B，C重合）． （1）尺规作图：作直线MN，使得点A与点D关于直线MN对称，直线MN交直线AC于M，交直线AB于N；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的基础上，连接DM，AD，AD交MN于点P．若已知AB+AC＝16，S△ABC＝24，当MP＝NP时，请求出点D到直线AC的距离． 【思路点拨】（1）连接AD，运用尺规作图的方法作出线段AD的垂直平分线即可解答； （2）过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据轴对称的性质得到MN⊥AD，又MP＝NP，可得AM＝AN，根据等腰三角形的“三线合一”得到∠PAM＝∠PAN，进而根据角平分线的性质得到DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD即可求出DF的长，即可解答． 【规范解答】解：（1）如图，直线MN为所求． （2）过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 由对称可知MN⊥AD，AM＝AN， ∴∠PAM＝∠PAN， ∴DE＝DF， ∵，， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD ＝8DF， ∵S△ABC＝24， ∴8DF＝24， ∴DF＝3， ∴点D到直线AC的距离为3． 【考点评析】本题考查轴对称的性质，尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的判定及性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 28．（2024秋•方城县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【思路点拨】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC （2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值． 【规范解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型． 29．（2024秋•福山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【思路点拨】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求． （2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题． 【规范解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【考点评析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 30．（2024秋•宿迁期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【思路点拨】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论； （2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长． 【规范解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2）∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 【考点评析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长和内角和定理等知识，关键在于根据题意推出AP＝PB，AQ＝CQ，正确的进行等量代换． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$