第3章 概率初步（思维导图+知识梳理+6大考点讲练+优选真题难度分层练 共48题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第3章 概率初步 （思维导图+知识梳理+6大考点讲练+优选真题难度分层练 共48题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：确定事件与不确定事件 2 知识点02：频率与概率 2 重点知识考点讲练 3 考向一：感受可能性 3 考点讲练01：随机事件 3 考点讲练02：可能性的大小 4 考向二：频率的稳定性 4 考点讲练03：利用频率估计概率 4 考向三：等可能事件的概率 5 考点讲练04：概率的意义 5 考点讲练05：概率公式 6 考点讲练06：几何概率 6 优选真题难度分层练 7 基础夯实真题练 7 培优拔尖真题练 7 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：确定事件与不确定事件 【高频考点精讲】 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点剖析】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点02：频率与概率 【高频考点精讲】 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点剖析】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 考向一：感受可能性 考点讲练01：随机事件 【典例精讲01】（2025•鼓楼区校级开学）一个不透明袋子里有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出2个球．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．摸出2个黑球 B．摸出2个白球 C．摸出的球中有一个是红球 D．摸出的球中有一个是白球 【变式训练1】（2023•高新区模拟）下列成语所描述的事件是随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．不期而遇 C．秋去冬来 D．水中捞月 【变式训练2】（2023春•招远市期中）一只不透明的袋子里装有6个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同，则“从中任意摸出4个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 考点讲练02：可能性的大小 【典例精讲02】（2024春•和平区期末）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数小于3 【变式训练1】（2024春•闽侯县期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 【变式训练2】（2023春•泰山区期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是（　　） A．小于3的点数 B．大于3的点数 C．小于5的点数 D．大于5的点数 考向二：频率的稳定性 考点讲练03：利用频率估计概率 【典例精讲03】（2024秋•楚雄州期末）在学习了“用频率估计概率”一节后，数学老师提出了这样一个问题：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，骰子落下后，“朝上的一面的点数是5”的频率最可能接近（　　） A． B． C． D．1 【变式训练1】（2024秋•郓城县期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【变式训练2】（2024春•环翠区期末）县林业部门考察某树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的某树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计某树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）　 　． 考向三：等可能事件的概率 考点讲练04：概率的意义 【典例精讲04】（2021•罗湖区校级模拟）某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【变式训练1】（2020春•宁德期末）下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②某彩票中奖率为，买100张一定会中奖；③13人中至少有2人的生日在同一个月．其中是必然事件的是　 　．（填序号） 【变式训练2】．（2017春•招远市期中）在“幸运52”栏目中，游戏规则是：在12个商标牌中，有4个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“笑脸”，若翻到“笑脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已翻牌两次，两次都没获奖，则这位观众第三次翻牌获奖的概率是　　． 考点讲练05：概率公式 【典例精讲05】（2024秋•响水县期末）如图所示，转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是 　　． 【变式训练1】（2024春•烟台期末）一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024春•耀州区期末）在田径运动会中，小明从“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（　　） A． B． C． D． 考点讲练06：几何概率 【典例精讲06】（2024•婺城区模拟）如图，在正方形ABCD中，点M，N是AB的三等分点，分别以AM，AN为边作正方形．正方形ABCD被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形ABCD内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（　　） A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 【变式训练1】（2024•天府新区模拟）一款飞镖游戏板由如图所示的正方形ABCD制成，游戏板白色区域是分别以AB，CD为直径的半圆，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，则击中阴影部分的概率是 　　． 【变式训练2】（2024春•淄川区期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率是 　　． 基础夯实真题练 1．（2024秋•綦江区期末）下列事件中，是不确定事件的是（　　） A．打开电视正在播放重庆卫视电视台 B．同位角相等，两条直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．对顶角相等 2．（2024秋•漳州期末）从﹣2，0，1三个数中，随机抽取两个数相乘，积为0的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•竞秀区期末）小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024秋•徐水区期末）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在2%左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（　　） A．2000 B．4000 C．5000 D．8000 5．（2025•大渡口区模拟）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 6．（2024秋•黔南州期末）一个不透明的袋子中装有3个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是，则n的值为　 　． 7．（2025•黔南州模拟）七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是 　 　． 8．（2024秋•龙湖区期末）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为 　 　． 9．（2024春•烟台期末）小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 　 　． 10．（2024秋•泗阳县期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 11．（2024春•淄博期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在． （1）估计摸到黑球的概率是　 　； （2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值． 12．（2023秋•兴化市期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 13．（2024春•皇姑区校级月考）一个不透明的袋中装有3个黄球，17个黑球和20个红球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，则取出了 　 　个黑球．（直接填空） 14．（2024春•甘州区期末）某商人制成了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元．一天，前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？ 15．（2024春•沈河区期末）某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有0元小球有5个，标有2元小球的个数比标有8元小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个． 已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题： （1）小明获得奖品的概率是 　 　，获得8元奖品的概率是 　 　． （2）为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•南漳县期末）下列说法正确的是（　　） A．“水滴石穿”这个事件是必然事件 B．“太阳西升东落”这个事件是随机事件 C．“守株待兔”这个事件是不可能事件 D．“明天全市的降水概率为70%”表示明天全市一定会下雨 17．（2024秋•黔南州期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 18．（2025•宣恩县校级模拟）在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在60%附近，则口袋中红球可能有（　　） A．20个 B．18个 C．15个 D．10个 19．（2024秋•锡山区期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 20．（2024秋•南漳县期末）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是　 　． 21．（2025•龙岗区模拟）一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有 　 　个． 22．（2024秋•新乡期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该油菜发芽的概率为　 　（精确到0.1）． 23．（2024春•沂源县期中）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是 　 　． 24．（2024春•莱阳市期中）小明的笔记本密码是一个两位数，他只记得第一个数是8，第二个数是一个奇数，则小明尝试一次就能正确打开笔记本的概率是 　 　． 25．（2023秋•广元期末）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为38%，估计袋中白球有 　 　个． 26．（2024秋•灵武市期末）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 （1）下列说法错误的是 　 　（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 27．（2023秋•西湖区期末）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 28．（2024春•揭阳期末）某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小颖购此新商品花了85元 （1）她获得奖品的概率是多少？ （2）她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？ 29．（2024春•阳山县期末）一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是． （1）求袋中总共有多少个球？ （2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率． 30．（2024春•榆阳区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率； （2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第3章 概率初步 （思维导图+知识梳理+6大考点讲练+优选真题难度分层练 共48题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：确定事件与不确定事件 2 知识点02：频率与概率 2 重点知识考点讲练 3 考向一：感受可能性 3 考点讲练01：随机事件 3 考点讲练02：可能性的大小 4 考向二：频率的稳定性 6 考点讲练03：利用频率估计概率 6 考向三：等可能事件的概率 8 考点讲练04：概率的意义 8 考点讲练05：概率公式 9 考点讲练06：几何概率 10 优选真题难度分层练 12 基础夯实真题练 12 培优拔尖真题练 20 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：确定事件与不确定事件 【高频考点精讲】 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【易错点剖析】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点02：频率与概率 【高频考点精讲】 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【易错点剖析】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 考向一：感受可能性 考点讲练01：随机事件 【典例精讲01】（2025•鼓楼区校级开学）一个不透明袋子里有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出2个球．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．摸出2个黑球 B．摸出2个白球 C．摸出的球中有一个是红球 D．摸出的球中有一个是白球 【思路点拨】根据一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，一定条件下一定不会发生的事件为不可能事件，一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件为随机事件，据此进行判断即可． 【规范解答】解：根据一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，一定条件下一定不会发生的事件为不可能事件，一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件为随机事件判断如下： A、摸出2个黑球是不可能事件，不符合题意； B、摸出2个白球，是随机事件，符合题意； C、摸出的球中有一个是红球，是不可能事件，不符合题意； D、摸出的球中有一个是白球，是必然事件，不符合题意． 故选B． 【考点评析】本题考查事件的分类，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式训练1】（2023•高新区模拟）下列成语所描述的事件是随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．不期而遇 C．秋去冬来 D．水中捞月 【思路点拨】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【规范解答】解：A、旭日东升，是必然事件，故此选项不符合题意； B、不期而遇，是随机事件，故此选项符合题意； C、秋去冬来，是必然事件，故此选项不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【变式训练2】（2023春•招远市期中）一只不透明的袋子里装有6个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同，则“从中任意摸出4个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是（　　） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【思路点拨】直接利用必然事件的定义得出答案． 【规范解答】解：∵一只不透明的袋子里装有6个黑球，3个白球，每个球除颜色外都相同， ∴事件“从中任意摸出4个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件． 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键． 考点讲练02：可能性的大小 【典例精讲02】（2024春•和平区期末）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数小于3 【思路点拨】分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案． 【规范解答】解：A．面朝上的点数是3的概率为； B．面朝上的点数是奇数的概率为； C．面朝上的点数小于2的概率为； D．面朝上的点数小于3的概率为； ∴概率最大的是面朝上的点数是奇数， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握概率公式． 【变式训练1】（2024春•闽侯县期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 　①④　． 【思路点拨】首先假设这四个数字分别为：A、B、C、D且A≤B≤C≤D，进而得出符合题意的答案． 【规范解答】解：设这四个数字分别为：A、B、C、D且 A≤B≤C≤D， ∵每次所得两个数字的和最小是6， ∴A+B＝6， 又∵每次所得两个数字的和最大是12， ∴C+D＝12， ∴四个数字中至少有一个是1，若A＝1，则B＝5， ∵每次所得两个数字的和有4种， ∴四个数字中必有两个数字相同，则C、D必满足C＝D＝6或C＝D＝7， ①卡片上的数字最小是1，正确； ②卡片上的数字最大是10，错误； ③卡片上的数字可以是四个连续的整数，错误； ④卡片上的数字有且仅有两个数相同，正确． 故答案为：①④． 【考点评析】此题主要考查了应用类问题，根据已知得出A+B＝6，C+D＝12是解题关键． 【变式训练2】（2023春•泰山区期末）掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，出现可能性大的是（　　） A．小于3的点数 B．大于3的点数 C．小于5的点数 D．大于5的点数 【思路点拨】求出各个选项概率即可判断 【规范解答】解：A、P1； B、P2； C、P3； D、P4． 骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点． 故选：C． 【考点评析】本题考查可能性的大小，解题的关键是理解题意，掌握概率公式． 考向二：频率的稳定性 考点讲练03：利用频率估计概率 【典例精讲03】（2024秋•楚雄州期末）在学习了“用频率估计概率”一节后，数学老师提出了这样一个问题：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，骰子落下后，“朝上的一面的点数是5”的频率最可能接近（　　） A． B． C． D．1 【思路点拨】先求出“朝上的一面的点数是5”的概率，然后根据频率与概率之间的关系即可得出答案． 【规范解答】解：随机抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子落下后，“朝上的一面的点数”一共有6种等可能的结果，即：1，2，3，4，5，6，其中“朝上的一面的点数是5”的结果有1种， ∴P（朝上的一面的点数是5）， ∴“朝上的一面的点数是5”的频率最可能接近其概率， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了用频率估计概率，根据概率公式计算概率等知识点，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键． 【变式训练1】（2024秋•郓城县期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【思路点拨】利用频率估计概率求解即可． 【规范解答】解：当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，“正面向上”的概率不一定是0.512，故①错误； 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 【考点评析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【变式训练2】（2024春•环翠区期末）县林业部门考察某树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的某树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计某树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）　0.9　． 【思路点拨】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【规范解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905， ∴可估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9， 故答案为：0.9． 【考点评析】本题考查利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握利用频率估计概率的方法． 考向三：等可能事件的概率 考点讲练04：概率的意义 【典例精讲04】（2021•罗湖区校级模拟）某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【思路点拨】认清无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反，与第几次抛掷硬币无关，根据概率的求法可得答案． 【规范解答】解：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反， 故第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为． 故选：C． 【考点评析】本题考查概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【变式训练1】（2020春•宁德期末）下列事件：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；②某彩票中奖率为，买100张一定会中奖；③13人中至少有2人的生日在同一个月．其中是必然事件的是　③　．（填序号） 【思路点拨】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断． 【规范解答】解：①掷一枚质地均匀的硬币，不一定正面朝上，有可能反面朝上，故不是必然事件； ②某彩票中奖率为，则买 100 张也不一定会中奖，故不是必然事件； ③一年共有12个月，13 人中至少有 2 人的生日在同一个月，是必然事件； 故答案为：③． 【考点评析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【变式训练2】．（2017春•招远市期中）在“幸运52”栏目中，游戏规则是：在12个商标牌中，有4个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“笑脸”，若翻到“笑脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已翻牌两次，两次都没获奖，则这位观众第三次翻牌获奖的概率是　　． 【思路点拨】根据题意，用背面注明了一定的奖金的商标牌的数量除以12﹣2，求出这位观众第三次翻牌获奖的概率是多少即可． 【规范解答】解：4÷（12﹣2） ＝4÷10 答：这位观众第三次翻牌获奖的概率是． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率． 考点讲练05：概率公式 【典例精讲05】（2024秋•响水县期末）如图所示，转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5，若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是 　　． 【思路点拨】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小． 【规范解答】解：根据题意可得：转盘被等分成五个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5，有3个扇形上是奇数， 故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了概率的求法，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）． 【变式训练1】（2024春•烟台期末）一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】本题可先求出总的球的个数，用白球的个数除以总的球的个数即可得出本题的答案． 【规范解答】解：共有球4+5+6＝15个，白球有4个， 因此摸出的球是白球的概率为：． 故选：B． 【考点评析】本题考查的是概率的公式，解题的关键掌握用满足条件的个数除以总个数即为概率． 【变式训练2】（2024春•耀州区期末）在田径运动会中，小明从“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据小明从“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目中，随机选择一项参赛，可以得到他选择“100米”项目的概率． 【规范解答】解：由题意可得， 他选择“100米”项目的概率是， 故选：D． 【考点评析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 考点讲练06：几何概率 【典例精讲06】（2024•婺城区模拟）如图，在正方形ABCD中，点M，N是AB的三等分点，分别以AM，AN为边作正方形．正方形ABCD被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形ABCD内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（　　） A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 【思路点拨】分别计算出区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积，再根据概率公式计算即可得出答案． 【规范解答】解：设正方形的边长为3x， ∵点M，N是AB的三等分点， ∴AM＝x，AN＝2x， ∴区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为x2，3x2，5x2， ∴豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，，， 故A选项符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率公式是解决本题的关键． 【变式训练1】（2024•天府新区模拟）一款飞镖游戏板由如图所示的正方形ABCD制成，游戏板白色区域是分别以AB，CD为直径的半圆，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，则击中阴影部分的概率是 　　． 【思路点拨】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 【规范解答】解：设正方形的边长为2a， 则S阴影＝S正方形﹣S圆＝4a2﹣a2π， ∴击中阴影部分的概率是 ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 【变式训练2】（2024春•淄川区期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率是 　　． 【思路点拨】求出阴影部分的面积，根据概率是即可求出概率． 【规范解答】解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a， ∴点P落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查几何概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 基础夯实真题练 1．（2024秋•綦江区期末）下列事件中，是不确定事件的是（　　） A．打开电视正在播放重庆卫视电视台 B．同位角相等，两条直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．对顶角相等 【思路点拨】不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据定义解答即可． 【规范解答】解：A、打开电视正在播放重庆卫视电视台是随机事件，即：不确定事件； B、同位角相等，两条直线平行，是必然事件，即：确定是件； C、平行于同一条直线的两条直线平行，是必然事件，即：确定是件； D、对顶角相等，是必然事件，即：确定是件； 故选：A． 【考点评析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．（2024秋•漳州期末）从﹣2，0，1三个数中，随机抽取两个数相乘，积为0的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先找出随机抽取两个数的结果有3种，其中乘积为0的结果有2种，根据概率公式即可求解． 【规范解答】解：∵﹣2×0＝0，﹣2×1＝﹣2，0×1＝0， ∴从﹣2，0，1三个数中，随机抽取两个数相乘的结果有3种，其中乘积为0的结果有2种， ∴随机抽取两个数相乘，积为0的概率为， 故选：A． 【考点评析】本题考查了概率公式，有理数的乘法，熟练掌握概率公式是解题的关键． 3．（2024秋•竞秀区期末）小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】先根据摸出方块的频率越来越接近，得出摸出方块的概率为，再求出纸牌的总数为18，再求出a的值即可． 【规范解答】解：∵小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近． ∴摸出方块的概率约为， ∴摸出红桃、黑桃的概率为：， ∵在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃， ∴纸牌的总数为：， ∴a＝18﹣8﹣4＝6， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 4．（2024秋•徐水区期末）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在2%左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（　　） A．2000 B．4000 C．5000 D．8000 【思路点拨】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【规范解答】解：设鱼塘中有鱼x条， ∵养鱼者先从鱼塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在2%左右， ∴， 解得，x＝4000， ∴估计鱼塘中鱼的数量为4000条， 故选：B． 【考点评析】本题考查的是利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即为概率是解题的关键． 5．（2025•大渡口区模拟）在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【规范解答】解：根据题意得： 0.2， 解得：a＝15， 经检验：a＝15是原分式方程的解， 答：a的值约为15； 故选：B． 【考点评析】本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键． 6．（2024秋•黔南州期末）一个不透明的袋子中装有3个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，若摸到白球的概率是，则n的值为　2　． 【思路点拨】根据概率公式列方程计算即可． 【规范解答】解：根据题意得， 解得n＝2， 经检验：n＝2是分式方程的解． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 7．（2025•黔南州模拟）七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是 　　． 【思路点拨】根据题意，可以直接写出小星被分到“爱心义卖”小组的概率． 【规范解答】解：∵七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组， ∴小星被分到“爱心义卖”小组的概率是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 8．（2024秋•龙湖区期末）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为 　　． 【思路点拨】直接由概率公式求解即可． 【规范解答】解：从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 9．（2024春•烟台期末）小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 　　． 【思路点拨】从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．根据概率公式即可得到答案． 【规范解答】解：从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种． 所以，P（抽到黑桃7）， 答：小龙抽到黑桃7概率为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 10．（2024秋•泗阳县期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 【思路点拨】（1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）先根据摸出红球的概率求得从盒子里取出m个白球后的球的总数，进而可得m值． 【规范解答】解：（1）因为红球3个，白球5个，黑球7个， 所以盒子中球的总数为：3+5+7＝15（个）， 所以任意摸出一个球是黑球的概率为； （2）因为任意摸出一个球是红球的概率， 所以盒子中球的总量为： 所以可以将盒子中的白球拿出15﹣12＝3（个）， 所以m＝3． 【考点评析】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率公式． 11．（2024春•淄博期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在． （1）估计摸到黑球的概率是　　； （2）如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值． 【思路点拨】（1）取出黑球的概率＝1﹣取出红球的概率； （2）首先根据红球的个数和摸出红球的概率求得黑球的个数，然后根据概率公式列式求解即可． 【规范解答】解：（1）P（取出黑球）＝1﹣P（取出红球）＝1； 故答案为：； （2）设袋子中原有黑球x个， 根据题意得：， 解得：x＝18， 经检验x＝18是原方程的根， 所以黑球有18个， ∵又放入了n个黑球， 根据题意得：， 解得：n＝6． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12．（2023秋•兴化市期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 【思路点拨】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【规范解答】解：（1）∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：515（个）， 故盒子中黑球的个数为：15﹣3﹣5＝7（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； （2）∵任意摸出一个球是红球的概率为， ∴盒子中球的总量为：312， ∴可以将盒子中的白球拿出3个， ∴m＝3． 【考点评析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． 13．（2024春•皇姑区校级月考）一个不透明的袋中装有3个黄球，17个黑球和20个红球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，则取出了 　7　个黑球．（直接填空） 【思路点拨】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）设取出了x个黑球，依题列出等量关系并求解即可． 【规范解答】解：（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率为； （2）设取出了x个黑球， ， 解得x＝7， 即取出了7个黑球， 故答案为：7． 【考点评析】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 14．（2024春•甘州区期末）某商人制成了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元．一天，前来寻开心的人转动转盘80次，你认为该商人是盈利的可能性大还是亏损的可能性大？为什么？ 【思路点拨】根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【规范解答】解：商人盈利的可能性大 PA＝8040（次）； PB＝8010（次）； PC＝8030（次）； 理由：商人盈利：（元） 商人亏损：60（元） 因为80＞60 所以商人盈利的可能性大． 【考点评析】考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（2024春•沈河区期末）某儿童用品商店在“六一”儿童节设置了一个购物摸球游戏：在一不透明的箱子里装了50个小球，这些球分别标有50元，8元，2元，0元的金额，其中标有50元的小球有4个，标有0元小球有5个，标有2元小球的个数比标有8元小球的个数的2倍少1，这些小球除数字外都相同，并规定：凡购买指定商品，可以摸球一次，如果摸到标有50元，8元，2元的小球，则可以得到等价值的奖品一个． 已知小明购买了指定商品，根据以上信息回答下列问题： （1）小明获得奖品的概率是 　　，获得8元奖品的概率是 　　． （2）为吸引顾客，儿童用品店现将8元奖品的获奖概率提高到，在保持小球总数不变的情况下，需要把几个标有2元的小球改为8元的小球． 【思路点拨】（1）求出标有“8元”“2元”的小球个数，即可求出“获奖”的概率，获得“8元的概率； （2）根据“8元”的概率为，列方程求解． 【规范解答】解：（1）设标有“8元”的小球有x个，则标有“2元”的小球有（2x﹣1）个， 由题意得， x+2x﹣1+4+5＝50， 解得x＝14， 2x﹣1＝27， 即标有“8元”的小球有14个，则标有“2元”的小球有27个， 所以“获奖”的概率为， 共有50个小球，标有“8元”的有14个， 因此获得“8元”的概率为， 故答案为：，； （2）设需要y个标有“2元”的小球改为“8元”，由题意得， ， 解得y＝6， 因为原来有27个标有“2元”的小球， 所以需要将6个标有“2元”的小球改为标为“8元”的小球． 【考点评析】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是解决问题的关键． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•南漳县期末）下列说法正确的是（　　） A．“水滴石穿”这个事件是必然事件 B．“太阳西升东落”这个事件是随机事件 C．“守株待兔”这个事件是不可能事件 D．“明天全市的降水概率为70%”表示明天全市一定会下雨 【思路点拨】根据确定事件，随机事件的定义进行解题即可． 【规范解答】解：A、“水滴石穿”这个事件是必然事件，故该项说法正确，符合题意； B、“太阳西升东落”这个事件是不可能事件，故该项说法不正确，不符合题意； C、“守株待兔”这个事件是随机事件，故该项说法不正确，不符合题意； D、“明天全市的降水概率为70%”表示明天全市不一定会下雨，这个事件是随机事件，故该项说法不正确，不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题考查随机事件、全面调查与抽样调查，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 17．（2024秋•黔南州期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【思路点拨】守株待兔和大海捞针可能发生，也可能不发生，所以可能性小；返老还童不可能发生；旭日东升一定发生．据此解答即可． 【规范解答】解：下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是：旭日东升， 故选：D． 【考点评析】本题考查了可能性的大小，根据成语的意思来进行判断可能性的大小是解题的关键． 18．（2025•宣恩县校级模拟）在一个不透明的口袋中装有10个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在60%附近，则口袋中红球可能有（　　） A．20个 B．18个 C．15个 D．10个 【思路点拨】设口袋中红球可能有x个，由题意得出分式方程，解方程即可得解． 【规范解答】解：设口袋中红球可能有x个， 由题意可得：， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原分式方程的解， ∴口袋中红球可能有15个， 故选：C． 【考点评析】本题考查了由频率估计概率，解分式方程，掌握用频率估计概率是解题的关键． 19．（2024秋•锡山区期末）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：整个图形面积＝4×4＝16， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 20．（2024秋•南漳县期末）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是　　． 【思路点拨】直接利用概率公式可得答案． 【规范解答】解：∵共有四种区域文化，随机选一种文化开展专题学习，随机选一种文化开展专题学习， ∴则选中“荆楚文化”的概率是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 21．（2025•龙岗区模拟）一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有 　8　个． 【思路点拨】设袋中白球有x个，根据概率公式列出算式，求出x的值，即可得出答案． 【规范解答】解：设袋中白球有x个， 根据题意，得：0.6， 解得：x＝8， 经检验：x＝8是分式方程的解， 所以盒子中白球的个数约为8个， 故答案为：8． 【考点评析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验频率应该相等是解决问题的关键． 22．（2024秋•新乡期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该油菜发芽的概率为　0.8　（精确到0.1）． 【思路点拨】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，从而得到结论． 【规范解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右， ∴该油菜籽发芽的概率为0.8， 故答案为：0.8． 【考点评析】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（2024春•沂源县期中）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是 　　． 【思路点拨】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案． 【规范解答】解：图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形，则白色区域一共有6个小正方形， 所以随意投掷一个飞镖，击中白色区域的概率是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了几何概率，熟练掌握求概率的方法是关键． 24．（2024春•莱阳市期中）小明的笔记本密码是一个两位数，他只记得第一个数是8，第二个数是一个奇数，则小明尝试一次就能正确打开笔记本的概率是 　　． 【思路点拨】首先确定奇数的个数，然后用概率公式计算即可． 【规范解答】解：笔记本密码是一个两位数，第一位数是8，第二位数可能是1，3，5，7，9，共5个数， ∴小明尝试一次就能正确打开笔记本的概率是． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了概率公式，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 25．（2023秋•广元期末）在一个不透明的袋子中有50个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为38%，估计袋中白球有 　18　个． 【思路点拨】用袋中球的总个数乘以摸到白球的频率，据此可得． 【规范解答】解：估计袋中白球有50×36%＝18（个）， 故答案为：18． 【考点评析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 26．（2024秋•灵武市期末）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 （1）下列说法错误的是 　①③　（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【思路点拨】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）利用频数除以总数即可求出m，n的值，利用频率即可估计概率； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【规范解答】解：（1）①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③； （2）m0.31，n0.334，随着转动次数的增加，估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为0.3； （3）将1个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【考点评析】本题主要考查了利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系，属于中考常考题型． 27．（2023秋•西湖区期末）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【思路点拨】（1）根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）设取走x个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解出x的值即可． 【规范解答】解：（1）∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y＝8， ∴x＝y＝4； （2）设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球（4﹣x）个，红球（4+x）个， 根据题意得，， 解得x＝3， 答：取走3个白球． 【考点评析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 28．（2024春•揭阳期末）某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小颖购此新商品花了85元 （1）她获得奖品的概率是多少？ （2）她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？ 【思路点拨】（1）她获得奖品为必然事件，从而得到概率为1； （2）根据概率公式分别计算她得到一把雨伞、一个文具盒的概率． 【规范解答】解：（1）她获得奖品的概率是为1； （2）她得到一把雨伞的概率为； 她得到一个文具盒的概率为． 【考点评析】本题考查了概率公式：概率公式＝某随机事件所占有的结果数除以所有可能的等结果数．P（必然事件）＝1；P（不可能事件）＝0． 29．（2024春•阳山县期末）一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是． （1）求袋中总共有多少个球？ （2）从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率． 【思路点拨】（1）根据概率公式求出球的总个数即可； （2）根据概率公式计算即可． 【规范解答】解：（1）设袋中总共有x个球， ∵袋中装有18个白球，从中任意摸出一个球是白球的概率是， ∴， 解得x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解， 即袋中总共有30个球； （2）袋子中红球的个数为：30﹣18＝12（个）， 取走10个球，则袋子中球的总个数为30﹣10＝20（个）， ∴剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率为． 【考点评析】本题主要考查了概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是关键． 30．（2024春•榆阳区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率； （2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 【思路点拨】（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可； （2）设取走了x个红球，根据随机摸出一个球是白球的概率是列出关于x的方程，解之即可得出答案． 【规范解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果， 所以从袋中任意摸出一个球为红球的概率为； （2）设取走了x个红球， 根据题意，得：， 解得x＝3， 答：取走了3个红球． 【考点评析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$