第2章 相交线与平行线（思维导图+知识梳理+13大考点讲练+优选真题难度分层练 共69题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第2章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+13大考点讲练+优选真题难度分层练 共69题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：两条直线的位置关系 2 知识点02：平行线的判定与性质 3 知识点03：用尺规作线段和角 4 重点知识考点讲练 5 考向一：两条直线的位置关系 5 考点讲练01：余角和补角 5 考点讲练02：相交线 5 考点讲练03：对顶角、邻补角 6 考点讲练04：垂线 6 考点讲练05：垂线段最短 7 考点讲练06：点到直线的距离 8 考点讲练07：平行线 9 考向二：探索直线平行的条件 9 考点讲练08：同位角、内错角、同旁内角 9 考点讲练09：平行公理及推论 10 考点讲练10：平行线的判定 11 考向三：平行线的性质 12 考点讲练11：平行线的性质 12 考点讲练12：平行线的判定与性质 12 考点讲练13：平行线之间的距离 13 优选真题难度分层练 14 基础夯实真题练 14 培优拔尖真题练 14 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：两条直线的位置关系 【高频考点精讲】 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点02：平行线的判定与性质 【高频考点精讲】 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点03：用尺规作线段和角 【高频考点精讲】 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 考向一：两条直线的位置关系 考点讲练01：余角和补角 【典例精讲01】（2024秋•霍邱县期末）下列说法正确的有（　　） A．两点之间的所有连线中，直线最短 B．连接两点间的线段叫做两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．一个角一定大于它的补角 【变式训练1】（2024秋•易县期末）若∠A和∠B互为余角，∠B与∠C互补，且∠C＝130°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式训练2】（2024秋•金乡县期末）将一副三角板如图所示叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，此时∠AOB＝5∠COD，则∠AOD的度数为 　 　． 考点讲练02：相交线 【典例精讲02】（2024春•龙门县期中）已知2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，…由此猜想，8条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 【变式训练1】（2024春•太和县月考）在同一平面内画四条直线，设直线交点个数的最大值是x，最小值是y，则x﹣y＝　 　． 【变式训练2】（2022春•滕州市期中）在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，以此类推，则　 ． 考点讲练03：对顶角、邻补角 【典例精讲03】（2024秋•永安市期末）如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠1＝15°，∠2＝110°，则∠AOC的度数是（　　） A．85° B．95° C．105° D．110° 【变式训练1】（2024秋•绥化期末）如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2023秋•南浔区期末）如图，直线a，b相交于点O．如果∠1+∠2＝60°，那么∠3的度数为 　 　． 考点讲练04：垂线 【典例精讲04】（2024秋•镇海区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　 　． 【变式训练1】（2024秋•榆树市期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，求∠COF的度数． 【变式训练2】（2024春•荥阳市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于点O，若∠BOD＝3∠BOC，则∠AOD的度数为（　　） A．112.5° B．115° C．117.5° D．125° 考点讲练05：垂线段最短 【典例精讲05】（2024春•宁江区校级期末）如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已知PA＝2.7米，MC＝2.6米，则小明跳远的成绩可能是（　　） A．2.7米 B．2.65 米 C．2.6米 D．2.5米 【变式训练1】（2024•松原二模）如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【变式训练2】（2024春•玉州区期末）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 考点讲练06：点到直线的距离 【典例精讲06】（2024秋•嵊州市期末）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　 　的长度． 【变式训练1】（2024春•祥云县期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点A到CD的距离是（　　） A．线段AC的长度 B．线段BC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AD的长度 【变式训练2】（2023秋•句容市期末）如图，AB＝6，点A到直线BC的距离为3，若在射线BC上只存在一个点P，记AP的长度为d，则d的值可以是（　　） A．7 B．2 C．5 D．6 考点讲练07：平行线 【典例精讲07】（2022春•东平县期末）在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是　 　． 【变式训练1】（2018春•雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为　 　个． 【变式训练2】（2022秋•淮安期末）在同一平面内，不重合的两条直线可能的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 考向二：探索直线平行的条件 考点讲练08：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲08】（2024春•沙市区期中）如图，直线a、b、c相交于点C，直线d∥c分别交a、b于A、B，则在图中有同旁内角（　　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【变式训练1】（2024春•韩城市校级月考）如图，∠2与∠4的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【变式训练2】（2024春•东阿县校级月考）如图所示的八个角中，同位角有 　 　对，内错角有 　 　对，同旁内角有 　 　对． 考点讲练09：平行公理及推论 【典例精讲09】（2024春•泌阳县月考）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【变式训练1】（2023春•顺平县期末）如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式训练2】（2024春•鼓楼区校级月考）证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 请根据图形写出已知、求证及证明． 已知： 求证： 证明： 考点讲练10：平行线的判定 【典例精讲10】（2024秋•贵州期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 【变式训练1】（2025•安徽模拟）如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　　） A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180° C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA 【变式训练2】（2024秋•陈仓区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（　　） ①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向三：平行线的性质 考点讲练11：平行线的性质 【典例精讲11】（2025•宽城区校级开学）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交l1于点B，连结AB．若∠BCA＝120°，则∠1的大小为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【变式训练1】（2025•雁塔区校级二模）如图，直线a∥b，∠A＝36°，∠1＝42°，则∠2的度数是（　　） A．78° B．86° C．94° D．106° 【变式训练2】（2025•诸城市校级开学）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　　． 考点讲练12：平行线的判定与性质 【典例精讲12】（2024秋•射洪市期末）将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（2025•朝阳区校级开学）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是 　 　． 【变式训练2】（2024秋•榆中县期末）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D． 试说明：AC∥DF． 考点讲练13：平行线之间的距离 【典例精讲13】（2024春•祁阳市期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 【变式训练1】（2024春•桥西区期末）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 【变式训练2】（2024春•青县期末）如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　． 基础夯实真题练 1．（2024秋•楚雄州期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB于点E，∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．48° C．38° D．30° 2．（2024秋•滦南县期末）已知一个角的余角等于这个角的2倍，则这个角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（2025•长沙一模）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 4．（2025•西安校级二模）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，∠E＝30°，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 5．（2024秋•文昌期末）若∠α＝50°30'，则它的补角是 　 　． 6．（2024秋•衡阳期末）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　 　． 7．（2024秋•沈丘县期末）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为 　 　秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）． 8．（2024秋•绥化期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝　 　°． 9．（2024秋•嘉定区期末）若∠β与∠α互补，∠β＝3∠α，则∠α＝ 　 　°． 10．（2025•池州开学）把一副三角板按如图所示的方式摆放，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠F＝45°，DE⊥BC，求∠CHE的度数． 11．（2025•南召县开学）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明DE∥BC，下面是部分推导过程，请你在括号内填上推导依据或内容： 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1＝∠4（ 　 　）， ∴　 　+　 　＝180°（等量代换）， ∴EH∥AB（ 　 　）， ∴∠B＝ 　 　（ 　 　）， ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠3＝ 　 　（ 　 　）， ∴DE∥BC（ 　 　）． 12．（2024秋•埇桥区期末）如图，点B、C在线段AD异侧，E、F分别是线段AB、CD上的点，EC和BF分别交AD于点G和点H．已知∠AEG＝∠AGE，∠DGC＝∠C，∠BEC+∠BFD＝180°．求证：EC∥BF． 13．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 　 　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　 　）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　 　）， ∴∠2＝∠　 　（ 　 　）． ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 14．（2024秋•绥化期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 15．（2025•赤坎区校级开学）（1）如图1，直线AB，CD被直线EF所截得∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由． （2）如图2，直线AB，CD被直线EF所截得∠1＝55°，∠2＝125°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•蒙阴县期末）将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中∠α和∠β相等的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 17．（2024秋•香河县期末）已知∠1和∠2互余，且∠1＝40°17'，则∠2的补角是（　　） A．49°43' B．80°17' C．130°17' D．140°43' 18．（2024秋•兰州期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 19．（2024秋•泗洪县期末）如图，能判断AB∥EF的条件是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠ADE＝∠DEF C．∠ADE＝∠B D．∠ADE＝∠EFC 20．（2024秋•林州市期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC＝40°，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余，则∠DOC的度数为（　　） A．40° B．50° C．50°或130° D．90°或170° 21．（2024秋•临澧县期末）已知一个角等于62°15′，则它的补角等于　 　． 22．（2025•济宁开学）已知点A在点B的南偏西30°方向上，点C在点B的北偏西40°方向上，则∠ABC的补角的度数为 　 　． 23．（2024秋•腾冲市期末）一个角补角比它的余角的2倍多30°，这个角的度数为 　 　． 24．（2024秋•武汉期末）∠α的补角是它余角的3倍，则∠α＝　 　． 25．（2024秋•偃师区期末）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝130°，则∠BOD＝　 　． 26．（2024秋•麦积区期末）阅读下面的问题、分析、解答过程，并填空（理由或数学式），补全演绎推理过程． 问题：如图，已知直线a∥b，∠3＝131°，求∠2的度数． 分析：题干叙述没有明确已知条件∠3与待解问题∠2之间的关系，所以解题思路探寻的重点在于沟通已知（∠3）、未知（∠2）之间的联系，寻找∠3，∠2之间的数量关系、位置关系．结合图形，可以观察发现∠3与∠1是一组（ 　 　）（在对顶角、邻补角中选择填空），∠1与∠2是一组（ 　 　）（请在同位角、内错角、同旁内角中选择填空），从而通过中问桥梁∠1将已知条件∠3与待解问题∠2联系了起来．所以，确定如下解题思路：先由∠3确定∠1，再由∠1确定∠2． 通常，我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”简化书写过程，将上述分析探究过程写成如下演绎推理形式： 答：∵∠3＝131°（已知）， 又∵∠3＝∠1（ 　 　）， ∴∠1＝（ 　 　）（ 　 　）， ∵a∥b（已知）， ∴　 　（ 　 　）， ∴∠2＝（ 　 　）（等式的性质）． 27．（2024秋•迁安市期末）如图，小明利用尺规作图过程如下： 第一步：以B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； 第二步：以N为圆心，以 　 　长为半径画弧，交已画弧于点E； 第三步：作射线BE． 可得：∠ABC＝∠EBC． （1）补全第二步横线部分的内容； （2）若∠ABC＝37°42'，∠EBC＝ 　 　度； （3）若∠ABC＝40°，∠α与∠ABE互补，求出∠α的度数． 28．（2024秋•阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 29．（2024秋•内乡县期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　 　，∠C＝　 　， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　 　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 30．（2024秋•新城区校级期末）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第2章 相交线与平行线 （思维导图+知识梳理+13大考点讲练+优选真题难度分层练 共69题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：两条直线的位置关系 2 知识点02：平行线的判定与性质 3 知识点03：用尺规作线段和角 4 重点知识考点讲练 5 考向一：两条直线的位置关系 5 考点讲练01：余角和补角 5 考点讲练02：相交线 6 考点讲练03：对顶角、邻补角 8 考点讲练04：垂线 9 考点讲练05：垂线段最短 11 考点讲练06：点到直线的距离 12 考点讲练07：平行线 14 考向二：探索直线平行的条件 15 考点讲练08：同位角、内错角、同旁内角 15 考点讲练09：平行公理及推论 17 考点讲练10：平行线的判定 19 考向三：平行线的性质 21 考点讲练11：平行线的性质 21 考点讲练12：平行线的判定与性质 22 考点讲练13：平行线之间的距离 25 优选真题难度分层练 27 基础夯实真题练 27 培优拔尖真题练 36 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：两条直线的位置关系 【高频考点精讲】 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点02：平行线的判定与性质 【高频考点精讲】 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点03：用尺规作线段和角 【高频考点精讲】 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 考向一：两条直线的位置关系 考点讲练01：余角和补角 【典例精讲01】（2024秋•霍邱县期末）下列说法正确的有（　　） A．两点之间的所有连线中，直线最短 B．连接两点间的线段叫做两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．一个角一定大于它的补角 【思路点拨】根据两点之间，线段最短；两点之间的距离；两点确定一条直线；补角的性质，逐项判断，即可求解． 【规范解答】解：根据两点之间，线段最短；两点之间的距离；两点确定一条直线；补角的性质，逐项判断如下： A、两点之间的所有连线中，线段最短，故本选项错误，不符合题意； B、连接两点间的线段的长度叫做两点之间的距离，故本选项错误，不符合题意； C、两点确定一条直线，故本选项正确，符合题意； D、一个钝角一定大于它的补角，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题主要查了两点之间，线段最短；两点之间的距离；两点确定一条直线；补角的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式训练1】（2024秋•易县期末）若∠A和∠B互为余角，∠B与∠C互补，且∠C＝130°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【思路点拨】根据度数之和为180度的两个角互补先求出∠B的度数，再根据度数之和为90度的两个角互余求出∠A的度数即可． 【规范解答】解：由条件可知∠B＝180°﹣∠C＝50°， ∵∠A和∠B互为余角， ∴∠A＝90°﹣∠B＝40°， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练2】（2024秋•金乡县期末）将一副三角板如图所示叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，此时∠AOB＝5∠COD，则∠AOD的度数为 　60°　． 【思路点拨】根据∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD＝180°，∠AOD+∠COD+∠BOC＝∠AOB，即可推出∠AOB+∠COD＝180°，再根据∠AOB＝5∠COD即可求出∠COD的度数，便能求出∠AOD的度数． 【规范解答】解：∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠COD＝180°，∠AOD+∠COD+∠BOC＝∠AOB， ∴∠AOB+∠COD＝180°， 由题意可得：6∠COD＝180°， ∴∠COD＝30°， ∴∠AOD＝90°﹣∠COD＝60°， 故答案为：60°． 【考点评析】本题考查了三角板中角度的计算，解题的关键是根据两个角之间的数量关系来解答． 考点讲练02：相交线 【典例精讲02】（2024春•龙门县期中）已知2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，…由此猜想，8条直线最多有个交点（　　） A．16 B．28 C．32 D．40 【思路点拨】利用给出的交点个数，推导出规律，把8代入即可． 【规范解答】解：∵2条直线最多有1个交点， 3条直线最多有3个交点， 4条直线最多有6个交点， …… n条直线最多有个交点， ∴n＝8时，28． 故选：B． 【考点评析】本题考查的直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值． 【变式训练1】（2024春•太和县月考）在同一平面内画四条直线，设直线交点个数的最大值是x，最小值是y，则x﹣y＝　6　． 【思路点拨】根据交点个数的最大值和最小值确定x、y的值，然后再得出答案即可． 【规范解答】解：在同一平面内，4条直线平行时，交点个数最少为0，4条直线两两相交时，交点个数最多为1+2+3＝6（个）， ∴x＝6，y＝0， ∴x﹣y＝6． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了相交线，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式训练2】（2022春•滕州市期中）在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，以此类推，则　　． 【思路点拨】利用两条、三条、四条直线最多交点个数，推理出n条直线最多交点个数即可． 【规范解答】解：∵2条直线最多交点有1个，即 3条直线最多交点有（1+2）个， 4条直线最多交点有（1+2+3）个， …… ∴n条直线最多交点有（1+2+3+……+n﹣1）个，即个（n为大于等于2的正整数）， ∴ ＝2×（） ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是相交线的最多交点数，解题的关键是找到直线条数与最多交点个数的规律． 考点讲练03：对顶角、邻补角 【典例精讲03】（2024秋•永安市期末）如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠1＝15°，∠2＝110°，则∠AOC的度数是（　　） A．85° B．95° C．105° D．110° 【思路点拨】根据邻补角的定义可得∠BOC，再根据∠AOC＝∠1+∠BOC代入计算即可得出的答案． 【规范解答】解：由条件可知∠BOC＝180°﹣∠2＝70°， ∴∠AOC＝15°+70°＝85°． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了角的计算，邻补角互补，熟练掌握角的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【变式训练1】（2024秋•绥化期末）如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据对顶角的定义逐项识别即可，对顶角满足2个条件：①有公共顶点，②两边互为反向延长线． 【规范解答】解：A．∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故A不符合题意； B．∠1与∠2没有公共顶点，且两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故B不符合题意； C．∠1与∠2的两边互为反向延长线，且有公共顶点，是对顶角，故C符合题意； D．∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故D不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角． 【变式训练2】（2023秋•南浔区期末）如图，直线a，b相交于点O．如果∠1+∠2＝60°，那么∠3的度数为 　150　． 【思路点拨】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵∠1+∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2＝30°， ∵∠1与∠3互为邻补角， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°． 故答案为：150． 【考点评析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 考点讲练04：垂线 【典例精讲04】（2024秋•镇海区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　． 【思路点拨】先求得∠BOD的度数，再根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC，根据垂直的定义即可求解． 【规范解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴， ∴∠BOD＝∠AOC＝40° ∵EO⊥CD， ∴∠EOC＝90°， ∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°， 故答案为：130°． 【考点评析】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练1】（2024秋•榆树市期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，求∠COF的度数． 【思路点拨】利用图中角与角的关系即可求得． 【规范解答】解：∵∠DOE是直角， ∴∠COE＝180°﹣90°＝90°， 又∠AOC＝∠BOD＝22°， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝112°， 又OF平分∠AOE， ∴∠AOF∠AOE＝56°， ∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝56°﹣22°＝34°． 【考点评析】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线、角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解． 【变式训练2】（2024春•荥阳市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD于点O，若∠BOD＝3∠BOC，则∠AOD的度数为（　　） A．112.5° B．115° C．117.5° D．125° 【思路点拨】因为OC⊥OD，所以∠BOD+∠BOC＝∠COD＝90°，因为∠BOD＝3∠BOC，可求得∠BOD的度数，因为∠AOD＝180°﹣∠BOD，可得∠AOD的度数． 【规范解答】解：∵OC⊥OD， ∴∠BOD+∠BOC＝∠COD＝90°， ∵∠BOD＝3∠BOC， ∴∠BOC＝22.5°，∠BOD＝67.5°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝112.5°， 故选：A． 【考点评析】本题考查了角的计算，垂线的定义，关键是掌握垂线的定义． 考点讲练05：垂线段最短 【典例精讲05】（2024春•宁江区校级期末）如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已知PA＝2.7米，MC＝2.6米，则小明跳远的成绩可能是（　　） A．2.7米 B．2.65 米 C．2.6米 D．2.5米 【思路点拨】跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段MB的长度． 【规范解答】解：根据跳远成绩的计算方法可知：垂线段MB的长度是小明跳远的成绩， ∵垂线段最短， ∴MB＜MC， ∴小明跳远的成绩可能是2.5米． 故选：D． 【考点评析】本题考查垂线段最短，熟记相关结论即可． 【变式训练1】（2024•松原二模）如图，在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【思路点拨】根据垂线段最短判断． 【规范解答】解：在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短． 故选：B． 【考点评析】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． 【变式训练2】（2024春•玉州区期末）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处，引水到P处，从何处引水，能使所用的水管最短（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【思路点拨】根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【规范解答】解：∵PB⊥AD， ∴由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短． 故选：B． 【考点评析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键． 考点讲练06：点到直线的距离 【典例精讲06】（2024秋•嵊州市期末）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　AC　的长度． 【思路点拨】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案． 【规范解答】解：AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段AC的长度， 故答案为：AC． 【考点评析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度． 【变式训练1】（2024春•祥云县期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点A到CD的距离是（　　） A．线段AC的长度 B．线段BC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AD的长度 【思路点拨】根据点到直线的距离的定义即可得． 【规范解答】解：∵CD⊥AB，即AD⊥CD， ∴点A到CD的距离是线段AD的长度， 故选：D． 【考点评析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”，熟记定义是解题关键． 【变式训练2】（2023秋•句容市期末）如图，AB＝6，点A到直线BC的距离为3，若在射线BC上只存在一个点P，记AP的长度为d，则d的值可以是（　　） A．7 B．2 C．5 D．6 【思路点拨】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意可画图如下： ∵AB＝6，AD＝3， ∴d的最小值为3， 根据题意分类讨论： 当d＜3时，射线BC上不存在满足条件的点P； 当d＝3时，射线BC上存在一个点P； 当3＜d≤6时，射线BC上存在两个点P； 当d＞6时，射线BC上存在一个点P； 结合选项d＝7时，在射线BC上只存在一个点P， 故选：A． 【考点评析】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 考点讲练07：平行线 【典例精讲07】（2022春•东平县期末）在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是　c⊥a　． 【思路点拨】根据b∥c，则得到同旁内角互补，然后利用a⊥b即可得到a与c的夹角为90度，则可判断a⊥c． 【规范解答】解：∵c∥b，a⊥b， ∴c⊥a． 故答案为c⊥a 【考点评析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【变式训练1】（2018春•雁塔区校级月考）平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为　0，1，3，4，5，6　个． 【思路点拨】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出． 【规范解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点； （2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点； （3）当两两直线平行时，有4个交点； （4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点； （5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点； （6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； （7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点． 故答案为：0，1，3，4，5，6． 【考点评析】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高． 【变式训练2】（2022秋•淮安期末）在同一平面内，不重合的两条直线可能的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 【思路点拨】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交． 【规范解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 考向二：探索直线平行的条件 考点讲练08：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲08】（2024春•沙市区期中）如图，直线a、b、c相交于点C，直线d∥c分别交a、b于A、B，则在图中有同旁内角（　　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【思路点拨】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．分直线c、d被直线a所截，直线c、d被直线b所截，直线a、b被直线d所截，直线a、d被直线b所截，直线b、d被直线a所截几种情况，结合同旁内角的定义即可获得答案． 【规范解答】解：如下图， 直线c、d被直线a所截，则同旁内角有∠DCB与∠FBC，∠ECB与∠GBC， 直线c、d被直线b所截，则同旁内角有∠DCA与∠FAC，∠E C A与∠GAC， 直线a、b被直线d所截，则同旁内角有∠CBA与∠CAB，∠MAB与∠QBA， 直线a、d被直线b所截，则同旁内角有∠BAC与∠BCA，∠FAC与∠PCA， 直线b、d被直线a所截，则同旁内角有∠ABC与∠ACB，∠GBC与∠NCB， 所以，图中有同旁内角10对． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了同旁内角的知识，熟练掌握同旁内角的定义是解题关键． 【变式训练1】（2024春•韩城市校级月考）如图，∠2与∠4的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【思路点拨】根据∠2和∠4的位置，结合同位角的定义可得答案． 【规范解答】解：如图所示，∠2和∠4两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，所以∠2和∠4是同位角． 故选：A． 【考点评析】本题考查的是同位角的识别，掌握同位角的含义是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•东阿县校级月考）如图所示的八个角中，同位角有 　3　对，内错角有 　4　对，同旁内角有 　4　对． 【思路点拨】利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可． 【规范解答】解：同位角：∠1与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6； 内错角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠4，∠4与∠8； 同旁内角：∠1与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5． 所以同位角有3对，内错角有4对，同旁内角有4对． 故答案为：3，4，4． 【考点评析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 考点讲练09：平行公理及推论 【典例精讲09】（2024春•泌阳县月考）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【思路点拨】根据题中描述的实际问题，结合所学数学知识即可确定答案． 【规范解答】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”， 故选：B． 【考点评析】本题考查数学知识解决实际问题，读懂题意，理解“两点之间线段最短”是解决问题的关键． 【变式训练1】（2023春•顺平县期末）如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【思路点拨】由平行公理，即可判断． 【规范解答】解：∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过直线l外一点O的四条直线中，最多只有一条直线与l平行， ∴与直线l相交的直线至少有3条， 故选：C． 【考点评析】本题考查平行公理，关键是掌握平行公理． 【变式训练2】（2024春•鼓楼区校级月考）证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 请根据图形写出已知、求证及证明． 已知： 求证： 证明： 【思路点拨】作直线l，l与直线a，b，c的交点依次为A，B，C，利用图形，根据平行线的性质和判定即可解决问题． 【规范解答】已知：b∥a，c∥a． 求证：b∥c， 证明：作直线l，l与直线a，b，c的交点依次为A，B，C， 如图所示：∵b∥a（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）， 又∵c∥a（已知）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）． 【考点评析】本题考查了平行公理及推论，解题关键是利用图形，熟练掌握平行线的性质和判定． 考点讲练10：平行线的判定 【典例精讲10】（2024秋•贵州期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠2＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠5＝∠4 D．∠1+∠5＝180° 【思路点拨】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【规范解答】解：∵∠2＝∠5， ∴a∥b， ∵∠4＝∠5， ∴a∥b， ∵∠1+∠5＝180°， ∴a∥b， 故选：B． 【考点评析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练1】（2025•安徽模拟）如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　　） A．∠FBC＝∠DAB B．∠ADC+∠BCD＝180° C．∠BAC＝∠ACE D．∠DAC＝∠BCA 【思路点拨】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【规范解答】解：∵∠FBC＝∠DAB， ∴AD∥BC， ∵∠ADC+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∵∠BAC＝∠ACE， ∴AB∥CD， ∵∠DAC＝∠BCA， ∴AD∥BC， 故选：C． 【考点评析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练2】（2024秋•陈仓区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件的个数是（　　） ①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据平行线的判定定理分别进行判断即可． 【规范解答】解：当∠B+∠BCD＝180°，AB∥CD；当∠3＝∠2时，AB＝BC；当∠1＝∠4时，AD＝DC；当∠B＝∠5时，AB∥CD． 故选：B． 【考点评析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 考向三：平行线的性质 考点讲练11：平行线的性质 【典例精讲11】（2025•宽城区校级开学）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交l1于点B，连结AB．若∠BCA＝120°，则∠1的大小为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【思路点拨】由题意可得AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝120°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝30°，再结合平行线的性质可得∠1＝∠CBA＝30°． 【规范解答】解：由题意可得AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵∠BCA＝120°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴∠CAB＝∠CBA＝30°， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠CBA＝30°， 故选：B． 【考点评析】本题考查平行线的性质，能根据题意得出BC＝AC是解答本题的关键． 【变式训练1】（2025•雁塔区校级二模）如图，直线a∥b，∠A＝36°，∠1＝42°，则∠2的度数是（　　） A．78° B．86° C．94° D．106° 【思路点拨】由a∥b得∠ABC＝∠1＝42°，然后根据三角形的外角性质∠2＝∠A+∠ABC即可求解． 【规范解答】解：根据题意，a∥b，∠1＝42°， ∴∠ABC＝∠1＝42°， ∵∠2＝∠A+∠ABC，∠A＝36°， ∴∠2＝36°+42°＝78°， 所以∠2的度数是78°， 故选：A． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式训练2】（2025•诸城市校级开学）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　20°　． 【思路点拨】根据平行线的性质得到∠BOF＝∠1＝60°，∠COF＝180°﹣∠3＝40°，即可得到答案． 【规范解答】解：∵AB∥EF， ∴∠BOF＝∠1＝60°， ∵CD∥EF， ∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°， ∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°， 故答案为：20°． 【考点评析】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 考点讲练12：平行线的判定与性质 【典例精讲12】（2024秋•射洪市期末）将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】由∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°即可判断①；由∠CAD＝∠1+∠2+∠3即可判断②；求出∠1＝90°﹣∠2＝60°＝∠E即可判断③；求出∠3＝90°﹣∠2＝45°＝∠B即可判断④． 【规范解答】解：由题意可知，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3，所以结论①正确； ∵∠CAD＝∠1+∠2+∠3， ∴∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝180°，所以结论②正确； 如果∠2＝30°，则∠1＝90°﹣∠2＝60°＝∠E，故AC∥DE，所以结论③正确； 如果∠2＝45°，则∠3＝90°﹣∠2＝45°＝∠B，故BC∥AD，所以结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【考点评析】本题考查了余角和补角、平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理的熟练掌握． 【变式训练1】（2025•朝阳区校级开学）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是 　①②④　． 【思路点拨】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【规范解答】解：根据题意可知，∠A+∠AHP＝180°， ∴PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PH，所以结论①CD∥PH正确； ∴AB∥CD∥PH， ∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH， ∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF， 又∵PG平分∠EPF， ∴∠EPF＝2∠FPG＝2∠EPG， ∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，所以结论②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG正确； ∵∠GPH与∠FPH不一定相等， ∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，所以结论③∠FPH＝∠GPH错误； ∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG， ∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FPG ＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG ＝∠A+∠PHG ＝180°，即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，所以结论④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FEG＝180°正确； 综上所述，正确的选项有①②④， 故答案为：①②④． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理的应用． 【变式训练2】（2024秋•榆中县期末）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D． 试说明：AC∥DF． 【思路点拨】根据已知条件∠1＝∠2及对顶角相等求得同位角∠2＝∠3，从而推知两直线DB∥EC，所以同位角∠C＝∠ABD；然后由已知条件∠C＝∠D推知内错角∠D＝∠ABD，所以两直线AC∥DF． 【规范解答】解：∵∠1＝∠2（已知） （1分） ∠1＝∠3（ 对顶角相等 ） （2分） ∴∠2＝∠3（等量代换） （3分） ∴DB∥EC （ 同位角相等，两直线平行 ） （5分） ∴∠C＝∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ） （7分） 又∵∠C＝∠D（已知） （8分） ∴∠D＝∠ABD（ 等量代换 ） （10分） ∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ） （12分） 【考点评析】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 考点讲练13：平行线之间的距离 【典例精讲13】（2024春•祁阳市期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 【思路点拨】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题． 【规范解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1）， 直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）； 当直线c在直线a、b外部时，如图（2）， 直线a、c间的距离为7+3＝10（cm）， ∴直线a、c间的距离是4或10cm． 故选：A． 【考点评析】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论． 【变式训练1】（2024春•桥西区期末）如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定 【思路点拨】根据平行线间的距离处处相等可得点P到CD的距离不变，因此三角形的面积不变． 【规范解答】解：∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变， ∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变， 故选：C． 【考点评析】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•青县期末）如图：AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　20　． 【思路点拨】作DG⊥BC，AH⊥BC，根据△DCE的面积为6，求出DG，根据两平行线间的距离相等得到AH的长，根据平行四边形的面积公式得到答案． 【规范解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∴AH＝DG， 又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，又BE＝8， ∴CE＝3，又△DCE的面积为6， ∴DG＝4， ∴四边形ABCD的面积＝BC×AH＝20， 故答案为：20． 【考点评析】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 基础夯实真题练 1．（2024秋•楚雄州期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB于点E，∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．48° C．38° D．30° 【思路点拨】由FE⊥DB得到∠FED＝90°，根据三角形内角和得到∠D＝38°，根据平行线的性质，即可求解， 【规范解答】解：∵FE⊥DB， ∴∠FED＝90°， ∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠FED＝38°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠D＝38°， 故选：C． 【考点评析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和． 2．（2024秋•滦南县期末）已知一个角的余角等于这个角的2倍，则这个角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】首先这个角为x°，则它的补角为（180﹣x）°，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可． 【规范解答】解：设这个角为x°，由题意得： 90﹣x＝2x， 解得：x＝30． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了余角的知识，掌握余角的和等于90°是关键． 3．（2025•长沙一模）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【思路点拨】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 【规范解答】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：A． 【考点评析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 4．（2025•西安校级二模）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，∠E＝30°，若DE∥AB，则∠1的度数为（　　） A．95° B．85° C．75° D．65° 【思路点拨】依题意得∠BAC＝45°，再求出∠D＝60°，进而根据平行线的性质得∠BAF＝∠D＝60°，然后再根据∠1+∠BAC+∠BAF＝180°即可得出∠1的度数． 【规范解答】解：依题意得：∠E＝30°，∠F＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠D＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣（30°+90°）＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠BAF＝∠D＝60°， ∴∠1+∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠1+45°+60°＝180°， ∴∠1＝75°． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 5．（2024秋•文昌期末）若∠α＝50°30'，则它的补角是 　129°30′　． 【思路点拨】根据补角的定义得到50°30'的补角度数为180°﹣50°30′，然后角度的计算． 【规范解答】解：∴∠α＝50°30'， ∴它的补角的度数为180°﹣50°30＝179°60′﹣50°30′＝129°30′． 故答案为：129°30′． 【考点评析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．也考查了度分秒的换算． 6．（2024秋•衡阳期末）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　100°　． 【思路点拨】先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【规范解答】解：如图， ∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠， ∴∠3＝∠1＝50°， ∴∠2＝∠3+∠1＝100°． 故答案为：100°． 【考点评析】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 7．（2024秋•沈丘县期末）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为 　0.5或1.5或3.5或4.5或5　秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）． 【思路点拨】需要分类讨论，当DE∥AB时，BD∥AC时，当DE∥AC时，当BE∥AC时，当DE∥BC时，分别画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【规范解答】解：当DE∥AB时，如图1， 此时∠ABE＝∠E＝30°， ∴∠CBE＝15°， t＝15°÷30°＝0.5； 当BD∥AC时，如图2， 此时∠DBC＝45°， t＝45°÷30°＝1.5； 当DE∥AC时，如图3， 此时，∠EBC＝60°+45°＝105°， t＝105°÷30°＝3.5； 当BE∥AC时，如图4， 此时∠EBC＝90°+45°＝135°， ∴t＝135°÷30°＝4.5； 当DE∥BC时，如图5， 此时∠EBC＝90°+60°＝150°， t＝150°÷30°＝5， 故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5． 【考点评析】本题主要考查平行线的性质，分类讨论思想和数形结合思想，根据题意进行正确的分类讨论并作出图形是解题关键． 8．（2024秋•绥化期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝　50　°． 【思路点拨】先利用平行线的性质得∠DEF＝65°，然后根据折叠的性质可计算出∠FED′＝65°，然后利用平角定义计算∠AED′的度数． 【规范解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝65°， ∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置， ∴∠FED′＝∠DEF＝65°． ∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°． 故答案为50． 【考点评析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质． 9．（2024秋•嘉定区期末）若∠β与∠α互补，∠β＝3∠α，则∠α＝ 　45　°． 【思路点拨】根据补角的定义进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵∠β与∠α互补， ∴∠β+∠α＝180°， ∵∠β＝3∠α， ∴3∠α+∠α＝180°， ∴∠α＝45°， 故答案为：45． 【考点评析】本题考查了余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（2025•池州开学）把一副三角板按如图所示的方式摆放，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，∠F＝45°，DE⊥BC，求∠CHE的度数． 【思路点拨】利用三角形内角和定理及∠CEH＝∠CED+∠DEF，可求出∠C，∠CEH 的度数，再在△CEH 中，利用三角形内角和定理，即可求出∠CHE度数． 【规范解答】解：∵∠A＝60°，∠F＝45°， ∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，∠DEF＝90°﹣∠F＝90°﹣45°＝45°， ∵DE⊥BC， ∴∠CED＝90°， ∴∠CEH＝∠CED+∠DEF＝90°+45°＝135°． 在△CEH 中，∠C＝30°，∠CEH＝135°． ∴∠CHE＝180°﹣∠C﹣∠CEH＝180°﹣30°﹣135°＝ 15． ∴∠CHE的度数为15°． 【考点评析】本题考查垂线，余角和补角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2025•南召县开学）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明DE∥BC，下面是部分推导过程，请你在括号内填上推导依据或内容： 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∠1＝∠4（ 　对顶角相等　）， ∴　∠2　+　∠4　＝180°（等量代换）， ∴EH∥AB（ 　同旁内角互补，两直线平行　）， ∴∠B＝ 　∠EHC　（ 　两直线平行，同位角相等　）， ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠3＝ 　∠B　（ 　已知　）， ∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　）． 【思路点拨】利用平行线的判定和性质补全推导过程即可． 【规范解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1＝∠4（对顶角相等）， ∴∠2+∠4＝180°（等量代换）， ∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠B＝∠EHC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠3＝∠EHC（等量代换）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；∠2；∠4；同旁内角互补，两直线平行；∠EHC；两直线平行，同位角相等；∠B；已知；内错角相等，两直线平行． 【考点评析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 12．（2024秋•埇桥区期末）如图，点B、C在线段AD异侧，E、F分别是线段AB、CD上的点，EC和BF分别交AD于点G和点H．已知∠AEG＝∠AGE，∠DGC＝∠C，∠BEC+∠BFD＝180°．求证：EC∥BF． 【思路点拨】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC， ∴∠AEG＝∠C， ∴AB∥CD； ∴∠B＝∠BFD， ∵∠BEC+∠BFD＝180°， ∴∠B+∠BEC＝180°， ∴BF∥CE． 【考点评析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行的判定和性质定理是解题的关键． 13．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 　角平分线的定义　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　已知　）， ∴∠　1　＝∠　2　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　已知　）， ∴∠2＝∠　3　（ 　等量代换　）． ∴　AB　∥　DC　（ 　内错角相等，两直线平行　）． 【思路点拨】首先根据角平分线定义可得∠1∠ABC，∠2∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【规范解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知） ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （角平分线定义） 又∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠1＝∠2（等量代换）， 又∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行． 【考点评析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行． 14．（2024秋•绥化期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 【思路点拨】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断； （2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 【考点评析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用． 15．（2025•赤坎区校级开学）（1）如图1，直线AB，CD被直线EF所截得∠1＝∠2＝55°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由． （2）如图2，直线AB，CD被直线EF所截得∠1＝55°，∠2＝125°，∠3等于多少度？直线AB，CD平行吗？说明你的理由． 【思路点拨】（1）根据对顶角相等得到∠3＝∠2＝55°，根据内错角相等，两直线平行求解即可； （2）根据邻补角互补得到∠3＝180°﹣∠1＝125°，根据同旁内角互补，两直线平行求解即可． 【规范解答】解：（1）∵∠2＝55°， ∴∠3＝∠2＝55°； AB∥CD， 理由：∵∠1＝∠2＝55°， ∴AB∥CD； （2）∵∠1＝55°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝125°； AB∥CD， 理由：∵∠2＝125°，∠3＝125°， ∴∠2＝∠3， ∴AB∥CD． 【考点评析】本题考查平行线的判与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•蒙阴县期末）将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中∠α和∠β相等的序号是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【思路点拨】观察图形，根据三角尺中角的度数、同角的余角相等、补角的性质，判断选择即可． 【规范解答】解：①图形中，根据同角的余角相等可得∠α＝∠β； ②图形中，∠α＝45°，∠β＜45°，故∠α＞∠β； ③图形中，∠α和∠β互补，∠α是锐角，∠β是钝角，故∠α＜∠β； ④图形中，∠α＝∠β＝45°， 综上所述，∠α和∠β相等的序号是①和④； 故选：D． 【考点评析】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解题的关键． 17．（2024秋•香河县期末）已知∠1和∠2互余，且∠1＝40°17'，则∠2的补角是（　　） A．49°43' B．80°17' C．130°17' D．140°43' 【思路点拨】先根据两角互余求出∠2的度数，再根据两角互补求出∠2的补角即可． 【规范解答】解：∵∠1与∠2互余，∠1＝40°17′， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°17′＝49°43′， ∴∠2的补角为180°﹣∠2＝130°17′． 故选：C． 【考点评析】本题考查互补和互余的概念，和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角，属于基础题，较简单． 18．（2024秋•兰州期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 【思路点拨】根据平行线的判定逐个判断即可． 【规范解答】解：A、∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠5， 因为“同旁内角互补，两直线平行”， 所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； C、∵∠3+∠5＝180°， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠2＝∠3， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 19．（2024秋•泗洪县期末）如图，能判断AB∥EF的条件是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠ADE＝∠DEF C．∠ADE＝∠B D．∠ADE＝∠EFC 【思路点拨】由平行线的判定方法，即可判断． 【规范解答】解：A、D，相等的角不是同位角，也不是内错角，因此不能判断AB∥EF，故A、D不符合题意； B、∠ADE＝∠DEF，能判定AB∥FE，故B符合题意； C、∠ADE＝∠B，能判定DE∥BC，故 C不符合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 20．（2024秋•林州市期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC＝40°，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余，则∠DOC的度数为（　　） A．40° B．50° C．50°或130° D．90°或170° 【思路点拨】先根据互为余角的定义求出∠BOD的度数，再分两种情况讨论：当∠BOD在直线AB上方时；当∠BOD在直线AB下方时；分别计算即可． 【规范解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOD与∠AOC互余， ∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°， 当∠BOD在直线AB上方时， ∠DOC＝180°﹣∠BOD﹣∠AOC＝180°﹣50°﹣40°＝90°； 当∠BOD在直线AB下方时， ∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°， ∴∠DOC＝∠AOD+∠AOC＝130°+40°＝170°； 综上，∠DOC的度数为90°或170°， 故选：D． 【考点评析】本题考查了余角和补角，角的和差，注意分类讨论思想的运用． 21．（2024秋•临澧县期末）已知一个角等于62°15′，则它的补角等于　117°45′　． 【思路点拨】根据补角的定义“若两个角的和等于180°，则这两个角互补”进行计算即可． 【规范解答】解：它的补角等于：180°﹣62°15′＝117°45′， 故答案为：117°45′． 【考点评析】本题考查求一个角的补角，熟练掌握该知识点是关键． 22．（2025•济宁开学）已知点A在点B的南偏西30°方向上，点C在点B的北偏西40°方向上，则∠ABC的补角的度数为 　70°　． 【思路点拨】根据方向角的定义，画出图形得到∠ABC即可求解． 【规范解答】解：根据方向角的定义，画出如图所示的图形， ∵∠ABC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠ABC的补角为180°﹣110°＝70°． 故答案为：70°． 【考点评析】本题考查了方向角，补角的定义，正确画出图形是解题的关键． 23．（2024秋•腾冲市期末）一个角补角比它的余角的2倍多30°，这个角的度数为 　30°　． 【思路点拨】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设这个角为x， 由题意得180°﹣x＝2（90°﹣x）+30°， 解得x＝30°． 答：这个角的度数是30°． 故答案为：30°． 【考点评析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补． 24．（2024秋•武汉期末）∠α的补角是它余角的3倍，则∠α＝　45°　． 【思路点拨】首先设∠α为x°，则它的补角为（180﹣x）°，它的余角为（90﹣x）°，再根据题意列出方程，再解即可． 【规范解答】解：设∠α为x°，由题意得： 180﹣x＝3（90﹣x）， 解得：x＝45， 则∠α＝45°， 故答案为：45°． 【考点评析】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 25．（2024秋•偃师区期末）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝130°，则∠BOD＝　50°　． 【思路点拨】根据图中角的和差关系求解即可． 【规范解答】解：由题意知∠AOB＝∠DOC＝90°， ∵∠AOC＝130°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝130°﹣90°＝40°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°． 【考点评析】本题考查三角板中的角度计算问题，熟练掌握余角和补角概念是关键． 26．（2024秋•麦积区期末）阅读下面的问题、分析、解答过程，并填空（理由或数学式），补全演绎推理过程． 问题：如图，已知直线a∥b，∠3＝131°，求∠2的度数． 分析：题干叙述没有明确已知条件∠3与待解问题∠2之间的关系，所以解题思路探寻的重点在于沟通已知（∠3）、未知（∠2）之间的联系，寻找∠3，∠2之间的数量关系、位置关系．结合图形，可以观察发现∠3与∠1是一组（ 　对顶角　）（在对顶角、邻补角中选择填空），∠1与∠2是一组（ 　同旁内角　）（请在同位角、内错角、同旁内角中选择填空），从而通过中问桥梁∠1将已知条件∠3与待解问题∠2联系了起来．所以，确定如下解题思路：先由∠3确定∠1，再由∠1确定∠2． 通常，我们用符号“∵”“∴”分别表示“因为”“所以”简化书写过程，将上述分析探究过程写成如下演绎推理形式： 答：∵∠3＝131°（已知）， 又∵∠3＝∠1（ 　对顶角相等　）， ∴∠1＝（ 　131°　）（ 　等量代换　）， ∵a∥b（已知）， ∴　∠1+∠2＝180°　（ 　两直线平行，同旁内角互补　）， ∴∠2＝（ 　49°　）（等式的性质）． 【思路点拨】根据对顶角性质，得出∠3＝∠1＝131°，根据平行线的性质得出∠1+∠2＝180°，最后求出结果即可． 【规范解答】解：结合图形，可以观察发现∠3与∠1是一组对顶角，∠1与∠2是一组同旁内角，从而通过中间桥梁∠1将已知条件∠3与待解问题∠2联系了起来． ∵∠3＝131°（已知）， 又∵∠3＝∠1（对顶角相等）， ∴∠1＝131°（等量代换）， ∵a∥b（已知）， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠2＝49°（等式的性质）． 故答案为：对顶角；同旁内角；对顶角相等；131°；等量代换；∠1+∠2＝180°；两直线平行，同旁内角互补；49°． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 27．（2024秋•迁安市期末）如图，小明利用尺规作图过程如下： 第一步：以B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； 第二步：以N为圆心，以 　MN　长为半径画弧，交已画弧于点E； 第三步：作射线BE． 可得：∠ABC＝∠EBC． （1）补全第二步横线部分的内容； （2）若∠ABC＝37°42'，∠EBC＝ 　37.7　度； （3）若∠ABC＝40°，∠α与∠ABE互补，求出∠α的度数． 【思路点拨】（1）根据运用尺规作图作一个角等于已知角的方法即可解答； （2）根据角度制的转换即可解答； （3）由∠ABC＝∠EBC和∠ABC＝40°可求得∠ABE＝80°，再根据补角的定义即可解答． 【规范解答】解：（1）以N为圆心，以MN长为半径画弧，交已画弧于点E． 故答案为：MN． （2）． 故答案为：30.7． （3）由条件可知∠ABC＝∠EBC＝40°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝80°， ∴∠α＝180°﹣∠ABE＝100°． 【考点评析】本题主要考查了尺规作图、角度的运算、角的和差、补角等知识点，掌握尺规作图是解题的关键． 28．（2024秋•阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 【思路点拨】（1）由已知可证得∠2＝∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠BDC； （2）根据角平分线的定义得到∠FAD＝2∠FAC，即∠FAD＝2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD． 【规范解答】（1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠2是解题的关键． 29．（2024秋•内乡县期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB　，∠C＝　∠DAC　， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【思路点拨】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 30．（2024秋•新城区校级期末）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB和CD之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若∠BEF＝60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接EG，GF．求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； 【深入探究】 （3）如图3，连接EG，GF，若∠AEG＝60°，∠GFC＝40°，∠AEG和∠GFC的平分线交于点P，求∠P的度数． 【思路点拨】（1）由AB∥CD，得到∠EFC＝∠BEF，结合已知的角度，得到结果； （2）通过作辅助线，得到AB∥CD∥GH，利用两直线平行，同旁内角互补，得到∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°，即可得到结果； （3）通过作平行线，得到∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC，结合角平分线，得到结果． 【规范解答】（1）解：图1，AB∥CD，∠BEF＝60°， ∴∠EFC＝∠BEF＝60°， ∵FG是∠EFC的平分线， ∴∠GFC∠EFC＝30°； （2）证明：图2，过点G作GF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH， ∴∠BEG+∠EGH＝180°，∠HGF+∠GFD＝180°， ∴∠BEG+∠EGH+∠HGF+∠GFD＝360° ∴∠BEG+∠EGF+∠GFD＝360°； （3）解：图3，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠EPM＝∠AEP，∠MPF＝∠PFC， ∵PE平分∠AEG，PF平分∠GFC，∠AEG＝60°，∠GFC＝40°， ∴∠AEP∠AEG＝30°，∠PFC∠GFC＝20°， ∴∠EPM＝30°，∠MPF＝20°， ∴∠EPF＝50°． 【考点评析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$