第1章 整式的乘除（思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习（新教材）

2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第1章 整式的乘除 （思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：幂的运算 2 知识点02：整式的乘法和除法 3 知识点03：乘法公式 4 重点知识考点讲练 4 考向一：幂的乘除 4 考点讲练01：科学记数法一表示较小的数 4 考点讲练02：同底数幂的乘法 4 考点讲练03：幂的乘方与积的乘方 5 考点讲练04：同底数幂的除法 5 考向二：整式的乘法 5 考点讲练05：单项式乘单项式 5 考点讲练06：单项式乘多项式 5 考点讲练07：多项式乘多项式 6 考向三：乘法公式 6 考点讲练08：完全平方公式 6 考点讲练09：平方差公式 6 考向四：整式的除法 7 考点讲练10：整式的除法 7 优选真题难度分层练 7 基础夯实真题练 7 培优拔尖真题练 9 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：幂的运算 【高频考点精讲】 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：（≠0，是正整数）. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点02：整式的乘法和除法 【高频考点精讲】 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 考向一：幂的乘除 考点讲练01：科学记数法一表示较小的数 【典例精讲01】（2024秋•开州区期末）氧原子的直径约为0.000 000 0016米，数据0.000 000 0016用科学记数法表示为　 　． 【变式训练1】（2024春•朝阳区校级期中）“0.0000004”用科学记数法表示为（　　） A．4×10﹣6 B．4×10﹣7 C．0.4×10﹣6 D．4×107 【变式训练2】（2024秋•江汉区期末）将0.000012用科学记数法表示为 　． 考点讲练02：同底数幂的乘法 【典例精讲02】（2024秋•丰润区期末）计算a2•a6的结果是（　　） A．a3 B．a4 C．a8 D．a12 【变式训练1】（2024春•海州区校级期末）下列式子计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x5 C．x2•x3＝x6 D．x2+x3＝2x5 【变式训练2】（2024•宿迁模拟）若xm＝4，xn＝﹣3，则xm+n＝　 　． 考点讲练03：幂的乘方与积的乘方 【典例精讲03】（2024秋•雁江区校级期末）计算的值等于（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【变式训练1】（2025•朝阳区校级开学）下列运算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（a3）4＝a7 C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．（﹣a3）2＝a6 【变式训练2】（2025•西安开学）计算：﹣b2•（﹣b）2（﹣b3）＝　 ． 考点讲练04：同底数幂的除法 【典例精讲04】（2024秋•临高县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．a6÷a2＝a3 C．（a3）2＝a6 D．（2ab）3＝6a3b3 【变式训练1】（2025•惠济区一模）计算x9÷x6的结果为 　 　． 【变式训练2】（2025•管城区校级开学）下列计算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．（a2）3＝a5 C．a3÷a＝a D．a2•a4＝a6 考向二：整式的乘法 考点讲练05：单项式乘单项式 【典例精讲05】（2025•阳春市模拟）下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．7a﹣3a＝4 C．2a•3a＝6a2 D．（﹣a）3÷（﹣a）2＝a 【变式训练1】（2024•安徽模拟）下列运算正确的是（　　） A．2a•3a＝6a2 B．4a﹣3a＝1 C．a+a＝a2 D．a3÷（﹣a2）＝a 【变式训练2】（2024春•北海期末）计算：5x2•（﹣2x）＝　 　． 考点讲练06：单项式乘多项式 【典例精讲06】（2024春•贺兰县期中）下列各式中正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣a）3＝a3 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a 【变式训练1】（2024春•舒城县期末）当x＞0，y＞0，且x≠y时，x2（x﹣y）+y2（y﹣x）的值（　　） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 【变式训练2】（2023秋•中江县期末）已知3a﹣4b＝﹣2，则代数式a（9﹣b）+b（a﹣12）＝　 ． 考点讲练07：多项式乘多项式 【典例精讲07】（2025•九龙坡区校级开学）已知a2+a＝3，则（2a﹣4）（a+3）的值是　 　． 【变式训练1】（2024秋•洛宁县期末）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　． 【变式训练2】（2024秋•海门区期中）如果（x+1）（2x+m）的乘积中不含x一次项，则m为（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 考向三：乘法公式 考点讲练08：完全平方公式 【典例精讲08】（2024秋•南平期末）化简：（a+3）2+（a+1）（a﹣2）． 【变式训练1】（2025•镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【变式训练2】（2025•市北区校级开学）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为 　 　． 考点讲练09：平方差公式 【典例精讲09】（2024秋•济宁期末）如果x+y＝6，x2﹣y2＝24，那么y﹣x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【变式训练1】（2024春•裕华区校级期中）下列运算中，正确的是（　　） A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 B．（a+1）2＝a2+1 C．a6÷a3＝a2 D．2a2•a（﹣1）＝2a 【变式训练2】（2024春•成都期末）若m﹣n＝﹣100，则m2﹣n2+200n＝　 　． 考向四：整式的除法 考点讲练10：整式的除法 【典例精讲10】（2024•碑林区校级模拟）计算：（6x3y2﹣2xy）÷2xy＝（　　） A．3x2y﹣2xy B．3x3y﹣2 C．4x2y﹣xy D．3x2y﹣1 【变式训练1】（2024春•贵阳期末）一种长方体零件体积为12a3b3，底面积为4a2b2，则零件的高为（　　） A．4a2b2 B．4ab C．3a2b2 D．3ab 【变式训练2】（2024春•越城区期末）计算（﹣6a2+3a）÷3a的结果为 　 　． 基础夯实真题练 1．（2025•五华区校级模拟）下列运算，结果正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（a2）5＝a10 C．（a2b）5＝a7b5 D．a5÷a3＝2a 2．（2024秋•临高县期末）已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 3．（2024秋•龙南市期末）（x3y2+x2z）÷x2等于（　　） A．xy2+z B．﹣x2y4+x2z C．xy+xz D．xy4+x2z 4．（2025•广西模拟）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m 5．（2024秋•武汉期末）（3x4﹣12x）÷3x＝ 　 　． 6．（2025•市北区校级开学）已知am＝3，an＝2，则a2m+3n＝　 　，a3m﹣n＝　 　． 7．（2024秋•临高县期末）已知：xa＝2，xb＝3，则x2a+3b＝　 　． 8．（2024秋•天峨县期末）已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　 　． 9．（2024秋•凉州区期末）已知x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣3，求x2+y2﹣2xy的值． 10．（2024秋•榆树市期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简） （2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2． 11．（2025•沙坪坝区校级开学）（1）已知2x+3y﹣3＝0，求4x•8y的值； （2）若多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项，求a和b的值． 12．（2024秋•集宁区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果8x＝25，求x的值； （2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值； （3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 13．（2024秋•宁江区校级期末）计算：a3•a5+（a2）4+（﹣2a4）2． 14．（2024春•余姚市期中）已知x2+y2＝9，x+y＝4，求下列代数式的值： （1）xy； （2）（x﹣3）（y﹣3）． 15．（2024春•天宁区校级期中）定义一种新运算：x※y＝3x×3y． （1）求2※5的值（结果保留幂的形式）； （2）求1※（4x﹣3）＝9，求x的值． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•大余县期末）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2 17．（2024秋•饶平县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．a3+a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a5 18．（2024春•新城区校级期中）已知4x＝a，8y＝b，32z＝c且2ab＝c，则x，y，z三者之间的数量关系是（　　） A．x+y＝z B．xy＝z C．2x+3y＝5z D．2x+3y+1＝5z 19．（2024春•江南区校级期中）若一列有序数对按如下规律排列：（1，4），（2，8），（3，16），（4，32），⋯，根据这个规律，则第20个有序数对是（　　） A．（20，219） B．（20，220） C．（20，221） D．（20，222） 20．（2025•杭州开学）（1）若am＝6，an＝2，则am﹣2n的值为 　 　； （2）若256x＝23•211，则x＝ 　 　． 21．（2024秋•孝南区期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝　 　． 22．（2024秋•新城区期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒．若把数字0.00000023用科学记数法表示为2.3×10n的形式，则n＝　 　． 23．（2024秋•成都期末）已知2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y的值为　 　． 24．（2024春•新城区校级期中）如图，某学校有一块空地GBCDF，其中四边形ABCD是长方形，且AD＝10米，四边形GAEF，EHCD都是正方形，学校准备在这两块正方形空地上种植花卉，且它们的面积之和是60平方米，在长方形ABHE上种植草坪，在三角形FED上设计朗读亭，则朗读亭FED的面积是多少？ 25．（2024春•新城区校级期中）已知a2﹣2a﹣1＝0，求（a+1）（a﹣3）的值． 26．（2024春•新华区校级期中）简便运算：20232﹣2024×2022． 27．（2024春•裕华区校级期中）已知n为正整数，且x2n＝4，求xn﹣3•x3（n+1）的值． 28．（2023秋•邻水县期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长（9a﹣1）m、宽（3b﹣5）m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长（3a+1）m、宽bm的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积； （2）当a＝9，b＝15时，求安装健身器材的区域面积． 29．（2024春•兴宁市校级月考）计算：（1+2a﹣3b）（1﹣2a﹣3b）． 30．（2024春•苏仙区校级期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙抄漏了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a，b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第1章 整式的乘除 （思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：幂的运算 2 知识点02：整式的乘法和除法 3 知识点03：乘法公式 3 重点知识考点讲练 4 考向一：幂的乘除 4 考点讲练01：科学记数法一表示较小的数 4 考点讲练02：同底数幂的乘法 5 考点讲练03：幂的乘方与积的乘方 6 考点讲练04：同底数幂的除法 7 考向二：整式的乘法 8 考点讲练05：单项式乘单项式 8 考点讲练06：单项式乘多项式 9 考点讲练07：多项式乘多项式 10 考向三：乘法公式 11 考点讲练08：完全平方公式 11 考点讲练09：平方差公式 12 考向四：整式的除法 13 考点讲练10：整式的除法 13 优选真题难度分层练 14 基础夯实真题练 14 培优拔尖真题练 20 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：幂的运算 【高频考点精讲】 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：（≠0，是正整数）. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点02：整式的乘法和除法 【高频考点精讲】 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 考向一：幂的乘除 考点讲练01：科学记数法一表示较小的数 【典例精讲01】（2024秋•开州区期末）氧原子的直径约为0.000 000 0016米，数据0.000 000 0016用科学记数法表示为　1.6×10﹣9　． 【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规范解答】解：0.000 000 0016＝1.6×10﹣9． 故答案为：1.6×10﹣9． 【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式训练1】（2024春•朝阳区校级期中）“0.0000004”用科学记数法表示为（　　） A．4×10﹣6 B．4×10﹣7 C．0.4×10﹣6 D．4×107 【思路点拨】确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数． 【规范解答】解：数据0.0000004用科学记数法表示为4×10﹣7． 故选：B． 【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键． 【变式训练2】（2024秋•江汉区期末）将0.000012用科学记数法表示为　1.2×10﹣5　． 【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规范解答】解：（1）0.000012＝1.2×10﹣5； 故答案为1.2×10﹣5． 【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 考点讲练02：同底数幂的乘法 【典例精讲02】（2024秋•丰润区期末）计算a2•a6的结果是（　　） A．a3 B．a4 C．a8 D．a12 【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【规范解答】解：a2•a6＝a2+6＝a8． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【变式训练1】（2024春•海州区校级期末）下列式子计算正确的是（　　） A．x2+x3＝x5 B．x2•x3＝x5 C．x2•x3＝x6 D．x2+x3＝2x5 【思路点拨】根据同底数幂乘法、合并同类项、根据同底数幂乘法、合并同类项运算即可． 【规范解答】解：A．x2+x3≠x5，故该选项不正确，不符合题意； B．x2•x3＝x5，故该选项正确，符合题意； C．x2•x3＝x5，故该选项不正确，不符合题意； D．x2+x3≠2x5，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握同底数幂乘法、合并同类项、根据同底数幂乘法、合并同类项是关键． 【变式训练2】（2024•宿迁模拟）若xm＝4，xn＝﹣3，则xm+n＝　﹣12　． 【思路点拨】根据已知条件逆用同底数幂相乘法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵xm＝4，xn＝﹣3， ∴xm+n ＝xm•xn ＝4×（﹣3） ＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【考点评析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则． 考点讲练03：幂的乘方与积的乘方 【典例精讲03】（2024秋•雁江区校级期末）计算的值等于（　　） A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5 【思路点拨】先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【规范解答】解：原式 ＝4． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用． 【变式训练1】（2025•朝阳区校级开学）下列运算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（a3）4＝a7 C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．（﹣a3）2＝a6 【思路点拨】根据同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项分析即可得解． 【规范解答】解：A、计算结果是a7，故原选项计算错误，不符合题意； B、计算结果是a12，故原选项计算错误，不符合题意； C、计算结果是﹣8a3，故原选项计算错误，不符合题意； D、（﹣a3）2＝a6，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式训练2】（2025•西安开学）计算：﹣b2•（﹣b）2（﹣b3）＝　b7　． 【思路点拨】根据幂的乘方底数不变指数相乘，可得单项式乘法，可得答案． 【规范解答】解：原式＝﹣b2•b2（﹣b3）＝b2+2+3＝b7， 故答案为：b7． 【考点评析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 考点讲练04：同底数幂的除法 【典例精讲04】（2024秋•临高县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．a6÷a2＝a3 C．（a3）2＝a6 D．（2ab）3＝6a3b3 【思路点拨】结合幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法则进行求解即可． 【规范解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误，不符合题意； B、a6÷a2＝a4，故此选项错误，不符合题意； C、（a3）2＝a6，故此选项正确，符合题意； D、（2ab）3＝8a3b3，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，掌握以上运算法则是解题的关键． 【变式训练1】（2025•惠济区一模）计算x9÷x6的结果为 　x3　． 【思路点拨】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减运算即可． 【规范解答】解：根据同底数幂的除法运算法则可得： x9÷x6＝x3， 故答案为：x3． 【考点评析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【变式训练2】（2025•管城区校级开学）下列计算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．（a2）3＝a5 C．a3÷a＝a D．a2•a4＝a6 【思路点拨】运用整式的混合运算法则即可求解． 【规范解答】解：A、2a﹣a＝a，故原选项错误，不符合题意； B、（a2）3＝a6，故原选项错误，不符合题意； C、a3÷a＝a2，故原选项错误，不符合题意； D、a2•a4＝a6，故原选项正确，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题主要考查的整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方运算是解题的关键． 考向二：整式的乘法 考点讲练05：单项式乘单项式 【典例精讲05】（2025•阳春市模拟）下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．7a﹣3a＝4 C．2a•3a＝6a2 D．（﹣a）3÷（﹣a）2＝a 【思路点拨】根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断如下： A．a+a＝2a，故该选项不正确，不符合题意； B．7a﹣3a＝4a，故该选项不正确，不符合题意； C．2a•3a＝6a2，故该选项正确，符合题意； D． （﹣a）3÷（﹣a）2＝﹣a，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式训练1】（2024•安徽模拟）下列运算正确的是（　　） A．2a•3a＝6a2 B．4a﹣3a＝1 C．a+a＝a2 D．a3÷（﹣a2）＝a 【思路点拨】根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A、2a⋅3a＝6a2，故原选项计算正确，符合题意； B、4a﹣3a＝a，故原选项计算错误，不符合题意； C、a+a＝2a，故原选项计算错误，不符合题意； D、a3÷（﹣a2）＝﹣a，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式训练2】（2024春•北海期末）计算：5x2•（﹣2x）＝　﹣10x3　． 【思路点拨】根据单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式进行计算即可． 【规范解答】解：5x2•（﹣2x）＝5×（﹣2）•x2+1＝﹣10x3， 故答案为：﹣10x3． 【考点评析】本题考查了单项式乘单项式，掌握其运算法则是解题的关键． 考点讲练06：单项式乘多项式 【典例精讲06】（2024春•贺兰县期中）下列各式中正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣a）3＝a3 D．a（a﹣3）＝a2﹣3a 【思路点拨】根据合并同类项的法则，幂的乘方计算，单项式乘以多项式进行计算即可． 【规范解答】解：A、a3•a2＝a5，原式计算错误，不符合题意； B、3ab﹣2ab＝ab，原式计算错误，不符合题意； C、（﹣a）3＝﹣a3，原式计算错误，不符合题意； D、a（a﹣3）＝a2﹣3a，原式计算正确，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，合并同类项，幂的乘方计算，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式训练1】（2024春•舒城县期末）当x＞0，y＞0，且x≠y时，x2（x﹣y）+y2（y﹣x）的值（　　） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 【思路点拨】将x2（x﹣y）+y2（y﹣x）转化为x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）再因式分解为（x﹣y）2（x+y），根据条件即可判断． 【规范解答】解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣y2）＝（x﹣y）2（x+y）， ∵x＞0，y＞0，且x≠y， ∴（x﹣y）2（x+y）＞0， 故选：A． 【考点评析】本题考查了整式的相关运算，熟练掌握分解因式是关键． 【变式训练2】（2023秋•中江县期末）已知3a﹣4b＝﹣2，则代数式a（9﹣b）+b（a﹣12）＝　﹣6　． 【思路点拨】先把代数式a（9﹣b）+b（a﹣12）进行化简得到3（3a﹣4b），再把3a﹣4b＝﹣2整体代入即可． 【规范解答】解：a（9﹣b）+b（a﹣12）＝9a﹣ab+ab﹣12b＝9a﹣12b＝3（3a﹣4b）， 将3a﹣4b＝﹣2代入得： 原式＝3×（﹣2）＝﹣6． 【考点评析】本题考查整体代入法和合并同类项法则，解题的关键是掌握合并同类项法则和整体代入法． 考点讲练07：多项式乘多项式 【典例精讲07】（2025•九龙坡区校级开学）已知a2+a＝3，则（2a﹣4）（a+3）的值是　﹣6　． 【思路点拨】根据多项式乘多项式的法则，以及整体代入法，进行求值即可． 【规范解答】解：（2a﹣4）（a+3） ＝2a2﹣4a+6a﹣12 ＝2（a2+a）﹣12 ＝2×3﹣12 ＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【考点评析】本题考查多项式乘多项式并求值．熟练掌握运算法则是关键． 【变式训练1】（2024秋•洛宁县期末）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　． 【思路点拨】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可． 【规范解答】解：（a﹣b）（a2+ab+b2） ＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3 ＝a3﹣b3， 故答案为：a3﹣b3． 【考点评析】本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，能熟记法则的内容是解此题的关键，注意：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn． 【变式训练2】（2024秋•海门区期中）如果（x+1）（2x+m）的乘积中不含x一次项，则m为（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【思路点拨】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值． 【规范解答】解：∵（x+1）（2x+m）＝2x2+2x+mx+m＝2x2+（2+m）x+m， 又∵乘积中不含x的一次项， ∴2+m＝0， 解得m＝﹣2． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键． 考向三：乘法公式 考点讲练08：完全平方公式 【典例精讲08】（2024秋•南平期末）化简：（a+3）2+（a+1）（a﹣2）． 【思路点拨】利用完全平方公式，平方差公式先化简，再去括号合并同类项即可． 【规范解答】解：原式＝a2+6a+9+（a2﹣2a+a﹣2） ＝a2+6a+9+a2﹣2a+a﹣2 ＝2a2+5a+7． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的运用，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式训练1】（2025•镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【思路点拨】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解． 【规范解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 【考点评析】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案． 【变式训练2】（2025•市北区校级开学）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为 　±12　． 【思路点拨】根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【规范解答】解：（3x+a）2＝9x2+6ax+a2， ∵9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4， ∴a2＝4，6a＝b， ∴a＝±2，b＝±12． 故答案为：±12． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件找到等量关系是解题的关键． 考点讲练09：平方差公式 【典例精讲09】（2024秋•济宁期末）如果x+y＝6，x2﹣y2＝24，那么y﹣x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【思路点拨】利用平方差公式，整体代入计算． 【规范解答】解：∵x+y＝6，x2﹣y2＝24， ∴（x+y）（x﹣y）＝24， ∴6（x﹣y）＝24， ∴x﹣y＝4， ∴y﹣x＝﹣4， 故选：A． 【考点评析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运用． 【变式训练1】（2024春•裕华区校级期中）下列运算中，正确的是（　　） A．（3x+2）（3x﹣2）＝3x2﹣4 B．（a+1）2＝a2+1 C．a6÷a3＝a2 D．2a2•a（﹣1）＝2a 【思路点拨】根据幂的乘除法的法则和完全平方公式、平方差公式计算后判定即可． 【规范解答】解：A． （3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，错误，该选项不符合题意； B． （a+1）2＝a2+2a+1，错误，该选项不符合题意； C．a6÷a3＝a3，错误，该选项不符合题意； D．2a2•a（﹣1）＝2a，正确，该选项符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查同底数幂的乘除法，完全平方公式和平方差公式，掌握相关的公式和法则是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•成都期末）若m﹣n＝﹣100，则m2﹣n2+200n＝　10000　． 【思路点拨】首先将原式分组分解因式，进而将已知代入求出即可． 【规范解答】解：∵m﹣n＝﹣100， ∴m2﹣n2+200n ＝（m+n）（m﹣n）+200n ＝﹣100（m+n）+200n ＝﹣100m﹣100n+200n ＝100n﹣100m ＝100（n﹣m） ＝100×100 ＝10000． 故答案为：10000． 【考点评析】此题主要考查了平方差公式、分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键． 考向四：整式的除法 考点讲练10：整式的除法 【典例精讲10】（2024•碑林区校级模拟）计算：（6x3y2﹣2xy）÷2xy＝（　　） A．3x2y﹣2xy B．3x3y﹣2 C．4x2y﹣xy D．3x2y﹣1 【思路点拨】根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则，进行计算即可． 【规范解答】解：原式＝6x3y2÷2xy﹣2xy÷2xy ＝3x2y﹣1， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则． 【变式训练1】（2024春•贵阳期末）一种长方体零件体积为12a3b3，底面积为4a2b2，则零件的高为（　　） A．4a2b2 B．4ab C．3a2b2 D．3ab 【思路点拨】根据长方体的体积＝底面积×高，列出算式，再利用单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可． 【规范解答】解：由题意得：12a3b3÷4a2b2 ＝（12÷4）•（a3÷a2）•（b3÷b2） ＝3ab， ∴零件的高是3ab， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 【变式训练2】（2024春•越城区期末）计算（﹣6a2+3a）÷3a的结果为 　﹣2a+1　． 【思路点拨】根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算即可． 【规范解答】解：原式＝﹣6a2÷3a+3a÷3a ＝﹣2a+1， 故答案为：﹣2a+1． 【考点评析】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则． 基础夯实真题练 1．（2025•五华区校级模拟）下列运算，结果正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（a2）5＝a10 C．（a2b）5＝a7b5 D．a5÷a3＝2a 【思路点拨】利用同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【规范解答】解：a2•a5＝a7，则A不符合题意， （a2）5＝a10，则B符合题意， （a2b）5＝a10b5，则C不符合题意， a5÷a3＝a2，则D不符合题意， 故选：B． 【考点评析】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2024秋•临高县期末）已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【思路点拨】先把原式按多项式乘法展开后，代入a﹣b＝5，ab＝3，即可得到结果． 【规范解答】解：∵a﹣b＝5，ab＝3， ∴（a+1）（b﹣1） ＝ab﹣a+b﹣1 ＝ab﹣（a﹣b）﹣1 ＝3﹣5﹣1 ＝﹣3． 故选：A． 【考点评析】本题考查了多项式乘多项式，化简求值，熟练掌握多项式乘法运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•龙南市期末）（x3y2+x2z）÷x2等于（　　） A．xy2+z B．﹣x2y4+x2z C．xy+xz D．xy4+x2z 【思路点拨】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（x3y2+x2z）÷x2等于 ＝x3y2÷x2+x2z÷x2 ＝xy2+z， 故选：A． 【考点评析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2025•广西模拟）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中12nm＝0.000000012m，则12nm用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣8m B．1.2×10﹣9m C．0.12×10﹣10m D．1.2×10﹣10m 【思路点拨】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规范解答】解：12nm＝0.000000012m＝1.2×10﹣8m． 故选：A． 【考点评析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键． 5．（2024秋•武汉期末）（3x4﹣12x）÷3x＝ 　x3﹣4　． 【思路点拨】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【规范解答】解：（3x4﹣12x）÷3x ＝3x4÷3x﹣12x÷3x ＝x3﹣4， 故答案为：x3﹣4． 【考点评析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2025•市北区校级开学）已知am＝3，an＝2，则a2m+3n＝　72　，a3m﹣n＝　　． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法和幂的乘方把a2m+3n变形为（am）2•（an）3求解即可；根据同底数幂的乘法和幂的乘方把a3m﹣n变形为（am）3÷an求解即可． 【规范解答】解：a2m+3n＝a2m•a3n＝（am）2•（an）3＝32×23＝9×8＝72， ． 故答案为：72；． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘除，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 7．（2024秋•临高县期末）已知：xa＝2，xb＝3，则x2a+3b＝　108　． 【思路点拨】先逆用同底数幂的乘法进行计算，再逆用幂的乘方进行计算，最后代入求出答案即可． 【规范解答】解：∵xa＝2，xb＝3， ∴x2a+3b ＝x2a•x3b ＝（xa）2•（xb）3 ＝22×33 ＝4×27 ＝108， 故答案为：108． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，能灵活运用an•am＝am+n的逆运算进行变形是解此题的关键． 8．（2024秋•天峨县期末）已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　10a+12b　． 【思路点拨】先根据长方形的面积公式求出长方形的宽，再根据长方形的周长公式求出结果． 【规范解答】解：根据题意，得长方形的宽：（6a2+18ab）÷3a＝2a+6b， 长方形的周长：2（3a+2a+6b） ＝10a+12b， 故答案为：10a+12b． 【考点评析】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则，根据长方形的面积公式求出长方形的宽是解题关键． 9．（2024秋•凉州区期末）已知x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣3，求x2+y2﹣2xy的值． 【思路点拨】由x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝3，整理得出y﹣x＝3，进一步根据完全平方公式分解代数式，整体代入求得答案即可． 【规范解答】解：∵x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣3， ∴x2﹣x﹣x2+y＝﹣3， ∴x﹣y＝3， ∴x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝32＝9． 【考点评析】此题考查单项式乘多项式的灵活运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键，注意整体代入思想的渗透． 10．（2024秋•榆树市期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2；（请将结果化为最简） （2）若a＝2，b＝4，求出此时种植区的总面积S2． 【思路点拨】（1）观察图形可知：小路是边长为a米，这条边上的高为（a+4b）米的平行四边形，利用平行四边形的面积公式，列出算式进行计算，再利用平移的方法可知，阴影部分通过平移形成一个长为（a+4b）米，宽为（a+3b﹣a）米的长方形，根据长方形面积公式，列出算式进行计算； （2）把a＝2，b＝4代入种植区的总面积S2进行计算即可． 【规范解答】解：（1）S1＝a（a+4b） ＝（a2+4ab）平方米， S2＝（a+3b﹣a）（a+4b） ＝3b（a+4b） ＝（3ab+12b2）平方米； （2）当a＝2，b＝4时， S2＝3×2×4+12×42 ＝3×2×4+12×16 ＝24+192 ＝216（平方米）， 答：此时种植区的总面积S2为216平方米． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是识别图形，理解图形的变化特征，列出正确的算式． 11．（2025•沙坪坝区校级开学）（1）已知2x+3y﹣3＝0，求4x•8y的值； （2）若多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项，求a和b的值． 【思路点拨】（1）根据同底数幂的乘法运算的逆运算求解即可； （2）根据多项式乘多项，再根据不含某项，让该项的系数为0，列式求解即可． 【规范解答】解：（1）根据题意可知，2x+3y＝3， ∵4x•8y＝22x•23y＝22x+3y， ∴22x+3y ＝23 ＝8； （2）多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项， ∴（x+1）（ax2+bx+2） ＝ax3+bx2+2x+ax2+bx+2 ＝ax3+（a+b）x2+（2+b）x+2， ∴a+b＝0，2+b＝0， 解得a＝2，b＝﹣2． 【考点评析】本题主要考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法的，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 12．（2024秋•集宁区期末）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果8x＝25，求x的值； （2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值； （3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【思路点拨】（1）根据幂的乘方运算法则把8x化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答； （3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可． 【规范解答】解：（1）8x＝（23）x＝23x＝25， ∴3x＝5， 解得x； （2）∵2x+2+2x+1＝24， ∴2x（22+2）＝24， ∴2x＝4， ∴x＝2； （3）∵x＝5m﹣3， ∴5m＝x+3， ∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m ＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣5． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形是关键． 13．（2024秋•宁江区校级期末）计算：a3•a5+（a2）4+（﹣2a4）2． 【思路点拨】根据同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则进行运算，然后把结果合并同类项即可． 【规范解答】解：a3•a5+（a2）4+（﹣2a4）2 ＝a8+a8+4a8 ＝6a8． 【考点评析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握这些法则是解题的关键． 14．（2024春•余姚市期中）已知x2+y2＝9，x+y＝4，求下列代数式的值： （1）xy； （2）（x﹣3）（y﹣3）． 【思路点拨】（1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【规范解答】解：（1）∵x2+y2＝9，x+y＝4， ∴xy ； （2）（x﹣3）（y﹣3） ＝xy﹣3x﹣3y+9 ＝xy﹣3（x+y）+9 ． 【考点评析】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 15．（2024春•天宁区校级期中）定义一种新运算：x※y＝3x×3y． （1）求2※5的值（结果保留幂的形式）； （2）求1※（4x﹣3）＝9，求x的值． 【思路点拨】（1）根据已知条件中的新定义，进行计算即可； （2）根据已知条件中的新定义列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【规范解答】解（1）∵x※y＝3x×3y， ∴2※5 ＝32×35 ＝37； （2）∵x※y＝3x×3y， ∴1※（4x﹣3） ＝31×34x﹣3 ＝34x﹣2， ∵1※（4x﹣3）＝9＝32， ∴4x﹣2＝2， 解得：x＝1． 【考点评析】本题主要考查了新定义运算，同底数幂的乘法，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 培优拔尖真题练 16．（2024秋•大余县期末）下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2 【思路点拨】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：a2•a3＝a5，故A符合题意； （a2）3＝a6，故B不符合题意； （a2b）3＝a6b3，故C不符合题意； a6÷a3＝a3，故D不符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 17．（2024秋•饶平县期末）下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．a3•a2＝a6 C．a3+a2＝a5 D．（﹣a3）2＝a5 【思路点拨】各项计算得到结果，即可作出判断． 【规范解答】解：A、原式＝a，符合题意； B、原式＝a5，不符合题意； C、原式不能合并同类项，不符合题意； D、原式＝a6，不符合题意， 故选：A． 【考点评析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（2024春•新城区校级期中）已知4x＝a，8y＝b，32z＝c且2ab＝c，则x，y，z三者之间的数量关系是（　　） A．x+y＝z B．xy＝z C．2x+3y＝5z D．2x+3y+1＝5z 【思路点拨】根据题意得出2ab＝22x+3y+1，c＝25z，再根据2ab＝c即可得出答案． 【规范解答】解：∵4x＝a，8y＝b，32z＝c且2ab＝c， ∴2ab＝2×4x×8y＝2×（22）x×（23）y＝22x+3y+1， c＝32z＝（25）z＝25z， ∴2x+3y+1＝5z， 故选：D． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，灵活运用同底数幂的乘法、幂的乘方是解题的关键． 19．（2024春•江南区校级期中）若一列有序数对按如下规律排列：（1，4），（2，8），（3，16），（4，32），⋯，根据这个规律，则第20个有序数对是（　　） A．（20，219） B．（20，220） C．（20，221） D．（20，222） 【思路点拨】根据所给有序数对，数对中第一个数的后一个数比前一个数多1，第二个数的后一个数是前一个数的2倍，即可解答． 【规范解答】解：在有序数对中，第一个数是1，2，3，4，……， 第二个数是4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，……， ∴第n个有序数对是（n，2n+1）， ∴第20个有序数对是（20，221）． 故选：C． 【考点评析】本题考查数字变化的规律，发现规律是关键． 20．（2025•杭州开学）（1）若am＝6，an＝2，则am﹣2n的值为 　　； （2）若256x＝23•211，则x＝ 　　． 【思路点拨】（1）利用同底数幂的除法逆运算及幂的乘方的逆运算计算即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）（28）x＝214， ∴28x＝214， ∴8x＝14， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 21．（2024秋•孝南区期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝　11　． 【思路点拨】根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，分别代入解答即可． 【规范解答】解：因为x﹣y＝3，xy＝1， 则x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2＝11， 故答案为：11 【考点评析】此题考查完全平方公式问题，关键是根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy代入解答． 22．（2024秋•新城区期末）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒．若把数字0.00000023用科学记数法表示为2.3×10n的形式，则n＝　﹣7　． 【思路点拨】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【规范解答】解：0.00000023科学记数法表示为2.3×10﹣7， ∴n＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【考点评析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 23．（2024秋•成都期末）已知2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y的值为　　． 【思路点拨】根据同底数的幂的除法法则把所求的式子化成2x÷4y然后代入求解即可． 【规范解答】解：原式＝2x÷22y＝2x÷4y． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了同底数的幂的除法法则以及幂的乘方法则，正确对所求式子进行变形是关键． 24．（2024春•新城区校级期中）如图，某学校有一块空地GBCDF，其中四边形ABCD是长方形，且AD＝10米，四边形GAEF，EHCD都是正方形，学校准备在这两块正方形空地上种植花卉，且它们的面积之和是60平方米，在长方形ABHE上种植草坪，在三角形FED上设计朗读亭，则朗读亭FED的面积是多少？ 【思路点拨】设AE＝x m，则ED＝ym，根据题意得：x+y＝10，x2+y2＝60，再通过变形得出2xy＝100﹣（x2+y2）＝100﹣60＝40，最后求解即可． 【规范解答】解：设AE＝x m，则ED＝y m，根据题意得： x+y＝10，x2+y2＝60， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝100， ∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝100﹣60＝40， ∴（平方米）， ∴朗读亭FED的面积是10平方米． 【考点评析】本题考查乘法公式的应用，审清题意并正确设未知数从而利用完全平方公式解题是解决本题的关键． 25．（2024春•新城区校级期中）已知a2﹣2a﹣1＝0，求（a+1）（a﹣3）的值． 【思路点拨】根据a2﹣2a﹣1＝0得a2﹣2a＝1，整体代入（a+1）（a﹣3）＝a2﹣2a﹣3中计算即可． 【规范解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣2a＝1， ∴（a+1）（a﹣3）＝a2﹣3a+a﹣3＝a2﹣2a﹣3＝1﹣3＝﹣2． 【考点评析】本题考查了代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式及整体代入的思想是解题的关键． 26．（2024春•新华区校级期中）简便运算：20232﹣2024×2022． 【思路点拨】根据平方差公式将原式化为20232﹣（2023+1）（2023﹣1），进而得到20232﹣20232+1即可． 【规范解答】解：原式＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1） ＝20232﹣20232+1 ＝1． 【考点评析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 27．（2024春•裕华区校级期中）已知n为正整数，且x2n＝4，求xn﹣3•x3（n+1）的值． 【思路点拨】由同底数幂的乘法和幂的逆运算可把原式转化为（x2n）2，代入已知计算即可求解． 【规范解答】解：xn﹣3•x3（n+1） ＝xn﹣3+3n+3 ＝x4n ＝（x2n）2 ＝42 ＝16． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算，掌握同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算是解题的关键． 28．（2023秋•邻水县期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长（9a﹣1）m、宽（3b﹣5）m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长（3a+1）m、宽bm的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． （1）求安装健身器材的区域面积； （2）当a＝9，b＝15时，求安装健身器材的区域面积． 【思路点拨】（1）根据安装健身器材的区域面积＝长为（9a﹣1）m、宽为（3b﹣5）m的长方形场地的面积﹣建篮球场的长方形场地的面积，列出算式，进行化简即可； （2）把a＝9，b＝15代入（1）中所求化简后的式子，进行计算即可． 【规范解答】解：（1）由题意得： （9a﹣1）（3b﹣5）﹣b（3a+1） ＝27ab﹣45a﹣3b+5﹣3ab﹣b ＝27ab﹣3ab﹣45a﹣3b﹣b+5 ＝（24ab﹣45a﹣4b+5）m2， 答：安装健身器材的区域面积为（24ab﹣45a﹣4b+5）m2； （2）当a＝9，b＝15时， 安装健身器材的区域面积 ＝24ab﹣45a﹣4b+5 ＝24×9×15﹣45×9﹣4×15+5 ＝3240﹣405﹣60+5 ＝2780， 答：安装健身器材的区域面积为2780m2． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是理解题意，列出算式． 29．（2024春•兴宁市校级月考）计算：（1+2a﹣3b）（1﹣2a﹣3b）． 【思路点拨】先根据平方差公式将原式展开，再利用完全平方公式进行计算，最后进行合并即可． 【规范解答】解：（1+2a﹣3b）（1﹣2a﹣3b） ＝（1﹣3b+2a）（1﹣3b﹣2a） ＝（1﹣3b）2﹣4a2 ＝1﹣6b+9b2﹣4a2． 【考点评析】本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 30．（2024春•苏仙区校级期中）甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙抄漏了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a，b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果． 【思路点拨】先求出甲乙的错误计算，然后根据错误计算，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再把a，b的值代入多项式，进行正确计算即可． 【规范解答】解：∵甲抄错了第一个多项式中a的符号，他的计算为： （2x﹣a）（3x+b）＝6x2+11x﹣10， 6x2+2bx﹣3ax﹣ab＝6x2+11x﹣10， 6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10， 乙抄漏了第二个多项式中x的系数，他的计算为： （2x+a）（x+b）＝2x2﹣9x+10， 2x2+2bx+ax+ab＝2x2﹣9x+10， 2x2+（a+2b）x+ab＝2x2﹣9x+10， ∴， 解得：， ∴正确结果为：（2x+a）（3x+b） ＝（2x﹣5）（3x﹣2） ＝6x2﹣4x﹣15x+10 ＝6x2﹣19x+10． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$