专题01 整式的乘除(思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习专题讲练【2024●新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习专题讲练【2024●新教材】（易错题培优篇） 专题01 整式的乘除 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：（≠0，是正整数）. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 易错知识点01：幂的运算混淆 1. 同底数幂的乘除规则混淆 乘法：学生常误将指数相加的规则与底数相加混淆 除法：同底数幂相除时，易错将指数相减变成底数相减 2. 幂的乘方与积的乘方混淆 幂的乘方：学生可能漏掉括号 积的乘方：仅乘系数未乘变量的指数） 易错知识点02：符号处理错误 1. 底数为相反数时的符号问题 易错知识点03：乘法公式应用错误 1. 平方差公式的误用 公式仅适用于(a+b)(a−b)形式，若遇到类似(a+2)(a−3)，不可强行套用公式，否则会导致错误 识别整体项错误：例如(−2a+3)(−2a−3)中，需将 -2a 视为整体，正确结果为(−2a)²−3²=4a²−9，但可能漏掉负号或系数平方。 2. 完全平方公式的典型错误 漏中间项：如(x−3)²应为x²−6x+9，但学生常漏掉中间项，直接写成x²−9 符号错误：如(a−b)²展开时可能误将中间项符号写反，导致结果错误58。 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 1. 运算顺序混乱 应先算乘除再加减，但可能直接从左到右运算，导致错误 括号展开错误：应先展开平方再乘系数，而非直接乘系数，否则可能漏项或符号错误 2. 步骤跳跃导致错误 多项式除以单项式：如(6x²y−4xy²)÷2xy应逐项除，结果为 3x -2y，但可能漏除第二项的变量或系数78。 未化简直接代入：求值时若未先化简表达式，可能因复杂运算出错 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 1. 零指数幂：a0=1的前提是a≠0，如(x−2)0=1中需明确x≠2，否则可能导致无意义结果 2. 负指数幂：如2−3=，但可能误算为负数 -8 易错知识点06：实际应用中的易错点 1. 变量关系误判 错误建模：例如，题目中说“长方形的长增加3倍，宽减少一半”，学生可能直接写成“长×3，宽÷2”，但“增加3倍”实际是“原长的4倍”，而“减少一半”是“原宽的½”，需注意倍数关系的关键词 单位混淆：若问题中涉及面积或体积单位（如平方米、立方厘米），计算时可能忽略单位的平方或立方关系。 2. 忽略实际限制条件 如“用篱笆围成长方形”问题中，学生可能未检查边长是否为正数，导致出现负数解仍保留答案 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 1. 分配律应用不彻底 漏乘项：例如，展开3x(x−2y+4)时，可能只乘第一项，漏掉后两项，正确应为3x²−6xy+12x，但易错为3x²−2y+4 负号分配错误：如−2(3a−b)应展开为 -6a +2b，但可能错写成 -6a -2b 或漏掉负号 2. 合并同类项时的疏忽 强行合并非同类项：例如，3x²+2x不可合并为5x³，但学生可能误以为次数相近即可相加 符号漏写：如4a−(a−3b)去括号后应为 4a -a +3b =3a +3b，但可能漏掉括号内的负号，导致结果错误 试题满分：100分 难度系数：0.43（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•金华期末）“山茶向阳奋进花香”2024年金华市茶花文化交流周暨婺城区乡村网络文化宣传周启动仪式在古子城保宁门举行．金花茶素有“茶花皇后”的美称，已知金花茶普通花粉的平均直径约为0.00000001339米，数0.00000001339用科学记数法表示为（　　） A．1.339×10﹣7 B．1.339×10﹣8 C．0.1339×10﹣9 D．1.339×10﹣9 2．（2分）（2024春•耒阳市校级期末）下列运算中，正确的是（　　） A．a3•a5＝a15 B．a4b2÷a3b＝ab C．2a2+3a3＝5a5 D．3a2﹣a＝2a 3．（2分）（2024春•潍坊期末）目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为0.0000000000000016m，将0.0000000000000016用科学记数法表示为（　　） A．0.16×10﹣15 B．1.6×10﹣14 C．1.6×10﹣15 D．0.16×10﹣14 4．（2分）（2022春•高新区校级期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（　　） A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2 5．（2分）（2019春•港南区期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（2分）（2020春•于洪区期末）下列计算正确的是（　　） A．x⋅x2＝x2 B．（xy）2＝xy2 C．（x2）5＝x10 D．x2+x2＝x4 7．（2分）（2024春•紫金县期末）华为自主研发芯片推动了中国科技产业的发展和企业创新能力的增强，华为麒麟985芯片更是突破7nm（1nm＝0.000001mm）制程工艺，将数据“7nm”用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣6mm B．7×10﹣5mm C．0.7×10﹣6mm D．0.7×10﹣5mm 8．（2分）（2024春•鼓楼区校级期末）计算（﹣x2）（﹣x）2的结果是（　　） A．0 B．﹣x4 C．x4 D．x22 9．（2分）（2019春•港南区期末）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 10．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（　　） A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等 B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等 C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等 D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•天元区校级期末）若 （x2﹣mx+8）（x2+3x﹣n）的展开式中不含x2和x3项，则m”的值为 　 　 ． 12．（2分）（2024春•常州期末）2024年，常州率先推出全域马拉松，打造“一区一马一特色”的群众体育路跑赛事品牌．为确保运动员在长时间运动中保持舒适状态，制作马拉松运动服装的材料需要具有轻便、透气、吸汗等特点，其中，聚酯纤维是最常用的材料之一，聚酯纤维的直径通常在0.00001～0.00002米之间．数据0.00001用科学记数法表示为 　 　 ． 13．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；… 根据前面的规律，回答问题： 当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝　 　 ． 14．（2分）（2022春•江北区校级期末）计算：（﹣2）2021×（）2022＝　 　 ． 15．（2分）（2014春•苏州期末）若x＝2m﹣1，y＝1+4m+1，用含x的代数式表示y为　 　 ． 16．（2分）（2020春•南岸区期末）观察下列各式及其展开式： （a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， … 根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是　 　 17．（2分）（2020春•东城区期末）当n取正整数时，（1+x）n的展开式中每一项的系数可以表示成如下形式： （1）观察上面数表的规律，若（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝　 　 ； （2）（1+x）7的展开式中每一项的系数和为　 　 ． 18．（2分）（2020春•玉门市期末）若102•10n﹣1＝106，则n的值为　 　 ． 19．（2分）（2021春•天桥区期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b为整数，则m的值一共有 　 　 种可能． 20．（2分）（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化简结果是 　 　 ；若（a，b）乘以（b，a）的结果为9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，则a+b的值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2020春•吴中区期末）已知关于x、y的方程组（m为常数）． （1）计算：x2﹣4y2＝　 　 （用含m的代数式表示）； （2）若（a2）x÷（ay）3＝a6（a是常数a≠0），求m的值； （3）若m为正整数，满足0＜n≤|x﹣y|的正整数n有且只有8个，求m的值． 22．（6分）（2022春•新都区期末）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方 形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 23．（8分）（2022春•沙坪坝区校级期末）由整式乘法可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式性质可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）我们把这种由一个多项式分解成几个整式乘积形式的变形过程称作因式分解，如果一个正整数m能写成m＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），我们称这个数m为“平方差数”，例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或．根据等式性质把上下两式相加可得2a＝9或2a＝6，因为a，b均为正整数，所以2a为偶数，则2a＝9应舍去，从而解得，所以8是“平方差数”； （1）请把整式x2﹣4y2和（2m+n）2﹣m2进行因式分解； （2）如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数． 24．（8分）（2024春•青龙县期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 25．（8分）（2023春•清苑区期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式x+a，x+b，x+c，x+d（a，b，c，d是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项 式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式x+1，x+2，x+5，x+6，因为（x+1）（x+6）﹣（x+2）（x+5）＝（x2+7x+6）﹣（x2+7x+10）＝﹣4 ，所以多项式x+1，x+2，x+5，x+6是一组平衡多项式，其平衡因子为|﹣4|＝4． 任务： （1）小明发现多项式x+3，x+4，x+6，x+7是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6），根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； A．判断多项式x﹣1，x﹣2，x﹣4，x﹣5是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． B．若多项式x+2，x﹣4，x+1，x+m（m是常数）是一组平衡多项式，求m的值． 26．（8分）（2021春•奉化区校级期末）（1）已知a2+b2＝10，a+b＝4，求a﹣b的值． （2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m化简后不含x2项与常数项，且an2+mn＝1，求2n3+5n2﹣5n+2022的值． 27．（8分）（2024春•常州期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　 　 .如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　 　 的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 　 　 ； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　 　 ； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 28．（8分）（2024春•牡丹区期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图②中的几何图形的面积来表示． （1）请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式　 　 ； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2； （3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习专题讲练【2024●新教材】（易错题培优篇） 专题01 整式的乘除 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：（≠0，是正整数）. 【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 【高频考点精讲】 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 易错知识点01：幂的运算混淆 1. 同底数幂的乘除规则混淆 乘法：学生常误将指数相加的规则与底数相加混淆 除法：同底数幂相除时，易错将指数相减变成底数相减 2. 幂的乘方与积的乘方混淆 幂的乘方：学生可能漏掉括号 积的乘方：仅乘系数未乘变量的指数） 易错知识点02：符号处理错误 1. 底数为相反数时的符号问题 易错知识点03：乘法公式应用错误 1. 平方差公式的误用 公式仅适用于(a+b)(a−b)形式，若遇到类似(a+2)(a−3)，不可强行套用公式，否则会导致错误 识别整体项错误：例如(−2a+3)(−2a−3)中，需将 -2a 视为整体，正确结果为(−2a)²−3²=4a²−9，但可能漏掉负号或系数平方。 2. 完全平方公式的典型错误 漏中间项：如(x−3)²应为x²−6x+9，但学生常漏掉中间项，直接写成x²−9 符号错误：如(a−b)²展开时可能误将中间项符号写反，导致结果错误58。 易错知识点04：整式乘除的运算顺序与步骤跳跃 1. 运算顺序混乱 应先算乘除再加减，但可能直接从左到右运算，导致错误 括号展开错误：应先展开平方再乘系数，而非直接乘系数，否则可能漏项或符号错误 2. 步骤跳跃导致错误 多项式除以单项式：如(6x²y−4xy²)÷2xy应逐项除，结果为 3x -2y，但可能漏除第二项的变量或系数78。 未化简直接代入：求值时若未先化简表达式，可能因复杂运算出错 易错知识点05：零指数与负指数幂的条件忽略 1. 零指数幂：a0=1的前提是a≠0，如(x−2)0=1中需明确x≠2，否则可能导致无意义结果 2. 负指数幂：如2−3=，但可能误算为负数 -8 易错知识点06：实际应用中的易错点 1. 变量关系误判 错误建模：例如，题目中说“长方形的长增加3倍，宽减少一半”，学生可能直接写成“长×3，宽÷2”，但“增加3倍”实际是“原长的4倍”，而“减少一半”是“原宽的½”，需注意倍数关系的关键词 单位混淆：若问题中涉及面积或体积单位（如平方米、立方厘米），计算时可能忽略单位的平方或立方关系。 2. 忽略实际限制条件 如“用篱笆围成长方形”问题中，学生可能未检查边长是否为正数，导致出现负数解仍保留答案 易错知识点07：多项式展开中的细节错误 1. 分配律应用不彻底 漏乘项：例如，展开3x(x−2y+4)时，可能只乘第一项，漏掉后两项，正确应为3x²−6xy+12x，但易错为3x²−2y+4 负号分配错误：如−2(3a−b)应展开为 -6a +2b，但可能错写成 -6a -2b 或漏掉负号 2. 合并同类项时的疏忽 强行合并非同类项：例如，3x²+2x不可合并为5x³，但学生可能误以为次数相近即可相加 符号漏写：如4a−(a−3b)去括号后应为 4a -a +3b =3a +3b，但可能漏掉括号内的负号，导致结果错误 试题满分：100分 难度系数：0.43（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A C A B C A 1．（2分）（2024春•金华期末）“山茶向阳奋进花香”2024年金华市茶花文化交流周暨婺城区乡村网络文化宣传周启动仪式在古子城保宁门举行．金花茶素有“茶花皇后”的美称，已知金花茶普通花粉的平均直径约为0.00000001339米，数0.00000001339用科学记数法表示为（　　） A．1.339×10﹣7 B．1.339×10﹣8 C．0.1339×10﹣9 D．1.339×10﹣9 解：0.00000001339＝1.339×10﹣8． 故选：B． 2．（2分）（2024春•耒阳市校级期末）下列运算中，正确的是（　　） A．a3•a5＝a15 B．a4b2÷a3b＝ab C．2a2+3a3＝5a5 D．3a2﹣a＝2a 解：A、a3•a5＝a8，故A不符合题意； B、a4b2÷a3b＝ab，故B符合题意； C、2a2与3a3不能合并，故C不符合题意； D、3a2与﹣a不能合并，故D不符合题意； 故选：B． 3．（2分）（2024春•潍坊期末）目前，全球建成的散裂中子源装备仅有4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为0.0000000000000016m，将0.0000000000000016用科学记数法表示为（　　） A．0.16×10﹣15 B．1.6×10﹣14 C．1.6×10﹣15 D．0.16×10﹣14 解：将0.0000000000000016用科学记数法表示为1.6×10﹣15， 故选：C． 4．（2分）（2022春•高新区校级期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（　　） A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2 解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0． ∴x6﹣1＝0． ∴x6＝1． ∴（x3）2＝1． ∴x3＝±1． ∴x＝±1． 当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0． 当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2． 故选：D． 5．（2分）（2019春•港南区期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 解： •• • ＝1 ． 故选：A． 6．（2分）（2020春•于洪区期末）下列计算正确的是（　　） A．x⋅x2＝x2 B．（xy）2＝xy2 C．（x2）5＝x10 D．x2+x2＝x4 解：x⋅x2＝x1+2＝x3， 故A不正确，不符合题意． （xy）2＝x2y2， 故B不正确，不符合题意． （x2）5＝x2×5＝x10， 故C正确，符合题意． x2+x2＝2x2， 故D不正确，不符合题意． 故选：C． 7．（2分）（2024春•紫金县期末）华为自主研发芯片推动了中国科技产业的发展和企业创新能力的增强，华为麒麟985芯片更是突破7nm（1nm＝0.000001mm）制程工艺，将数据“7nm”用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣6mm B．7×10﹣5mm C．0.7×10﹣6mm D．0.7×10﹣5mm 解：7nm＝7×0.000001mm＝7×10﹣6mm． 故选：A． 8．（2分）（2024春•鼓楼区校级期末）计算（﹣x2）（﹣x）2的结果是（　　） A．0 B．﹣x4 C．x4 D．x22 解：（﹣x2）（﹣x）2 ＝﹣x2•x2 ＝﹣x4． 故选：B． 9．（2分）（2019春•港南区期末）已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 解：∵x＝3y+5， ∴x﹣3y＝5， 两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25， 又∵x2﹣7xy+9y2＝24， 两式相减，可得xy＝1， ∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5， 故选：C． 10．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（　　） A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等 B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等 C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等 D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等 解：（x+a）（2x+b） ＝2x2+bx+2ax+ab ＝2x2+（b+2a）x+ab， （2x+a）（x+b） ＝2x2+2bx+ax+ab ＝2x2+（2b+a）x+ab， ∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q， ∴p＝b+2a，q＝2b+a， ∵p+q＝6，且p，q均为正整数， ∴b+2a+2b+a＝6， 整理得：a+b＝2． 又p＝b+2a，q＝2b+a， ∴p＝a+2，q＝b+2． ∴a＝p﹣2，b＝q﹣2． ∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1． ∵p，q均为正整数， ∴p的取值为1，2，3，4，5． ∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3． ∵a＝p﹣2，b＝q﹣2， ∴1（q≠2）． ∵p，q均为正整数， ∴q的取值为1，2，3，4，5． ∴的最大值为1，的最小值为﹣3． 故选项A正确，符合题意． 故选：A． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024春•天元区校级期末）若 （x2﹣mx+8）（x2+3x﹣n）的展开式中不含x2和x3项，则m”的值为 　　 ． 解：（x2﹣mx+8）（x2+3x﹣n） ＝x4+3x3﹣nx2﹣mx3﹣3mx2+mnx+8x2+24x﹣8n ＝x4+（3﹣m）x3+（﹣n﹣3m+8）x2+（mn+24）x﹣8n， 由题意得，3﹣m＝0且﹣n﹣3m+8＝0， 解得m＝3，n＝﹣1， ∴mn＝3﹣1， 故答案为：． 12．（2分）（2024春•常州期末）2024年，常州率先推出全域马拉松，打造“一区一马一特色”的群众体育路跑赛事品牌．为确保运动员在长时间运动中保持舒适状态，制作马拉松运动服装的材料需要具有轻便、透气、吸汗等特点，其中，聚酯纤维是最常用的材料之一，聚酯纤维的直径通常在0.00001～0.00002米之间．数据0.00001用科学记数法表示为 　1×10﹣5　 ． 解数据0.00001用科学记数法表示为1×10﹣5． 故答案为：1×10﹣5． 13．（2分）（2023春•东阿县期末）探索题： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；… 根据前面的规律，回答问题： 当x＝3时，（32023+32022+32021+…+33+32+3+1）＝　　 ． 解：根据规律可得： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1， ∴， ∴32023+32022+32021+…+33+32+3+1． 故答案为：． 14．（2分）（2022春•江北区校级期末）计算：（﹣2）2021×（）2022＝　　 ． 解：（﹣2）2021×（）2022 ＝﹣22021×（）2021 ＝﹣（2）2021 ＝﹣1 ． 故答案为：． 15．（2分）（2014春•苏州期末）若x＝2m﹣1，y＝1+4m+1，用含x的代数式表示y为　y＝4（x+1）2+1　 ． 解：∵4m+1＝22m×4＝（2m）2×4，x＝2m﹣1， ∴2m＝x+1， ∵y＝1+4m+1， ∴y＝4（x+1）2+1， 故答案为：y＝4（x+1）2+1． 16．（2分）（2020春•南岸区期末）观察下列各式及其展开式： （a+b）2＝a2+2ab+b2， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， … 根据其中的规律，请你猜想（a+b）7的展开式中第四项的系数是　35　 解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …… 依据规律可得到： （a+b）5的系数为1，5，10，10，5，1， （a+b）6的系数为1，6，15，20，15，6，1， （a+b）7的系数为1，7，21，35，35，21，7，1． 所以（a+b）7的展开式中第四项的系数是35， 故答案为：35． 17．（2分）（2020春•东城区期末）当n取正整数时，（1+x）n的展开式中每一项的系数可以表示成如下形式： （1）观察上面数表的规律，若（1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝　20　 ； （2）（1+x）7的展开式中每一项的系数和为　27　 ． 解：（1）由题意可得， （1+x）6＝1+6x+15x2+ax3+15x4+6x5+x6，则a＝20； （2）∵当n＝1时，多项式（1+x）1展开式的各项系数之和为：1+1＝2＝21， 当n＝2时，多项式（1+x）2展开式的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22， 当n＝3时，多项式（1+x）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23， 当n＝4时，多项式（1+x）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1＝16＝24， … ∴多项式（1+x）7展开式的各项系数之和＝27． 故答案为：20，27． 18．（2分）（2020春•玉门市期末）若102•10n﹣1＝106，则n的值为　5　 ． 解：∵102•10n﹣1＝106， ∴102+n﹣1＝106， ∴2+n﹣1＝6， 解得n＝5， 故答案为：5． 19．（2分）（2021春•天桥区期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b为整数，则m的值一共有 　5　 种可能． 解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16， ∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16． ∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16． ∴a+b＝m，ab＝﹣16． 又∵a、b为整数， ∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16． 当a＝1时，b＝﹣16，则a+b＝﹣15． 当a＝﹣1时，b＝16，则a+b＝15． 当a＝2时，b＝﹣8，则a+b＝﹣6． 当a＝﹣2时，b＝8，则a+b＝6． 当a＝4时，b＝﹣4，则a+b＝0． 当a＝﹣4时，b＝4，则a+b＝0． 当a＝8时，b＝﹣2，则a+b＝6． 当a＝﹣8时，b＝2，则a+b＝﹣6． 当a＝16时，b＝﹣1，则a+b＝15． 当a＝﹣16时，b＝1，则a+b＝﹣15． 综上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0． 故答案为：5． 20．（2分）（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化简结果是 　2x2+5x+2　 ；若（a，b）乘以（b，a）的结果为9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，则a+b的值为 　±2　 ． 解：（1）（1，2）＝（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2， 故答案为：2x2+5x+2． （2）（a，b）＝（ax+b）（bx+a），（b，a）＝（bx+a）（ax+b）； ∴（a，b）（b，a）＝（ax+b）2（bx+a）2＝a2b2x4+（2a3b+2ab3）x3+（a4+4a2b2+b4）x2+（2a3b+2ab3）x+a2b2， ∴a2b2＝9，ab＝±3， 2a3b+2ab3＝﹣60，即2ab（a2+b2）＝﹣60， ∴ab＝﹣3， ∴﹣3×2（a2+b2）＝﹣60， a2+b2＝10， （a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+2×（﹣3）＝4， ∴a+b＝±2． 故答案为：±2． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2020春•吴中区期末）已知关于x、y的方程组（m为常数）． （1）计算：x2﹣4y2＝　8m　 （用含m的代数式表示）； （2）若（a2）x÷（ay）3＝a6（a是常数a≠0），求m的值； （3）若m为正整数，满足0＜n≤|x﹣y|的正整数n有且只有8个，求m的值． 解：（1）x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y）＝4×2m＝8m， 故答案为：8m； （2）∵（a2）x÷（ay）3＝a6（a是常数a≠0）， ∴a2x÷a3y＝a6， a2x﹣3y＝a6， ∴2x﹣3y＝6⑤， ， ①+②得：2x＝2m+4， x＝m+2③， ①﹣②得：4y＝2m﹣4， ym﹣1④， 把③④代入⑤得：2（m+2）﹣3（m﹣1）＝6， 解得：m＝﹣2； （3）由（2）知：， ∴x﹣y＝m+2﹣（m﹣1）m+3， ∵0＜n≤|x﹣y|， ∴0＜n≤||， ∵正整数n有且只有8个， ∴8≤|m+3|＜9， ∴8m+3＜9或﹣9m+3≤﹣8， ∴10≤m＜12，﹣24＜m≤﹣22， ∵m为正整数， ∴m＝10或11． 22．（6分）（2022春•新都区期末）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方 形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 解：（1）图2中阴影部分的面积为：（y﹣x）2， 还可以表示为：y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2． （2）①∵（a﹣b）2＝4， ∴a﹣b＝±2， ∵a＞b， ∴a﹣b＝2， ∵b2＝9， ∴b＝±3， ∴a＝b+2＝5或﹣1， ∴a2＝25或1． ②设a＝1﹣2022x，b＝2022x， 则a+b＝1，2ab＝﹣2021， ∴原式＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1+2021 ＝2022． 23．（8分）（2022春•沙坪坝区校级期末）由整式乘法可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式性质可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）我们把这种由一个多项式分解成几个整式乘积形式的变形过程称作因式分解，如果一个正整数m能写成m＝a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），我们称这个数m为“平方差数”，例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或．根据等式性质把上下两式相加可得2a＝9或2a＝6，因为a，b均为正整数，所以2a为偶数，则2a＝9应舍去，从而解得，所以8是“平方差数”； （1）请把整式x2﹣4y2和（2m+n）2﹣m2进行因式分解； （2）如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数． 解：（1）x2﹣4y2＝x2﹣（2y）2＝（x+2y）（x﹣2y）， （2m+n）2﹣m2＝（2m+n+m）（2m+n﹣m）＝（3m+n）（m+n）； （2）设该三位数十位上的数字为x，则其各个数位上的数字之和为1+x+（x+3）＝2x+4＝2（x+2）， 由2（x+2）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或， 可得2a＝x+4， ∴x是偶数， 当x＝0时， 根据等式性质把上下两式相减可得2b＝0， 解得b＝0， ∵a，b均为正整数 ∴x＝0不符合题意； 当x＝2，x+3＝5， ∴该三位数是125， x＝4，x+3＝7， ∴该三位数是147； 当x＝6时，x+3＝9， ∴该三位数是169， ∴所有符合条件的三位数为125，147或169． 24．（8分）（2024春•青龙县期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 解：（1）S1＝b（3a+1）＝3ab+b（平方米）， S2＝5a×2b﹣b（3a+1）＝7ab﹣b（平方米）； （2）当a＝9米，b＝15米时， S1＝3×9×15+15＝420（平方米）， S2＝7×9×15﹣15＝930（平方米）； （3）M＝420×100+930×50＝88500（元）． 25．（8分）（2023春•清苑区期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式x+a，x+b，x+c，x+d（a，b，c，d是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项 式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式x+1，x+2，x+5，x+6，因为（x+1）（x+6）﹣（x+2）（x+5）＝（x2+7x+6）﹣（x2+7x+10）＝﹣4 ，所以多项式x+1，x+2，x+5，x+6是一组平衡多项式，其平衡因子为|﹣4|＝4． 任务： （1）小明发现多项式x+3，x+4，x+6，x+7是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6），根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； A．判断多项式x﹣1，x﹣2，x﹣4，x﹣5是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． B．若多项式x+2，x﹣4，x+1，x+m（m是常数）是一组平衡多项式，求m的值． 解：（1）（x+3）（x+7）﹣（x+4）（x+6） ＝x2+10x+21﹣x2﹣10x﹣24 ＝﹣3， ∴|﹣3|＝3， ∴该组平衡多项式的平衡因子是3； A、多项式x﹣1，x﹣2，x﹣4，x﹣5是一组平衡多项式； ∵（x﹣1）（x﹣5）﹣（x﹣2）（x﹣4） ＝x2﹣6x+5﹣x2+6x﹣8 ＝﹣3， ∴该组平衡多项式的平衡因子是|﹣3|＝3； B、若多项式x+2，x﹣4，x+1，x+m（m是常数）是一组平衡多项式，有三种情况， ①（x+2）（x﹣4）﹣（x+1）（x+m） ＝x2﹣2x﹣8﹣x2﹣（1+m）x﹣m ∵是一组平衡多项式， ∴﹣2﹣（1+m）＝0， ∴m＝﹣3； ②（x+2）（x+1）﹣（x﹣4）（x+m） ＝x2+3x+2﹣x2﹣（m﹣4）x+4m ∵是一组平衡多项式， ∴3﹣（m﹣4）＝0， ∴m＝7； ③（x+2）（x+m）﹣（x+1）（x﹣4） ＝x2+（2+m）x+2m﹣x2+3x+4 ∵是一组平衡多项式， ∴2+m﹣3＝0， ∴m＝﹣5， 综上所述：m的值为﹣3或7或﹣5． 26．（8分）（2021春•奉化区校级期末）（1）已知a2+b2＝10，a+b＝4，求a﹣b的值． （2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m化简后不含x2项与常数项，且an2+mn＝1，求2n3+5n2﹣5n+2022的值． 解：（1）∵a2+b2＝10，a+b＝4． ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab． ∴2ab＝16﹣10＝6． ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4． ∴a﹣b＝±2． （2）∵（ax﹣3）（2x+1）﹣2x2+m ＝2ax2+ax﹣6x﹣3﹣2x2+m ＝（2a﹣2）x2+（a﹣6）x+m﹣3． ∵不含x2项与常数项． ∴2a﹣2＝0，m﹣3＝0． ∴a＝1，m＝3． ∵an2+mn＝1． ∴n2+3n＝1． ∴2n3+5n2﹣5n+2022＝2n3+6n2﹣n2﹣5n+2022． ＝2n（n2+3n）﹣n2﹣5n+2022 ＝2n﹣n2﹣5n+2022 ＝﹣（n2+3n）+2022 ＝﹣1+2022 ＝2021． 27．（8分）（2024春•常州期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是（6﹣x）． ①当0＜x＜3时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是 　3﹣x　 .如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为 　3﹣x　 的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式x（6﹣x）、9、（3﹣x）2满足的等量关系是 　x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2　 ； ②当3＜x＜6时，类似上述过程进行割补； ③当x＝3时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 　9　 ； （2）【方法迁移】 当﹣2＜x＜6时，仿照上述割补过程，求代数式（6﹣x）（4+2x）的最大值． 解：（1）①∵原来长方形的边长分别为x，6﹣x，长方形B的一边长是x， ∴长方形B相邻一边长＝6﹣x﹣3＝3﹣x． ∴阴影部分是一个边长为3﹣x的正方形． ∵图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差， ∴x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2． 故答案为：3﹣x，3﹣x，x（6﹣x）＝9﹣（3﹣x）2． ②当3＜x＜6时，用类似①的方法进行割补， 可以得到x（6﹣x）＝9﹣（x﹣3）2， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是 9． （2）解：依题意有（6﹣x）（4+2x）＝2（6﹣x）（2+x），当﹣2＜x＜2时，如图，阴影部分是边长为（2﹣x）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（2﹣x）2＝16﹣（2﹣x）2， 当2＜x＜6时，如图，阴影部分是边长为（x﹣2）的正方形， ∴（6﹣x）（2+x）＝42﹣（x﹣2）2＝16﹣（x﹣2）2， 当x＝2时，该长方形为边长是4的正方形， ∴边长是（6﹣x）和（2+x）的长方形的最大面积是16， ∴（6﹣x）（4+2x）的最大值为2×16＝32． 28．（8分）（2024春•牡丹区期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则．例如，平方差公式可以用图形①来解释．实际上还有些代数式恒等式也可以用这种形式表示，例如，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图②中的几何图形的面积来表示． （1）请写出图③中的几何图形所表示的代数恒等式　（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2　 ； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2； （3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之相对应的几何图形． 解：（1）根据图形可得： （2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2； （2）画图如下（答案不唯一）： （3）恒等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，如图所示（答案不唯一）． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$