解答03 圆锥曲线（十二大考点训练+真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答03 圆锥曲线 【考点01 轨迹问题】 【例1】平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． (1)求的方程； 【例2】已知点，直线，动点到直线的距离为，且. (1)求动点的轨迹方程，并说明是什么曲线； 【变式1-1】已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； 【变式1-2】已知点及直线，点为直线上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹的方程； 【变式1-3】已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【考点02 定点问题】 【例3】已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【例4】已知椭圆 ，离心率，它的长轴长等于圆的直径. (1)求椭圆 的方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点 ，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？ 【变式2-1】已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)时，求线段的长度的最小值； (3)若抛物线上存在一定点D，使得以为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 【变式2-2】已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与轴的交点，且点在的上方． (1)求的方程； (2)若过的直线与交于另一点（异于点），作，为垂足，直线，的斜率分别为，证明：； (3)若点在上，且，证明直线过定点，并求面积的最大值． 【变式2-3】已知双曲线的实轴长为4，离心率为． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为，若点为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点（不与重合），则直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【考点03 定直线问题】 【例5】已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长； (3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【例6】已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【变式3-1】抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【变式3-2】设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点P，且它们的斜率之积为4．记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C于A，B两点（A，B两点在y轴右侧），在线段AB上取异于A，B的点D，且满足，证明：点D在定直线上． 【变式3-3】动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 【考点04 定值问题】 【例7】已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点（均异于点），且直线与的斜率之和为0．证明：直线的斜率为定值，并求出该定值． 【例8】已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【变式4-1】如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 【变式4-2】已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由. 【变式4-3】在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离与直线的距离相等．直线过点交曲线于、两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程？若不存在，请说明理由． 【考点05 最值问题】 【例9】已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【例10】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的另一个交点为，求面积的最小值. 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，点是椭圆上且在第三象限内的一点. （i）若的面积为，求点的坐标； （ii）记直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形面积的最大值. 【变式5-2】已知双曲线左焦点为；点在上． (1)求的方程； (2)已知的右顶点为，圆与直线交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与交于两点．当点到直线的距离最大时，求的值． 【变式5-3】已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 【考点06 取值范围问题】 【例11】已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【例12】已知椭圆：过点，离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点； （i）若点M为线段AB的中点，求直线l的方程； （ii）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 【变式6-1】已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【变式6-2】已知椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，过的动直线交椭圆于P，Q两点，其中的最大值为，最小值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围. 【变式6-3】已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【考点07 向量问题】 【例13】已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 【例14】已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【变式7-1】己知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率． (3)过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式7-2】已知圆锥曲线，左右顶点分别为，过点的直线交曲线于两点（在的左侧）． (1)当离心率时，求的值． (2)当时，是否存在直线使得，若存在，求出直线方程，若不存在说明理由． (3)连接，直线交曲线于另一点，恒成立，求的取值范围． 【变式7-3】已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【考点08 弦长、焦点弦问题】 【例15】已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，其顶点是椭圆的中心，其焦点到其准线的距离等于该椭圆的长半轴长. (1)求抛物线的准线方程； (2)过点的动直线交抛物线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的线段长为定值？如存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 【例16】已知双曲线，离心率，点在双曲线上 (1)求双曲线的标准方程； (2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，，，为一个动点，且直线，的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，，点是上的一点，设为的重心，过点作垂直于轴的直线，求被分成的左、右两个部分图形面积之比的取值范围． 【变式8-2】设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； (3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【考点09 数列在圆锥曲线的应用】 【例17】已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点． (1)求双曲线C的方程； (2)用表示点的坐标； (3)求证：数列是等比数列． 【例18】已知抛物线C：，点在C上.按照如下方式依次构造点、3、：过点作斜率为的直线与C交于点令为关于x轴的对称点，记的坐标为 (1)求弦长； (2)证明：数列是等差数列，并求和； (3)记为的面积，求 【变式9-1】已知双曲线的渐近线方程为，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为1的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为为坐标原点. (1)求的面积； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)分别为线段的中点，记的面积分别为.判断是否为定值，如果是定值，求的值；如果不是，请说明理由. 【变式9-2】已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设. (1)求的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积. 【变式9-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的左支交于两点，点在上，为坐标原点，且（为实数）． (1)若的周长为，求的值． (2)是否存在使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若正项数列满足，点在双曲线上，，求证：． 【考点10 新定义题】 【例19】对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆（，且），则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点. (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之积为. ①证明：且直线过定点. ②试问在轴上是否存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 【例20】若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线具有垂直渐近线；当渐近线L的斜率存在且不为零时，称L为斜渐近线，例如双曲线存在两条斜渐近线． (1)请判断正弦曲线是否存在垂直渐近线或斜渐近线，不必说明理由； (2)证明曲线存在垂直渐近线、斜渐近线； (3)求曲线的渐近线，并作出曲线的简图． 【变式10-1】如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 【变式10-2】在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. (1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. (2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 【变式10-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”． (1)若为“－相伴”，求直线的斜率． (2)若为“－相伴”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【考点11 证明恒等式】 【例21】已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上. (1)求的方程； (2)若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值； (3)若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明： 【例22】已知双曲线的离心率为2，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 【变式11-1】已知椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. (1)求E的方程. (2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （i）若l的倾斜角为45°，求的值； （ii）若P为C的准线上一点，设PA，PB，的斜率分别为，，，证明：为和的等差中项. 【变式11-2】已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若三角形的面积为，求直线的方程； (3)证明：存在实数，使得恒成立. 【变式11-3】已知抛物线的焦点是圆与x轴的一个交点． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【考点12 存在性问题】 【例23】已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【例24】已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式12-1】已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【变式12-2】经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 【变式12-3】已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 1．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆过点，且的右焦点为． (1)求的方程； (2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点． （i）证明：直线平分； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标． 3．（2025·山东菏泽·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为为第一象限内上的一点，直线与的另一个交点为，且. (1)证明：； (2)若求直线被截得的弦长. 4．（2025·河北沧州·一模）经过圆上一点作C的切线l，l与抛物线也相切，P为上一点. (1)求r和p的值； (2)若点，不经过P的直线与交于不同两点A，B（位于x轴两侧），与相交于点D，若直线PA，PB，PD的斜率分别为，，，且为，的等差中项，证明：直线过定点； (3)若O为坐标原点，F为的焦点，求内切圆面积的最大值. 5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. (1)求双曲线的方程. (2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点. （i）证明：. （ii）求的取值范围. 6．（2025·河北保定·一模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点； (3)求面积的最小值. 7．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求曲线的方程； (2)为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 8．（2025·黑龙江·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程. 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； (3)若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 10．（2025·河南安阳·一模）设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点. (1)若且，求直线的方程； (2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点； (3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 11．（2025·贵州毕节·二模）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若过点作直线交于两点，且的面积为，求直线的方程. 12．（2025·四川成都·二模）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，. (1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程. 1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 9．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 解答03 圆锥曲线 【考点01 轨迹问题】 【例1】平面直角坐标系中，双曲线的离心率为． (1)求的方程； 【答案】(1) 【详解】（1）因为，解得，因此，双曲线的方程为. 【例2】已知点，直线，动点到直线的距离为，且. (1)求动点的轨迹方程，并说明是什么曲线； 【答案】(1)，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长，虚轴长均为的等轴双曲线 【详解】（1）设点， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合 即，整理得. 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长，虚轴长均为的等轴双曲线. 【变式1-1】已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； 【答案】(1) 【详解】（1）由题意得， 当时，，平方化简得， 当时，，平方化简得， 由可知，不合题意，舍去， 综上，曲线的方程为； 【变式1-2】已知点及直线，点为直线上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹的方程； 【答案】(1) 【详解】（1）由题设知，，且. 所以点到定点的距离等于到定直线的距离，又因为直线不经过点， 所以由抛物线的定义可知，点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线. 故点的轨迹的方程为：. 【变式1-3】已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【考点02 定点问题】 【例3】已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以， 双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以， 故抛物线的标准方程为：； （2）设直线的方程为，联立，消得，， 方程的判别式，即， 设，则， 设关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上， 令得： ． 直线过定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 【例4】已知椭圆 ，离心率，它的长轴长等于圆的直径. (1)求椭圆 的方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点 ，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)； (2)存在，定点为. 【详解】（1）圆方程可化为， 则圆的直径为，即，， 由得：， 所以椭圆的方程：； （2）过点作斜率为的直线， 可得直线交椭圆的两个交点为， 则以为直径的圆为， 过点作斜率不存在的直线， 可得直线交椭圆的两个交点为， 则以为直径的圆为， 这两个圆的交点为， 所以猜想存在点，使得以 为直径的圆经过这个定点； 设直线 的方程为，与椭圆， 联立方程组得：， 设交点，则， 所以 ， 所以，即以 为直径的圆经过这个定点. 【变式2-1】已知抛物线，动直线l经过定点且与抛物线交于A、B两点． (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)时，求线段的长度的最小值； (3)若抛物线上存在一定点D，使得以为直径的圆恒过点D，求a、b满足的关系式． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2) (3) 【详解】（1）根据抛物线标准方程可得：焦点坐标为，准线方程为． （2）直线AB必不垂直于y轴，所以设AB的方程为， 所以是方程的两根，化简得， 所以 ； 则， 当且仅当时等号成立．所以线段AB长度的最小值为． （3）设，直线AB必不垂直于y轴，所以设 是方程的两根， 所以； 由题意恒成立 所以， 化简得 将式代入即对于一切实数m恒成立， 所以．因此. 【点睛】思路点睛：本题抛物线中满足某条件的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系； ④通过讨论所得关系可确定定点. 【变式2-2】已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与轴的交点，且点在的上方． (1)求的方程； (2)若过的直线与交于另一点（异于点），作，为垂足，直线，的斜率分别为，证明：； (3)若点在上，且，证明直线过定点，并求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【详解】（1）由题可知， 该方程表示焦点在轴上的椭圆，任意两点间的最大距离为长轴长， 所以，解得， 故的方程为． （2）由（1）可知，． 设，则． 因为，所以， 所以． 又，故，即． （3）由题可知直线的斜率存在． 设，，直线的方程为， 联立方程得消去可得， 则，（*）． 因为，所以， 即， 将（*）式代入，可得，即， 解得或（舍去）， 所以的方程为，易知过定点． 因为点到点的距离为， 所以 ， 令，则 ， 当，即时，取得最大值2， 所以面积的最大值为． 【点睛】方法点睛，本题是圆锥曲线的综合题目.在解析几何中已知线线垂直，可以利用斜率乘积为1来建立等式求得参数的值.直线与圆锥曲线产生的交点三角形问题，由直线方程和曲线方程联立整理得到一元二次方程，由韦达定理结合交点弦长公式得到弦长，然后求得三角形的高即可得到三角形面积. 【变式2-3】已知双曲线的实轴长为4，离心率为． (1)求双曲线的标准方程． (2)设双曲线的左、右顶点分别为，若点为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点（不与重合），则直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是，. 【详解】（1）的实轴长为4， ，得， 的离心率为， ，则，又， ， 双曲线的标准方程为． （2）由题可得直线的斜率不为零，设直线的方程为，，， 联立，得，整理得，则，得， 由，故， 且，． 由题，直线与直线的斜率均存在，，，设， 三点共线，，即①， 三点共线，，即②， 得，． 由，得， ， ， ， ， ， ， ，得， 直线的方程为，故直线过定点，且定点坐标为． 【点睛】思路点睛：解析几何中定点问题的实质是当直线或圆或圆锥曲线变化时，这些直线或圆或圆锥曲线相交于一点，即这些直线或圆或圆锥曲线绕着定点转动． 这类问题的求解一般可分为以下三步： ①设参——选择变量，定点问题中的定点不随某一个量的变化而变化，可选择这个量为变量（有时可选择两个变量，如点的坐标，直线的斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中一个变量）； ②用参——求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程； ③消参——对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 【考点03 定直线问题】 【例5】已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长； (3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【详解】（1）因为的周长为8，所以，得. 因为椭圆的离心率为，所以，， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意，，，所以直线的方程是， 设，.由得， 所以，， 所以. （3）设直线l的方程为. 由得，. 设，，，线段AB的中点为H， 则，，. 若△ABP的重心在y轴上，则，即，所以. 由，得， 解得，所以， 因为点P在椭圆上，所以， 解得或.故存在直线l，使得△ABP的重心在y轴上， 其方程为或或. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 【例6】已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 参数法：参数解决定点问题的思路： ①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【变式3-1】抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 【变式3-2】设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点P，且它们的斜率之积为4．记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C于A，B两点（A，B两点在y轴右侧），在线段AB上取异于A，B的点D，且满足，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简整理得， 所以曲线C的方程为； （2）证明：由题意可知，都在第一象限， 作差化简整理得， 而，所以， 设的中点为，所以， 因为曲线C的渐近线方程为，所以， 所以； （3）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，， 联立方程组，整理得， 则，所以，， 因为，同理由， 得化简整理得， 所以，化简整理得， 代入，化简整理得， 所以点D在定直线上. 【点睛】方法点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； (2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式3-3】动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，整理得； （2）①联立与，整理得， 所以，则，所以； ②由①知，，则， 所以的中点为，显然点在定直线上，得证. 【考点04 定值问题】 【例7】已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点（均异于点），且直线与的斜率之和为0．证明：直线的斜率为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析，定值为. 【详解】（1）由题意可知，，解得， 则椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线与的斜率之和不会为0． 设点，直线， 由消去并整理，得， 则， 则 则， 整理，得， 因直线不过点，则，所以. 故直线的斜率为定值，定值为. 【点睛】关键点点睛：本题为圆锥曲线中直线过定点问题，本题的关键在于此二元二次方程的化简问题，该题中求解斜率为定值，故其中为常数必为此二元二次方程的因式，而另一个因式必为题中增根，即. 【例8】已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析；定点； (3)为定值，定值为4 . 【详解】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 【点睛】关键点点睛：第三问，、，设直线并联立抛物线，应用韦达定理得到、，且为关键. 【变式4-1】如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析，定值 【详解】（1）设双曲线C的焦点坐标为， 因为实轴长是虚轴长的2倍，则， 又因为焦点到渐近线的距离为1， 则，可得，解得，， 所以双曲线C的标准方程： （2）当直线l的斜率不存在时， P点为MN的中点； 当直线l的斜率存在时，设直线MN的方程：， 联立方程，得， 因为直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N， 其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点P， 所以，即：， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立方程，解得， 联立方程，解得， 则MN的中点坐标：，即， 代入得，， 所以MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上， 又因为直线l与双曲线C只有一个公共点P， 可知点P为线段MN的中点； 综上所述：点P为线段MN的中点. （3）由题意可知：， 坐标原点到直线l的距离：， 则， 代入得. 所以平行四边形OEPF面积为定值 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数k、m的关系. 【变式4-2】已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 由题意可知，，， 所以，， 整理联立有：， 又因为，，解得，， 所以椭圆方程为. （2）根据已知条件设，设，， 当直线斜率不为时，设直线， 联立，整理得， 需， 即， 由韦达定理有：，， 故 因为为定值，所以， 整理得，解得，此时； 当直线斜率为时，不妨设，，， 此时符合题设， 同理可证当的坐标为时也符合题设， 又恒成立， 所以存在点或使得的值为（定值）. 【变式4-3】在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离与直线的距离相等．直线过点交曲线于、两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）因为曲线上的动点到点的距离与直线的距离相等． 所以，曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，故曲线的方程为 . （2）若直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 由得，可得， 所以，，则，所以，，解得. 因此，直线的方程为. （3）设直线的方程为，线段中点为，直线交于点、， 点到直线的距离为， 又， 所以，， 则， 当时，即，截得弦长为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【考点05 最值问题】 【例9】已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 【例10】已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，. (1)求的方程; (2)若直线与的另一个交点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）由题知 ， 又 轴时，有代入方程解得，， 则双曲线的方程为： ； （2）设直线方程为， ，消去得， 则， 所以， ， 因为， 令，则， 得 设，则该函数在上单调递减，则， 故，，即面积的最小值为12. 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，点是椭圆上且在第三象限内的一点. （i）若的面积为，求点的坐标； （ii）记直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设椭圆的焦距为，由已知得， 所以，所以， 所以椭圆方程为. （2）（i）由可得，因的面积为， 故点到直线的距离为， 设过点且与直线平行的直线方程为，与椭圆联立， 消去，可得，由，解得， 而当时，直线与直线的距离恰为， 即点即为直线与椭圆的切点，将代入， 可得，解得，因为点在第三象限，所以， 故点坐标为. （ii）设，其中，则. 又因为，所以直线， 令，所以，同理. 所以四边形的面积 ， 令， 所以， 令，则，，故， 故当时，，即时， 也即时，四边形的面积取最大值为.    【点睛】关键点点睛：此题有两个关键点：其一，在求得点到直线的距离后，可通过设过点与平行的直线，与椭圆联立，利用求出，结合两平行线的距离公式计算确定点为切点；其二，要善于利用四边形的对角线互相垂直进行表征其面积. 【变式5-2】已知双曲线左焦点为；点在上． (1)求的方程； (2)已知的右顶点为，圆与直线交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与交于两点．当点到直线的距离最大时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，，解得， 所以曲线的方程为． （2） 由（1）知，，设，， 显然直线的斜率存在，设方程为， 联立，得， 所以，，， 因为，令，则， 同理，， 因为圆与直线交于P，Q两点， ， 则，即， 即， 整理得， 即， 整理得， 所以，即或， 若，则过点，不合题意； 若，则．所以，恒过， 所以点到直线的距离，当且仅当，即时取得， 此时方程为，联立，解得， 则， 得， 所以的值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是设方程，再将其联立双曲线方程，得到韦达定理式，由，利用韦达定理式，得到或，得到恒过，再利点到直线的距离，得到方程为，再与双曲线方程联立，即可求解. 【变式5-3】已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5． (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为． （i）证明：直线过定点； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【详解】（1）由题可知，解得. 所以的标准方程为； （2）（i）由（1）知，，且，解得，所以. 设，则，同理可得，， 则，即. 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得. 所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，可得. 综上，直线过定点. （ii）设，当直线斜率存在时， 设直线的方程为， 与抛物线联立得，消去得， 由题意，所以. 所以 ， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 故的最小值为.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【考点06 取值范围问题】 【例11】已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线. 设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是. （2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为， 联立可得：，， 则， . 故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴. （ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以， ， 则， 令，则， 令，则，解得； 令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减， ，所以的取值范围为. 【例12】已知椭圆：过点，离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点； （i）若点M为线段AB的中点，求直线l的方程； （ii）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为， 所以， 解得， 则椭圆的方程为； （2）（i）易知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得 ， 由韦达定理得， 若点为线段的中点，此时， 解得， 则直线的方程为，即； （ii）由题可知， 因为原点总在以为直径的圆外， 所以， 即， 解得 则直线l斜率的取值范围为 【变式6-1】已知双曲线 的离心率为2，点(6，4)在C上，A、B为双曲线的上、下顶点，P为C上支上的动点 (点P 与A不重合)，直线BP和直线. 交于点N ，直线NA交C的上支于点Q. (1)求C的方程; (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2)直线过定点 (3) 【详解】（1），点在上， 故， 又， ，， 的方程为. （2）斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； （3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则， ，， 又结合图像可知 解得： ，， 因为，所以，，， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【变式6-2】已知椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，过的动直线交椭圆于P，Q两点，其中的最大值为，最小值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，，， ，解得， 又，椭圆的方程为. （2） 当直线PQ与x轴不垂直也不平行时， 不妨设直线PQ的方程为，设，， 联立椭圆和直线PQ的方程，可得， 由，则，，， 设直线MN的方程为，设，， 联立椭圆和直线MN的方程，可得， 由，则，，， 又，，，， ，当且仅当时，等号成立，， 当直线PQ与x轴垂直或平行时，此时， 综上所述，的取值范围是. 【变式6-3】已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由题意，，抛物线的方程为； （2）由题意，整理得，设，， 则， ，， ，整理可得， ，解得； （3）设，， 若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线对称，故，可得， 中点的纵坐标为， 将其代入中，可得， 又，化简可得， ，且， 化简可得，要使得上述关于的方程有实根， 当时不合题意， 则，故，或， 即的取值范围为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【考点07 向量问题】 【例13】已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，则； 因此. （2）当时，双曲线，其中， 如下图所示： 因为为等腰三角形，则 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第二象限矛盾，故舍去； 当以为底时，， 设，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 联立，解得或或； 因为点在第二象限，显然不合题意，舍去； 当以为底时，， 设，其中，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 则有解得. 综上所述：点的坐标为. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，可得， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 可得， 则，因为在直线上， 则， 即， 将①②代入有， 即， 所以，代入到，得. 且，解得，则， 因此. 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线对称性，对直线斜率分类讨论并与双曲线联立，根据韦达定理以及向量数量积的坐标表示求出，再解不等式即求出结果. 【例14】已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设短轴的端点为，左右焦点为， 由于是直角三角形，所以，结合， 解得，故， （2）由可得椭圆方程为， 与直线联立可得， 由于直线恰好与椭圆相切，故，解得， 所以椭圆方程为 （3）由于在椭圆上，设, 由可得， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程中，消去可得， 则， 由可得 即， 化简得， 由于不在直线上，所以，故，， 故直线的方程为，故过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 代入可得， 结合可得或（舍去）， 此时直线也经过， 综上可得直线恒经过. 因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长， 又直线恒经过，所以, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【变式7-1】己知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率． (3)过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点纵坐标的取值范围为，满足题意. 【详解】（1）依题意可知，解得， 因此椭圆的方程为； （2）易知，设直线的方程为，； 联立，整理可得，显然； 因此， 由可得，即， 代入可得，即； 因此，即， 解得， 因此直线的方程为，即其斜率为. （3）如下图： 当过点的动直线斜率存在时， 设直线方程为，，； 联立，整理可得，显然； 因此， 所以 若存在点使得恒成立，可得， 解得， 当过点的动直线斜率不存在时，两个交点分别为椭圆的上下顶点， 显然此时方向相反，满足题意； 综上可得，点的纵坐标的取值范围为，使得恒成立. 【变式7-2】已知圆锥曲线，左右顶点分别为，过点的直线交曲线于两点（在的左侧）． (1)当离心率时，求的值． (2)当时，是否存在直线使得，若存在，求出直线方程，若不存在说明理由． (3)连接，直线交曲线于另一点，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或， (2) (3)或或， 【详解】（1）当离心率时，则曲线为椭圆， 当焦点在轴时，此时故，解得， 当焦点在轴时，此时故，解得， 故或， （2）由题意可知：直线有斜率，设直线， 联立与可得， 设，且， 则， ,则， ， 当时，，则， 当时，则， 故，解得或， 由于且，故，（舍去）， 此时或， 故或， 故直线的方程为, （3）由于直线交曲线于两点（在的左侧）， 故直线的斜率一定存在， 联立与可得， 故，且,， 故， 故， 即， ， 故， ， 化简可得，由于，故，故， ， 考虑到，故， 故，解得或或， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【变式7-3】已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用 【考点08 弦长、焦点弦问题】 【例15】已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，其顶点是椭圆的中心，其焦点到其准线的距离等于该椭圆的长半轴长. (1)求抛物线的准线方程； (2)过点的动直线交抛物线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的线段长为定值？如存在，求出的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①32；②存在， 【详解】（1）由题意，可设抛物线方程为. 由题可知椭圆的长半轴长为2，故， 则抛物线的方程为，其准线方程为. （2）①设，由题意可知直线的斜率不为， 故设直线方程为. 联立，得， 则，则， 故（当且仅当时取等号） 所以的面积的最小值为32. ②设存在直线满足题意，设圆心， 过作直线的垂线，垂足为，圆与直线的一个交点为， ，即 ， 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值， 因此存在直线满足题意. 【例16】已知双曲线，离心率，点在双曲线上 (1)求双曲线的标准方程； (2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，则，即， 又因为点在双曲线上，所以， 解得：，所以双曲线的标准方程为：. （2）因为的周长为12，所以①， 由双曲线的定义可得：， 所以②， 所以由①②可得：， 由（1）知，，所以， 因为直线的斜率不为，所以设， 则联立直线与双曲线可得， 当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以， ， 所以， 所以， 解得：（舍去）或，所以， 直线的方程为：，即. 【变式8-1】在平面直角坐标系中，，，为一个动点，且直线，的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，，点是上的一点，设为的重心，过点作垂直于轴的直线，求被分成的左、右两个部分图形面积之比的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，因为直线，的斜率之积是，所以， 化简整理得，， 所以的方程为． （2） 记的坐标为，， 由椭圆对称性，不妨设点在第一象限或轴正半轴上，即，， 又，，所以直线的方程为． 设与轴、分别交于点，， 因为为的重心，所以，， 的面积与的面积之比为． 令，则， 当，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以的值域是，所以， 所以， 根据对称性，被直线分成的左、右两个部分图形面积之比的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是将被分成的左、右两个部分图形面积之比转化为两个三角形的面积之比，再利用对称性，只考虑在第一象限或轴正半轴上时的范围即可. 【变式8-2】设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； (3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）将代入椭圆方程得可得：， 所以椭圆方程为：； （2） 因为，，所以只需找到的最大值即可， 设，而，则， 由可得，代入消去可得： ， 因为，所以当时，， 从而； （3） 设直线，， 与椭圆联立方程：， ∴， ∴； 直线与抛物线联立方程：， ∴， ∵是焦点弦， ∴， ∴ 若为常数，则，∴，常数为. 所以存在实数，使为常数. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于处理弦长问题时，常利用韦达定理代入弦长公式求解；在处理抛物线中的焦点弦问题时，常利用焦点弦公式求解. 【变式8-3】已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为渐近线方程是，得，， 又，，即，整理得， 解得：，，故双曲线方程为. （2） 设直线的方程为， 联立，可得，根据题意， 解得点纵坐标为，代入，解得， 所以， 设线段的中点为，依题意，则点的坐标为， 设点，因为是正三角形，所以有， ，，则由得，， 即，整理有：，所以①. 在正三角形中，有，由结合弦长公式得， ，化简得. 代入①可得，所以点或. 【考点09 数列在圆锥曲线的应用】 【例17】已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点． (1)求双曲线C的方程； (2)用表示点的坐标； (3)求证：数列是等比数列． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线C的方程为： （2）过作斜率为的直线方程为， 联立其与双曲线方程可得， 设, 由于在抛物线上，所以 则， 所以， 故 （3）设， 由于在双曲线上，所以， 则，化简可得，，故， 所以， , 所以， 故是等比数列. 【点睛】关键点点睛：设，根据在双曲线上，解得，即可代入的表达式中，进而利用等比数列的定义求解. 【例18】已知抛物线C：，点在C上.按照如下方式依次构造点、3、：过点作斜率为的直线与C交于点令为关于x轴的对称点，记的坐标为 (1)求弦长； (2)证明：数列是等差数列，并求和； (3)记为的面积，求 【答案】(1) (2)证明见解析，， (3) 【详解】（1）由点在抛物线C：上，可得，解得， 则抛物线的方程为，可得直线的方程为， 由，解得，即，可得， 则； （2）设过点且斜率为的直线为， 与抛物线的方程，联立可得， 由韦达定理可得，即， 则数列是首项和公差均为1的等差数列， 可得，； （3）    由（2）可得，同理可得，， ，， ， 直线的方程为，即， 设点到直线的距离为d， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：设出过点且斜率为的直线为，与抛物线方程联立后，结合韦达定理可得，从而利用等差数列的定义证明即可. 【变式9-1】已知双曲线的渐近线方程为，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为1的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为为坐标原点. (1)求的面积； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)分别为线段的中点，记的面积分别为.判断是否为定值，如果是定值，求的值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)是定值， 【详解】（1）由题知，又，所以， 故双曲线的方程为. 又过点，斜率为1的直线方程为，如图， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为1的直线方程为，即， 由，解得或， 当时，，所以； 于是：. （2）设， 则过，且斜率为1的直线方程为， 联立，消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上，即有， 所以，所以，所以， 由（1）知，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （3）由（2）知，得到， 由，即， 即，则， ， 故， ， 故， ， 即，则， 由可得： ， 由可得： ， 所以：. 【点睛】本题利用点的坐标求三角形面积，利用公式为： 设，,三角形的面积 【变式9-2】已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设. (1)求的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3)16 【详解】（1）因为点在抛物线上，则，解得. （2）由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去可得， 解得或， 因，故，即， 故数列是以首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以 所以，又是关于的递增函数，故， 的取值范围是. （3）由（2）可知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为，， 所以的面积为. 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（为常数，）数列为等差数列； 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 【变式9-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的左支交于两点，点在上，为坐标原点，且（为实数）． (1)若的周长为，求的值． (2)是否存在使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若正项数列满足，点在双曲线上，，求证：． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1） 由题意可得直线恒过双曲线的左焦点， 由双曲线的定义可得， 两式相加，得， 则的周长为， 故．由可得， 设，， 则，即， ，， 易知，故． ，解得． （2）不存在使得为定值，理由如下： 设，由，可得， ， ． 点在双曲线上，， 即， 即． 要使为定值，只需， 即 ，解得． 但不满足， 故不存在满足条件的． （3）由点在双曲线上可得， 为等差数列，首项为2，公差为2， 故，． ． 当时， ,又，． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线相交问题，以及与数列的综合应用，难度较大. 解答本题的关键在于:（1）能得到直线恒过双曲线的左焦点，并能根据双曲线的定义，结合三角形的周长求出；（2）利用向量的坐标运算、点与双曲线的位置关系及为定值建立方程；（3）利用放缩法与裂项相消法证明不等式． 【考点10 新定义题】 【例19】对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆（，且），则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点. (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之积为. ①证明：且直线过定点. ②试问在轴上是否存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【详解】（1）由题意可设的共轭椭圆方程为，即（，且）， 由于是该椭圆的右顶点，即得， 椭圆的标准方程； （2）①证明：联立和，    可得， 需满足，即， 即； 设，则， 则 ， 由题意得直线与直线的斜率之积为，即， 即， 即，即得， 解得（舍）或， 则直线为直线，过定点； ②假设在轴上存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值，设， 由①知，，， 则 ， 要使得为定值，需，解得（舍）或， 即时，为定值， 即在轴上存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值. 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线类的综合题目，难点在于复杂的计算，并且大多都是关于字母参数的运算，计算量较大，一不小心就很容易出错. 【例20】若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线具有垂直渐近线；当渐近线L的斜率存在且不为零时，称L为斜渐近线，例如双曲线存在两条斜渐近线． (1)请判断正弦曲线是否存在垂直渐近线或斜渐近线，不必说明理由； (2)证明曲线存在垂直渐近线、斜渐近线； (3)求曲线的渐近线，并作出曲线的简图． 【答案】(1)不存在 (2)证明见解析 (3)直线与为曲线的垂直渐近线，直线为斜渐近线；作图见解析 【详解】（1）正弦曲线不存在垂直渐近线或斜渐近线； （2）函数的定义域为， 当且时，，所以直线为曲线的垂直渐近线， 设是曲线上一点，则点M到直线的距离 ，所以直线为曲线的斜渐近线， 又曲线，直线，直线均关于原点对称， 故曲线存在垂直渐近线，斜渐近线； （3）由得其定义域为， 当且时，；当且时，， 当且时，；当且时，， 所以直线与为曲线的垂直渐近线； 若曲线有斜渐近线，设是曲线上一点， 则当时，点A到直线的距离， 即，从而，进而，即， 因为， 所以曲线有斜渐近线， 同理可得，当时，直线为曲线的斜渐近线， 因为， 由得，，列表得： x + 0 - - - 0 + 极大值 极小值 故曲线的简图如下：    【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用渐近线定义结合函数值域可得答案. 【变式10-1】如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c， 因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以， 又，所以，则， 两边同时除以，得，解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. （2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且， 则由，得，则，，解得. 故，. 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：. 联立消去y得， 则，得；① 联立消去得， 则，得，② 联立①②，解得或 故和都相切的直线方程为或. （ⅱ）证明：设l与相交于，， 线段CD的中点，则，， 两式相减，得， 所以，即， 由已知，，所以， 即，则 联立得， 又，则， 故， 所以中点的坐标为，可得， 所以，为N定值. 【点睛】关键点睛：本题关键在于灵活利用点差法求出，降低计算量，再由中点坐标公式和韦达定理求点N坐标即可得解. 【变式10-2】在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. (1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. (2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 【答案】(1)是， (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）假设3是抛物线的和谐数，则3的和谐圆为， 由对称性，不妨设圆与抛物线有公共点， 显然抛物线在点处的切线，即曲线在点处的切线， 易知该切线的斜率为， ∵圆与抛物线在点处有相同的切线， ∴，解得， ∴圆与抛物线有公共点， ∴和谐圆的半径为 ∴3是抛物线的和谐数，且3的和谐圆为. （2）由对称性，只需考虑，，…，均在轴上方的情形，不妨设， （ⅰ）∵为抛物线的和谐数， ∴的和谐圆为， ∴由（1）可知，，解得， ∴， ∵在圆上，∴， ∵，圆与外切，且， ∴，即， ∴， ∴数列是等差数列，其公差为2，首项为， ∴，即， ∴数列的通项公式为. （ⅱ）证明：显然点为抛物线的焦点，∴， 易知，且，∴为等腰三角形， 易知的面积， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴不等式得证. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【变式10-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”． (1)若为“－相伴”，求直线的斜率． (2)若为“－相伴”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或． (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在定点 【详解】（1）设，由题意知的焦点为，准线为直线， 由抛物线定义得点到的准线的距离． 易知点在第二象限或第三象限． 当点在第二象限时，设直线的倾斜角为，则， 所以，，所以，即直线的斜率为． 当点在第三象限时，由对称性可得直线的斜率为． 综上，直线的斜率为或． （2）（ⅰ）设，由（1）知的焦点为， 因为点在上，所以，因为点在轴左侧，故，故 因为点在上，所以， 所以，解得，所以． 由椭圆的定义得，又，所以， 所以，即． 设，则，且， 由，可得， 所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ） 因为的方程为，所以， 由，及（ⅰ）中，得， 解得（舍去）或， 所以， 所以的方程为． 设，，由，得， 所以，，， 假设存在定点，使得直线与的倾斜角互补，则直线与的斜率之和为0， 即 ， 所以， 所以，即， 所以存在定点，使得直线与的倾斜角互补且． 【点睛】思路点睛：第二问中：根据点在上，且点在上列出等式，得到， 进而得到，又，列出关于的等式， 利用对勾函数的性质即可得到结果.；由，及第一小问中得出a的值， 进而求出的方程为，设出直线方程与的方程联立，用韦达定理即可得到结果. 【考点11 证明恒等式】 【例21】已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，且右顶点和上顶点都在直线上. (1)求的方程； (2)若直线经过交椭圆于、两点，求面积的最大值； (3)若过点的直线交于、两点，点是线段上异于、的一点，且，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）在直线方程中，令，得，即上顶点，则， 令，得，即，则，所以的方程为. （2）若直线与轴重合，则直线经过点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立得， ， 设点、，由韦达定理可得，， 所以，， 于是， 令，令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 当时，即当时，取最小值， 此时，的面积取最大值，且其最大值为. （3）当直线的斜率为时，不妨记、， 而，由，得， 则，因此； 当直线的斜率不为时，设、、， 设直线的方程为， 由消去得， 则，， 由韦达定理可得，， 如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即， 显然，设，即， 于是， 由点在直线上，得， 则，整理得， 于是，因此，， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【例22】已知双曲线的离心率为2，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析， ；②证明见解析 【详解】（1）由题意． 将点代入双曲线方程得，解得． 所以，双曲线的方程为； （2）（i）设点，直线方程为， 联立方程，得， 所以，， ． 设，则 ， 即对任意恒成立． 所以，解得 所以，以为直径的圆恒过点． （ii）． 由题意可知，代入双曲线方程可得， 设的中点为，则 ， 所以，所以． 又，所以四点共圆． 由相交弦定理得． 【变式11-1】已知椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且. (1)求E的方程. (2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合. （i）若l的倾斜角为45°，求的值； （ii）若P为C的准线上一点，设PA，PB，的斜率分别为，，，证明：为和的等差中项. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，设点， 由，得，解得，， 由点在椭圆上，得，即，而，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设， 由直线l的倾斜角为45°，得直线的方程为， 由消去得，则，， 由消去得，则， 则， 所以. （ii）由（1）知，，设点，直线方程为， 由消去得，显然，， ， ， 所以为和的等差中项. 【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 【变式11-2】已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若三角形的面积为，求直线的方程； (3)证明：存在实数，使得恒成立. 【答案】(1) (2)或. (3)证明见解析 【详解】（1） 由题意得，解得； 故双曲线的标准方程为. （2） 由（1）知；设直线的方程为， 由直线与双曲线的右支交于两点知； 联立，整理得：， 由韦达定理：； 故， 点到直线距离， 故，即， ， ， ， 解得或（舍去）， 故； 故直线的方程为，即或. （3）由题意， 当时：，解得， 不妨取，则， ，所以，满足； 故如果存在实数，使得恒成立，则； 当时，证明恒成立： 设，则； 所以， 则， 所以， 又，故， 所以； 综上所述：存在实数，使得恒成立. 【变式11-3】已知抛物线的焦点是圆与x轴的一个交点． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）圆与轴的交点，令，则，解得. 因为抛物线的焦点，且焦点是圆与轴的一个交点， 所以，解得. 所以抛物线的方程为. （2）设直线的方程为（存在，当时直线与抛物线也有两个交点）. 将代入，得，即. 设，，由韦达定理得，. 因为，，，. 则. 所以，即.    【考点12 存在性问题】 【例23】已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在，或 【详解】（1）由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为， （2）（i）由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立， 设， 则 故在以为直径的圆外. （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形， 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，由（i）得， ，由于在直线上，所以 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则 解得，即， 故直线的方程为或. 【例24】已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中存在常数满足条件的问题；其中第二问的关键是能够分析出向量数量积是定值，再表示出数量积，进而求解参数，第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系即可. 【变式12-1】已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【详解】（1）由题意得，解得， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）假设存在点P，使得，则‖， 所以， 设，则， 所以，直线的方程为， 因为点在直线上，所以， 所以， 因为点P是直线上不同于点Q的一点，所以， 所以，解得， 因为点在椭圆上，所以，解得或， 当时，，得， 当时，，得， 所以存在点P，使得，点的坐标为或 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为，再结合直线的方程和椭圆方程可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 【变式12-2】经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）设， 由题意可得， 所以抛物线的方程为. （2）    设直线的方程为，， 联立，消去可得， ，， ， 解得， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点，设为， 因为，所以点D在以为直径的圆上（不含原点），所以平面内存在定点，使垂足点D到N点的距离为定值1. 【变式12-3】已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；，；（ii）存在， 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题意，得， 解方程组，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设， 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解方程组，得或， 所以有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为，. （ii）由（i）得，直线的方程为. 假设存在定点，依题意可知直线斜率存在， 设直线，即， 由消去得，， 其中，所以， 设，， ，， 所以 ， 设为定值，则， 当且仅当 解得，， 所以存在定点，使得直线与的斜率之积为定值. 1．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆C离心率为，所以，    又因为点在椭圆C上，所以，解得，，    椭圆C的标准方程为： （2）①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以，    因为，所以，    所以，解得或（舍）；    ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得，    即， 设，则，， ，，    因为，所以， 即，    代入化简得， 即，    当时，，此时方程为，过定点，舍去；    当时，，此时方程为，过定点．    综上，直线过定点．    2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆过点，且的右焦点为． (1)求的方程； (2)设过点的一条直线与交于两点，且与线段交于点． （i）证明：直线平分； （ii）若的面积等于的面积，求的坐标． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或． 【详解】（1）根据题意有， 且由椭圆的几何性质可知， 所以． 所以的方程为． （2）（i）因为椭圆的长轴右端点横坐标为，所以的斜率一定存在（否则与椭圆没有交点）设的方程为， 代入的方程有：， 其中，故， 设， 则， 若直线平分，且易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0． 设的斜率分别为，则： ， 代入， 有，故命题得证． （ii）由（i）知直线平分，即． 因为的面积等于的面积， 故，即，故． 故， 在线段的垂直平分线上． 易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有， 故的坐标为或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问中第一小问的关键是由几何关系转化为证明，第二小问的关键是转化几何关系为. 3．（2025·山东菏泽·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为为第一象限内上的一点，直线与的另一个交点为，且. (1)证明：； (2)若求直线被截得的弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 由椭圆的定义得①， 由题意，②， 将②代入①可得：，故得. （2） 若，则， 所以则. 由（1），，即点为曲线的下顶点. 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理， ，则. 设曲线的半焦距为，则， 所以曲线的方程为. 又，所以，解得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 联立得0（*）. 设方程（*）.的两个实数根分别为， 则， 故直线被曲线截得的弦长为： 4．（2025·河北沧州·一模）经过圆上一点作C的切线l，l与抛物线也相切，P为上一点. (1)求r和p的值； (2)若点，不经过P的直线与交于不同两点A，B（位于x轴两侧），与相交于点D，若直线PA，PB，PD的斜率分别为，，，且为，的等差中项，证明：直线过定点； (3)若O为坐标原点，F为的焦点，求内切圆面积的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意，点在圆上， 则，所以， 又圆心为，设直线l的斜率为k，则，所以， 所以直线l的方程为，即， 又直线l与抛物线也相切，联立，整理得， 则，解得（舍去）或，综上可得，. （2）由（1）可知，抛物线的方程为，准线方程为， 设直线，，， 联立，即. 又，则，，， 因为为，的等差中项，所以，即， 又，，代入上式可得 ①， 联立整理得， ，则 代入①，整理得， 即，即， 即， 因为，，则，所以或， 当，即时，直线，即，过点，不合题意； 当时，直线，过定点，符合题意， 综上，直线过定点. （3）根据对称性，不妨设在第一象限，则，，， 又，，， 则的面积， 设内切圆的半径为R， 则， 所以， 令，则， 令， 则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 令，解得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增. 所以函数在处取得最小值， 所以R的最大值为，所以内切圆面积的最大值为.    【点睛】关键点睛：对于直线过定点问题，可设出直线方程，由题目条件找到直线中所涉参数的等量关系；对于较复杂代数式的最值求解，除了常见的恒等变形，基本不等式之外，还可利用导数知识解决问题. 5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线，直线与双曲线交于点，且的内切圆半径恰为. (1)求双曲线的方程. (2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的中垂线过点. （i）证明：. （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意，，直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示， 则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设， 联立，则， 所以，即， 且， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得. （ii）由（i）知，， 则，， 则，， 则，解得， 又 ， 则, 又， 则，即， 又，则的取值范围为. 6．（2025·河北保定·一模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. (1)若为阿基米德三角形，求； (2)证明：切线三角形的外接圆过定点； (3)求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得， 则， 所以的斜率为的斜案为1， 所以， 所以. （2）由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. （3）由（2）可得的方程为的方程为， 又直线， 所以， 所以 ， 由（2）可得， 所以点到直线的距离为， 所以 令， 由， 得，当时等号成立， 所以 令， 则 令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 此时或， 所以面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，由，得，当时等号成立，把三角形的面积表示为关于t的函数，利用函数的单调性求解最小值. 7．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求曲线的方程； (2)为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点， 由点在圆上，得，即， 所以点的轨迹的方程是. （2）（i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴， 设直线，， 由，得，由，得或， 则，， 直线方程为，直线方程为， 联立消去，得， 解得，所以点在直线上. （ii）由，得，则点在以为直径的圆上， 设，则，解得，即， 于是直线的方程为，由消去得， 而点横坐标为，则点横坐标，纵坐标， 所以直线的斜率.    8．（2025·黑龙江·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点是双曲线上一点.过双曲线的右焦点且斜率存在的直线与双曲线交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)当均位于双曲线的右支上时，若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，可知： 再由点是双曲线上一点得：， 代入得：，故， 所以双曲线； （2） 设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为， 与双曲线，联立消去得： ，其中，不等于0， 设，则， 所以 设的中点为， 则，， 所以线段的垂直平分线方程为：， 令得：， 则， 所以有； （3） 设过双曲线的右焦点且斜率存在的直线为， 与双曲线，联立消去得： ， 设，则， 由直线与双曲线右支相交，则，解得， 由（2）知，由可知：， 即，根据，结合与右支交点可知， 根据（2）可知：， 则， ， 代入到上两式得：，， 再消得：， 此时满足，故符合题意， 则直线方程为. 【点睛】关键点点睛：关键是把转化为，从而转化到，这样就可以利用韦达定理消去即可得的方程求解. 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； (3)若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)定值，4 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由，得，设，， 解得，即，，则，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 设， 直线，则 ，同理得，， 因此， 所以是定值，且定值为4. （3）不存在. 椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 假设存在，设，射线， 由，得，同理得， 由，，得， 因此 ， 则，所以不存在直线，使. 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 10．（2025·河南安阳·一模）设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点. (1)若且，求直线的方程； (2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点； (3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）根据对称性可知在，两点处的切线斜率为          由得，从而，               令，得，所以， 所以直线的方程为. （2）由题意可设直线，点，. 因为，所以直线，即， 令，得，所以. 同理，直线，令，得，所以        联立直线与的方程，得，消去整理得， 则，. 由解得所以          因为，，故的外接圆圆心落在直线上， 由，知线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，得，即圆心的坐标为.        设的外接圆半径为， 则， 所以圆的方程为，          即. 令得所以的外接圆过定点. （3）如图所示，将和视为从焦点射出的光线，直线和分别为，对应的反射光线，则与恰好是反射光线的反向延长线. 由抛物线的光学性质可得，             而，，故， 故，                                       同理可得，即，即点是的外心. 【点睛】方法点睛，本题考查了抛物线的综合运用.本题中的抛物线是函数关系，所以可以利用导数和切点坐标来求抛物线的切线方程，从而得到三个点的坐标，然后利用直线与抛物线方程得到这三个点坐标的关系，从而找到三个点外接圆的方程，即可求得圆的定点. 11．（2025·贵州毕节·二模）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若过点作直线交于两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于椭圆的一个顶点为，所以， ，即，所以， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知右焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 设，. 将直线的方程代入椭圆方程可得： ，展开并整理得. 所以，. 根据，可得： 所以. 的面积，，则： , 即，解得. 将代入直线的方程，可得直线的方程为， 即. 12．（2025·四川成都·二模）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，. (1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程； (2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）由椭圆：，得右焦点， 而是抛物线的焦点，则，所以抛物线； 由对称性不妨令，由，得，解得， 即点，则， 因此椭圆的长半轴长，短半轴， 所以椭圆的标准方程为 （2）直线不垂直于轴，设其方程为，， 由，得，即， 由消去，得，则， 由消去，得，则， 因此，解得， 所以直线的方程为.    1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 9．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$