专题05 全等三角形6大解题必备辅助线专训（6大题型+15道拓展培优题）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题05 全等三角形6大解题必备辅助线专训（6大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 必备辅助线添法一 倍长中线法 题型二 必备辅助线添法二 截长补短法 题型三 必备辅助线添法三 旋转法 题型四 必备辅助线添法四 作平行线法 题型五 必备辅助线添法五 作垂线法 题型六 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 必备辅助线添法一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．    解决此问题可以用如下方法： 延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用三角形的三边关系，得到，进而得出结论即可； （2）倍长中线法，证明，三角形的三边关系求出的取值范围，即可得解． 【详解】解：（1）由题意，， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． （2）如图，延长至点E，使，连接．    因为D为的中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 因为，且，， 所以， 所以． 因为线段的长度为整数， 所以． 【点睛】本题考查全等是三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形，是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD． （1）试证明：△ACD≌△EBD； （2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD． （2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）． （2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， ∵在△ADC和△FDB中 ， ∴△ADC≌△FDB（SAS）， ∴BF＝AC，∠CAD＝∠F， ∵AM＝GM， ∴∠CAD＝∠AGM， ∵∠AGM＝∠BGF， ∴∠BGF＝∠CAD＝∠F， ∴BG＝BF＝AC， 即BG＝AC． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键. 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________ 【答案】见解析 【分析】主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，延长至点E，使．证明，推出，再利用三角形的三边关系，可得结论； 【详解】解：延长至点E，使，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知： ， 又∵， ∴． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）利用可得； （）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可； （）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到， 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ∴； （2）解：，理由如下： 延长到点，使，连接，如图 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图， 由（）得，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． 【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：； 延长使得，连接，如图，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【经典例题二 必备辅助线添法二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（23-24七年级下·上海青浦·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)FC＝CD+CE 【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论； （2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 4．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 【经典例题三 必备辅助线添法三 旋转法】 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 【例3】（23-24七年级下·上海虹口·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，，把绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作，垂足为D，直线交于E．    (1)①如图①，当在内部时，求证：； ②如图②当在外部时，探究线段和的数量关系，并证明你的结论； (2)在如图①的条件下，若，，求的长．(直接写结果) 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定： （1）①延长到F，使，证明得到，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形的即可证明，从而得证；②在上截取，证明，得到，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形的即可证明，从而得到； （3）根据等腰直角三角形的性质求出，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出的长，再根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：①如图，延长到F，使，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②，证明如下： 如图，在上截取，    同理可证明， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，由（1）可得， ∴，，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) (2)以上结论不成立，应为，证明见详解 【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长至点使，连接，分别证明根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （2）延长至G，使仿照（1）的证明方法解答． 【详解】（1）解：， 理由如下：延长至点使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：以上结论不成立，应为， 理由如下：延长至G，使 由（1）可知，， ∴ ， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下面材料： 如图①，把沿直线平移到的位置； 如图②，以为轴，把翻折可以变到的位置； 如图③，以点A为中心，把旋转可以变到的位置． 像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方式得到的．这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换叫做三角形的全等变换． 回答下列问题： (1)在图④中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方式怎样变化，使变到？ (2)指出图④中线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)绕点逆时针旋转 (2)且理由见解析 【分析】本体主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）通过绕点逆时针旋转得到； （2）延长交于点，由全等的性质以及即可得到结论． 【详解】（1）解：在图④中可以通过绕点逆时针旋转得到； （2）解：且理由： 由全等变换的定义可知，， ． 延长交于点， ， ， ． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，，，，．    (1)如图1，当点D在上时，，，则______； (2)如图2，当B、C、E三点共线时，D在上，连接，F是的中点，过点A作，交的延长线于点G，求证：且； (3)如图3，B、C、E三点共线，且，将线段绕点A以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点E以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)t的值为或或或 【分析】（1）根据，求解即可； （2）延长交于T，证明，推出，推出，证明，推出，利用平行线的性质即可得结论； （3）从开始到结束出现平行，垂直，平行，平行四种情形，分别作出图象，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：证明：如图所示，延长交于T，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， 由（2）可得， ∴ 第一次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    ∴， 即， 解得； 第一次垂直时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得： ∴， 即， 解得； 第二次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得：， 即， 解得：， 第三次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得： ， 即， 解得：； 第四次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得：，， ∴， 即 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的t的值为或或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【经典例题四 必备辅助线添法四 作平行线法】 【例4】（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，解题关键是证明．首先根据可得，然后利用“”证明，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的面积，解决问题的关键是理解全等三角形的面积相等，三角形的中线将原三角形分成两个面积相等的三角形； （1）由是的中点得，再根据得，，由此可得出结论； （2）由（1）的结论得，由此可证和全等，则，进而得，根据是边上的中线得，则，然后求出的面积可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， 是边上的中线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．      (1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度． (3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点． 【答案】(1) (2)18 (3)证明见解析 【分析】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质： （1）延长到点，使，连接，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可； （2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题； （3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， ∵为边上的中线， ， ， ， ， 中， ∴， ， ； （2）解：延长到点F，使，连接，如图4， ∵为边上的中线， ， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴E、C、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：过点E作交延长线于M，如图4， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴O为中点． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． 猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分． 【答案】（1），理由见解答；（2）证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质； 问题情景：（1）过点作，利用猪脚模型即可解答； 问题解决：（2）延长交于点，利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，进而可得，最后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答． 【详解】问题情景：（1）解：， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； 问题解决：（2）证明：延长交于点， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 4．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．    (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)如图2，当点在线段上不与，重合，请探究线段，，之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)． (3)如图3，当点在线段延长线上，请探究线段，，之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)． (4)当点在线段延长线上，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)画图见解析，；理由见解析 (4) 【分析】（1）证明，得出，根据为的中点，，即可得出结论； （2）证明，得出，即可得出结论； （3）根据题意，画出图形，由可知：，又，，则 （4）由可知：，得出，即可得出． 【详解】（1）； 理由如下：， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 为的中点，， ； （2）结论：； 理由如下：， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）图形如图所示：    结论：； 理由如下：由可知： ， ， 又， ， ， ； （4）结论：；    理由如下：由可知：， ， ； 即：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典例题五 必备辅助线添法五 作垂线法】 【例5】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．    (1)求证：； (2)若的面积为6，的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)10． 【分析】（1）根据三角形中线的定义得到，再根据垂直的定义得到，则可根据“”判断，从而得到； （2）先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 是的中线， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）某中学七（2）班学生到户外活动，为了测量池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案： 如图，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为点A，B之间的距离． 阅读后回答下列问题： (1)此方案是否可行？请说明理由； (2)方案中作的目的是什么？若，方案是否仍然成立（无须说明理由）？ 【答案】(1)可行，见解析 (2)目的见解析，成立 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键： （1）证明，可得到，故此方案可行． （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：此方案可行．理由如下： 由题意可知，， 所以． 在和中， 所以， 所以． 故此方案可行． （2）作的目的是为了使，同时简化测量过程，提高测量的准确性（合理即可）． 若，方案仍然成立． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）【探究】如图①，在中，，一直线过顶点C，过A、B分别作其垂线，垂足分别为D、E，点D、E在外．                   求证：． 【应用】如图②，若改变直线的位置，点D在内部，其余条件与【探究】相同． （1）直接写出之间的数量关系． （2）若，则的面积为______． 【答案】探究：证明见解析；应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： 探究：先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，进而可利用证明； 应用：（1）先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而可利用证明得到，再由线段的和差关系即可得到结论； （2）先证明，则，再求出，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：探究：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 应用：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海宝山·开学考试）已知：在中，，点D在上，连接，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明； （2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）连接，证明，得到，根据三角形的面积公式求出，求出，得到答案． 【详解】（1）证明：如图1， 设，则，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴ 即平分； （2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R， ∵， ∴， ∴，， 由（1）可知，，即 ∴， ∵点E为的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 4．（23-24七年级下·上海松江·期中）综合与实践 【问题情境】 如图1，这是一个圆形喷水池，水池的中心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 【方案设计】方案一：如图2，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在射线，上分别取点，，使得，，最后测得的长，便可求出的长． 方案二：如图3，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，交的延长线于点，最后测得的长，便可求出的长． 【问题解决】 (1)理论上，方案一是否可行？请说明理由． (2)理论上，方案二是否可行？请说明理由． (3)小明同学提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要即可，小明的想法是否可行？请说明理由． 【答案】(1)可行，理由见详解 (2)可行，理由见详解 (3)小明的想法可行，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明即可得出； （2）根据证明即可得出； （3）根据平行线的性质可得，然后根据证明即可得出． 【详解】（1）解：方案1可行． 理由如下： 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长； （2）解：方案2可行． 理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长； （3）解：小明的想法可行． 理由如下： ， ， 在和中， ， ∴， ， 即量出的距离就是的长． 【经典例题六 必备辅助线添法六 见直角作延长线】 【例6】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用证明即可解题； （2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论． 【详解】（1）是的中点， ． ， ， ， ． （2）如图，过点作交延长线于点，连接． 由（1）知． ． ， ， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：， ； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质键． （1）根据同角的余角相等得到，根据证明，故可得结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证出，则可得出结论； （3）过点F作交的延长线于H，由（1）（2）得到，，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴E点为的中点； （3）如图3，过点F作，交的延长线于H，    ∵，， ∴， 由（1）（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．    (1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？ (2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：； (3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）方法一：作于点，得四边形是长方形，所以，证明，得出，则，即可得出结论； 方法二：连接．根据的面积的面积的面积，即可得出结论． （3）根据（2）的方法即可求解． 【详解】（1）解：． 在和中    ∵ ∴， ∴． （2）方法一： 如图2，作于点，得四边形是长方形，所以．    ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中 ∵ ∴， ∴． ∵，∴． 方法二：连接．    ∵的面积的面积的面积 ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接． ∵的面积的面积的面积 ∴， ∴．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G． (1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由． (3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长． 【答案】(1)相等，见解析 (2)能，相等，见解析 (3)18 【分析】（1）根据一线三等角模型，利用证明 ，，推出，推出，即可得出； （2）利用证明，即可得出； （3）利用全等三角形相等，可得，，由此可解． 【详解】（1）解：，证明如下： 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， 则， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ； （3）在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长 ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又∵ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 4．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． (1)如图2，在中，是直角，，，分别是和的平分线，，相交于点F． ①在上截取，连接．求证：； ②请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，是的外角的平分线，D是射线上的一个动点（不与点A重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①证明见解析；②，证明见解析， (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，正确构造全等的三角形，理解两个小题之间的联系是本题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）①根据图的作法，在上截取，证明即可； ②由，可得； 根据证明，得，故判断； （2）在的延长线上，截取，使，连接，判定，即可得到，进而得出，再根据，可得． 【详解】（1）解：①在上截取，连接． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ②，理由如下： ． ， ∵、分别是和的平分线， ． ． ∵， ， ． 又， ， 在和中， ， ， ． ． （2）． 如图所示，在的延长线上，截取，使，连接， 是的角平分线， ， 又， ， ， ， 是射线上的一个动点，不与点重合， ， ． 1．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B．是的中线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质． 利用证明，即可判定A成立，根据全等三角形的性质可判定B、D成立，根据无条件能证明，故不能得到，可判定C选项不一定成立． 【详解】解：∵， ∴，， ∵是的中线， ∴ ∴，故A选项成立； ∵ ∴ ∴是的中线，故B选项成立； ∵ ∴ 又∵ 不能得出，故不能得出，故C选项不一定成立； ∵是的中线， ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项成立； 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（　　）   A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【分析】由四边形为正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，进一步得到，所以根据可以证明，所以，那么，据此求解即可． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， ∴， 即：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的面积等知识点，熟悉相关知识是解题的关键． 3．（23-24七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连结，使．有以下四个结论：①；②若点为中点，则；③若，则；④的面积是面积的倍．以上结论中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线；先利用证明可判断①、再利用证明可判断②，再利用全等三角形的性质与三角形的中线的性质结合三角形的面积公式可判断③，④；能够确定清晰的解题思路是解题关键． 【详解】解：∵为中线， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A为中点， ∴， ∴，故②正确； ∵，（已证）， ∴， ∵点A不一定是中点， ∴不一定相等，故③错误； ∵，，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有3个， 故选：C． 4．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，点，分别在正方形的边，上，，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，已知，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了旋转变换，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转与轴对称规律是解本题的关键．将旋转绕点A顺时针旋转，与重合，在延长线上截取，连接，得到，利用正方形的性质及，利用确定出，利用全等三角形对应边相等得到，再由求出长，即为长． 【详解】如图所示，将旋转绕点A顺时针旋转，与重合，在延长线上截取，连接，    可得， ，，， 四边形为正方形，， ， ， ， ， ． 故选：C 5．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得，再由，即可利用证明，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，中，为的中点，是上一点，过点作的平行线交射线于点，若，，则 ； 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线的性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．先由，得出，在和中，，利用定理即可证得，得出，又知，再把数值代入即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ． 故答案为：2 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，在等边中，，过边上一点D作于点H，点E为延长线上一点，且，连接交于点F，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等．过点D作交于点G，先证是等边三角形，结合，得出，再证，推出，可得． 【详解】解：过点D作交于点G， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，若，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再证明，得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，在中，是的中线，设的长为，延长到点，使，连接，由“”可证得，因此．在中，根据三角形三边的不等关系，可得长度的取值范围，从而得到的中线长度的取值范围即的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，证明是解题的关键．先由三角形中线的定义得到，再利用证明即可；根据全等三角形的性质得到，根据三角形三边的关系求出的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：设的长为，延长到点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴即． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点分别交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了旋转的性质：全等三角形性的判定以及性质． 根据两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等故①正确．根据进而得出，即可得出，故④正确，再④的条件下利用全等三角形的性质可得，进一步得出，即，故②正确，由于，而与顺时针旋转的度数不一定相等，所以与不一定相等；故③错误． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转度，得到， ∴，， ∵， ∴，故①正确， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴ 在和中， ，，， ∴， ∴，，故④正确， ∵， ∴，即，故②正确， ∵，α是可变化的角，是固定角， ∴不一定等于， ∴不一定等于，故③错误， 综上所述：①②④正确， 故答案为：①②④． 11．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，点A是射线上一点，过点作的平行线，交的平分线于点B．点C是线段上一点（点C不与点O、B重合），连接，将线段绕点顺时针旋转的度数，得到线段，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)设，当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)30° (3)或 【分析】（1）先根据角平分线的定义推出，然后根据平行线的性质推出，等量代换推出，根据等角对等边即可得证； （2）根据旋转角推出，结合，用判定后根据全等三角形的对应角相等推出即可求出结果； （3）分两种情况：①是钝角；②是钝角．分别求出两种情况下的取值范围即可． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由旋转可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当为钝角时，， 解得：， ∵是的一个外角， ∴， ②当为钝角时，， 解得：． 当点C与点B重合时，， 综上所述，当为钝角三角形时，的取值范围为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，角平分线定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的分类，深入理解题意是解决问题的关键． 12．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②见解析 【分析】(1)首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得 ； (2)首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得； (3) ①由，得到，由（2）得，得，从而证明，推出； ②首先证明，然后证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E． ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （3）证明：①∵， ∴， 由（2）得， ∴ ∵， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具． 13．（23-24七年级下·上海宝山·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． (1)请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； (2)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； (3)丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） (3)不可行，可添加条件为，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）方法一利用定理证明可得；方法二利用定理证明可得； （2），可得，利用定理证明可得； （3）添加条件为，利用证明三角形全等，即可解答． 【详解】（1）解：方法一可行，理由如下： 在和中， ， ， ； 方法二可行，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：只需即可， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． （3）解：不可行，可添加条件为，证明如下： ， ， 在和中， ， ， ． 14．（23-24七年级下·上海虹口·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 15．（23-24七年级下·上海青浦·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）12 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，，即可求解； （3）延长到使，连接，又，即可判定，得到，，而，得到，由，得到，由三角形那么久公式求出的面积，又的面积的面积，于是得到四边形的面积的面积． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是的中线， ， 又， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 又， ， ． （3）延长到K使，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形6大解题必备辅助线专训（6大题型+15道拓展培优题） 【题型目录】 题型一 必备辅助线添法一 倍长中线法 题型二 必备辅助线添法二 截长补短法 题型三 必备辅助线添法三 旋转法 题型四 必备辅助线添法四 作平行线法 题型五 必备辅助线添法五 作垂线法 题型六 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 必备辅助线添法一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．    解决此问题可以用如下方法： 延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．    1．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD． （1）试证明：△ACD≌△EBD； （2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC． 2．（23-24七年级下·上海静安·期末）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________  3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 4．（23-24七年级下·上海金山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【经典例题二 必备辅助线添法二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（23-24七年级下·上海青浦·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 4．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【经典例题三 必备辅助线添法三 旋转法】 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 【例3】（23-24七年级下·上海虹口·期中）把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 1．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，，把绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作，垂足为D，直线交于E．    (1)①如图①，当在内部时，求证：； ②如图②当在外部时，探究线段和的数量关系，并证明你的结论； (2)在如图①的条件下，若，，求的长．(直接写结果) 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下面材料： 如图①，把沿直线平移到的位置； 如图②，以为轴，把翻折可以变到的位置； 如图③，以点A为中心，把旋转可以变到的位置． 像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方式得到的．这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换叫做三角形的全等变换． 回答下列问题： (1)在图④中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方式怎样变化，使变到？ (2)指出图④中线段与之间的关系，并说明理由． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，，，，．    (1)如图1，当点D在上时，，，则______； (2)如图2，当B、C、E三点共线时，D在上，连接，F是的中点，过点A作，交的延长线于点G，求证：且； (3)如图3，B、C、E三点共线，且，将线段绕点A以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点E以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值． 【经典例题四 必备辅助线添法四 作平行线法】 【例4】（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．      (1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度． (3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． 猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分． 4．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．    (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)如图2，当点在线段上不与，重合，请探究线段，，之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)． (3)如图3，当点在线段延长线上，请探究线段，，之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)． (4)当点在线段延长线上，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【经典例题五 必备辅助线添法五 作垂线法】 【例5】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．    (1)求证：； (2)若的面积为6，的面积为2，求的面积． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）某中学七（2）班学生到户外活动，为了测量池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案： 如图，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为点A，B之间的距离． 阅读后回答下列问题： (1)此方案是否可行？请说明理由； (2)方案中作的目的是什么？若，方案是否仍然成立（无须说明理由）？ 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）【探究】如图①，在中，，一直线过顶点C，过A、B分别作其垂线，垂足分别为D、E，点D、E在外．                   求证：． 【应用】如图②，若改变直线的位置，点D在内部，其余条件与【探究】相同． （1）直接写出之间的数量关系． （2）若，则的面积为______． 3．（23-24七年级下·上海宝山·开学考试）已知：在中，，点D在上，连接，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值． 4．（23-24七年级下·上海松江·期中）综合与实践 【问题情境】 如图1，这是一个圆形喷水池，水池的中心处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 【方案设计】方案一：如图2，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，再在水池外取一点，测得，的长，在射线，上分别取点，，使得，，最后测得的长，便可求出的长． 方案二：如图3，先在水池边上取A，两点，使得A，，三点共线，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，交的延长线于点，最后测得的长，便可求出的长． 【问题解决】 (1)理论上，方案一是否可行？请说明理由． (2)理论上，方案二是否可行？请说明理由． (3)小明同学提出，在方案二中，并不一定需要，，只需要即可，小明的想法是否可行？请说明理由． 【经典例题六 必备辅助线添法六 见直角作延长线】 【例6】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 1．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：， ； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 2．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．    (1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？ (2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：； (3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G． (1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由． (3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长． 4．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． (1)如图2，在中，是直角，，，分别是和的平分线，，相交于点F． ①在上截取，连接．求证：； ②请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，是的外角的平分线，D是射线上的一个动点（不与点A重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 1．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B．是的中线 C． D． 2．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（　　）   A．4 B．6 C．10 D．16 3．（23-24七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点．在延长线上取一点，连结，使．有以下四个结论：①；②若点为中点，则；③若，则；④的面积是面积的倍．以上结论中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，点，分别在正方形的边，上，，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，已知，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，中，为的中点，是上一点，过点作的平行线交射线于点，若，，则 ； 7．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图，在等边中，，过边上一点D作于点H，点E为延长线上一点，且，连接交于点F，则的长为 ． 8．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，若，则与的数量关系为 ． 9．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，在中，是的中线，设的长为，延长到点，使，连接，由“”可证得，因此．在中，根据三角形三边的不等关系，可得长度的取值范围，从而得到的中线长度的取值范围即的取值范围是 ． 10．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，交于点分别交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 11．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，点A是射线上一点，过点作的平行线，交的平分线于点B．点C是线段上一点（点C不与点O、B重合），连接，将线段绕点顺时针旋转的度数，得到线段，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)设，当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 12．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 13．（23-24七年级下·上海宝山·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． (1)请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； (2)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； (3)丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 14．（23-24七年级下·上海虹口·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 15．（23-24七年级下·上海青浦·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $$