精品解析：广东省珠海市斗门区2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学生学业质量监测九年级数学试题 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，也是重要数学发现与创造中的重要美学因素，下列四幅图是垃圾分类标志图案，则四幅图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m≥0 C. m≥0 且m≠1 D. m为任意数 4. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 相信同学们都玩过万花筒，如图是某个万花筒的造型，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心（ ） A. 顺时针旋转60°得到 B. 顺时针旋转120°得到 C. 逆时针旋转60°得到 D. 逆时针旋转120°得到 6. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ） A B. C. D. 8. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为；其部分图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，x的取值范围是 C. D. 若是抛物线上两点，则 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，⊙的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙的面积，可得的估计值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为_____． 13. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为______． 15. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 2024年珠海“中国国际航空航天博览会”某展览馆展厅东面有A，B两个入口，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． （1）求小华从入口B进入展厅概率： （2）画树状图或列表格分析小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率？ 18. 如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）请根据已学知识判断此图象是什么函数图象，并求出这个函数的解析式； 20. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 21. 【综合与实践】 【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即），有言道：“杆称一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为． （1）y关于x的函数解析式是 ； （2）若，则x取值范围是 ． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题： （3）y关于x的函数解析式是 ； （4）完成表格： … 0.25 0.5 1 2 4 … … … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点Q，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． （1）如图1所示，时，求的长． （2）如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； （3）如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 23. 如图1，抛物线与直线相交于O、B两点，点A在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴交点，点E是线段上一动点． （1）求点B坐标； （2）连接、，求的最小值； （3）为什么三角形？请说明理由： （4）如图2，点C是线段的中点，连接、，将沿折叠，得到，若与重叠部分的面积是面积的，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末学生学业质量监测九年级数学试题 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 对称是自然界和人类社会中普遍存在的形式之一，也是重要数学发现与创造中的重要美学因素，下列四幅图是垃圾分类标志图案，则四幅图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，先寻找对称中心，再旋转180度后与原图重合，作出选择即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念对各图形分析判断： A、是中心对称图形，故不符合题意； B、不中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟记相关概念是解答本题的关键． 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，根据形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数进行分析即可． 【详解】解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； B、不是y与x的反比例，是y与的反比例，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意． 故选：C． 3. 已知方程是关于x一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m≥0 C. m≥0 且m≠1 D. m为任意数 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式m+1≠0，再解不等式即可． 解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠-1， 故选A． 考点：一元二次方程的定义 4. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故选：A 5. 相信同学们都玩过万花筒，如图是某个万花筒的造型，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心（ ） A. 顺时针旋转60°得到 B. 顺时针旋转120°得到 C. 逆时针旋转60°得到 D. 逆时针旋转120°得到 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的意义，找出图中菱形和菱形的对应点的变化情况，结合等边三角形的性质即可选择答案． 【详解】解：根据旋转意义，观察图片可知，菱形可以看成是把菱形以为中心逆时针旋转得到． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的旋转变化，解题的关键是要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错． 6. 如图，中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 7. 如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故选：C． 8. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 故选：D． 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为；其部分图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，x的取值范围是 C. D. 若是抛物线上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．利用抛物线与x轴的交点个数可对A进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对B进行判断；由对称轴方程得到可对C进行判断；根据图象并结合选项B对D进行判断． 【详解】解：A、∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，故结论正确； B、∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故结论正确； C、∵， ∴， 故结论正确； D、根据图象并结合选项B可知：当时，；时，； ∴， 故结论不正确． 故选：D． 10. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，⊙的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙的面积，可得的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正六边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，点是正六边形的中心， 过作于， 在正六边形中，， ， ∴是等边三角形，， ， ， 正六边形的面积为， ， ， 的近似值为， 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键． 12. 抛物线y=x2+2x﹣3的顶点坐标为_____． 【答案】（﹣1，﹣4） 【解析】 【详解】试题分析：把抛物线化为顶点式的形式直接解答即可． 解：∵抛物线y=x2+2x﹣3可化为：y=（x+1）2﹣4， ∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 故答案为（﹣1，﹣4）． 考点：二次函数的性质． 13. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式等于零列关于c的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 15. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点D为弧的中点， ∴， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ∴， ∴，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 则或， 解得． 17. 2024年珠海“中国国际航空航天博览会”某展览馆展厅东面有A，B两个入口，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． （1）求小华从入口B进入展厅的概率： （2）画树状图或列表格分析小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1））直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小华从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 根据题意得：小华从入口B进入展厅的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下： 从树状图可以看出：小华从进入展厅到离开展厅共有6种等可能的结果； 小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的结果有1种， 所以小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率为： 18. 如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C， ， ， ∵的直径为， ， 在中，， ． 答：油的最大深度为． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （2）请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式； 【答案】（1）见解析 （2）二次函数， 【解析】 【分析】本题主要考查求解二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （2）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可． 【小问1详解】 解：描点连线绘制函数图象如下： 【小问2详解】 解：根据（1）中图像可知此函数为二次函数， 由题意可知二次函数的顶点， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， （或）． 20. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】（1）降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． 【小问2详解】 解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． ∴此时售价为（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． 21. 【综合与实践】 【知识背景】（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图1，即），有言道：“杆称一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端A处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点O，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为． （1）y关于x的函数解析式是 ； （2）若，则x的取值范围是 ． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为，的长为，完成下列问题： （3）y关于x的函数解析式是 ； （4）完成表格： … 0.25 0.5 1 2 4 … … … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点Q，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点O、支点Q和秤砣来称量重物是否正好为． 【答案】任务一：（1）；（2）；任务二：（3）；（4）见解析；任务三：选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确分析题意求出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据即可求出关系式； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）根据即可求出关系式； （4）将x的值分别代入求解即可； 任务三：根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴； （3）∵ ∴ ∴； （4）根据题意得， … 0.25 0.5 1 2 4 … … 40 20 10 5 2.5 … 任务三：如图所示， ∴，，， ∵现有重物约 ∴如果用支点O，则 如果用支点Q，则 ∴可以向左移动点B， ∴ ∴ ∴选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，以直径，已知，点⊙上一动点． （1）如图1所示，时，求的长． （2）如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； （3）如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】（1） （2）菱形，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【小问1详解】 ∵为直径， ∴中． ∵在中， 【小问2详解】 ∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 【小问3详解】 如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 23. 如图1，抛物线与直线相交于O、B两点，点A在抛物线上且横坐标为2，点D为抛物线与x轴的交点，点E是线段上一动点． （1）求点B坐标； （2）连接、，求的最小值； （3）为什么三角形？请说明理由： （4）如图2，点C是线段的中点，连接、，将沿折叠，得到，若与重叠部分的面积是面积的，求的长． 【答案】（1） （2） （3）直角三角形，见解析 （4）或 【解析】 【分析】本题综合考查二次函数的性质．难点在于分类探讨折叠后的图形，以此判断出点E所在的位置． （1）二次函数和一次函数联立，求得合适的解即为点B的坐标； （2）取二次函数的，求得点D的坐标，点D关于直线对称的点，连接交线段于E，此时最小，再由勾股定理求出最小值即可； （3）根据点A、点B的坐标，进而根据两点间的距离公式分别求得，，，得到较小的两边的平方和等于较大边的平方，那么为直角三角形； （4）分类探讨画出相关图形，易得折叠后连接后点、B、C、E组成的四边形是平行四边形，进而根据，以及折叠得到的边长相等可得的长度． 【小问1详解】 解：∵将代入抛物线得， ， ∴联立， 解得或， ； 【小问2详解】 解：当代入抛物线得， 解得或， ， ∴点D关于直线对称的点， 连接交线段于E，此时最小， 过A作轴，交y轴于F，则， ， ∴最小值为； 【小问3详解】 解：是直角三角形，理由如下： ， ， ， 是直角三角形； 【小问4详解】 解：分以下两种情况： ①当在上方时，设与交于点M， ∵C是的中点， ， ， ∴M是的中点， 由折叠可知，， ， ， ∴M是的中点， ∴四边形是平行四边形， ， ②当在下方时，设与交于点M， 同理可得四边形是平行四边形， ； ∴在直角中，， 又， 所以， 综上所述：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$