精品解析：浙江省宁波市慈溪市2024-2025学年上学期九年级期末数学试题

2024学年第一学期九年级期末测试卷 数学学科试卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的对称轴是直线．根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：C． 3. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 4. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 5. 如图，中，于点，点为上的点，，以点为圆心为半径画圆，下列说法错误的是（ ） A. 点在外 B. 点在外 C. 点在外 D. 点在内 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出BD=CD=6cm，利用勾股定理求出AD，得到AP的长，即可判断点A与的位置关系；利用勾股定理求出BP、CP，即可判断点B、C与的位置关系，由DP即可判断点D与位置关系． 【详解】解：∵， ∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°， ∴cm， ∵DP=2cm， ∴AP=6cm， ∴点A在上；故A选项符合题意； 连接BP、CP， ∵， ∴AD垂直平分BC， ∴BP=CP=, ∴点B、C都在外；故B、C选项都不符合题意； ∵DP=2<6， ∴点在内，故D选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记点与圆的位置关系是解题的关键． 6. 如图，残破的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为（ ）． A. B. 5 C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，方程的应用等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．由垂径定理可得，设这个轮子的半径长为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，， ， 设这个轮子的半径长为，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 即这个轮子的半径长为， 故选：B． 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰的高， ， 在中，， 又， ， 故选： A． 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 相等圆周角所对的弧相等 C. 任意三个点确定一个圆 D. 圆内接平行四边形必为矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据与圆相关是各个定理即可进行解答． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直弦，故A为假命题，不符合题意； B．同圆或等圆中相等圆周角所对的弧相等，故B为假命题，不符合题意； C．同一平面内不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故C为假命题，不符合题意； D．圆内接平行四边形必为矩形，故D为真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的相关概念，解题的关键是熟练掌握圆的相关概念． 9. 已知点，两点均在函数的图象上．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．根据二次函数性质即可求出结果． 【详解】解：∵函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：C． 10. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 两个正六边形为相似图形，所以我们要求面积比，则可求边长比，因此只需求出小正六边形的边长即可，根据这一特殊角，解即可得解． 【详解】解：设小正六边形的边长为，则， ∵是小正六边形的外角， ∴， 将作简化图如下， 过作于点， 在中，，， ∴ 在中，， ， 整理得． 解得，（舍）， ．．小正六边形得边长为5， 小正六边形与圆内接正六边形是相似图形， ∴相似比为， ∴面积比为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 比例式中的值等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”列出方程是解题的关键．根据比例的性质列出方程，通过解方程求得x的值即可． 【详解】解：， 解得． 故答案为：12． 12. 为估计种子的发芽率，做了10次试验．每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是___________． 【答案】95% 【解析】 【分析】根据发芽率的意义，求出发芽的种子数占实验种子总数的百分比即可． 【详解】解：（950×10）÷（1000×10）×100%＝95%， 故答案为：95%． 【点睛】本题考查频率估计概率，理解发芽率的意义是正确计算的前提． 13. 在中，，已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出三角形的三边，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义． 14. 如图，点，分别在的边，上，，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，首先根据、可得：，又因为，可证，从而可知，根据相似三角形的性质可求，根据，可证，根据等边对等角可求的长度． 【详解】解：，， ， ， 又， ， ，， 又∵， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 15. 某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到______元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业收入最大的房价． 【详解】解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元． 此时房价为元，日均入住数为间． 日营业收入，展开并整理： 对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值． 对称轴为． 当时，房价为元，且150元在元范围内． 综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大， 故答案：150． 16. 如图，是的一条弦，过作半径的平行线交于点，过作弦，垂足为，连结，，，．若，，则______，的半径长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作于点，于点，则，四边形是矩形，进而得，设，，则，，证明和相似得，则，，由此可得的值；再证明，得，由此得，进而得，然后在中，由勾股定理得求出即可得出的半径． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示： ，，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ∵，， ∴， ∴ ∴， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 在中，由勾股定理得：． 的半径长为． 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（第17题6分，第18、19、20题各8分，第21，22，23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解决此题的关键．先将特殊角的三角函数值代入，然后进行实数运算即可． 【详解】解： ． 18. 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． （1）从中任取一个球，求摸到红球的概率． （2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用概率公式和画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解： 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． 从中任取一个球，摸到红球的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有8种， 则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是． 19. 在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． （1）将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） （2）请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求作三角形； 【小问2详解】 解：如图所示， 20. 某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂、和一个灯杆组成，灯杆与地面垂直．现测得米，米，．（参考数据：；；．结果精确到0.1米） （1）求两灯臂末端、之间的距离． （2）求灯臂末端到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． （1）连接，延长交于点，然后解直角三角形即可得解； （2）在中，利用三角函数得出，得出的长，进而即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点． 和关于对称，与地面垂直． ，． ，． 在中，，即， ． ． 小问2详解】 解：在中，，即， ． 到底面的距离． 21. 如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质，等腰三角形性质，等边三角形判定及扇形面积和三角形面积计算，解题的关键是利用直径所对圆周角是直角，以及结合已知角度和边长关系进行推导计算． （1）根据圆的直径所对圆周角，再结合已知的，，得到，再由圆周角，最后求出相应角度； （2）通过作，垂足为．则，利用角度和边长关系判断出三是等边三角形，进而分别计算扇形面积和三角形面积，最后得出阴影部分面积． 【小问1详解】 解：为直径， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：作，垂足为．则， ， ．而， 是等边三角形． ，， 阴影部分的面积． 22. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数的最大值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的对称轴可得的值，再将点代入可得的值，由此即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式即可得； （3）先求出当时，；当时，；当时，，再结合二次函数的图象即可得． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 将点代入二次函数得：， 解得， ∴此二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：二次函数， ∵这个抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：对于二次函数， 当时，；当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， 画出函数的大致图象如下： ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，且， ∴结合函数图象可知，． 23. 【问题背景】浙江省地处沿海，风力资源丰富．综合实践小组准备利用影长测量某风力发电机组的高和叶片的长度．通过观察发现，如图1，风力发电机组是由与地面垂直的铁塔和呈均匀分布且相同的三个叶片、、组成，三个叶片绕着中心轴旋转，某时刻太阳光照射三个叶片，其影子落在地面上可形成线段． 【问题探究】某一时刻（如图，叶片与地面平行，叶片和外端的影子恰好都落在点处，叶片外端的影子落在点处，此时测得米，米． （1）两个叶片之间的夹角 　 　；此时太阳光线与地面夹角 　　． （2）分别求出叶片和铁塔的长． （3）小组同学在测量上述数据时发现，在该太阳光线下，三个叶片绕着中心轴旋转过程中，其影长在发生变化，请求出影长的最大值（假定太阳光线与地面的夹角不变）． 【答案】（1）；；（2），；（3）影子的最大值为米 【解析】 【分析】（1）由题意得，，所以，因为，所以，于是得到问题的答案； （2）设交于点，延长交于点，作于点，可证明，由，得，则，而，则，由，，求得米，米，则米，而，由，得米，由，求得米，则米； （3）因为米，所以米，则米，求得米，连接，则米，作于点，交的延长线于点，则，因为，所以当取最大值时，的值最大，由，求得的最大值为米，则的最大值为米． 【详解】解：（1）相同的三个叶片、、呈均匀分布， ，， ， 、、三点大同一条直线上，且， ， 故答案为：120，30； （2）如图2，设交于点，延长交于点，作于点，则， ， ， 太阳光线与地面的夹角不变， ， ， ， ， ， ， ，，且米，米， （米，（米， ， 四边形是矩形， 米， ， ， （米， ， （米， （米， 答：叶片的长为40米，铁塔的长为米． （3）如图2，米， 米， （米， 米， 如图3，连接、， ， 米， 作于点，交的延长线于点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当取最大值时，的值最大， ， 米， 的最大值为米， 的最大值为（米， 答：影长的最大值为米． 【点睛】此题重点考查垂径定理、勾股定理、平行线的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. 如图1，是直径，点在上，作，垂足为，的平分线交于点，交于点，连结，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，，求和的长． （3）如图2，若是中点，求的正弦值． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由是的直径，得，而，所以，由，，得，因为，所以，则，所以是等腰三角形； （2）连结，可推导出，则，而，则，所以，，求得，由，求得，因为，所以，由，求得； （3）连结，设，，则，，所以，，由，得，所以，求得，则，，由，求得，所以． 【小问1详解】 解：是等腰三角形， 理由：的平分线交于点，交于点， ， 是的直径， ， ， ， ，垂足为， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：如图1，连结， ，，且， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 和的长分别为和． 【小问3详解】 解：如图2，连结， 由（2）得， 是中点， ， 设，，则，， ，， ， ， ，即， 或（不符合题意，舍去）， ，， ， ， ， ， ， ， 的正弦值为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的解法、二次根式的化简、解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期末测试卷 数学学科试卷 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 3．考试期间不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中随机摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 4. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，于点，点为上的点，，以点为圆心为半径画圆，下列说法错误的是（ ） A. 点外 B. 点在外 C. 点在外 D. 点在内 6. 如图，残破的轮子上，弓形的弦为，高为，则这个轮子的半径长为（ ）． A. B. 5 C. D. 17 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平分弦直径垂直于弦 B. 相等圆周角所对的弧相等 C. 任意三个点确定一个圆 D. 圆内接平行四边形必为矩形 9. 已知点，两点均在函数的图象上．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 比例式中的值等于______． 12. 为估计种子的发芽率，做了10次试验．每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是___________． 13. 在中，，已知，则值为______． 14. 如图，点，分别在的边，上，，．若，，则的长为______． 15. 某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到______元时，客房的日营业收入最大． 16. 如图，是的一条弦，过作半径的平行线交于点，过作弦，垂足为，连结，，，．若，，则______，的半径长为______． 三、解答题（第17题6分，第18、19、20题各8分，第21，22，23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． （1）从中任取一个球，求摸到红球的概率． （2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 19. 在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． （1）将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） （2）请图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 20. 某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂、和一个灯杆组成，灯杆与地面垂直．现测得米，米，．（参考数据：；；．结果精确到0.1米） （1）求两灯臂末端、之间的距离． （2）求灯臂末端到地面的距离． 21. 如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE． （1）求的度数． （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数最大值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 23. 【问题背景】浙江省地处沿海，风力资源丰富．综合实践小组准备利用影长测量某风力发电机组的高和叶片的长度．通过观察发现，如图1，风力发电机组是由与地面垂直的铁塔和呈均匀分布且相同的三个叶片、、组成，三个叶片绕着中心轴旋转，某时刻太阳光照射三个叶片，其影子落在地面上可形成线段． 【问题探究】某一时刻（如图，叶片与地面平行，叶片和外端的影子恰好都落在点处，叶片外端的影子落在点处，此时测得米，米． （1）两个叶片之间的夹角 　 　；此时太阳光线与地面夹角 　　． （2）分别求出叶片和铁塔的长． （3）小组同学在测量上述数据时发现，在该太阳光线下，三个叶片绕着中心轴旋转过程中，其影长在发生变化，请求出影长的最大值（假定太阳光线与地面的夹角不变）． 24. 如图1，是的直径，点在上，作，垂足为，的平分线交于点，交于点，连结，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，，求和的长． （3）如图2，若是中点，求的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $