精品解析：江苏省苏州市姑苏区 草桥中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

初二数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3. 如图，菱形中，，，则对角线的长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得，判定为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 故选：D． 4. 如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 5. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，E是边上一点，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质，熟记平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．由平行四边形的对角相等求出，再求得，最后根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故选：D 7. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 8. 已知：如图，中，，点是射线上一动点，以为一边向左画正方形．连接，取中点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明△ACD≌△BCF，得到∠A=∠CBF=45°，可得∠ABF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则将BQ转化为，利用等腰直角三角形的性质求出CD的最小值即可得到BQ． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACD+∠BCD=90°， ∵四边形CDEF为正方形， ∴CD=CF，∠DCF=90°， 即∠BCD+∠BCF=90°， ∴∠ACD=∠BCF，又AC=BC，CD=CF， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴∠A=∠CBF=45°， ∴∠ABF=90°，又点Q是DF中点， ∴， ∵， ∴， ∴当CD为最小值时，BQ取最小值， ∴当时，CD有最小值，此时D为AB中点， 而AB==8， CD最小值为AB=4， ∴BQ最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是证明三角形全等，得到∠ABF=90°． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．由矩形的性质可得，由可得是等边三角形，，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故答案为：10． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别是，，则顶点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作于，由正方形的性质可得为等腰直角三角形，即得，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，， ∵的坐标是， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=3cm，AB垂直于BD，点O是两条对角线的交点，OD=2cm，则AD=_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出BD=2OD=8cm，由勾股定理求出AB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD=2OD=4cm， ∵AB⊥BD， ∴∠ABD=90°， ∵AB=3cm ∴AD=（cm）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 13. 如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 连接，根据矩形的性质得，然后利用三角形中位线定理即可解决问题． 详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形为菱形，延长到，在内作射线，过点作于，若平分，，则对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，过点作于， 可证明，得到，再根据菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，E，F分别是平行四边形的边上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了平行四边形的性质，连接，由三角形的面积公式我们可以推出，所以，，因此可以推出阴影部分的面积就是，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【详解】解：如图，连接， 四边形平行四边形， ， 的边上的高与的边上的高相等， ， ， 同理， ， ，， ， 故答案为：27． 16. 如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由四边形为矩形得，即得，得到，可知当最小时，即点在轴上，取得最小值，据此即可求解，利用平行四边形的性质，构造全等三角形，得出长度为定值是解题的关键． 【详解】解：设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵直线与直线均垂直于x轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，即点在轴上，取得最小值，最小值为， ∴此时点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 17. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）写出坐标：________，________． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案； （2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可． 【小问1详解】 解：关于点成中心对称的，如图即为所求； 【小问2详解】 解：关于点成中心对称的，，， ，． 故答案为：，． 18. 如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先判断出，进而判断出即可．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，且，， ， 19. 如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， （1）求度数； （2）求平行四边形的周长． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质： （1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 20. 如图，在中，交于点O，点E、点F分别是、的中点，请判断线段、的关系，并证明你的结论． 【答案】且，证明见解析 【解析】 【分析】连接，证明四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：且，理由如下： 如图：连接， ∵四边形为， ∴， ∵点E、点F分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定．熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，点分别是线段的中点，分别是线段的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形的边满足________时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2），见解析． 【解析】 【分析】（）根据中位线定理得，，，，然后根据平行公理推论得，，从而求证； （）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可求解； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵点分别是线段的中点，分别是线段的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形的边满足时，四边形是菱形．理由如下： ∵点分别是线段的中点，分别是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案． （2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可． 【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE． ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD． 在△AFE和△DBE中， ∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE， ∴△AFE≌△DBE（AAS） ∴AF=BD． ∴AF=DC． （2）四边形ADCF是菱形，证明如下： ∵AF∥BC，AF=DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线， ∴AD=DC． ∴平行四边形ADCF是菱形． 23. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点停止运动，设点运动时间为秒．当的值为多少时，以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的几何应用，分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，根据平行四边形的性质解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：①当为平行四边形的边，则在点左侧，，， ∵， ∴， 解得； ②当为平行四边形的对角线，则在点右 侧，，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或时，以为 顶点的四边形为平行四边形． 24. 如图，点为平面直角坐标系的原点，边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． （1）求点的坐标； （2）过点的直线将菱形分成面积比为的两部分，求该直线的解析式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）作于点，利用菱形的性质可得，，进而可得，即得，，即可求解； （）连接，作于点 ，于，设菱形 的面积为，可得点的坐标为，，，即得直线和均将菱形分成面积比为的两部分， 且直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：作于点，则， ∵四边形是菱形，边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：如图， 连接，作于点 ，于， 设菱形 的面积为， ∵四边形是边长为的菱形， ， ∴和都是等边三角形，点的坐标为， ∴ ，分别是 的中点， ∴，，，， ∴点的坐标为，，， ∴直线和均将菱形分成面积比为的两部分， 且直线的解析式为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 综上，该直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值． （2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______． 【答案】（1）0.5或4.5；（2）①；②1.5 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到EF=MN，得到AE=CF=0.5，从而分两种情况得到t值； （2）①根据菱形的性质，作AC的垂直平分线GH，连接AG，得到AG=CG，在△ABG中利用勾股定理列出方程，求出BG，得到AB+BG的值，可得t； ②求出BQ和CQ，分析得到S△AGP+S△BQG=3时，S四边形GQHP=S矩形ABCD，可得关于AG的方程，解之得到AG，即可得到t值． 【详解】解：（1）如图1，当四边形EMFN为矩形，EF=MN，OE=OM=OF=ON， ∵四边形ABCD是矩形，且M，N分别为AB，CD中点， ∴OM=ON，OA=OC， ∵E，F两点运动速度均为1个单位， ∴AE=CF， ∴OE=OF， ∴EF=MN=BC=4， ∵AC==5， ∴AE=CF=0.5， ∴t=0.5，同理：当AE=CF=4.5，四边形EMFN为矩形， ∴当t=0.5或4.5时，四边形EMFN为矩形； （2）①作AC的垂直平分线交BC于G，交AD于H，交AC于O， 当点G，H运动到AC的垂直平分线上时，四边形EGFH为菱形， 连接AG，此时AG=CG， ∴，即， 解得：BG=， ∴AB+BG=3+=， ∴当t=秒时，四边形EGFH为菱形； ②由①得：BQ=，即CQ=， 由题意可得：DP=BQ，DH=BG，AG=CH，AP=CQ， S矩形ABCD=3×4=12， ∴S梯形APQB=S矩形ABCD=6， ∴当S△AGP+S△BQG=3时，S四边形GQHP=S矩形ABCD， ∴AG·AP+BG·BQ=3， 即AG·+（3-AG）·=3， 解得：AG=1.5， ∴当t=1.5时，S四边形PGQH=S矩形ABCD． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，垂直平分线的应用，勾股定理，图形的面积，解题的关键是利用特殊四边形的性质，得到线段的关系，从而得到图形面积的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二数学 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形中，，，则对角线长是（　　） A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 4. 如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测的中点为D，E， 测得， 则A，B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，E是边上一点，，连接，，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：如图，中，，点是射线上一动点，以为一边向左画正方形．连接，取中点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别是，，则顶点的坐标是______． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=3cm，AB垂直于BD，点O是两条对角线的交点，OD=2cm，则AD=_____cm． 13. 如图，在矩形中，，点分别是的中点，连接，则的长为______． 14. 如图，四边形为菱形，延长到，在内作射线，过点作于，若平分，，则对角线的长为______． 15. 如图，E，F分别是平行四边形的边上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分四边形的面积为______． 16. 如图，已知顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为______． 三、解答题 17. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）写出坐标：________，________． 18. 如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 19. 如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， （1）求度数； （2）求平行四边形的周长． 20. 如图，在中，交于点O，点E、点F分别是、的中点，请判断线段、的关系，并证明你的结论． 21. 如图，在四边形中，点分别是线段的中点，分别是线段的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形的边满足________时，四边形是菱形． 22. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 23. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，点停止运动，设点运动时间为秒．当的值为多少时，以为顶点的四边形为平行四边形？ 24. 如图，点为平面直角坐标系的原点，边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． （1）求点的坐标； （2）过点的直线将菱形分成面积比为的两部分，求该直线的解析式． 25. 在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值． （2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$