浙江省精诚联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

保密★考试结束前 2024学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考 高一年级数学试题 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题卷。 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．） 1．已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则 A． B． C． D． 2．在下列各组向量中，可以作为基底的是 A． B． C． D． 3．已知正三角形的边长为1，则的值为 A． B．1 C． D．2 4．在中，，则的面积为 A． B． C． D． 5．已知，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．已知平面向量满足，则的最大值为 A． B． C． D． 7．是斜边上一点，若，则的值 A． B． C． D． 8．在中，内角所对的边分别为，已知，， 依次是边的四等分点（靠近点），记 ，则 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．） 9．已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是 A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若是方程的一个根，则 10．已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是 A．已知，则 B．已知，则线段的长度为1 C．已知，则 D．已知，则的最大值为 11．已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是 A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则是等腰三角形 C．若，则的取值范围 D．若，则的取值范围 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知向量，若，则__________． 13．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式．根据欧拉公式求的最大值为__________． 14．已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 16．（15分）已知的内角所对应的边分别为，是外一点，若，且． （1）求角的大小； （2）若，求四边形面积的最大值． 17．（15分）在中，为线段上的点，分别为的中点． （1）若，求的值； （2）若，求的长度； （3）若，求的值． 18．（17分）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地．某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为 ．（已知） （1）请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）； （2）为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛．知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式） 19．（17分）如图，已知是边长为1的等边三角形，点是内一点．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，且． （1）若，求的面积； （2）求的最小值； （3）若，设的周长为． （i）求的值；（ii）设，记，求的值域． 高一数学试题 第1页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024学年第二学期浙江精诚联盟 3月联考 高一数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C D A B D C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9 10 11 BC ABD BCD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12． 1− 13．2 14．       1, 23 20 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知 i 是虚数单位， z 表示 z 的共轭复数，复数 z 满足 ( ) 1i1 +=+ zz （1）求 z 的值； （2）在复平面内，若 ( ) i133 21 +−+−= mm m zz 对应的点在第三象限，求实数m的取 值范围. 解：（1）设 biaz += ，则 biaz −= . …………………………………………1分 1)()1( +−=++ biabiai 即 biaibaba −+=++− )1()()( ， ……………………………………………3分    −=+ +=− bba aba 1    = −=  2 1 a b 即 iz −= 2 ………………………………………4分 522 =+= baz …………………………………………………6分 （2）由（1）知 iz += 2 …………………………………………………7分 ( ) ( ) i23)32(i1332 221 +−+−=+−+−+= mm m mm m iz ………9分      +− −  023 0 3 2 2 mm m ………………………………………………………11分         21 2 3 0 m m 2 3 1  m 即实数m的取值范围是       2 3 1， ………………………………………13分 16.（15分）已知 ABC 的内角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, ，D 是 ABC 外一点， 若 ba = ，且 ( ) BbAcCa sin2coscos3 =+ . （1）求角 B 的大小； （2）若 1,2 == DCDA ，求四边形 ABCD面积的最大值. 解：（1） ( ) BbAcCa sin2coscos3 =+ ， ( ) BACCA 2sin2cossincossin3 =+ ， ………………………………1分 即 BCA 2sin2)sin(3 =+ ………………………………………………3分 0sin)sin( =+ BCA ， 2 3 sin = B …………………………………5分 又 ba = ， BA = ,        2 ,0  B , 3  =B . …………………………………7分 (2)由（1）知 ABC 是正三角形，设其边长为 t，又 1,2 == DCDA ，则 4 14 cos 2t D −+ = ，即 Dt −= cos45 2 ， ……………………………9分 四边形 ABCD的面积为 S ，则 )cos45( 4 3 sin 4 3 sin12 2 1 2 DDtDS −+=+= ……11分 4 35 2 4 35 ) 3 sin(2 4 35 cos3sin ++−=+−=  DDD ………13分 因为          ， 3 D ，所以当 6 5 =D 时，面积 S 的最大值为 4 35 2 + . …15分 17.（15分）在 ABC 中，D 为线段 BC 上的点， NMBCADACAB ,,,4,6 ⊥== 分别为 ACAB, 的中点. （1）若 ACABAD += 3 1 ，求的值； （2）若 3−=DNDM ，求 BC 的长度； （3）若 3=  +  DC DCDN DB DBDM ，求 BACcos 的值. 解：（1） DCB ,, 三点共线，设 )( ABACtBCtBD −== ACtABtBDABAD +−=+= )1( 又 ACABAD += 3 1 ，      = =−  t t  3 1 1 3 2 == t ………………………………………4分 （2） ADABADAMDM −=−= 2 1  ADACADANDN −=−= 2 1 ， ) 2 1 () 2 1 ( ADACADABDNDM −−= 2 2 1 2 1 4 1 ADADACADABACAB +−−= （*）………………………6分 BCAD⊥ ， 2 2 1 2 1 2 1 ADADACADAB == （*）可化为 ACAB  4 1 ，即 3 4 1 −== ACABDNDM 12−= ACAB ………………………………………………………………8分 1922)( 22 2 =+−=−= ABACABACABACBC ………10分 （3）如图，过点M，N分别作 BC的垂线，交 BC于点 G，H，则 G，H分别是线段 BD， DC的中点. 3=  +  DC DCDN DB DBDM  3=+ DHDG ， 即 6=BC …………………………………………………………………………12分 3 1 462 361636 2 cos 222 =  −+ =  −+ = ACAB BCACAB BAC ……………………15分 18.（17分）杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的 新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地. 某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门” AB 的高度，该小组同学在该 建筑底部 B 的东南方向上选取两个测量点C 与 D ，测得 347=CD 米，在 DC、 两处测 得该建筑顶部的仰角分别为 00 30,60 ====  ADBACB .（已知 73.13  ） (1)请计算“杭州之门” AB 的高度（保留整数部分）； (2)为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上 A到E 处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛. 知 100=AE 米，高 AB 直接取（1）的整数结果，市民在底部 B的东南方向的F 处欣赏“灯 光秀”（如图），请问当 BF 为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 解：（1）在 ABCRt 中， BC AB =tan ，得 AB AB BC 3 3 60tan 0 == ……2分 在 ABDRt 中， BD AB =tan ，得 AB AB BD 3 30tan 0 == ………4分 ABABABBCBDCD 3 32 3 3 3346, =−=−=  ……………5分 300 32 3347    =AB ……………………………7 分 （2）由图可知， EFBAFB −= ，设 xBF = 米 则 xBF BE EFB xBF AB AFB 200 tan 300 tan ==== ， ……………………9 分 ( ) EFBAFB EFBAFB EFBAFB + − =−= tantan1 tantan tantan ………………10 分 12 6 62 1 600002 100 60000 100 200300 1 200300 == + = + − = x x xx xx ……………………14 分 当且仅当 x x 60000 = ，即 6100=x 时等号成立 ……………………16 分 根据题意，对于锐角 ,  越大，则 tan越大，反之亦然， 显然 π 0, 2         ，可得 tan最大时最大. 答：当 BF 为 6100 米时，欣赏“灯光秀”的视角最大.……………………17 分 19.（17分）如图，已知△ABC是边长为 1 的等边三角形，点 G是△ABC内一点．过点 G的 直线 l与线段 AB交于点D，与线段 AC交于点 E．设 AD AB= ，AE AC= ，且 0  ， 0  ． （1）若 2 1 5 5 AG AB AC= + ，求 GABS 的面积； （2）求 ( )GCGBGA + 的最小值； （3）若 0=++ GCGBGA ，设△ADE 的周长为 1c ． （i）求 1 1   + 的值；（ii）设 t = ，记 tctf −= 1 3 1 )( ，求 ( )f t 的值域． 19.解：（1）连接 AG 并延长，交 BC 于点 F， 设 AF mAG= ，则 2 5 5 m m AF AB AC= + ，……………………1 分 又 B，F，C 三点共线，所以 2 1 5 5 m m + = ， 5 3 m = ，……………………2 分 故 2 1 3 3 AF AB AC= + ，即 3 3 11 AF AB AC AB= −− ， 则有 1 3 BF BC= ，所以 1 3 FAB ABC S BF S BC = =△ △ ， ……………………3 分 又 5 3 AF AG= ，所以 3 5 GAB FAB S AG S AF = =△ △ ，所以 1 5 GAB ABC S S =△ △ . ……………………4 分 因为 4 3 =ABCS ，所以 20 3 =GABS ……………………5 分 （2）设 BC 的中点为T ， AT 的中点为M ，连接 GMGT , 所以 ( ) ( ) ( ) 4 22 22 GTGAGTGA GTGAGCGBGA −−+ ==+ ………………7 分 8 3 8 3 2 2 2 2 2 2 −−=−= GM AT GM 所以最小值为 8 3 − ，当且仅当点G 与点M 重合时取到等号. ………………9 分 （3）（i）连接 AG 并延长，交 BC 于点 F， 因为 0=++ GCGBGA ，所以 G 为重心，所以 F 为 BC 中点，所以 ( ) 1 2 AF AB AC= + ， 所以 ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3 3 3 AG AF AB AC AD AE AD AE       = =  + = + = +    ………………11 分 又 D，G，E 三点共线，所以 1 1 1 3 3  + = ，则 1 1 3   + = ． ………………12 分 （ii）△ABC 的边长为 1，则 AD = ， AE = ，（ ( , 0,1  ） 在△ADE 中， 2 2 2 2 22 cos60DE AD AE AD AE   = + −    = + − ， 所以 2 2DE   = + − ，所以 333 1 22 1  −+++ = ++ = DEAEAD c ………13 分 因为 1 1 3 3     + =  + = ， 2 2 2 2( ) 2 9( ) 2      + = + − = − ， 所以 ( ) 3 393 33 1 222 1  −+ = −+++ =c 因为 t = ，所以 ( ) 22 2 1 1 6 6 3 9 3 3 3 3 t t t t f t t t t + −   = − = −    −= −  ， 因为0 1  ，0 1  ，所以 1 1   ， 1 1   ，又 1 1 3 2   = −  ，则有 1 1 2    ， 因为 3 1 λ μ λ = − ，所以 2 2 2 1 1 3 13 1 1 3 9 2 4       = = = −  − − − +    ， ………………15 分 因为 1 1 2    ， 2 1 3 9 9 2 2 4 4    − − +     ，所以 的最小值为 4 9 ，最大值为 1 2 ， 所以 4 1 , 9 2 t    =     ， 2 1 1 6 36 t    −   − 单调递增，则 2 4 1 1 1 81 6 36 12 t   −−    ， 所以 ( ) 2 3 , 9 6 f t        ，即 ( )f t 的值域为 2 3 , 9 6       ． ………………17 分