16.1相交线（第2课时 垂线）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学下册 第16章 相交线与平行线 16.1 相交线 第2课时 垂线 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握垂线的性质，会过一点画一条直线的垂线. 2. 通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行简单的说理. 3. 体会垂线在实际问题中的应用，感受数学与生活的密切联系. 重点：垂线的概念、画法和垂线的两个性质. 难点：垂线的画法，理解点到直线的距离. 学习目标 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情景导入 日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？ 情景导入 木条a和木条b相交形成的四个角的大小随着木条a的转动而变化。 b a b a b a 新知探究 1 2 B C D O 3 4 两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角。两条直线相交的位置特征，可以通过两条直线的夹角来描述。 夹角 40° 如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=40°，那么∠AOC是直线AB、CD的夹角，其大小是40°。 A 概念归纳 如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD=150°，求直线AB、CD的夹角的度数。 解：∵∠AOD=150°， ∠AOD+∠AOC=180° ∴∠AOC=30° ∴直线AB、CD的夹角的度数是30° 思考 转动木条a和木条b，当形成的夹角为90°时，我们称a与b互相垂直。 b a 观察 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. 垂直定义： 概念归纳 如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）. 如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥ l）. 把互相垂直的两条直线的交点叫做垂足（如图中的O点）. A B C D O l m 垂直的表示法 概念归纳 A B C D O 符号语言： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O. ①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义） 符号语言： 反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°. ②性质：∵ AB⊥CD ,（已知） ∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°) 垂线的基本性质与判定 概念归纳 在日常生活中，经常可以遇到两条直线互相垂直的情形，请指出图中互相垂直的直线形象，你还能举出一些生活中的其他例子吗？ 讨论 用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 1.靠 2.放 3.画 这样画l的垂线可以画无数条 l 思考 1.靠 2.放 3.画 这样画l的垂线可以画1条 l A 经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 思考 1.靠 2.放 3.画 这样画l的垂线可以画1条 l B 用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 思考 经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画一条垂线。即： 公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 一点 点在直线上 点在直线外 有且只有 存在 唯一性 概念归纳 讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ 在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ l P 在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？ 运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. 这样的线段 PO 只有一条. (2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ (3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ 垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度叫作点到直线的距离. (4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ 例3. 已知，直线AB、CD分别交直线EF于点H、G，CD⊥EF∠FHA=∠EGC. 求证：AB⊥EF. 证明：∵CD⊥EF， ∴∠EGC=90°（垂直的定义） 又∵∠FHA=∠EGC， ∴∠FHA=90° ∴AB⊥EF.（垂直的定义） 例题讲解 例4.指出图中线段AC、BC、AD、BD、CD的长分别表示哪个点到哪条直线的距离. （1）线段AC的长是点____到直线_____的距离； （2）线段BC的长是点____到直线_____的距离； （3）线段AD的长是点____到直线_____的距离； （4）线段BD的长是点____到直线_____的距离； （5）线段CD的长是点____到直线_____的距离. 例题讲解 A BC B AC A CD B CD C AB 课堂练习 1.填空题： （1）如图，直线 ___ ___与直线___ ___相交于点D； （2）如图，直线 ___ ___垂直于直线___ ___， ___ ___ 为垂足。 CD AB CE AB O 2.如图，直线a、b的夹角是___ ___°。 3.如图，已知点P在∠CAB的内部，点Q在边AB上。根据下面的要求画出图形并填空。 （1）过点P画PD⊥AB，垂足为D； （2）过点P画PE⊥AC，垂足为E； （3）P、Q两点间的距离是线段___ 的长度，线段PD的长度表示___到___的距离； （4）点P到直线AC的距离是线段___的长度； （5）点Q到直线AB的距离是___。 70 D ¬ E PQ P AB PE 0 分层练习 1.如图，已知，若 ，则 的度数为( ) B A.B. C. D. 基础题 2.[2024· 北京] 如图，直线和相交于点 ， .若 ，则 的大小为 ( ) B A. B. C. D. 3.[2024· 广州南沙区期末] 如图，已知直线 ，相交于点， 下列条件中不能说明 的是( ) C A. B. C. D. 4.如图，点与直线上的四个点，，， 的所有连线中，最短 的线段是( ) B A.B.C.D. 5. 下列图形中线段的长度表示点到直线 的距离的是( ) C A B C D 6. [2024· 福州晋安区期末] 如图是小林同学一次立 定跳远的示意图，小林从点起跳，落在点 处， 经测量， ，那么小林实际的跳远成绩 可能是( ) A A. B. C. D. 7. 如图，王师傅为了检验门框 是 否垂直于地面，在门框的上端 处用细线悬挂一铅 锤，看门框是否与铅锤线重合.若门框 垂直于地 面，则会与重合，否则与 不重合.请你用 所学的数学知识说明道理：______________________ _______________________________. 在同一平面内，过一 点有且只有一条直线与已知直线垂直 8. 如图，直线，相交于点，，平分，则 的度数是_____. 9. 如图，已知和一点，过点画 两边的垂线. 解：画图如图所示. 10.如图， ，，垂足为 ，则下面的结论中， 不正确的是( ) A A.点到的垂线段是线段 B.与 互相垂直 C.与 互相垂直 D.线段的长度是点到 的距离 综合应用题 11. 如图，于点 ，于点 ， 下列关系式中一定成立的是( ) C A. B. C. D. 12. 如图，平原上有，， ， 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资 修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 的位置，使它到四个村庄的距离之和 最小； 解：如图，点 即为蓄水池的位置. （2）计划把河水引入蓄水池 中，怎样开渠最短？画图并说明理由. 解：如图， 即为所求.理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短. 12. 如图，平原上有，， ， 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资 修建一个蓄水池. 13.如图，已知直线,，相交于点 ，,且平分， . （1）求 的度数； 解：因为,相交于点 ,所以 . 因为,所以 , 即 ,所以 . （2）是 的平分线吗？说明你的理由. 解：是 的平分线,理由: 因为是的平分线,所以 . 又因为 ,所以 , 所以,所以是 的平分线. 13.如图，已知直线,，相交于点 ，,且平分， . 14. 按如图的方法折纸，然后回答问题： （1）与 垂直吗？为什么？ 创新拓展题 解：.理由如下：由折叠可知 . 又因为 ，所以 ，即 .所以 . 14. 按如图的方法折纸，然后回答问题： 创新拓展题 （2）与 有何关系？ 解：由（1）知 ，故与 互余. （3）与，与 分别有何关系？ 解：与互补，与 互补. 习题 1.如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，∠1与∠2是对顶角吗? 不是 理由:∠1的两条边不是∠2两条边的反向延长线 2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=80°，且∠COE=3∠EOD.求∠BOC的度数.把以下解答过程补充完整.(注:若∠1的大小是∠2的k倍，则用∠1=k∠2表示.) 解: ∵ 直线 AB、CD 相交于点 O, ∴∠COE+∠ =180°。 ∵∠COE=3∠EOD， ∴ + =180°， 即∠ = °。 ∵∠AOE=80°， ∴∠AOD= °。 ∴∠BOC=∠AOD= °（ ）。 BOE 3∠EOD ∠EOD EOD 45 125 125 对顶角相等 3.如图，已知点P在∠BAC的边AC上，按下列语句画出图形： （1）过点P画AC的垂线，交边AB于点D: （2）过点P画AB的垂线，垂足为E。 D E 4.如图，按下列语句画出图形: （1）过点B画AC的垂线，垂足为D: （2）过点C画AB的垂线，垂足为E. D E 5.如图，直线a、b相交，∠1=3∠2.求直线a、b的夹角的度数。 ∵∠1=3∠2，∠1+∠2=180°， 3∠2+∠2=180° ∠2=45° 直线a、b的夹角的大小为45。 6.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OE⊥OF,垂足为O。已知∠AOC=36°，求∠BOF的度数。 解:∵AB与CD相交于点O, ∴∠AOC与∠BOD是对顶角.又∵∠AOC=36°，∴∠BOD=∠AOC =36°. ∵OE平分∠BOD. ∴∠LBOE=∠BOD = 18°. ∵OE ⊥OF∴∠EOF =90°. ∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-18°=72° 垂线 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 垂线的画法 垂线的性质： (1)(同一平面内)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)垂线段最短. 点到直线的距离 课堂小结 $$