精品解析：广西南宁市天桃实验学校2024-2025学年九年级下学期3月单元作业（一）数学试题

2025年春季学期九年级三月单元作业（一） 数学试卷 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上 作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第 Ⅰ 卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．根据无理数的概念即可求解． 【详解】解：，，是有理数，是无理数． 故选：B． 2. 产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从几何体的上面看所得到图形即可． 【详解】解：从上面看得到图形为： 故选：C． 3. 甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 则身高比较整齐的篮球队是乙， 故选：B． 4. 16的平方根是（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的平方根是 5. 已知点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为 故选：A． 6. 若代数式的值是0，则实数x的值是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．让分子为0，分母不为0得到x的值，代入所给代数式即可求解． 【详解】解：代数式的值是0， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 8. 将抛物线向右平移4个单位后，所得新抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线向右平移4个单位后，所得新抛物线的解析式为， 故选：A． 9. 在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理．根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相离得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相离， ， ， 解得， 故选：C． 10. 反比例函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 和的大小无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键：当时，第二象限点的纵坐标值都为正，第四象限点的纵坐标值都为负．根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 又点在反比例函数的图象上，且， ， 故选：B． 11. 某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路 ，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多修，结果延期15天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前15天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期15天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前15天完成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．由代表的含义找出代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：原计划每天修的道路长度， 方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， 原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前天完成． 故选：B． 12. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，勾股定理；正确利用旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：把顺时针旋转的位置， ， ，四边形的面积等于正方形的面积等于， ， ， 在中， ， 故选：． 第 Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 将多项式进行因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等； 本题先提公因式，然后即可求解； 【详解】解：； 故答案为：； 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 15. 如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】利用弧长公式，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得的长＝＝(cm)， 故答案为： 【点睛】此题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 设抛物线的对称轴交于点，可求，则，而，由勾股定理得，求出，再代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：设抛物线的对称轴交于点， 当，则， 解得：或， ∴， 对称轴：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；熟练掌握二次根式的性质以及解一元一次不等式组的方法是解题的关键； （1）先化简，，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，在等腰中，，于D点． （1）尺规作图：过点A作的平分线分别交、于E、F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1） 如图即为所求作； （2） 证明：， ， ， ，平分， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等，易证，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． （1）请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； （2）小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】（1）； （2）游戏不公平，游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可； （2）由积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断． 【小问1详解】 列表如下： 小真 小帅 1 2 3 4 1 2 3 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同，其中积为6的有2种，为，，∴P（积为6）； 【小问2详解】 游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），，所以不公平 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 注：这道题列这种表不扣分 小真 小帅 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同， 其中积为6的有2种，为，， ∴P（积为6）； （3）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），， 所以不公平． 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 20. 如图，是的直径，是上的一点，点是弧的中点，过点作 交延长线于点，所在直线交的延长线于点，连接，． （1）请判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 直线与的相切；理由如下： 连接，如图所示， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握圆周角定理，以及相似三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据等弧所对的圆周角相等可得，从而利用角平分线和平行证明，然后利用平行线的性质求出，即可解答； （2）根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ 设的半径为， ∵，， ∴ 解得：（负值舍去） 即的半径为． 21. 小明和爸爸各买了一个保温壶，分别记为甲和乙．小明对这两个保温壶进行了保温测试，他同时分别向甲乙两个保温壶中倒入了同样多的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，且这段时间内，甲，乙的水温（）与时间（分）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据相关信息，解答下列问题： （1）求乙壶中的水温与的函数关系式（不必写自变量的取值范围）； （2）当乙壶中的水温是时，求甲壶中水的温度是多少？ （3）测试多长时间内，这两个保温壶的温差不超过？ 【答案】（1） （2）当乙壶中的水温是时，甲壶中水的温度是 （3）测试分钟内，这两个保温壶的温差不超过 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． （1）待定系数法求出乙的水温与时间（分）的函数关系式即可； （2）待定系数法求出甲的水温与时间（分）的函数关系式，把代入乙的水温与时间（分）之间的解析式求出的值，再代入甲的解析式即可； （3）根据题意列出不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设乙的水温与时间（分）之间的一次函数关系为， ∵图象过，， ∴， 解得， 乙的水温与时间（分）之间的一次函数关系为：． 【小问2详解】 解：设甲的水温与时间（分）之间的一次函数关系为， ∵图象过，， ∴， 解得， 甲的水温与时间（分）之间的一次函数关系为：． 当时，， 解得： 当乙壶中的水温是时，对应的值为200， 当时，． 答：当乙壶中的水温是时，甲壶中水的温度是． 【小问3详解】 解：根据题意可得：， 解得：． 答：测试分钟内，这两个保温壶的温差不超过． 22. 某校项目式学习小组以“借助太阳光线测量大楼高度”开展主题活动，他们计划携带测量仪器、标杆、测角仪等工具，确定方法后先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算大楼的高度．如图1是某一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，大楼抽象为线段，已知，，点，，，在一条直线上． 下面是两组测量数据： 第一组 第二组 ①标杆； ②标杆底部到楼底部的距离； ③从点看点的仰角为． ①标杆； ②标杆的影长； ③大楼的影长． 请你帮他们解决如下问题： （1）请依据第一组的数据计算大楼的高度．（参考数据：，，） （2）请判断两组同学的最后结果是否一致，并说明理由． （3）学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且，用无人机辅助测得与水平线的夹角＝，与水平线的夹角＝，米，米．请你根据以上数据求点与点的高度差．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 两组同学的最后结果一致，理由如下， 根据第二组数据计算：依题意， ∴ ∵ ∴， 解得： （3）点与点的高度差为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）在利用三角函数解得的值，进而即可求解； （2）依题意，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，在和中，利用三角函数解得，的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴ ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 在中， （米）， 在中， （米）， （米）． 答：点与点的高度差为米． 23. 在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，． （1）【猜想观察】如图①，若，交于点，则的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______； （2）【类比探究】如图②，若，与，分别相交于点，，求的值及的度数； （3）【解决问题】如图③，当时，若，，三点在同一直线上，且，交于点，，求的长． 【答案】（1）1； （2）； （3）的长为1 【解析】 【分析】（1）延长交于，根据证，即可得出，然后根据角相等得出即可； （2）先证，根据线段比例关系得出的值，然后根据角的等量代换得出，即可， （3）设，则，证，根据比例关系得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：延长交于， ， ，， ∴都是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 在和中，且， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：线段绕点逆时针旋转得到线段， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， ， ， 又， 即， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：设，则， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期九年级三月单元作业（一） 数学试卷 （形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上 作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将答题卡交回． 第 Ⅰ 卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三支女子篮球队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高比较整齐的篮球队是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 4. 16的平方根是（ ） A. B. 8 C. D. 2 5. 已知点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为( ) A. B. C. D. 6. 若代数式的值是0，则实数x的值是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向右平移4个单位后，所得新抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 9. 在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相离，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 反比例函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 和的大小无法比较 11. 某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路 ，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多修，结果延期15天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前15天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期15天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前15天完成 12. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 第 Ⅱ 卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 将多项式进行因式分解：______． 14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 15. 如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）解不等式组：． 18. 如图，在等腰中，，于D点． （1）尺规作图：过点A作的平分线分别交、于E、F（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 19. 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． （1）请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； （2）小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 20. 如图，是的直径，是上的一点，点是弧的中点，过点作 交延长线于点，所在直线交的延长线于点，连接，． （1）请判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 21. 小明和爸爸各买了一个保温壶，分别记为甲和乙．小明对这两个保温壶进行了保温测试，他同时分别向甲乙两个保温壶中倒入了同样多的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，且这段时间内，甲，乙的水温（）与时间（分）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据相关信息，解答下列问题： （1）求乙壶中的水温与的函数关系式（不必写自变量的取值范围）； （2）当乙壶中的水温是时，求甲壶中水的温度是多少？ （3）测试多长时间内，这两个保温壶的温差不超过？ 22. 某校项目式学习小组以“借助太阳光线测量大楼高度”开展主题活动，他们计划携带测量仪器、标杆、测角仪等工具，确定方法后先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算大楼的高度．如图1是某一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，大楼抽象为线段，已知，，点，，，在一条直线上． 下面是两组测量数据： 第一组 第二组 ①标杆； ②标杆底部到楼底部的距离； ③从点看点的仰角为． ①标杆； ②标杆的影长； ③大楼的影长． 请你帮他们解决如下问题： （1）请依据第一组的数据计算大楼的高度．（参考数据：，，） （2）请判断两组同学的最后结果是否一致，并说明理由． （3）学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且，用无人机辅助测得与水平线的夹角＝，与水平线的夹角＝，米，米．请你根据以上数据求点与点的高度差．（参考数据：） 23. 在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，． （1）【猜想观察】如图①，若，交于点，则的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______； （2）【类比探究】如图②，若，与，分别相交于点，，求的值及的度数； （3）【解决问题】如图③，当时，若，，三点在同一直线上，且，交于点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $