精品解析：江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋学期期末学情调查九年级数学试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的两个实数根分别为（ ） A. 1，2 B. ， C. ，2 D. ， 2. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 60 50 40 35 30 20 人数 1 4 4 6 7 3 该公司营销人员该月销售量的中位数，众数分别为（ ） A. 37.5件，35件 B. 35件，35件 C. 37.5件，30件 D. 35件，30件 4. 如图，，，垂足为，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（ ） A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 均为正数 6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若锐角满足，则______． 8. 二次函数图象的顶点坐标为______． 9. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 10. 某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是_____元． 11. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则______． 12. 两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为_____． 13. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______． 14. 如图，在中，，，，则______． 15. 如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为______． 16. 如图，二次函数．与一次函数图象交点的横坐标分别为，3，则关于的不等式的解集为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 某家电销售商店1~6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台） （1）求该商店甲品牌冰箱1~6周销售量的平均数和方差； （2）经过计算可知，乙品牌冰箱1~6周销售量的平均数是10台，方差是台2．根据上述数据处理的结果及折线统计图，小明、小亮分别对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出了建议，小明建议多采购甲品牌冰箱，理由可能是______；小亮建议多采购乙品牌冰箱，理由可能是______． 19. 如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） （1）当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点间的水平距离长． 20. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件． （1）当售价为75元时，该商店销售这批服装获得的利润为_______元； （2）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是多少元？ 21. 定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数图象分别交轴于点． （1）如图1，当时，求证：直线与相切； （2）如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 23. 已知二次函数（、为常数）． （1）若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值； （2）若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围． 24. 根据以下操作，探索完成任务： 如何通过折纸的方式确定正方形一边的三等分点 操作一 步骤1：将正方形纸片对折两次，分别得到边，的中点，展平； 步骤2：分别沿，对折，再展平，两条折痕交点为点； 步骤3：沿过点的直线折叠，使得点落在上，折痕交于点． 操作二 步骤1：将正方形纸片对折，得到边，的中点，，展平，折痕为； 步骤2：沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，展平，折痕为； 步骤3：沿某条直线折叠，使折痕交于点． 问题解决 任务 一 确定操作一中的三等分点 ①连接，则点为的__________；（填“内心”，“外心”或“重心”） ②证明：点是的三等分点； 任务二 确定操作二中的三等分点 在操作二的“步骤3”中，若，用无刻度的直尺和圆规作出折痕并标出点的位置． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上的动点，点的横坐标为，点的坐标为，在的右侧作矩形，且使为轴上且位于点右侧的点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，与有怎样的数量关系？并说明理由； （3）如图3，当为何值时，． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． （1）若点，点，求点的坐标； （2）①小明在探究两个函数图象时发现：二次函数与一次函数图象始终交于点（_______，0）和点（1，_______）；（用含，的代数式表示） ②若且，试判断的面积是否会发生变化，若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； （3）二次函数与一次函数图象围成的封闭区域记作，若，当点落在区域内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋学期期末学情调查九年级数学试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的两个实数根分别为（ ） A. 1，2 B. ， C. ，2 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解法进行解方程，每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴或， 解得或， 故选：B 2. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出∠ABD=30°，根据相似三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3. 某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：件）： 月销售量 60 50 40 35 30 20 人数 1 4 4 6 7 3 该公司营销人员该月销售量的中位数，众数分别为（ ） A. 37.5件，35件 B. 35件，35件 C. 37.5件，30件 D. 35件，30件 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：∵最中间的数据为第13名销售人员的销售量为 35， ， ∴这 25 名销售人员在该月销售量的中位数是35， ∵出现的次数最多 ∴众数为 30 ． 故选：D． 4. 如图，，，垂足为，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据同角的余角相等，得出，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴． 在中， ， ∴． 故选：A． 5. 二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（ ） A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 均为正数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握其性质并能把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解决此题的关键．先利用顶点式写出抛物线解析式得即，根据根的判别式的意义得到，解得，所以，再利用根与系数的关系得，所以，即． 【详解】解：图象的顶点坐标为， 可设抛物线解析式为，即， ，， 抛物线与轴的两个交点， ，解得， ， 抛物线与轴的两个交点位于原点两侧， ， ， ， 故选：． 6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质、扇形面积计算．连接，设交于F点，由，求出，利用直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接，设交于F点，如图， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴，，围成的图形的阴影面积为． 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若锐角满足，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8. 二次函数图象的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．化成顶点式，根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 9. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的方程的两根分别是2，3， 所以， 则． 故答案为：6． 10. 某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，该食堂销售午餐盒饭的平均价格是_____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查获取扇形统计图信息，加权平均数．根据扇形统计图获取信息，利用加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：（元）， 故答案为：． 11. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点，，点，是线段与网格线的交点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理．取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F，且，，，由，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：取格点C、E、F，连接、、、，则经过点E、F， ∵网格中每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为_____． 【答案】48cm 【解析】 【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：两个相似多边形的面积比是9：16， 面积比是周长比的平方， 则大多边形与小多边形相似比是4：3． 相似多边形周长的比等于相似比， 因而设大多边形的周长为xcm， 则有＝， 解得：x＝48 大多边形的周长为48cm． 故答案为48cm． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 13. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=． 故答案是：10． 14. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作的垂线，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 在中，， 因为， 所以， 则． 在中，， 因为， 所以， 所以． 故答案为：． 15. 如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于点，连接，由垂径定理得出，再由得出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，二次函数．与一次函数的图象交点的横坐标分别为，3，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）．依据题意，由可得，结合与关于y轴对称，与关于y轴对称，可以作图，再由不等式的解集是的图象在函数下方对应的自变量的取值范围，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 又∵与关于y轴对称，与关于y轴对称， ∴作图如下． ∵， ∴此时不等式的解集是的图象在函数下方对应的自变量的取值范围． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、零次幂、实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据零次幂、特殊三角函数值及实数的运算可进行求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得：，； （2）原式． 18. 某家电销售商店1~6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台） （1）求该商店甲品牌冰箱1~6周销售量的平均数和方差； （2）经过计算可知，乙品牌冰箱1~6周销售量的平均数是10台，方差是台2．根据上述数据处理的结果及折线统计图，小明、小亮分别对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出了建议，小明建议多采购甲品牌冰箱，理由可能是______；小亮建议多采购乙品牌冰箱，理由可能是______． 【答案】（1）台，台2 （2）从折线统计图的变化趋势看，甲品牌冰箱的周销售量呈上升趋势；甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数相同，乙品牌冰箱周销售量的方差较小，说明乙品牌冰箱销售量比较稳定 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用平均数的公式以及方差计算公式即可求解； （2）根据折线统计图，说明哪种呈上升趋势，哪种销售量稳定就可以． 【小问1详解】 解：台， 台2； 【小问2详解】 解：小明建议多采购甲品牌冰箱， 理由可能是：从折线统计图的变化趋势看，甲品牌冰箱的周销售量呈上升趋势； 小亮建议多采购乙品牌冰箱， 理由可能是：甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数相同，乙品牌冰箱周销售量的方差较小，说明乙品牌冰箱销售量比较稳定（答案不唯一）． 故答案为：从折线统计图的变化趋势看，甲品牌冰箱的周销售量呈上升趋势；甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数相同，乙品牌冰箱周销售量的方差较小，说明乙品牌冰箱销售量比较稳定（答案不唯一）． 19. 如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点．（参考数据：，，） （1）当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； （2）求点间的水平距离长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）过点B作于F，过点C作于G，延长交于H，，设，根据坡度的概念用x表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出． 【小问1详解】 解：过点B作于F，过点C作于G，延长交于H， 设， ∵坡道的坡度为， ∴， 在中，，即， 解得：， 所以他沿垂直方向上升的高度为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，四边形矩形， ∴， 在中，， 则， 则， 所以点A，D间的水平距离长约为． 20. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件． （1）当售价为75元时，该商店销售这批服装获得的利润为_______元； （2）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是多少元？ 【答案】（1）12500 （2）70或80 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价为75元，则销售量为500件，然后根据利润每件的利润乘以销售量计算即可． （2）设这批服装每件售价是x元，则销售量为件，根据获利12000元为等量关系列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：当售价为75元时，则销售量为：（件） 则该商店销售这批服装获得的利润为：（元） 【小问2详解】 解：设这批服装每件售价是x元，则销售量为：件， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是70元或80元． 21. 定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）是“黄金方程”，理由见解析 （2）的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【小问1详解】 解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． （1）如图1，当时，求证：直线与相切； （2）如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据坐标可得：的半径为1，如图1，过点O作于M，根据勾股定理和面积法可得，即可得结论； （2）如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F，证明，得，，可得，并结合勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：∵点， ∴，即的半径为1， 如图1，过点O作于M， 当时，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点D，E在直线上， ∴， 把①代入②得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质，圆周角定理，切线的判定，三角形的面积，勾股定理，三角形全等的性质和判定，坐标与图形的性质等知识，与方程相结合即可解决问题． 23. 已知二次函数（、为常数）． （1）若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值； （2）若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到平移后的表达式为，然后根据平移规律求解即可； （2）首先得到二次函数开口向上，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，平移后的表达式为 ∴原二次函数表达式为 ∵二次函数 ∴，； 小问2详解】 ∵二次函数中二次项系数为 ∴开口向上， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴当时，即时， 解得 ∴ 当时， 解得 综上所述，． 24. 根据以下操作，探索完成任务： 如何通过折纸的方式确定正方形一边的三等分点 操作一 步骤1：将正方形纸片对折两次，分别得到边，的中点，展平； 步骤2：分别沿，对折，再展平，两条折痕的交点为点； 步骤3：沿过点直线折叠，使得点落在上，折痕交于点． 操作二 步骤1：将正方形纸片对折，得到边，的中点，，展平，折痕为； 步骤2：沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，展平，折痕为； 步骤3：沿某条直线折叠，使折痕交于点． 问题解决 任务 一 确定操作一中的三等分点 ①连接，则点为的__________；（填“内心”，“外心”或“重心”） ②证明：点是的三等分点； 任务二 确定操作二中的三等分点 在操作二的“步骤3”中，若，用无刻度的直尺和圆规作出折痕并标出点的位置． 【答案】任务一，①重心；②见解析；任务二，见解析 【解析】 【分析】任务一，①M是的中点，N是的中点，故点P是的重心； ②延长，交的延长线于点R，可证得，从而，可证得，从而，根据得出，进一步得出结论； 任务二，作的垂直平分线，交于M，连接和，交于V，过点V作的垂线，交于T，作的角平分线，交于W，从而得出结果． 【详解】任务一，①解：∵M是的中点，N是的中点， ∴点P是的重心， 故答案为：重心； ②证明：如图1， 延长，交的延长线于点R， ∵四边形正方形， ∴， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A沿着折叠落在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q是的三等分点； 任务二，解：如图2， 作法： （1）作的垂直平分线，交于M， （2）连接和，交于V， （3）过点V作的垂线，交于T， （4）作的角平分线，交于W， 则点T是的三等分点，折痕是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上的动点，点的横坐标为，点的坐标为，在的右侧作矩形，且使为轴上且位于点右侧的点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，与有怎样的数量关系？并说明理由； （3）如图3，当为何值时，． 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，而，即可求解； （2）由直线的表达式知，，而，即，即可求解； （3）证明，且，即为等腰三角形，作于点，则，进而利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：时，点，则， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由： 点的横坐标为，点是一次函数图象上的动点， 点的纵坐标为， ， ， ， 为的外角， ， ； 【小问3详解】 解：由(2)知， 当， ， ，且，即为等腰三角形， 如图，作于点，则=， 设，则， ， ， ， 设点， ， 解得：(负值已舍去)． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，解直角三角形、矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握函数的图象和性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． （1）若点，点，求点的坐标； （2）①小明在探究两个函数图象时发现：二次函数与一次函数的图象始终交于点（_______，0）和点（1，_______）；（用含，的代数式表示） ②若且，试判断的面积是否会发生变化，若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； （3）二次函数与一次函数图象围成的封闭区域记作，若，当点落在区域内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①，；②不变， （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可得到a、b，进而得解； （2）①令求出x值即可得解；②根据a的范围可得到b的范围，进而可得到A、B、C三点的大致位置，再利用铅锤法求解即可； （3）由点C在区域P内部可得，即，进而解不等式求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， ，解得， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：①令， 整理得， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴二次函数与一次函数的图象始终交于点和， 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵， ∴， 点A、点B、点C位置如图所示，过C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不变，； 【小问3详解】 解：∵， ∴，且二次函数对称轴为， 设，， ∵， ∴，， 如图，当点C在区域P内部时， ，即， ∵， ∴， 令， ∴，， ∴时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主题要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数交点问题、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$