精品解析：重庆育才中学教育集团2024-2025学年九年级下学期第二次定时作业数学试题

重庆育才中学教育集团初2025届初三（下）第二次定时作业 数学试卷 （全卷三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标．对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数．根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：，，不是有理数，是有理数． 故选：D． 2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线． 故选：A． 3. 若的整数部分为，小数部分为，则的值在（　　）之间 A. 和0 B. 0和1 C. 1和2 D. 2和3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则，， 那么， ∵， ∴， ∴， ∴的值在1和2之间． 故选：C． 4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），∴﹣3=，解得：k=﹣6．故选D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据，得出位似比为，进而将点的坐标乘以3，即可求解． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴与的位似比为 ∵的顶点， ∴点的坐标为即． 故选：C． 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段 C. 正多边形的中心角等于其每一个内角 D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断真假命题，垂线的性质，点到直线的距离，正多边形的中心角，以及中点四边形，根据以上知识逐项分析判断，即可 【详解】解：A. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意； B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，故该选项是假命题，不符合题意； C. 正多边形的中心角是正多边形的每一条边的两个端点与其中心连线所成角，而其每一个内角是由多边形内部相邻两边之间的夹角，故中心角与内角不一定相等，故该选项是假命题，不符合题意； D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形，故该选项是真命题，符合题意； 故选：D． 7. 数学老师根据圆圈中的三个数字按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（ ） A. 355155 B. 323550 C. 357315 D. 351550 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与数字之间的关系是解题的关键．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1，2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第个数字为下面的两个数的积； 第个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ， 所以密码是351550， 故选：D． 8. 如图，在扇形中，，为 边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 9. 如图，正方形边长为6，E为线段上一点，F为边上一点，满足，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，由勾股定理求得，推出，，，证明，求得，在和求得，，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点，过点作直线分别交和于点，，作于点， ∵正方形， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∵E为对角线上一点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形边长为6， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的解；根据解一元二次方程判断①；根据根与系数的关系判断②，根据，设，根据函数图象可得有两个交点时，，即可求解． 【详解】解：将，代入方程 得，即 解得：，故①不正确； ②将，代入方程 得， ∴， ∵ ∴ ∴，故②不正确； ③将，代入方程得， 设 如图所示， 当，， ∴当经过和之间时，有两个交点时， 当时，，当时，； ∴，故③错误 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，0，2，现将它们背面朝上，从中任意抽取两张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是概率公式求概率．通过列表求出所有等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 积 2 5 2 由表格可得所有可能的结果共有种，积为奇数的有2种， 所以两次抽取的卡片上数字之积为奇数的概率． 故答案为：． 13. 如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，一元一次方程的应用；熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，“”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面， ， ， ． 故答案为： 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的含参数问题．先解不等式组并结合题意确定的范围，再解出分式方程确定的范围，进而确定的所有取值，最后求满足条件的所有整数的和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式有解且最多有两个偶数解， ∴ 解得：， 解分式方程得：． ∵分式方程的解为正整数，且 ∴，且 ∴且 ∴或或或 ∴． ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为：． 15. 如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径______：的面积______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，设关于的对称点为，连接，根据折叠的性质得出，进而证明，设半径，得出，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，；进而可得，过点作于点，根据，求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设关于的对称点为，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵将劣弧沿弦折叠，关于对称， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 设， ∵是的切线， ∴ ∴， ∵，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， 设半径 ∵，即， ∴， ∴ ∵是直径， ∴， 在中， ∴ ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， ∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】考查了圆周角定理，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，切线的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为___________；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差3倍数”的定义表示出，由，结合为偶数，即可解答；同理表示出，且被3除余2，可得是3的倍数，根据“差3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：根据题意：， 则， ∴， ∵为偶数，且（为整数）， ∴为偶数， ∴为偶 数， ∴为， 当最大，则有最大值， 此时，，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴的最大值为； ∵被3除余2， ∴是3的倍数， ∵， ∴是3的倍数， ∵（为整数），， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴符合条件的代数式的值为：， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 或，即，此时，，则的值为，符合题意； ∴满足条件的“差3倍数”为； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，每个小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.9 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 【答案】（1），50，10； （2） 女生的体育中考成绩更优异，理由如下： 因为男生和女生成绩的众数、中位数相同，但女生成绩的平均数、满分率均高于男生，所以女生的体育中考成绩更优异； （3）540人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数及意义，利用样本估计总体，正确找出所需数据是解题关键． （1）有题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩分别为、，根据中位数的定义求解的值即可；再根据女生成绩的满分率，得出女生成绩50分的人数，根据众数的定义求解的值即可；求出男生成绩中A等级所占的百分比，即可得到的值； （2）根据平均数和中位数的意义分析即可； （3）用总人数乘以样本中初三年级男生和女生A等级的占比求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩的平均数，且A等级包含14个人， 男生成绩的中位数, 由条形统计图可知，抽取20名女生的体考成绩中A等级有13人， 女生成绩的满分率为， 50分的成绩人数为，人数最多， 女生成绩的众数， 男生成绩中A等级所占的百分比为， ， 故答案为：，50，10 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数有540人． 19. 小明非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，他想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（只保留作图痕迹） （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴ ① ， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． ∴ ② ． ∴ ③ ． 通过推理论证，小新得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么 ④ ． 【答案】（1）作图见解析 （2），，，另一组对角的角平分线互相平行 【解析】 【分析】（）根据角平分线的作图方法作图即可； （）由四边形内角和可得，进而根据角平分线的定义得到，再根据余角性质得，即可得； 本题考查了角平分线的画法及定义，余角性质，平行线的判定，掌握角平分线的画法以及平行线的判定是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵且， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 通过推理论证，小新得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行， 故答案为：，，，另一组对角的角平分线互相平行． 20. 春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． （1）求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ （2）随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 【答案】（1）1月份至多卖出坝坝茶盒 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式以及三元一次方程组的应用； （1）设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意1月份总销售额至少为元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解； （2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元，设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据题意可得，解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：设1月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒． 根据题目描述，1月份总销售额至少为元，即． 化简得到， 即， 解得：． 答：1月份至多卖出坝坝茶盒． 【小问2详解】 2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为元，荣昌陶每盒售价变为元． 设2月份卖出坝坝茶盒，荣昌陶盒，根据2月份总销量相较1月份增长了1倍，即． 根据2月份的销售数据，可建立方程组 由②可得． 由于，得到． 将代入方程①中解出的值：， 即． 解得． 21. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为． （1）分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围； （2）在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）， （2）见解析 （3）（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9） 【解析】 【分析】本题考查了函数的综合题，函数与动点问题，画函数图象，比较函数值的大小，正确理解图形中的动点问题是解题的关键． (1)根据三角形面积公式直接求解析式即可； (2)利用描点法画出函数图象； (3)当时，即为的图象在图象的上方，观察图象，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当点在线段上时， 当点在线段上时， 当点在线段上时， 综上所述， 的面积为2 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 【小问3详解】 解：观察图象可知时，的取值范围为：（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）． 22. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）米 （2）小明先到达，先到达分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法，二次函数与线段最值，二次函数与角度综合． （1）先求出，，再把代入，结合对称轴为直线求解即可； （2）先求出，直线解析式为，再设，则，得到，再说明是等腰直角三角形，得到 的周长为，代入得到当时，的周长取得最大值，此时，，连接，，证明四边形和是平行四边形，得到，则，当在上时，最小，求出的长即可； （3）求出平移后抛物线的表达式为：，求出与直线的另一个交点，则设直线线的表达式为：，当点在点下方时，由，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出；点在点的上方时，取点，则，得到，求出直线的表达式为：，与新抛物线联立求出． 【小问1详解】 解：令得，，则，， ∵， ∴， ∴， 把代入得， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，解得， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，解得， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为， ∴当时，的周长取得最大值，此时，， ∴， 连接，， ∵作轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， ∵，， ∴的中点G坐标为， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移个单位，再向上平移了个单位，， 则新抛物线的表达式为：， 将代入上式得：，解得或， ∴， 故新抛物线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式并解得：（舍去）或， ∴点， ∴设直线线的表达式为：， 当点在点下方时， ∵， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 当点在点的上方时，取点，则轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 综上所述，当时，点Q的坐标为或． 24. 在Rt中，，点为直线上一点，连接． （1）如图1，若点在边上，且满足，求的长； （2）如图2，若点为延长线上一点，点为中点，在射线上取点满足，连接，过点作，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，点为的中点，，点为直线上任意一点，连接，将沿翻折得，连接，当最小时，将沿翻折得，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，先根据勾股定理得到，，然后根据三角函数得到，然后得到，然后利用勾股定理解题即可； （2）延长到点H，使得，连接，证明，即可得到，，进而得到，然后根据题意得到，然后延长到点G，使得，连接，，根据三角形全等证明三点共线，即可得到结论； （3）由题可得点在以D为圆心，长为半径的圆上运动，即当D、、B共线时，长度最小，最小值为，然后利用翻折和三角形的外角得到，即可得到，然后求出三角形的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 延长到点H，使得，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 延长到点G，使得，连接，， 则，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴三点共线， ∴； 【小问3详解】 解：由题可知， ∴点在以D为圆心，长为半径的圆上运动，即当D、、B共线时，长度最小， ， ∴， 又∵， ∴， 由翻折得：，，， ∴，即， ∴， 过作于点E，则， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团初2025届初三（下）第二次定时作业 数学试卷 （全卷三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标．对称轴为直线 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若的整数部分为，小数部分为，则的值在（　　）之间 A. 和0 B. 0和1 C. 1和2 D. 2和3 4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 点到直线的距离是点到直线的垂线段 C. 正多边形的中心角等于其每一个内角 D. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形为菱形 7. 数学老师根据圆圈中的三个数字按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是（ ） A. 355155 B. 323550 C. 357315 D. 351550 8. 如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形边长为6，E为线段上一点，F为边上一点，满足，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若关于的方程的解为和，则的值为， ③若关于的方程有两个不相等的实数根，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 计算：___________． 12. 一个不透明的箱中装有4张形状大小完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，0，2，现将它们背面朝上，从中任意抽取两张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率为___________． 13. 如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于______． 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数的和为___________． 15. 如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径______：的面积______． 16. 对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为___________；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为___________． 三、解答题：（本大题8个小题，每个小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 化简： （1） （2） 18. 4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.9 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______；______；______； （2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 19. 小明非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，他想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（只保留作图痕迹） （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴ ① ， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． ∴ ② ． ∴ ③ ． 通过推理论证，小新得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么 ④ ． 20. 春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为元一盒，荣昌陶的售价为元一盒．已知在月份商家技售价销售两款商品共件，且销售额不低于元． （1）求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？ （2）随着春节即将结束，月份商家推出了促销活动．在月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知月份坝坝茶的销售额为元．荣昌陶的销售额为元，而两款伴手礼盒的总销量相较月份增长了倍，求的值． 21. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为． （1）分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围； （2）在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 22. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 24. 在Rt中，，点为直线上一点，连接． （1）如图1，若点在边上，且满足，求的长； （2）如图2，若点为延长线上一点，点为中点，在射线上取点满足，连接，过点作，连接，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，点为的中点，，点为直线上任意一点，连接，将沿翻折得，连接，当最小时，将沿翻折得，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $