专题6 第4讲 母题突破1 范围、最值问题-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

第4讲　圆锥曲线的综合问题 [考情分析]　1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大． 母题突破1　范围、最值问题 母题　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，·＝0，求△MFN面积的最小值． 思路分析 ❶联立方程利用弦长求p ❷设直线MN：x＝my＋n和点M，N的坐标 ❸利用·＝0，得m，n的关系 ❹写出S△MFN的面积 ❺利用函数性质求S△MFN面积的最小值 解　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去)． (2)由(1)知y2＝4x， 所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 因为·＝0，＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， 所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1， 所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0， 解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d， 所以d＝， |MN|＝ ＝ ＝ ＝2|n－1|， 所以△MFN的面积 S＝×|MN|×d＝×2|n－1|×＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积最小，为Smin＝(2－2)2＝12－8＝4(3－2)． [子题1]　(2023·武汉模拟)已知椭圆C：＋y2＝1，椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求△APQ面积的最大值． 解　易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴， 故可设直线PQ：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，即4k2＋1>m2， 而kAPkAQ＝，A(2,0)， 所以·＝， 化简可得20(kx1＋m)(kx2＋m)＝(x1－2)(x2－2)， 即20k2x1x2＋20km(x1＋x2)＋20m2 ＝x1x2－2(x1＋x2)＋4， 20k2·＋20km·＋20m2 ＝－2×＋4， 整理得6k2＋mk－m2＝0， 所以m＝－2k或m＝3k， 所以直线PQ：y＝k(x－2)或y＝k(x＋3)， 因为直线PQ不经过点A(2,0)， 所以直线PQ经过定点(－3,0)，即m＝3k. 所以直线PQ的方程为y＝k(x＋3)，易知k≠0， 设定点B(－3,0)，S△APQ＝ ＝|AB||y1－y2|＝|k| ＝|k| ＝|k| ＝|k|· ＝， 因为Δ>0，且m＝3k， 所以1－5k2>0，所以0<k2<， 设t＝4k2＋1∈， 所以S△APQ＝ ＝≤， 当且仅当t＝，即k2＝时取等号，即△APQ面积的最大值为. [子题2]　(2023·深圳模拟)已知双曲线C：x2－y2＝1，设点A为C的左顶点，若过点(3,0)的直线l与C的右支交于P，Q两点，且直线AP，AQ与圆O：x2＋y2＝1分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为S1，△AMN的面积为S2，求的取值范围． 解　如图所示，设直线lPQ的方程为x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 得(t2－1)y2＋6ty＋8＝0， 因为直线l与双曲线C的右支交于两点， 所以 解得－1<t<1， y1＋y2＝，y1y2＝， 所以kAP·kAQ＝· ＝ ＝ ＝ ＝＝－， 设AP：x＝m1y－1，AQ：x＝m2y－1， 且|m1|>1，|m2|>1， 所以·＝－， 即m1·m2＝－2， 所以|m1|·|m2|＝2， 又因为|m2|＝>1，所以1<|m1|<2， 由 得(m－1)y2－2m1y＝0， 所以yP＝， 同理可得yQ＝， 由 得(m＋1)y2－2m1y＝0， 所以yM＝， 同理可得yN＝， 所以＝ ＝·＝· ＝· ＝ ＝ ＝， 令n＝m＋m， 由|m1|·|m2|＝2,1<m<4， 得n＝m＋∈[4,5)， 所以＝＝－1，n∈[4,5)， 令f(n)＝－1，n∈[4,5)， 因为f(n)在区间[4,5)上单调递增， 所以f(n)的取值范围为[9，＋∞)， 又因为＝＝－1， 所以的取值范围为[8，＋∞)． 规律方法　求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式． 1．(2023·佛山模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，M，N(1,0)，Q为线段MN上异于M，N的一动点，点P满足＝＝2. (1)求点P的轨迹E的方程； (2)点A，C是曲线E上两点，且在x轴上方，满足AM∥NC，求四边形AMNC面积的最大值． 解　(1)∵＝＝2， ∴|PM|＝2|QM|，|PN|＝2|QN|， ∴|PM|＋|PN|＝2(|QM|＋|QN|)＝2|MN|＝4， ∴点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆， 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝2，c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3， ∴点P的轨迹E的方程为＋＝1. (2)如图所示，连接CO，并延长交椭圆E于点B，连接BM，AN，CM， 由椭圆对称性可知|OC|＝|OB|，又|OM|＝|ON|， ∴四边形CMBN为平行四边形， ∴CN∥BM，|CN|＝|BM|， ∴S△BOM＝S△CON且A，M，B三点共线， ∴四边形AMNC的面积S＝S△ACM＋S△COM＋S△CON＝S△ACM＋S△COM＋S△BOM＝S△ABC， 设直线AB：x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0)，由 得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－， ∴|AB|＝· ＝ ＝， 又AM∥NC， ∴点C到直线AB的距离即为点N到直线AB的距离， ∵点N到直线AB的距离d＝， ∴S＝|AB|·d＝ ＝12， 设3m2＋4＝t，则m2＝，t≥4， ∴S＝12＝12 ＝4· ＝4·， 又0<≤， ∴当＝，即m＝0时，四边形AMNC面积取得最大值，最大值为3. 2．(2023·温州模拟)已知抛物线C1：y2＝4x－4与双曲线C2：－＝1(1<a<2)相交于A，B两点，F是C2的右焦点，直线AF分别交C1，C2于C，D(不同于A，B点)两点，直线BC，BD分别交x轴于P，Q两点． (1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，求证：y1y2是定值； (2)求的取值范围． (1)证明　由A(x1，y1)，C(x2，y2)是直线AF与抛物线C1：y2＝4x－4的两个交点，显然直线AF不垂直于y轴，点F(2,0)， 故设直线AF的方程为x＝my＋2，由消去x并整理得y2－4my－4＝0， 所以y1y2＝－4为定值． (2)解　由(1)知B(x1，－y1)， 直线BC的斜率为 ＝＝， 方程为y＋y1＝(x－x1)， 令y＝0，得点P的横坐标 xP＝＋＝＝0， 设D(x3，y3)， 由 消去x得(4m2－m2a2－a2)y2＋4m(4－a2)y＋(4－a2)2＝0， 4m2－m2a2－a2≠0，且Δ＝16m2(4－a2)2－4(4－a2)2·(4m2－m2a2－a2)＝4a2(m2＋1)(4－a2)2>0， y1＋y3＝， y1y3＝， 而直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)，依题意m≠0， 令y＝0，得点Q的横坐标xQ＝＋x1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝a2， 因此＝＝1－a2∈， 所以的取值范围是. 专题强化练 1．(2023·凉山模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(2,1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M(0,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，求|PQ|的取值范围． 解　(1)设椭圆C的半焦距为c>0， 由题意可得 解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，则l：x＝0， 所以|PQ|＝2； 当直线l的斜率存在时， 设l：y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程 消去y得(2k2＋1)x2＋4kx－4＝0， 则Δ＝(4k)2－4(2k2＋1)×(－4) ＝16(3k2＋1)>0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝－， 则|PQ|＝ ＝4， 令t＝∈(0,1]， 则k2＝， 可得|PQ|＝ 4 ＝2＝2， 因为t∈(0,1]，所以|PQ|＝2∈(2，4]， 综上所述，|PQ|的取值范围为[2，4]． 2．(2023·郑州模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，离心率为2，且过点P(2,3)． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值． 解　(1)由双曲线E的离心率为2，得＝2.① 因为双曲线E过点P(2,3)，所以－＝1.② 又c2＝a2＋b2，③ 联立①②③式，解得a＝1，b＝，c＝2. 故双曲线E的标准方程为x2－＝1. (2)由双曲线的对称性，知OA＝OC，OB＝OD， 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以S四边形ABCD＝4S△OAD. 由题意知直线AD的斜率不为零， 设AD的方程为x＝my＋2. 联立消去x， 得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0. Δ＝36(m2＋1)>0， 设A(x1，y1)，D(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为A，D均在双曲线右支， 所以所以 解得0≤m2<. 所以S△OAD＝×|OF|×|y1－y2| ＝， ＝ ＝. 令＝t，则m2＝t2－1. 所以S△OAD＝＝. 令函数f(t)＝－3t，易得f(t)在区间上单调递减， 所以当t＝1时，(S△OAD)min＝6. 所以四边形ABCD面积的最小值为24. 学科网（北京）股份有限公司 $$