易错易混06 平面向量与复数（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量与复数核心考点，按共线定理、数量积、投影向量、三角形四心及复数运算、几何意义等易错点系统梳理，通过错点扫描夯实基础、易错归纳查漏补缺、实战检测验证成效的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破高频易错难点。 资料以易错建模为特色，如针对向量共线方向讨论、复数方程根的性质等设计避错攻略，培养学生数学思维与推理意识。设置分层练习与真题演练，强化知识应用与解题规范，助力学生在有限时间内提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

易错易混06 平面向量与复数 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 5 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况（★★★★） 5 易错归纳02 平面向量共线定理的推论（★★★★★） 7 易错归纳03 平面向量夹角的范围问题（★★★★） 11 易错归纳04 投影向量问题（★★★★★） 13 易错归纳05 平面向量与三角形“四心”问题结合（★★★★★） 17 易错归纳06 复数的综合运算（★★★★★） 25 易错归纳07 复数范围内方程的根（★★★★） 28 易错归纳08 复数有关几何意义问题（★★★★） 31 03 实战检测・易错通关验成效 35 错点扫描・易错建模夯基石 1、平面向量共线定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． （3）中线向量定理 在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 2、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ，向量a在向量b上的投影向量=|a|cosθ. （3）数量积的运算律 已知向量、、和实数，则：①； ②； ③． （4）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 【常用结论】 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 3、平面向量的坐标运算 （1）向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． （2）数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) （3）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 4、平面几何中的向量方法 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 5、复数的几何意义 （1）复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． （2）复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． （3）复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． （4）复数加法与减法的几何意义 ①复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． ②复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 6、复数的综合运算 （1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． （2）虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 7、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 易错归纳・查漏补缺避陷阱 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况 【易错陷阱·避错攻略】 处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况. 1．已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D．或3 【答案】A 【分析】根据共线的坐标运算可得或，即可根据方向求解. 【详解】由与共线可得，故，解得或， 由于与方向相反，故，则，故， 故选：A 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 【答案】A 【详解】由题设知，则，则，则， 因为与同向，所以，故. 3．已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【详解】因为与共线，所以存在实数，使得. 即. 由于不共线，则得 由第一式得，代入第二式，解得. 4．下列选项中，与向量平行的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的概念与向量平行的坐标运算即可求解. 【详解】A：，，故A不符合题意； B：，故B不符合题意； C：，故C符合题意； D：，故D不符合题意. 故选：C 5．已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】由向量与同向，得， 即，而向量不共线，则，又，解得， 所以实数t的值为. 故选：A 易错归纳02 平面向量共线定理的推论 【易错陷阱·避错攻略】 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 2．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得，进而有，根据三点共线有，即可得. 【详解】由，得，则， 因为B，P，N三点共线，所以，所以. 故选：B 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】在中，由为上一点，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4． 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 5．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 6．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则_____.    【答案】/ 【分析】利用向量的线性运算和中点公式的向量运算即可求解. 【详解】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即， 故答案为： 7．已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则______． 【答案】2 【分析】根据已知等式，结合向量的线性运算，化简得，而三点共线，可得，解得，再代回到条件中，可得，即可得到的值. 【详解】由题意，是直线上不同的三点，点在直线外，即，如图．    则， 即， 从而， 得，解得． 将代回原式得， 则，即， 所以． 故答案为：2. 易错归纳03 平面向量夹角的范围问题 【易错陷阱·避错攻略】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为）． 1．（25-26高三上·山东淄博·期中）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量夹角的定义，利用向量数量积的定义求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：A 2．设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的运算结合充要条件分析判断. 【详解】设与的夹角为， 当时，因为， 可得， 整理得，即，则， 且点不共线，所以与的夹角为钝角； 当与的夹角为钝角时，则， 所以，可得， 即； 所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件． 故选：C． 3．（24-25高三下·河南焦作·阶段检测）已知不同四点满足，且，且为锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算结合余弦函数的值域，解不等式求解即可. 【详解】设，由得， 两边平方得，整理得， 因为为锐角，所以，即，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B． 4．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围. 【详解】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 5．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律求得，依题意，需使，且与不共线，推得，求解不等式即得答案. 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 易错归纳04 投影向量问题 【易错陷阱·避错攻略】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 1．（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 正六边形中，设与交于，则为中点，且. 所以向量在向量方向上的投影向量为. 2．（2026·安徽·三模）向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， ，， 所以向量在向量上的投影向量为. 3．已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，，是两个单位向量， 所以， 所以， 又，所以 4．（2026·江西·二模）已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，得， 则， 则在上的投影向量为. 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 6．（2026·福建·三模）已知向量在向量方向的投影向量是，且，，______. 【答案】1 【分析】把平方转化为数量积的运算可得. 【详解】由题意，所以， ，则， 所以. 7．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则向量在向量上的投影向量为______．    【答案】 【详解】建系如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为． 8．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点、、，若，.则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出点、的轨迹方程，由向量的数量投影可得即求的范围，根据，的范围，结合图象求解即可. 【详解】设，则 又因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 又因为， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 设，则向量在向量方向上的数量投影为：， 因为点在圆上，所以， 又因为，所以， 所以当取最大、取最小值时，此时与反向， 则取最小值，为； 当、同时取最大值时，此时与同向， 取最大值，为； 所以， 即向量在向量方向上的数量投影的取值范围是. 易错归纳05 平面向量与三角形“四心”问题结合 【易错陷阱·避错攻略】 1、重心. 若点是的重心，则0或（其中为平面内任意一点）.反之，若0，则点是的重心. 2、垂心. 若是的垂心，则或.反之，若，则点是的垂心. 3、内心. 若点是的内心，则有=0.反之，若=0，则点是的内心. 4、外心. 若点是的外心，则=0或.反之，若，则点是的外心. 1．（多选题）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 【答案】BC 【详解】记边的中点为，则， 由，得，所以点在中线上，且， 所以是的重心，所以A错误； 若满足，则 O到 各顶点距离相等，所以O 是 的外心，所以B正确； 若满足，则， 即，所以点的轨迹为角的平分线，所以经过的内心，所以C正确； 由，得，所以， 同理可得，， 即 ，所以 P 是 的垂心，所以D错误. 2．（多选题）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 【答案】ABD 【分析】设BC边的中点为D，根据等腰三角形的性质，可得点P在AD上，根据重心的性质及线性运算法则，求出x，y的值，可判断A的正误；根据数量积的几何意义，整理计算，可判断B的正误；根据垂心的性质可得，根据线性运算法则及数量积公式，整理计算，可判断C的正误；根据内心的性质，可求出内切圆半径r的值，根据线性运算法则，可判断D的正误. 【详解】设BC边的中点为D，则， 因为，所以，且的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上， 选项A：因为点为的重心，所以， 则，所以，故A正确； 选项B：若点为的外心，且， 则，故B正确； 选项C：若点为的垂心，则，即， 在，由余弦定理得， 设，则， 所以 ， 解得，则，所以，故C错误； 选项D：若点为的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r， 则， 又， 所以，解得， 所以，即 则，即，所以，故D正确. 3．（多选题）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 【答案】ABD 【分析】对A，利用垂心的性质，得求解判断；对B，对作线性变形整理得到判断；对C：由可知动点的轨迹是边的中线，仅过重心，不必然经过内心；对D：结合对变形，推得在的中线上，结合外心性质可得. 【详解】对于选项A：若是的垂心，所以，故， 因此，又，所以，A命题正确； 对于选项B：由， 移项得，即， 说明在边的中线上，且分中线为，符合三角形重心的性质，B命题正确； 对于选项C：由可知的轨迹是中边的中线（从出发的射线）. 而内心是角平分线的交点，仅当时内心才在中线上， 任意三角形的内心不一定在中线上，因此动点的轨迹不一定经过内心，C命题错误； 对于选项D：取中点， 由可得， 又，所以，整理得，所以三点共线， 又为锐角外心，可得，因为为中点，所以， 所以，所以，D命题正确. 4．（多选题）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 【答案】ACD 【分析】对于A选项，利用为垂心得到，进而有；对于B选项，利用为重心得到，再根据数量积运算律计算；对于C选项，利用为外心，得到，再根据数量积运算律计算；对于D选项，结合已知边长并运用三角形内心的相关性质计算出和，进而得到，根据平面向量的基本定理可得. 【详解】对于A选项，因为为的垂心，所以，又因为， 所以 ，A正确； 对于B选项，因为为的重心，， 可得，B错误； 对于C选项，因为为的外心，设的中点为，则垂直平分， 所以，同理，所以 ，C正确； 对于D选项，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且，因为， 可得，由内心性质得， 即，得，所以 ， 因为且不共线，所以，D正确． 5．（多选题）（或）是的一种向量表达．同样，三角形还有其他向量表达：已知是内的一点，内角的对边分别为，则，其中分别是的面积．下列结论正确的是（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，，则 D．若点是锐角的垂心，且，则 【答案】ACD 【分析】本题利用题目给出的三角形内点的向量面积公式，结合重心、内心、外心、垂心的几何性质，分别对四个选项进行验证：通过向量线性运算与中点性质判断A，利用内心的面积比例关系判断B，结合外心的向量恒等式与三角恒等变换判断C，借助垂心的垂直关系与向量点乘、余弦定理判断D，最终得出正确选项为ACD． 【详解】 对于A， 取的中点，因为， 所以，所以为的重心，A正确； 对于B， 设内切圆的半径为，因为， 所以由，可得，B错误； 对于C，为的外心，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，从而，C正确； 对于D， 延长，交于． 因为，所以， 又，所以， 即， 化简得，则， 所以，整理得①， 同理，因为，所以②， 由①②解得，所以，D正确． 6．（多选题）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 易错归纳06 复数的综合运算 【易错陷阱·避错攻略】 i的乘方具有周期性： i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. 1．（多选题）（25-26高三上·安徽·期中）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数的加法、减法、除法运算及复数的共轭复数的模对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：设，，，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：若，则，，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件，但，故D错误. 故选：ABC. 2．（多选题）（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】设，，应用复数的模的计算公式，复数的乘法、共轭运算判断A、B；取，判断C；取，判断D. 【详解】A，设，， ， 所以 所以，正确； B，由上， 由，得， 所以成立，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若，不妨取，，则，错误. 3．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算、模的性质、共轭复数的性质，结合复数基本运算法则逐一判断选项. 【详解】， 则， ， ， 所以， 选项A，若，则， 可得或，即或，A正确； 选项B，举反例，取，， 此时，但均不为0，B错误； 选项C，根据复数模的运算性质，， 又复数与其共轭复数的模相等，即， 故，C正确； 选项D：设，则， 代入计算得：， 虚部抵消结果为实数；D正确. 4．（多选题）（25-26高三上·河北唐山·期中）有关复数和实数，下列说法不正确的是（   ） A．，则 B．，则 C． D．，其中 【答案】AB 【分析】根据特例法，可得判定A、B不正确，设，根据复数的运算法则，可得判定C正确；设，根据复数的除法运算法则，以及复数模的计算公式，可得判定D正确. 【详解】对于A，取复数，则，所以A不正确； 对于B，取复数，则，所以B不正确； 对于C，设，则，所以 由，则， 所以，所以C正确. 对于D，设， 可则， 则， 又由，所以， 所以，其中，所以D正确. 故选：AB. 5．（多选题）（2026·新疆·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】因式分解求解判断A；利用实系数一元二次方程韦达定理判断B；变形判断C；利用等式性质推理判断D. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确； 对于C，由，得，因此，C错误； 对于D，由，得，因此， 则，D正确. 易错归纳07 复数范围内方程的根 【易错陷阱·避错攻略】 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）复数范围内方程的一个根为，则另外一个根为，并且满足韦达定理. 1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】因为是方程的根， 所以 ，化简得： ， 整理得： ， 所以，解得， 因此. 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）方程的一个复数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为 所以， 因此为方程的一个复数根. 3．（2026·江西上饶·二模）已知复数为方程的虚数根，则（   ）（注：为虚数单位） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，故. 4．已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程有两个虚根得出判别式的范围，再利用求根公式求出两根，最后根据求出实数的值. 【详解】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 5．（多选题）已知为实数，，若在复数范围内，方程的两个虚数根分别为，，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．当且仅当时， 【答案】ABD 【详解】根据一元二次方程的两个虚数根，结合方程的根与系数的关系、复数的四则运算、复数的模、复数相等对选项逐一分析即可. 【解题思路】对于：设（且），（且）， 则，得，因为为实数，且， 所以，即，故正确； 对于：，故正确； 对于：因为为虚数，所以，解得，故错误； 对于：因为，所以，所以. 不妨设，则，. 等价于，得， 所以，（当时，得到同样的结果），故正确. 故选：. 6．（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段检测）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据方程在复数上的根结合韦达定理求解复数根，，，逐项判断即可得结论. 【详解】由方程可得， 该方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中， 所以，，是方程在复数上的两根， 则，故A，B正确； 设，则可得， 所以解得或， 故，两根为， 则，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC. 易错归纳08 复数有关几何意义问题 【易错陷阱·避错攻略】 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 1．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 2．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查复数的几何意义，求的最大值，即为求复数所表示的以原点为圆心，半径的圆上一点，到圆外一点的最大距离，由最大距离为即可求出最大值. 【详解】解：由题意得，又，所以， 根据复数的几何意义，复数表示复平面上，以原点为圆心，半径的圆， 而的几何意义为，圆上的点到点的距离， 因为圆心到的距离，所以点在圆外， 因此，圆上一点到圆外一定点的最大距离为，即的最大值为. 3．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 4．（多选题）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 5．（多选题）（2026·陕西·二模）已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（    ） A． B．的轨迹是 C．到直线的距离的最大值为 D．到圆上点的距离的最大值为 【答案】AC 【分析】对A，利用复数模的三角不等式求解判断；对B，由复数的几何意义判断；对CD，数形结合求解判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，设，则， 所以表示点与点距离之和等于2， 所以点的轨迹为线段，即，故B错误； 对于C，由前面知，的轨迹为线段，即， 如图，到直线的最大距离为点到直线的距离，即，故C正确； 对于D，因为点的轨迹为线段，即，且在圆内， 设点到圆上的点的距离为，则 所以到圆上点的距离的最大值为，此时的坐标为，故D错误. 6．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 实战检测・易错通关验成效 1．已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可. 【详解】根据题意可得：，解得或； 当时，与共线同向，故舍去； 当时，，， . 故选：C. 3．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得. 【详解】因为与同向共线，所以存在使得， 即， 又向量不共线，所以，解得（舍去）或. 故选：A 4．已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的坐标表示及单位向量的定义计算即可. 【详解】设与同向的单位向量为， 则，解得（负根舍去），所以. 故选：A. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由投影向量的性质得向量在向量方向上的投影向量是， 设，则，，得到投影向量是， 而向量在向量方向上的投影向量恰好是，可得， 则，由模长公式得， 因为，所以， 解得或，则或， 当时，，由模长公式得， 当时，，由模长公式得， 综上可得，，故A正确. 7．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分性：举反例若四点也共线可推出矛盾；必要性：利用向量的加法运算和共线向量的定义可判断. 【详解】当时，， 因此，所以三点共线； 另一方面，当三点共线时， 若四点也共线，设， 则， 若系数和恒为1，则有恒为1， 恒为1， 显然因的不确定性，假设不成立，因此系数和并不一定恒为1． 则“三点共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 8．已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意当且仅当且与不反向才满足题意，由此解不等式组即可求解. 【详解】已知，与的夹角为，则， 由题意， ，又时，与反向， ，且 故选：C. 9．（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】由题知，，， 则. 设，即，，即，解得或. 当时，，则，此时共线，不合题意； 当时，，符合题意. 10．已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量同向可得存在正实数使得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】已知向量同向，所以存在正实数使得， 比较系数可得，即，所以，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 11．（2026·广东·模拟预测）在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 【答案】A 【详解】由，得，所以或， 又是的一个根，所以或， 所以或. 12．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，三点共线，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为. 13．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    14．（多选题）（2025·江西·三模）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断A，再由韦达定理判断B，根据复数的乘法运算判断C，再由复数除法及周求判断D． 【详解】对于A，因为且实系数一元二次方程的两根为， 所以，可得，因为，故A正确； 对于B，又，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ACD 15．（多选题）（2025·湖北黄冈·三模）已知复数，下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设出，，，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项判断. 【详解】设，，且，则，，； 对A：， ，故A正确；` 对B：， ` ， 所以不能恒成立，B错误. 对C：， ，故C错误； 对D： ，故，故D正确. 故选：AD. 16．（多选题）（2025·甘肃武威·模拟预测）已知复数，，其中，则（   ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】对于选项：先利用复数的模长公式，分别求出和，令模长相等，解方程即可；对于选项：先利用复数的除法公式求得，即虚部为零，最后解方程即可；对于选项：先利用复数的乘法公式求得，即虚部为零，最后判断出方程无解；对于选项：由得，再计算，最后解方程即可. 【详解】对于选项：由题意得，， 由，得，解得，故存在，使得，故A正确； 对于选项：， 令，解得，故存在，使得，故B正确； 对于选项：，恒成立，故不存在，使得，故C错误； 对于选项：， 化简得，，方程无解，故不存在，使得，故D错误. 故选：AB. 17．（多选题）已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念得，然后根据复数乘法运算逐一计算即可判断AB；由可得，然后判断CD. 【详解】因为，则，则，A正确． 因为，B正确． 因为，所以，，，故C正确，D错误． 故选：ABC． 18．（多选题）（2026·河南信阳·三模）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 【答案】BCD 【分析】A.设，利用复数的运算和概念判断；B. 设，，利用复数的乘法运算和模公式求解判断；C.设，利用复数的加法运算和模公式求解判断；D.求出方程的两根判断. 【详解】A.设，则，则 ， 当时，为实数，故错误； B. 设，， 则， ，则， ， 所以，故正确； C.设，则， 所以，即， 表示以为圆心，以1为半径的圆，故正确； D.对于方程，判别式， 所以方程的根为，令， 则，故正确. 19．（多选题）（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 【答案】ABC 【分析】设，，，则有，求出的实部，即可判断A；求出的值，即可判断B；求出当时，的值，即可判断C；举反例判断D. 【详解】设，， 因为，所以， 对于A，因为 ， 其实部为，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由A可知， 当时，则有， 所以或， 即或， 解得或（舍，理由为）或， 所以或，故C正确； 对于D，取，则其实部为， 则， 所以， 所以，故D错误. 20．（多选题）（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知复数z满足且，复数（i为虚数单位），则（   ） A．当时， B．存在复数z，使 C．当时，是纯虚数 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算法则，可判定A正确；由，得到，设，利用复数相等，列出方程组，求得的值，可判定B错误；化简得，结合求得，可判定C正确；根据复数模的几何意义，结合圆的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，所以A正确； 对于B，假设，即，可得， 设，代入可得， 即，可得， 当时，可得，此时，方程无实数解； 当时，可得，解得，所以，此时， 因为，所以不存在复数，使得，所以B错误； 对于C，由， 因为且，当时，， 此时，所以复数为纯虚数，所以C正确； 对于D，由选项C知：，可得， 根据复数模的几何意义知： 表示复数在复平面内对应的点是以原点为圆心，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离， 又由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确. 21．（多选题）（25-26高一下·浙江温州·期中）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 【答案】ABD 【分析】利用三角形的重心、内心、外心、垂心的性质逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，设中点为，根据平面向量加法的平行四边形法则： ，又因为， 所以，即， 这表明、、三点共线，且， 根据重心的定义和性质可得为的重心，A正确， 在B选项中，和分别是和方向上的单位向量， 设，以和为邻边作平行四边形， 则该平行四边形为菱形，根据菱形的性质，其对角线平分一组对角， 所以在的平分线上，又因为内心是三角形三条角平分线的交点， 所以动点经过的内心，B正确， 在C选项中，由正弦定理可得： ， 则， 由A选项可知，中点为，所以， 所以， 即表示与共线， 所以动点在边上的中线上， 因为外心是三角形三边垂直平分线的交点，而一条中线不能确定外心， 所以动点不经过的外心，C选项错误， 在D选项中，，因为， 所以，则， ， 根据向量数量积公式可得：， ，所以 ，所以 所以， ， 即，所以，即， 因为垂心是三角形三条高的交点， 所以动点经过的垂心，D正确.    22．（多选题）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．，则为内心 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【答案】AD 【分析】对A，由向量的意义可知表示在的角平分线上的向量，再结合向量的数量积的性质可得；对B，由条件可得为的重心；对C，由得，同理可得，，进而可得为的垂心；对D，由正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】A，因为是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 所以表示在的角平分线上的向量，如图： 又因为，所以的角平分线与垂直， 所以，故为等腰三角形，所以A正确； B，设是的中点，则是三角形的中线，所以， 因为，所以，得三点共线，且是中线上靠近的三等分点， 所以为重心，故B错误；如图： C，因为，所以，即，所以. 同理，得；，得， 所以为的垂心，故C错误； D，由正弦定理：，所以， 设， 由， 所以与中线向量共线，即点的轨迹经过的重心，故D正确. 23．（多选题）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 24．（多选题）（2026·湖北黄冈·二模）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 25．（多选题）（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 【答案】ACD 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心的性质及向量三点共线求系数和即可. 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为△ABC的重心，则，所以，A选项正确； B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为△ABC的外心,则垂直，，B选项错误； C选项，如图3，作，垂足为，则在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，， 所以，C选项正确； D选项，如图4，设△ABC的内切圆半径为，由可得， 则，， 由，且为三角形内角，可得，， 则， 延长交于点， 则即， 则，则， 由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确； 故选：ACD. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错易混06 平面向量与复数 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 5 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况（★★★★） 5 易错归纳02 平面向量共线定理的推论（★★★★★） 6 易错归纳03 平面向量夹角的范围问题（★★★★） 7 易错归纳04 投影向量问题（★★★★★） 8 易错归纳05 平面向量与三角形“四心”问题结合（★★★★★） 9 易错归纳06 复数的综合运算（★★★★★） 11 易错归纳07 复数范围内方程的根（★★★★） 12 易错归纳08 复数有关几何意义问题（★★★★） 13 03 实战检测・易错通关验成效 14 错点扫描・易错建模夯基石 1、平面向量共线定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使． （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． （3）中线向量定理 在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 2、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）投影向量 设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ，向量a在向量b上的投影向量=|a|cosθ. （3）数量积的运算律 已知向量、、和实数，则：①； ②； ③． （4）数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④． ⑤． 【常用结论】 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 3、平面向量的坐标运算 （1）向量加、减、数乘的坐标运算 已知向量，，则，①．②． （2）数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) （3）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 4、平面几何中的向量方法 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 5、复数的几何意义 （1）复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． （2）复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． （3）复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． （4）复数加法与减法的几何意义 ①复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． ②复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 6、复数的综合运算 （1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． （2）虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 7、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 易错归纳・查漏补缺避陷阱 易错归纳01 忽略向量共线时的两种情况 【易错陷阱·避错攻略】 处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反的情况. 1．已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（    ） A．3 B．1 C． D．或3 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 3．已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（   ） A． B． C．3 D．6 4．下列选项中，与向量平行的单位向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（    ） A． B． C．3 D．或3 易错归纳02 平面向量共线定理的推论 【易错陷阱·避错攻略】 若A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得 存在实数，使，其中，为平面内任意一点． 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 4．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则_____.    7．已知是直线上不同的三点，点在直线外，若，则______． 易错归纳03 平面向量夹角的范围问题 【易错陷阱·避错攻略】 1、在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合. 2、平面向量夹角的范围是，在考虑向量的夹角时，要考虑两向量同向（夹角为0），两向量反向（夹角为）． 1．（25-26高三上·山东淄博·期中）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A． B． C． D． 2．设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高三下·河南焦作·阶段检测）已知不同四点满足，且，且为锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 5．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 易错归纳04 投影向量问题 【易错陷阱·避错攻略】 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序. 1．（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·三模）向量在上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 3．已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江西·二模）已知，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建·三模）已知向量在向量方向的投影向量是，且，，______. 7．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则向量在向量上的投影向量为______．    8．在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点、、，若，.则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是______. 易错归纳05 平面向量与三角形“四心”问题结合 【易错陷阱·避错攻略】 1、重心. 若点是的重心，则0或（其中为平面内任意一点）.反之，若0，则点是的重心. 2、垂心. 若是的垂心，则或.反之，若，则点是的垂心. 3、内心. 若点是的内心，则有=0.反之，若=0，则点是的内心. 4、外心. 若点是的外心，则=0或.反之，若，则点是的外心. 1．（多选题）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 2．（多选题）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 3．（多选题）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若为锐角的外心，且，则 4．（多选题）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 5．（多选题）（或）是的一种向量表达．同样，三角形还有其他向量表达：已知是内的一点，内角的对边分别为，则，其中分别是的面积．下列结论正确的是（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，，则 D．若点是锐角的垂心，且，则 6．（多选题）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 易错归纳06 复数的综合运算 【易错陷阱·避错攻略】 i的乘方具有周期性： i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. 1．（多选题）（25-26高三上·安徽·期中）设，均为非零复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（多选题）（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，，的共轭复数分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则或 B．若，则 C． D．一定是实数 4．（多选题）（25-26高三上·河北唐山·期中）有关复数和实数，下列说法不正确的是（   ） A．，则 B．，则 C． D．，其中 5．（多选题）（2026·新疆·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 易错归纳07 复数范围内方程的根 【易错陷阱·避错攻略】 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）复数范围内方程的一个根为，则另外一个根为，并且满足韦达定理. 1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）方程的一个复数根是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西上饶·二模）已知复数为方程的虚数根，则（   ）（注：为虚数单位） A． B． C． D． 4．已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 5．（多选题）已知为实数，，若在复数范围内，方程的两个虚数根分别为，，则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．当且仅当时， 6．（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段检测）记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 易错归纳08 复数有关几何意义问题 【易错陷阱·避错攻略】 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 1．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 4．（多选题）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 5．（多选题）（2026·陕西·二模）已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（    ） A． B．的轨迹是 C．到直线的距离的最大值为 D．到圆上点的距离的最大值为 6．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 实战检测・易错通关验成效 1．已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 4．已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知向量，满足，，若向量在向量方向上的投影向量恰好是，则（    ） A． B．4 C． D． 7．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 10．已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 11．（2026·广东·模拟预测）在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 12．（25-26高三下·宁夏中卫·开学考试）如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A．5 B．9 C． D． 13．（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2025·江西·三模）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 15．（多选题）（2025·湖北黄冈·三模）已知复数，下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 16．（多选题）（2025·甘肃武威·模拟预测）已知复数，，其中，则（   ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．存在，使得 D．存在，使得 17．（多选题）已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2026·河南信阳·三模）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B． C．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D．若，是方程的两根，则 19．（多选题）（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 20．（多选题）（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知复数z满足且，复数（i为虚数单位），则（   ） A．当时， B．存在复数z，使 C．当时，是纯虚数 D．的最大值为 21．（多选题）（25-26高一下·浙江温州·期中）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 22．（多选题）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．，则为内心 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 23．（多选题）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 24．（多选题）（2026·湖北黄冈·二模）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 25．（多选题）（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $