精品解析：山东省济南市钢城区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度年上学期期末考试初四数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 倒数是（ ） A. B. C. 9 D. 2. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A. B. C. D. 3. 截至2024年底，我国在校初中生人数约为万人，将数字万用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 位于四川省三星堆出土的文物是宝贵的人类文化遗产，在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 8. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“泉”、“城”、“济”、“南”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的概率（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（　　） A. B. C. 或 D. 1或 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若分式值为0，则x的值是______． 12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是______． 13. 如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为______． 14. 如图，已知第一象限内的点 在反比例函数上，第二象限的点 在反比例函数（是常数，）上，且，，则的值为______． 15. 如图，在中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为 ___________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF. 19. 在立定跳远时，起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系：起跳点为原点，地面所在直线为x轴，起跳点所在的竖直方向为y轴，从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． （1）求该立定跳远腾空路线的解析式； （2）求该立定跳远落地时距离起跳点的水平距离． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影长． （结果精确到米．参考数据：，，） 21. 如图，以边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接交于点E，且． （1）证明：是⊙O的切线． （2）若点C是弧的中点，已知，求的值． 22. 学校为调查学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩整理后分成五组（成绩用表示，单位：分）：；；；；．下面是给出部分信息： a：“”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89 b：不完整的学生测试成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的圆心角为 ： （3）抽取的样本中学生成绩的中位数为 分； （4）成绩80分及以上的为优秀等次，估计全校3000名学生中，优秀等次的约有多少人？ 23. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保．绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元 （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元? （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大? 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）点是平面内任意一点，若以为顶点四边形为平行四边形，求点的坐标． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）试在线段上方抛物线上找一点，使得的面积最大，求出最大面积是多少？ （3）直线上是否存在两点，，使得为以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请说明理由，并求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度年上学期期末考试初四数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的乘积为1，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：A． 2. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，根据三视图判断这个几何体的形状即可，掌握几何的的三视图是解题的关键． 【详解】解：由主视图和左视图都是长方形可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱， 故选：D． 3. 截至2024年底，我国在校初中生人数约为万人，将数字万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，万， 故选：B 4. 位于四川省的三星堆出土的文物是宝贵的人类文化遗产，在中国的文物群体中，属最具历史、科学、文化、艺术价值和最富观赏性的文物群体之一．下列四个图案是三星堆遗址出土文物图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．本题考查的知识点是中心对称图形的概念，解题关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形．故此选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形．故此选项不符合题意； C、该图形不是中心对称图形．故此选项不符合题意； D、该图形是中心对称图形．故此选项符合题意； 故选D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，合并同类项，去括号，同底数幂相乘，根据运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、不同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 6. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 7. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsinβ与AD=ABsinα，两线段作差即可． 【详解】解：如图所示标记字母， 根据题意得AB=CE=10米， ∵sinβ， 在Rt△ECD中，sin， ∴CD=， 在Rt△ABD中，sin， ∴， ∴AC=CD-AD=8-6=2． 故选择C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键． 8. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“泉”、“城”、“济”、“南”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画出树状图，进行求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的结果数为2， 所以取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的概率为， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴是直径， 根据同弧对的圆周角相等得， ∵， ∴， ∴，即圆的半径为2， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 10. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（　　） A. B. C. 或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况，分别求出y最大值和最小值，即可求解． 【详解】解：当时， ∵对称轴为， 当时，y有最小值为2，当时，y有最大值为， ∴． ∴， 当时，同理可得：y有最大值为2； y有最小值为， ∴， ∴． 综上，a的值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若分式值为0，则x的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得x−1＝0且2x＋1≠0， 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，注意：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比几何概率． 击中空白区域的概率等于空白区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：设小正方形的面积为， ∵飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成， ∴飞镖游戏板的面积为，空白区域的面积为， ∴随意投掷一个飞镖，击中空白区域的概率为：． 故答案为：． 13. 如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为：． 14. 如图，已知第一象限内的点 在反比例函数上，第二象限的点 在反比例函数（是常数，）上，且，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，过点作轴，利用相似三角形的性质以及三角函数值得到 以及两个三角形各边比，再设点的坐标并用坐标表示边的比例关系，最后求解即可． 【详解】过点作轴，过点作轴， 设 故答案为：-8 【点睛】本题主要考查相似三角形以及反比例函数，熟练运用垂直关系求相似并利用三角函数值得到边的比例关系是解决本题的关键． 15. 如图，在中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．过点A作于H，连接，利用解直角三角形得到，，，利用勾股定理算出，利用得到点Q在以A为圆心为半径的上，当C、Q、A三点共线时最小，即可解题． 【详解】解：如图，过点A作于H，连接， ，，， 则， ， ， 在中， ， 点B与点Q关于直线对称， ， 点Q在以A为圆心为半径的上， 当C、Q、A三点共线时最小，的最小值， 故答案为： 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，先化简零次幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，以及绝对值，再运用加减法，即可作答． 【详解】解： ． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得不等式组的解集为，最后结合整数解的定义进行作答即可． 【详解】解：∵ 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为0，1． 18. 如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CD-CE=CB-CF，即DE=BF．可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF． 【详解】证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D． 又∵CE=CF， ∴CD-CE=CB-CF， 即DE=BF． 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）． ∴AE=AF． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键． 19. 在立定跳远时，起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系：起跳点为原点，地面所在直线为x轴，起跳点所在的竖直方向为y轴，从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为．已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为． （1）求该立定跳远腾空路线的解析式； （2）求该立定跳远落地时距离起跳点的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，因而设该立定跳远腾空路线的解析式为，由图象过原点可得，解方程即可求出的值，进而可得该立定跳远腾空路线的解析式； （2）令，则，解方程即可求出该立定跳远落地时距离起跳点的水平距离． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设该立定跳远腾空路线的解析式为， 图象过原点， ， 解得：， 该立定跳远腾空路线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：（不符合题意，故舍去），， 该立定跳远落地时距离起跳点的水平距离为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（其他问题），待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及求抛物线与轴的交点坐标是解题的关键． 20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； 【小问2详解】 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 21. 如图，以边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接交于点E，且． （1）证明：是⊙O的切线． （2）若点C是弧的中点，已知，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理． （1）连接，根据圆周角定理可得，然后计算出和的度数，进而可得，从而证明是⊙O的切线； （2）连接，首先求出，然后可得长，再证明，进而可得，然后可得的值． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：连接， ∵是⊙O的直径， ∴， 又∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 学校为调查学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩整理后分成五组（成绩用表示，单位：分）：；；；；．下面是给出部分信息： a：“”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89 b：不完整的学生测试成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的圆心角为 ： （3）抽取的样本中学生成绩的中位数为 分； （4）成绩80分及以上的为优秀等次，估计全校3000名学生中，优秀等次的约有多少人？ 【答案】（1）图见解析 （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）由频数分布直方图可知，组人数为人，由扇形统计图可知，组人数占比为，由此即可求出本次随机抽取的学生总人数，用总人数减去其他各组人数即可求出组人数，进而可补全频数分布直方图； （2）由频数分布直方图可知，“”这组的人数为人，而本次随机抽取的学生总人数为人，由此即可求出“”这组的圆心角； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知：组人数为人， 由扇形统计图可知：组人数占比为， 本次随机抽取的学生总人数为：（人）， 组人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：“”这组的圆心角为： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：抽取的样本中排在第名和第名的成绩分别为和， 抽取的样本中学生成绩的中位数为：（分）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全校名学生中，优秀等次约有人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求中位数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数的概念及频数分布直方图和扇形统计图是解题的关键． 23. 低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保．绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台650元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元 （1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元? （2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大? 【答案】（1）100元，170元 （2）购买甲型自行车20辆、乙型自行车10辆才能使得这30台自行车全部卖出后总利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用， （1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元，根据“该公司销售4台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利1250元，销售1台甲型自行车和5台乙型自行车，共可获利950元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司加购台甲型自行车，则加购台乙型自行车，利用总进价进货单价进货数量，结合总进价不超过21000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设加购的这30台自行车全部售出后总利润为元，利用总利润每台甲型自行车的销售利润销售数量（购进数量）每台乙型自行车的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 【小问1详解】 解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是元，一台乙型自行车的利润是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是100元，一台乙型自行车的利润是170元； 【小问2详解】 设该公司加购台甲型自行车，则加购台乙型自行车， 根据题意得：， 解得：． 设这30台自行车全部售出后总利润为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时（台． 答：该公司加购20台甲型自行车，10台乙型自行车时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3），， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，求出，再求出，然后把和都代入，求出，即可作答． （2）运用数形结合思想以及一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，即可作答． （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，将点的坐标代入， 得：， ； ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 根据图象可知： ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， 不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， ∴点坐标分别为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）试在线段上方抛物线上找一点，使得的面积最大，求出最大面积是多少？ （3）直线上是否存在两点，，使得为以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请说明理由，并求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）存在，理由见解析，或 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过，两点可得，解方程组即可求出、的值，进而可得抛物线的解析式； （2）由（1）得，抛物线的解析式为，令，则，于是可得抛物线与轴的交点坐标，设直线的解析式为，由直线经过点，可得，解得，进而可得直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，于是可得，由可知抛物线开口向下，进而可得当时，取得最大值，，可推出，然后根据即可求出面积的最大值； （3）设点的坐标为，过点作轴于点E，过点作轴于点，则，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，则，利用可证得，于是可得，，结合，可得，由点在直线上可得，解方程即可求出的值，进而可得点的坐标；由于可以和互换位置，因而可得其他满足条件的点坐标；综上，即可得出所有满足条件的点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的解析式为， 令，则， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值，， 此时，点的坐标为， ， ， 答：当点的坐标为时，的面积最大，最大面积是； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或，理由如下： 设点的坐标为， 如图，过点作轴于点E，过点作轴于点， 则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点在直线上， ， 解得：， 把代入，得： ， 点的坐标为； 可以和互换位置， ； 综上，满足条件的点有或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，求一次函数解析式，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，直角三角形的两个锐角互余，解二元一次方程组，解一元一次方程，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$