版块11 概率与统计-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 十一 概 与统计 题 1 事件的概 母题368. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45 , 既用现金支付也用非现金支付的概率 为 0.15 , 则不用现金支付的概率为 ( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【解析】某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互 斥事件,所以不用现金支付的概率为: 1- 0.45- 0.15= 0.4 . 【答案】B . 母题369. 下列说法中正确的是 ( ) A. 若事件 A与事件 B互斥,则 P A +P B = 1 . B. 若事件 A与事件 B满足 P A +P B = 1 ,则事件 A与事件 B为对立事件. C. “事件 A与事件 B互斥”是“事件 A与事件 B对立”的必要不充分条件. D. 某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立 事件. 【解析】对立事件的概率和为 1,故 A不正确； A为必然事件, B为随机事件时, A与 B不对立, B不正确; 互斥不一定对立,对立一定互斥,故 C 正确； 某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不 对立. D错误. 【答案】C . 题 2 古典概 概 母题370. 生物实验室有 5只兔子, 其中只有 3只测量过某项指标. 若从这 5只兔子中随机取出 3 只, 则恰有 2只测量过该指标的概率为 ( ) A. 23 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 【解析】法一:由题意,可知: 根据组合的概念, 可知: 从这 5只兔子中随机取出 3只的所有情况数为 C35 , 恰有 2只测量过该指标的所有情况数为 C23C12 . ∴ p= C 2 3C12 C35 = 35 . 法二:设其中做过测试的 3只兔子为 a,b,c ,剩余的 2只为 A,B ,则从这 5只中任取 3只的所 有取法有 {a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{b,A , B}, {c,A,B}10种,其中恰好有两只做过测试的取法有 {a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B} , {b,c, A},{b,c,B}6种,故恰有两只做过测试的概率为 610 = 3 5 . 【答案】B . 母题371. 改革开放以来, 人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来, 移动支付已成为主要支付方 式之一. 为了解某校学生上个月 A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的 1000名 学生中随机抽取了 100人,发现样本中 A,B两种支付方式都不使用的有 5人,样本中仅使用 A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如下: 支付金额 支付方式 不大于 2000元 大于 2000元 仅 用 A 27人 3人 仅 用 B 24人 1人 (I)估计该校学生中上个月 A,B两种支付方式都使用的人数; (II)从样本仅使用 B的学生中随机抽取 1人,求该学生上个月支付金额大于 2000元的概率; 【解析】( I )由题意得: 从全校所有的 1000名学生中随机抽取的 100人中, A,B两种支付方式都不使用的有 5人, 仅使用 A的有 30人,仅使用 B的有 25人, ∴A,B两种支付方式都使用的人数有: 100- 5- 30- 25= 40 , ∴估计该校学生中上个月 A,B两种支付方式都使用的人数为: 1000× 40100 = 400人. (II)从样本仅使用 B的学生有 25人,其中不大于 2000元的有 24人,大于 2000元的有 1人, 从中随机抽取 1人,基本事件总数 n= 25 , 该学生上个月支付金额大于 2000元包含的基本事件个数m= 1 , ∴该学生上个月支付金额大于 2000元的概率 p= mn = 1 25 . 题 3 几 概 概 母题372. 若实数m取值是区间 0,6 上的任意数,则关于 x的方程 x2-mx+ 4= 0有实数根的 概率为 【解析】若关于 x的方程 x2-mx+ 4= 0有实根,则 Δ=m2- 4× 4≥ 0 , 即m2- 16≥ 0 ,解得m≥ 4或m≤-4； 记事件 A :设在区间 0,6 上随机地取一个数 m ,方程 x2-mx+ 4= 0 有实根符合几何概 型, ∴P A = 6-46-0 = 1 3 . 【答案】 13 母题373. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成, 三个半 圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ,直角边 AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域 记为 I ,黑色部分记为 II,其余部分记为 III. 在整个图形中随机取一点,此点取自 I, II, III的 概率分别记为 p1,p2,p3 ,则 ( ) A. p1= p2 B. p1= p3 C. p2= p3 D. p1= p2+ p3 【解析】法一:如图:设 BC= 2r1,AB= 2r2,AC= 2r3 , ∴ r21= r22+ r23 , ∴SI= 1 2 × 4r2r3= 2r2r3,SIII= 1 2 × πr 2 1- 2r2r3 , SII= 1 2 × πr 2 3+ 12 × πr 2 2-SIII= 1 2 × πr 2 3+ 12 × πr 2 2- 12 × πr 2 1+ 2r2r3= 2r2r3, ∴SI=SII , ∴P1=P2 , 法二:设 BC= 2r1,AB= 2r2,AC= 2r3 , 则 r21= r22+ r23 , ∴ πr 2 1 2 = πr22 2 + πr23 2 , 故大半圆面积等于两个较小半圆面积之和, 即 S1+S空白①+S空白②=S月牙①+S空白①+S月牙②+S空白② , ∴S1=S月牙①+S月牙② , ∴SI=SII , ∴P1=P2 , 【答案】A . 母题374. 在区间 0,1 上任取三个实数 x,y,z ,事件 A= x,y,z ∣x2+y2+z2<1 的概率为 . 【解析】在区间 0,1 上随机取三个数 x,y,z , 则点 (x, y, z)在棱长为 1的正方体内,其体积V= 13= 1 . x2+ y2+ z2< 1表示的是以原点 (0,0,0)为球心,1为半径的球内的点. 而事件 A= x,y,z ∣x2+y2+z2<1 中的点表示的是球在正方体内部的点, 因此 P A = 1 8 ⋅ 4 3 ⋅π ⋅1 3 1×1×1 = π 6 , 【答案】 π6 题 4 时间问题 母题375. 某公司的班车在 7:00,8:00,8:30发车,小明在 7:50至 8:30之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的, 则他等车时间不超过 10分钟的概率是 ( ) A. 13 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 【解析】设小明到达时间为 y , 当 y在 7:50至 8:00 ,或 8:20至 8:30时, 小明等车时间不超过 10分钟, 故 P= 2040 = 1 2 , 【答案】B . 母题376. 若即时起 10分钟内,305路公交车和 202路公交车由南往北等可能进入二里半公交 站,则这两路公交车进站时间的间隔不超过 2分钟的概率为 ( ) A. 0.18 B. 0.32 C. 0.36 D. 0.64 【解析】设 305路公交车和 202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站的时间为 (x, y), 则 0< x≤ 10,0< y≤ 10 ,其基本事件可用矩形区域表示, 则这两路公交车进站时间的间隔不超过 2分钟的事件为 A ,则事件 A为: x-y ≤ 2 ,其基本 事件可用阴影部分区域表示, 由几何概型中的面积型可得: P= S阴S短 = 1- 2× 12 ×8×8 10×10 = 0.36, 【答案】C . 题 5 简单 抽 母题377. 下面抽样方法是简单随机抽样的是 ( ) A. 从平面直角坐标系中抽取 5个点作为样本 B. 可口可乐公司从仓库中的 1 000箱可乐中一次性抽取 20箱进行质量检查 C. 某连队从 200名战士中, 挑选出 50名 优秀的战士去参加抢险救灾活动 D. 从 10个手机中逐个不放回地随机抽取 2个进行质量检验 (假设 10个手机已编号) 【解析】总体和样本容量都不大,采用简单随机抽样. 【答案】D . 母题378. 从某 500件产品中随机抽取 50件进行质检, 利用随机数表法抽取样本时, 先将这 500 件产品按 001 , 002,003,⋯ ,500进行编号. 如果从随机数表的第 7行第 4列的数 2开始,从左 往右读数,则依次抽取的第 5个个体的编号是 ( ) 附:随机数表第 6行至第 8行各数如下 16227794394954435482173793237887352096438426349164 84421753315724550688770474476721720650258342163376 63016378591695556719981050717512867358074439523879 A. 217 B. 245 C. 421 D. 206 【解析】从随机数表第 7行第 4列的数开始读, ∴所取的第一个数为 217, 第二个数为 157, 第三个数为 245, 第四个数为 206 ; 第五个数为 421. 【答案】C . 题 6 抽 母题379. 某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异. 为了解客户的评 价,该公司准备进行抽样 查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 则 合适的抽样方法是 【解析】某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异, 为了解客户的评价,该公司准备进行抽样 查, 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 则 合适的抽样方法是分层抽样. 【答案】分层抽样. 母题380. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100件. 为检 验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验, 则应从丙种型 号的产品中抽取 件。 【解析】产品总数为 200 + 400 + 300 + 100= 1000 件,而抽取 60 件进行检验,抽样比例为 60 1000 = 6 100 , 则应从丙种型号的产品中抽取 300× 6 100 = 18件, 【答案】18 题 7 系统抽 母题381. 某学校为了解 1000名新生的身体素质,将这些学生编号 1,2,⋯ ,1000 ,从这些新生中 用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验. 若 46号学生被抽到, 则下面 4名学生中 被抽到的是 ( ) A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 【解析】∵从 1000名学生从中抽取一个容量为 100的样本, ∴系统抽样的分段间隔为 1000100 = 10 , ∵ 46号学生被抽到, 则根据系统抽样的性质可知,第一组随机抽取一个号码为 6 ,以后每个号码都比前一个号码 增加 10 , 所有号码数是以 6为首项, 以 10为公差的等差数列, 设其数列为 an ,则 an= 6+ 10 n-1 = 10n- 4 , 当 n= 62时, a62= 616 ,即在第 62组抽到 616. 【答案】C . 题 8 数字特征 母题382. 演讲比赛共有 9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 9个原 始评分中去掉 1个 高分、1个 低分,得到 7个有效评分. 7个有效评分与 9个原始评分相 比,不变的数字特征是 ( ) A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【解析】根据题意,从 9个原始评分中去掉 1个 高分、1个 低分,得到 7个有效评分, 7个有效评分与 9个原始评分相比, 中间的一个数不变, 即中位数不变, 【答案】A . 母题383. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5名工人某日的产量数据 (单位:件). 若这两组 数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x和 y的值分别为 ( ) 甲组 乙组 5 7 918 A. 3,5 B. 5,5 C. 3,7 D. 5,7 【解析】由已知中甲组数据的中位数为 65, 故乙组数据的中位数也为 65 , 即 y= 5 , 则乙组数据的平均数为: 66, 故 x= 3 , 【答案】A . 母题384. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机 查了 100个企业,得到这 些企业第一季 度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表. y的 组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 业数 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； ( 2 )求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 (同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表). (精确到 0.01) 附: 74 ≈ 8.602 . 【解析】(1)根据产值增长率频数表得,所 查的 100个企业中产值增长率不低于 40%的企业 为: 14+7100 = 0.21= 21%, 产值负增长的企业频率为: 2100 = 0.02= 2% , 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%,产 值负增长的企业比例为 2%; ( 2 )企业产值增长率的平均数 y = 1100 -0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7 = 0.3= 30%, 产值增长率的方差 s2= 1100 5 i=1 ni yi-y  2 = 1100 -0.4  2×2+ -0.2 2×24+02×53+0.22×14+0.42×7  = 0.0296 , ∴产值增长率的标准差 s= 0.0296= 0.02× 74 ≈ 0.17 , ∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30,0.17. 母题385. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将 200只小鼠随机分成 A、B两组,每组 100只,其中 A组小鼠给服甲离子溶液, B组小鼠给服乙离子溶液. 每只小 鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如图直方图: 甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图 记 C 为事件: “乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”,根据直方图得到 P C 的估计值为 0.70. ( 1 )求乙离子残留百分比直方图中 a,b的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 【解析】(1) C 为事件: “乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”, 根据直方图得到 P C 的估计值为 0.70 . 则由频率分布直方图得: a+0.20+0.15=0.7 0.05+b+0.15=1-0.7 , 解得乙离子残留百分比直方图中 a= 0.35,b= 0.10 . (2)估计甲离子残留百分比的平均值为: x甲  = 2× 0.15+ 3× 0.20+ 4× 0.30+ 5× 0.20+ 6× 0.10+ 7× 0.05= 4.05 . 乙离子残留百分比的平均值为: xZ  = 3× 0.05+ 4× 0.1+ 5× 0.15+ 6× 0.35+ 7× 0.2+ 8× 0.15= 6.00 . 母题386. 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了 10个 轮胎,将每个轮胎的宽度 (单位:mm)记录下来并绘制出如下的折线图: (1)分别计算甲、乙两厂提供的 10个轮胎宽度的平均值； ( 2 )轮胎的宽度在 194,196 内,则称这个轮胎是标准轮胎。试比较甲、乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波 动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？ 【解析】(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为: x甲= 1 10 195+194+196+193+194+197+196+195+193+197 = 195  cm , 乙厂这批轮胎宽度的平均值为: xZ= 1 10 195+196+193+192+195+194+195+192+195+193 = 194  cm . (2)甲厂这批轮胎宽度都在 [194, 196]内的数据为 195, 194, 196, 194, 196, 195, 平均数为 x1= 16 195+194+196+194+196+195 = 195 S 21 = 16 195-195  2+ 194-195 2+ 196-195 2+ 194-195 2+ 196-195 2+ 195-195  ​ 2 = 23 , 乙厂这批轮胎宽度都在 [194,196]内的数据为 195,196,195,194,195,195, 平均数为 x2= 16 195+196+195+194+195+195 = 195 , 方 差 为 : S 22 = 1 6 195-195  2+ 196-195 2+ 195-195 2+ 194-195 2+ 195-195 2+ 195-195  ​ 2 = 13 , ∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小, ∴乙厂的轮胎相对更好. 母题387. 某工厂为提高生产效率, 开展技术创新活动, 提出了完成某项生产任务的两种新的生 产方式. 为比较两种生产方式的效率,选取 40名工人,将他们随机分成两组,每组 20人,第一 组工人用第一种生产方式, 第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时 间 (单位:min)绘制了如下茎叶图: 第一种生产方式 第二种生产方式 8 6 5 5689 9762 7 0 122345668 9877654332 8 1 445 21100 9 0 (1)分别指出两种生产方式完成任务时间的 大值、 小值、极差. ( 2 )求 40名工人完成生产任务所需时间的中位数m . (3)分别求出两种生产方式完成任务的平均时间. (4)哪种生产方式的效率更高？并说明理由. 【解析】( 1 )第一种生产方式的 大值是 92, 小值是 68,极差是 24, 第二种生产方式的 大值是 90, 小值是 65,极差是 25； ( 2 )这 40名工人完成任务所需时间的中位数为: 79+812 = 80 ,故m= 80； (3)第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间 x = 120 (68+ 72+ 76+ 77+ 79+ 82+ 83+ 83+ 84+ 85+ 86+ 87+ 87+ 88+ 89+ 90+ 90 + 91+ 91 +92) = 84 , 第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间 y= 120 (65+ 65+ 66+ 68+ 69+ 70+ 71+ 72+ 72+ 73+ 74+ 75+ 76+ 76+ 78+ 81+ 84 + 84+ 85 +90) = 74.7 ; (4)由 x> y ,显然第二种生产方式的效率更高. 题 9 件概 的 用 母题388. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取 2个数,事件 A为“第一次取到的是奇数”, B为 “第二” 我是 K 次取到的是 3的整数倍”,则 P B∣A = ( ) A. 38 B. 13 40 C. 13 45 D. 3 4 【答案】B 【解析】由题意 P A = 59 事件 A∩B 为 “第一次取到的是奇数且第二次取到的是 3 的整数倍”:若第一次取到的为 3 或 9,第二次有 2种情况;若第一次取到的为 1,5,7,第二次有 3种情况,故共有 2× 2+ 3× 3 = 13个事件 P(A∩ B) = 139×8 = 13 72 由条件概率的定义: P B∣A = P A∩B  P A  = 1340 故选: B 母题389. 将三枚骰子各掷一次,设事件 A为 “三个点数都不相同”,事件 B为 “至少出现一个 6 点”,则概率 P A∣B 的值为 ( ) A. 6091 B. 1 2 C. 5 18 D. 91 216 【答案】A 【解析】∵P A∣B =P AB ÷P B ,P AB = 60 63 = 60216 P B = 1-P B   = 1- 5 3 63 = 1- 125216 = 91 216 ∴P A/B =P AB ÷P B = 60 216 91 216 = 6091 故 选 A . 母题390. 如图, EFGH 是以 O为圆心,半径为 1的圆的内接正方形. 将一颗豆子随机地扔到该 圆内,用 A表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部 分)内”,则 (1) P A = ； (2) P B∣A = . 【解析】用 A表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, ∴P A = s正方形EFGH s圆 = 2π , B表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部分)内”, P AB = s△EOH s圆 = 1 2 π = 1 2π , ∴P B∣A = P AB  P A  = 14 . 【答案】 2π , 1 4 . 题 10 相互独 事件 母题391. 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制 (当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结 束). 根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概 率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4:1获胜的概率是 . 【解析】甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.6 ,客场取胜的概率为 0.5 ,且各场比赛结果相互独立, 甲队以 4:1获胜包含的情况有: ① 前 5 场比赛中,第一场负,另外 4 场全胜,其概率为: p1= 0.4 × 0.6 × 0.5 × 0.5 × 0.6= 0.036 , ②前 5 场比赛中,第二场负,另外 4 场全胜,其概率为: p2= 0.6 × 0.4 × 0.5 × 0.5 × 0.6= 0.036 , ③前 5场比赛中,第三场负,另外 4场全胜,其概率为: p3= 0.6× 0.6× 0.5× 0.5× 0.6= 0.054 , ④ 前 5 场比赛中,第四场负,另外 4 场全胜,其概率为: p4= 0.6 × 0.6 × 0.5 × 0.5 × 0.6= 0.054 , 则甲队以 4:1获胜的概率为: p= p1+ p2+ p3+ p4= 0.036+ 0.036+ 0.054+ 0.054= 0.18 . 【答案】0.18 . 母题392. 电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表: 电影类 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (I)从电影公司收集的电影中随机选取 1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (II)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部, 估计恰有 1部获得好评的概率; 【解析】(I)设事件 A表示“从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评 的第四类电影”, 总的电影部数为 140+ 50+ 300+ 200+ 800+ 510= 2000部, 第四类电影中获得好评的电影有: 200× 0.25= 50部, ∴从电影公司收集的电影中随机选取 1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为: P A = 502000 = 0.025. (II)解法一:设事件 B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部,恰有 1部获得好 评”, 第四类获得好评的有: 200× 0.25= 50部, 第五类获得好评的有: 800× 0.2= 160部, 则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部,估计恰有 1部获得好评的概率: P B = 50× 800-160 + 200-50 ×160 200×800 = 0.35. 解法二:由表格可知: 设事件 A “从第四类电影中随机选 1部获得好评”, P A = 0.25, 事件 B “从第五类电影中随机选 1部获得好评”, P B = 0.2, ∴从第四类和第五类中各选 1部,恰有 1部获得好评, P A  B∪AB   =P A  B +P AB    =P A   P B +P A P B    = 0.75× 0.2+ 0.25× 0.8 = 0.35 . 题 11 超几 母题393. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16 . 现采用分层抽样的方法从 中抽取 7人,进行睡眠时间的 查. (I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (II)若抽出的 7人中有 4人睡眠不足, 3人睡眠充足,现从这 7人中随机抽取 3人做进一步的 身体检查. (i)用 X 表示抽取的 3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; (ii)设 A为事件“抽取的 3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A发生 的概率. 【解析】 (I)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16 . 人数比为:3:2:2, 从中抽取 7人现,应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3,2,2人. (II)若抽出的 7人中有 4人睡眠不足, 3人睡眠充足,现从这 7人中随机抽取 3人做进一步的 身体检查. (i)用 X 表示抽取的 3人中睡眠不足的员工人数, 随机变量 X 的取值为: 0,1,2,3,P X=k = Ck4 ⋅C3-k3 C37 ,k= 0,1,2,3 . 所以随机变量的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量 X 的数学期望 E X = 0× 135 + 1× 12 35 + 2× 18 35 + 3× 4 35 = 12 7 ; (ii)设 A为事件“抽取的 3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”, 设事件 B为:抽取的 3人中,睡眠充足的员工有 1人,睡眠不足的员工有 2人,事件 C 为抽取 的 3人中, 睡眠充足的员工有 2人,睡眠不足的员工有 1人, 则: A=B∪C ,且 P B =P X=2 ,P C =P X=1 , 故 P A =P B∪C =P X=2 +P X=1 = 67 . 所以事件 A发生的概率: 67 . 题 12 二项 母题394. 设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30之前到校的概率均为 23 . 假定甲、乙两位同学到 校情况互不影响, 且任一同学每天到校情况相互独立. (I)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7:30之前到校的天数,求随机变量 X 的分布列和数 学期望； (II)设 M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30之前到校的天数比乙同学在 7:30之前 到校的天数恰好多 2 ”,求事件M 发生的概率. 【解析】(I)甲上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30之前到校的概率均为 23 , 故 X∼B 3, 23 , 从而 P X=k =Ck3 23  k 1 3  3-k ,k= 0,1,2,3 . 所以,随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量 X 的期望 E X = 3× 23 = 2 . (II)设乙同学上学期间的三天中 7:30到校的天数为 Y ,则 Y∼B 3, 23 , 且 M= {X= 3,Y= 1} ∪ {X= 2,Y= 0} ,由题意知 {X= 3,Y= 1}与 {X= 2,Y= 0}互斥, 且 {X= 3}与 {Y= 1},{X= 2}与 {Y= 0}相互独立, 由 (I)知, P M =P({X= 3,Y= 1}∪ {X= 2,Y= 0}=P({X= 3,Y= 1}+P{X= 2,Y= 0} =P X=3 P Y=1 +P X=2 P Y=0 = 827 × 2 9 + 4 9 × 1 27 = 20 243 题 13 正态 母题395. 已知随机变量 X 服从正态分布 N 3,S2 ,且 P X≤4 = 0.8 ,则 P 2<X<4 = ( ) A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 【答案】B 【解析】由题可知, P X>4 = 1-P X≤4 = 1- 0.8= 0.2 , 由于 X∼N 3,S2 ,所以, P X<2 =P X>4 = 0.2 , 因此, P 2<X<4 = 1-P X<2 -P X>4 = 1- 0.2- 0.2= 0.6 ,故选:B. 母题396. 已知某批零件的长度误差 (单位:毫米)服从正态分布 N 0,32 ,从中随机抽取一件,其 长度误差落在区间 (3,6)内的概率为 ( ) (附 : 若 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N μ,σ2  , 则 P μ-σ<ξ<μ+σ = 68 .26% , P μ-2σ<ξ<μ+2σ = 95.44%) A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74% 【解析】由题意 P -3<ξ<3 = 68.26%,P -6<ξ<6 = 95.44% , 所以 P 3<ξ<6 = 12 95.44%-68.26% = 13.59% . 【答案】B . 母题397. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 16个 零件, 并测量其尺寸 (单位:cm). 根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的 零件的尺寸服从正态分布 N μ,σ2 . ( 1 )假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 μ-3σ,μ+3σ 之外 的零件数, 求 P X≥1 及 X 的数学期望; ( 2 )一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 μ-3σ,μ+3σ 之外的零件,就认为这条生产线 在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii)下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 x = 116 16 i=1 xi = 9.97,s= 116 16 i=1 xi-x    2 = 116 16 i=1 x2i -16x2 ≈ 0.212 ,其中 xi 为抽取的第 i个零件的尺寸, i= 1,2,⋯ ,16 . 用样本平均数 x作为 μ的估计值 μ ,用样本标准差 s作为 σ的估计值 σ ,利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查?剔除 μ-3σ,μ+3σ 之外的数据,用剩下的数据估计 μ和 σ (精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N μ,σ2 ,则 P μ-3σ<Z<μ+3σ = 0.9974,0.997416≈ 0.9592 , 0.008 ≈ 0.09 . 【解析】(1)由题可知尺寸落在 μ-3σ,μ+3σ 之内的概率为 0.9974, 则落在 μ-3σ,μ+3σ 之外的概率为 1- 0.9974= 0.0026 , 由题意知 X∼B 16,0.0026 , 因为 P X=0 =C016× 1-0.9974 0× 0.997416≈ 0.9592 , 所以 P X≥1 = 1-P X=0 = 0.0408 , 因为 X∼B 16,0.0026 , 所以 E X = 16× 0.0026= 0.0416 ; ( 2 ) ( i )如果生产状态正常,一个零件尺寸在 μ-3σ,μ+3σ 之外的概率只有 0.0026,一天内 抽取的 16 个零件中,出现尺寸在 μ-3σ,μ+3σ 之外的零件的概率只有 0.0408 ,发生的概 率很小. 因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了 异常情况,需对当天的生产过程进行检查, 可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ii)由 x= 9.97,s≈ 0.212 ,得 μ的估计值为 μ= 9.97,σ的估计值为 σ= 0.212 ,由样本数据可 以看出一个 零件的尺寸在 μ-3σ,μ+3σ 之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除 μ-3σ,μ+3σ 之外的数据 9.22,剩下的数据的平均数为 1 15 16×9.97-9.22 = 10.02, 因此 μ的估计值为 10.02 . 16 i=1 x2i = 16× 0.2122+ 16× 9.972≈ 1591.134, 剔除 μ-3σ,μ+3σ 之外的数据 9.22,剩下的数据的样本方差为 1 15 1591.134-9.22 2-15×10.022 ≈ 0.008, 因此 σ的估计值为 0.008 ≈ 0.09 . 题 14 回归 的 用 母题398. 为了研究某班学生的脚长 x (单位:厘米)和身高 y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽 取 10名学生, 根据测量数据的散点图可以看出 y与 x之间有线性相关关系,设其回归直线方 程为 y= bx+ a . 已知 10 i=1 xi = 225, 10 i=1 yi = 1600,b= 4 . 该班某学生的脚长为 23,据此估计其 身高为 ( ) A. 160 B. 162 C. 166 D. 170 【解析】因为 10 i=1 xi = 225, 10 i=1 yi = 1600,b= 4 , 则 x= 22510 = 22.5,y = 160010 = 160 , 所以 a= y- bx= 160- 4× 22.5= 70 , 所以线性回归方程为 y= 4x+ 70 , 当 x= 23时, y= 4× 23+ 70= 162 , 所以该班某学生的脚长为 23 ,估计其身高为 162厘米. 【答案】B . 母题399. 如图是某地区 2000年至 2016年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量 t的两个线性回归模 型. 根据 2000 年至 2016 年的数据 (时间变量 t 的值依次为 1,2, ⋯ ,17 ) 建立模型①: y= -30.4+ 13.5t ;根据 2010年至 2016年的数据 (时间变量 t的值依次为 1,2,⋯ ,7 )建立模型 ②: y= 99+ 17.5t . (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 【解析】(1)根据模型①: y=-30.4+ 13.5t , 计算 t= 19时, y=-30.4+ 13.5× 19= 226.1 ; 利用这个模型, 求出该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值是 226.1亿元; 根据模型②: y= 99+ 17.5t , 计算 t= 9时, y= 99+ 17.5× 9= 256.5 ; 利用这个模型, 求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5亿元; (2)解法 1:模型②得到的预测值更可靠,因为从总体数据看,该地区从 2000年到 2016年的环 境基础设施投资额是逐年上升的,从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些,从 2010 年到 2016年间递增的幅度较大些,所以利用模型②的预测值更可靠些. 解法 2 , 模型 ② 对应的 7个点分布宽度小于模型 ① 对应的 17个点的分布宽度,则 r2 > r1  ,所以模型 ②较好; 解法 3, 选择与 2018 邻近的三个年份 (2014, 2015, 2016)计算模型②对应的残差绝对值之和 = 2.5+ 5 +1.5= 9,模型①对应的残差绝对值之和= 12+ 23.5+ 21= 56.5；且 9< 56.5,所以 模型②较好；所以利用模型②的预测值更可靠些. 题 15 独 性 验的 用 母题400. 某商场为提高服务质量, 随机 查了 50名男顾客和 50名女顾客, 每位顾客对该商场 的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； ( 2 )能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 【解析】(1)由题中数据可知,男顾客对该商场服务满意的概率 P= 4050 = 4 5 , 女顾客对该商场服务满意的概率 P= 3050 = 3 5 ; (2)由题意可知, K 2= 100 40×20-30×10 2 70×30×50×50 = 100 21 ≈ 4.762> 3.841 , 故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 版 十一 概 与统计 题 1 事件的概 母题368. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45 , 既用现金支付也用非现金支付的概率 为 0.15 , 则不用现金支付的概率为 ( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 母题369. 下列说法中正确的是 ( ) A. 若事件 A与事件 B互斥,则 P A +P B = 1 . B. 若事件 A与事件 B满足 P A +P B = 1 ,则事件 A与事件 B为对立事件. C. “事件 A与事件 B互斥”是“事件 A与事件 B对立”的必要不充分条件. D. 某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立 事件. 题 2 古典概 概 母题370. 生物实验室有 5只兔子, 其中只有 3只测量过某项指标. 若从这 5只兔子中随机取出 3 只, 则恰有 2只测量过该指标的概率为 ( ) A. 23 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 母题371. 改革开放以来, 人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来, 移动支付已成为主要支付方 式之一. 为了解某校学生上个月 A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的 1000名 学生中随机抽取了 100人,发现样本中 A,B两种支付方式都不使用的有 5人,样本中仅使用 A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如下: 支付金额 支付方式 不大于 2000元 大于 2000元 仅 用 A 27人 3人 仅 用 B 24人 1人 (I)估计该校学生中上个月 A,B两种支付方式都使用的人数; (II)从样本仅使用 B的学生中随机抽取 1人,求该学生上个月支付金额大于 2000元的概率; 题 3 几 概 概 母题372. 若实数m取值是区间 0,6 上的任意数,则关于 x的方程 x2-mx+ 4= 0有实数根的 概率为 母题373. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成, 三个半 圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ,直角边 AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域 记为 I ,黑色部分记为 II,其余部分记为 III. 在整个图形中随机取一点,此点取自 I, II, III的 概率分别记为 p1,p2,p3 ,则 ( ) A. p1= p2 B. p1= p3 C. p2= p3 D. p1= p2+ p3 母题374. 在区间 0,1 上任取三个实数 x,y,z ,事件 A= x,y,z ∣x2+y2+z2<1 的概率为 . 题 4 时间问题 母题375. 某公司的班车在 7:00,8:00,8:30发车,小明在 7:50至 8:30之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的, 则他等车时间不超过 10分钟的概率是 ( ) A. 13 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 母题376. 若即时起 10分钟内,305路公交车和 202路公交车由南往北等可能进入二里半公交 站,则这两路公交车进站时间的间隔不超过 2分钟的概率为 ( ) A. 0.18 B. 0.32 C. 0.36 D. 0.64 题 5 简单 抽 母题377. 下面抽样方法是简单随机抽样的是 ( ) A. 从平面直角坐标系中抽取 5个点作为样本 B. 可口可乐公司从仓库中的 1 000箱可乐中一次性抽取 20箱进行质量检查 C. 某连队从 200名战士中, 挑选出 50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D. 从 10个手机中逐个不放回地随机抽取 2个进行质量检验 (假设 10个手机已编号) 母题378. 从某 500件产品中随机抽取 50件进行质检, 利用随机数表法抽取样本时, 先将这 500 件产品按 001 , 002,003,⋯ ,500进行编号. 如果从随机数表的第 7行第 4列的数 2开始,从左 往右读数,则依次抽取的第 5个个体的编号是 ( ) 附:随机数表第 6行至第 8行各数如下 16227794394954435482173793237887352096438426349164 84421753315724550688770474476721720650258342163376 63016378591695556719981050717512867358074439523879 A. 217 B. 245 C. 421 D. 206 题 6 抽 母题379. 某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异. 为了解客户的评 价,该公司准备进行抽样 查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 则最合适的抽样方法是 母题380. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100件. 为检 验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验, 则应从丙种型 号的产品中抽取 件。 题 7 系统抽 母题381. 某学校为了解 1000名新生的身体素质,将这些学生编号 1,2,⋯ ,1000 ,从这些新生中 用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验. 若 46号学生被抽到, 则下面 4名学生中 被抽到的是 ( ) A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 题 8 数字特征 母题382. 演讲比赛共有 9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从 9个原 始评分中去掉 1个最高分、1个最低分,得到 7个有效评分. 7个有效评分与 9个原始评分相 比,不变的数字特征是 ( ) A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 母题383. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5名工人某日的产量数据 (单位:件). 若这两组 数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x和 y的值分别为 ( ) 甲组 乙组 5 7 918 A. 3,5 B. 5,5 C. 3,7 D. 5,7 母题384. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机 查了 100个企业,得到这 些企业第一季 度相对于前一年第一季度产值增长率 y的频数分布表. y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 业数 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； ( 2 )求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 (同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表). (精确到 0.01) 附: 74 ≈ 8.602 . 母题385. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将 200只小鼠随机分成 A、B两组,每组 100只,其中 A组小鼠给服甲离子溶液, B组小鼠给服乙离子溶液. 每只小 鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如图直方图: 甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图 记 C 为事件: “乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”,根据直方图得到 P C 的估计值为 0.70. ( 1 )求乙离子残留百分比直方图中 a,b的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 母题386. 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了 10个 轮胎,将每个轮胎的宽度 (单位:mm)记录下来并绘制出如下的折线图: (1)分别计算甲、乙两厂提供的 10个轮胎宽度的平均值； ( 2 )轮胎的宽度在 194,196 内,则称这个轮胎是标准轮胎。试比较甲、乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波 动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？ 母题387. 某工厂为提高生产效率, 开展技术创新活动, 提出了完成某项生产任务的两种新的生 产方式. 为比较两种生产方式的效率,选取 40名工人,将他们随机分成两组,每组 20人,第一 组工人用第一种生产方式, 第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时 间 (单位:min)绘制了如下茎叶图: 第一种生产方式 第二种生产方式 8 6 5 5689 9762 7 0 122345668 9877654332 8 1 445 21100 9 0 (1)分别指出两种生产方式完成任务时间的最大值、最小值、极差. ( 2 )求 40名工人完成生产任务所需时间的中位数m . (3)分别求出两种生产方式完成任务的平均时间. (4)哪种生产方式的效率更高？并说明理由. 题 9 件概 的 用 母题388. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取 2个数,事件 A为“第一次取到的是奇数”, B为 “第二” 我是 K 次取到的是 3的整数倍”,则 P B∣A = ( ) A. 38 B. 13 40 C. 13 45 D. 3 4 母题389. 将三枚骰子各掷一次,设事件 A为 “三个点数都不相同”,事件 B为 “至少出现一个 6 点”,则概率 P A∣B 的值为 ( ) A. 6091 B. 1 2 C. 5 18 D. 91 216 母题390. 如图, EFGH 是以 O为圆心,半径为 1的圆的内接正方形. 将一颗豆子随机地扔到该 圆内,用 A表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影部 分)内”,则 (1) P A = ； (2) P B∣A = . 题 10 相互独 事件 母题391. 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制 (当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结 束). 根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概 率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4:1获胜的概率是 . 母题392. 电影公司随机收集了电影的有关数据, 经分类整理得到下表: 电影类 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (I)从电影公司收集的电影中随机选取 1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (II)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部, 估计恰有 1部获得好评的概率; 题 11 超几 母题393. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16 . 现采用分层抽样的方法从 中抽取 7人,进行睡眠时间的 查. (I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (II)若抽出的 7人中有 4人睡眠不足, 3人睡眠充足,现从这 7人中随机抽取 3人做进一步的 身体检查. (i)用 X 表示抽取的 3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; (ii)设 A为事件“抽取的 3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A发生 的概率. 题 12 二项 母题394. 设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30之前到校的概率均为 23 . 假定甲、乙两位同学到 校情况互不影响, 且任一同学每天到校情况相互独立. (I)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7:30之前到校的天数,求随机变量 X 的分布列和数 学期望； (II)设 M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30之前到校的天数比乙同学在 7:30之前 到校的天数恰好多 2 ”,求事件M 发生的概率. 题 13 正态 母题395. 已知随机变量 X 服从正态分布 N 3,S2 ,且 P X≤4 = 0.8 ,则 P 2<X<4 = ( ) A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 母题396. 已知某批零件的长度误差 (单位:毫米)服从正态分布 N 0,32 ,从中随机抽取一件,其 长度误差落在区间 (3,6)内的概率为 ( ) (附 : 若 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N μ,σ2  , 则 P μ-σ<ξ<μ+σ = 68 .26% , P μ-2σ<ξ<μ+2σ = 95.44%) A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74% 母题397. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程, 检验员每天从该生产线上随机抽取 16个 零件, 并测量其尺寸 (单位:cm). 根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的 零件的尺寸服从正态分布 N μ,σ2 . ( 1 )假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在 μ-3σ,μ+3σ 之外 的零件数, 求 P X≥1 及 X 的数学期望; ( 2 )一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 μ-3σ,μ+3σ 之外的零件,就认为这条生产线 在这一天的生产过程可能出现了异常情况, 需对当天的生产过程进行检查. (i)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ii)下面是检验员在一天内抽取的 16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 x = 116 16 i=1 xi = 9.97,s= 116 16 i=1 xi-x    2 = 116 16 i=1 x2i -16x2 ≈ 0.212 ,其中 xi 为抽取的第 i个零件的尺寸, i= 1,2,⋯ ,16 . 用样本平均数 x作为 μ的估计值 μ ,用样本标准差 s作为 σ的估计值 σ ,利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查?剔除 μ-3σ,μ+3σ 之外的数据,用剩下的数据估计 μ和 σ (精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N μ,σ2 ,则 P μ-3σ<Z<μ+3σ = 0.9974,0.997416≈ 0.9592 , 0.008 ≈ 0.09 . 题 14 回归 的 用 母题398. 为了研究某班学生的脚长 x (单位:厘米)和身高 y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽 取 10名学生, 根据测量数据的散点图可以看出 y与 x之间有线性相关关系,设其回归直线方 程为 y= bx+ a . 已知 10 i=1 xi = 225, 10 i=1 yi = 1600,b= 4 . 该班某学生的脚长为 23,据此估计其 身高为 ( ) A. 160 B. 162 C. 166 D. 170 母题399. 如图是某地区 2000年至 2016年环境基础设施投资额 y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量 t的两个线性回归模 型. 根据 2000 年至 2016 年的数据 (时间变量 t 的值依次为 1,2, ⋯ ,17 ) 建立模型①: y= -30.4+ 13.5t ;根据 2010年至 2016年的数据 (时间变量 t的值依次为 1,2,⋯ ,7 )建立模型 ②: y= 99+ 17.5t . (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 题 15 独 性 验的 用 母题400. 某商场为提高服务质量, 随机 查了 50名男顾客和 50名女顾客, 每位顾客对该商场 的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； ( 2 )能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？