版块10 计数原理-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 十 计数原理 题 1 组数问题 母题336. 若从 1,2,3,⋯ ,9这 9个整数中同时取 4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 ( ) A. 60 种 B. 63 种 C. 65 种 D. 66 种 母题337. 用数字 0,1,2,3,4组成没有重复数字的数; (1)能组成多少个五位数? (2)能组成多少个十位数字比个位数字小的五位数？ (3)能组成多少个五位奇数? (4)能组成多少个被 3整除的三位数? (5)能组成多少个比 23410大的数? (6)恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有多少个？ 母题338. 用数字 0,1,2,3,4可组成 个无重复数字的偶数三位数. 题 2 染 问题 母题339. 现有 4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色, 要求有公共边界的两块不能用 同一种颜色, 则不同的着色方法共有 ( ) A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 48种 母题340. 用 4种不同的颜色涂下列区域,要求每个区域只能用一种颜色,且相邻的区域不能同 色,那么不同的涂法种数为 ( ) A. 84 B. 72 C. 60 D. 120 母题341. 如图,用 6种不同的颜色给图中的 4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两 个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有 种 (用数字作 答)。 母题342. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6个部分 (如图). 现要栽种 4种不同颜色 的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 120种. (以数 字作答) 题 3 电路问题 母题343. 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有 ( ) A. 11 B. 12 C. 20 D. 21 题 4 举类问题 母题344. 同时投两个相同的骰子,分别标有数字 1、2、3、4、5、6 ,结果正面朝上的两个数相乘的 积不小于 20的情形有 题 5 组 数的直 计算 母题345. 若排列数 Pm6 = 6× 5× 4 ,则m= 题 6 先 原 母题346. 安排 3名志愿者完成 4项工作,每人至少完成 1项,每项工作由 1人完成,则不同的安 排方式共有 ( ) A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 题 7 先原 母题347. 5名学生站成一排, 若学生甲不站两端, 则不同站法共有 ( ) A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 母题348. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派 4人参加连续 5天的志愿者活动, 其中甲连续参加 2天,其他人各参加 1天,则不同的安排方法有 种 (结果用数值表示) 题 8 类原 母题349. 从 4男 2女共 6名学生中选出队长 1人、副队长 1人、普通队员 2人组成 4人服务队, 要求服务队中至少有 1名女生,共有 种不同的选法. (用数字作答) 母题350. 从 1,3,5,7,9中任取 2个数字,从 0,2,4,6中任取 2个数字,一共可以组成 个没 有重复数字的四位数. (用数字作答). 题 9 把几个元 成若 母题351. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 6个爻组 成,爻分为阳爻“--”和阴爻“--”,如图就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦 恰有 3个阳爻的概率是 ( ) A. 516 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 母题352. 有 6个球, 其中相同的黑球 3个, 红、白、蓝色的球各 1个, 从中取 4个球排成一排, 则 不同的排法有 种 (用数字作答). 题 10 至多至 问题 母题353. 从 2位女生, 4位男生中选 3人参加科技比赛,且至少有 1位女生入选,则不同的选法 共有 种. (用数字填写答案) 题 11 不相 问题 母题354. 本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评 顺序表,若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排表方法共有 ( ) A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 360种 母题355. 4位学生与 2位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问:各有多少种不同的坐法？ (1)教师必须坐在正中间；(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端,且 不能相邻. 母题356. 7个人排成一排, 按下列要求各有多少种排法? (1)其中甲不站排头,乙不站排尾； (2)其中甲、乙、丙 3人两两不相邻； (3)其中甲、乙中间有且只有 1人； (4)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列. 母题357. 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种. (用数字作答) 题 12 相 问题 母题358. 有 5位学生和 2位老师并坐一排合影,若教师不能坐在两端,且要坐在一起,则有多少 种不同坐法 ( ) A. 7 ! 种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 题 13 配问题 母题359. 中山公园花展期间,安排 6位志愿者到 4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排 一个人,剩下两个展区各安排两个人, 不同的安排方案共有 ( ) A. 90种 B. 180种 C. 270种 D. 360种 题 14 数项 关的问题 母题360. 在二项式 2+x 9 展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 母题361. 已知二项式 ax2- 1x  n 的展开式中各项的二项式系数和为 512,且展开式中的常数项 为 27C39 ,则 a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 母题362. 设 a∈R若 x2+ 2x  9 与 x- a x2  9 的二项展开式中的常数项相等,则 a= ( ) A. 4 B. - 4 C. 2 D. - 2 题 15 待定项系数问题 母题363. 二项式 x+1 n n∈N * 的展开式中 x3 项的系数为 10,则 n= ( ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 10 母题364. 1+2x2  1+x 4 的展开式中 x3 的系数为 ( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 题 16 系数的 大项 母题365. 已知 x2- 1x  n 展开式中的二项式系数的和比 3a+2b 7 展开式的二项式系数的和大 128, (I)求 n的值; (II)求 x2- 1x  n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 题 17 赋值法 系数值 母题366. 设 1-2x 2019= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a2019x2019 ,则 22019 ⋅ a0+ 22018 ⋅ a1+ 22017 ⋅ a2+⋯+2 ⋅ a2018+ a2019 的值为 ( ) A. 22019 B. 1 C. 0 D. - 1 母题367. a+x  1+x 4 的展开式中 x的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= ( ) A. - 2 B. 2 C. - 3 D. 3 版 十 计数原理 题 1 组数问题 母题336. 若从 1,2,3,⋯ ,9这 9个整数中同时取 4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 ( ) A. 60 种 B. 63 种 C. 65 种 D. 66 种 【解析】由题意知本题是一个分类计数问题,要得到四个数字的和是偶数,需要分成三种不同 的情况, 当取得 4个偶数时,有 C44= 1种结果, 当取得 4个奇数时,有 C45= 5种结果, 当取得 2奇 2偶时有 C24C25= 6× 10= 60 ∴共有 1+ 5+ 60= 66种结果, 【答案】D . 母题337. 用数字 0,1,2,3,4组成没有重复数字的数; (1)能组成多少个五位数? (2)能组成多少个十位数字比个位数字小的五位数？ (3)能组成多少个五位奇数? (4)能组成多少个被 3整除的三位数? (5)能组成多少个比 23410大的数? (6)恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有多少个？ 【解析】(1)根据题意, 分 2步分析: ①,0不能在首位,则 0有 4种安排方法, ②,将剩下的 4个数字全排列,安排在其他 4个位置,有 A44= 24种情况, 则能组成 4× 24= 96个五位数; (2)由 (1)的结论,用数字 0,1,2,3,4可以组成 96个没有重复数字的五位数, 其中“十位数字比个位数字小的五位数”和“十位数字比个位数字大的五位数”个数相同, 则十位数字比个位数字小的五位数有 12 × 96= 48个; (3)根据题意, 分 3步分析: ①,要求的五位数是奇数,其个位数字必须是 1或 3 ,有 2种情况, ②,0不能在首位,则 0有 3种安排方法, ③,将剩下的 3个数字全排列,安排在其他 3个位置,有 A33= 6种情况, 则能组成 2× 3× 6= 36个五位奇数; (4)根据题意,能被 3整除的三位数,即各位数字之和被 3整除； 则选出的 3个数字可能的情况有 0、1、2,0、2、4,1、2、3,2、3、4,共 4种情况； 当选出的数字为 0、1、2或 0、2、4时,有 2× 2×A22= 8种情况, 当选出的数字为 1、2、3或 2、3、4时,有 2×A33= 12种情况, 则一共有 8+ 12= 20个被 3整除的三位数 (5)根据题意, 分 2种情况讨论: ①,五位数的首位数字为 3或 4,有 2×A44= 48种情况, ②,五位数的首位数字为 2,其千位数字为 4,有 A33= 6种情况, 则一共有 48+ 6= 54个五位数; (6)0,1,2,3,4中有 3个偶数,2个奇数,分 3种情况讨论: ①、0被奇数夹在中间,先考虑奇数 1、3的顺序,有 2种情况； 再将 1、0、3看成一个整体,与 2、4全排列,有 A33= 6种情况； 故 0被奇数夹在中间时,有 2× 6= 12种情况; ②、2被奇数夹在中间,先考虑奇数 1、3的顺序,有 2种情况； 再将 1、0、3看成一个整体,与 2、、4全排列,有 A33= 6种情况, 其中 0在首位的有 2种情况,则有 6- 2= 4种排法; 故 2被奇数夹在中间时,有 2× 4= 8种情况; ③、4被奇数夹在中间时,同 2被奇数夹在中间的情况,有 8种情况, 则这样的五位数共有 12+ 8+ 8= 28种. 母题338. 用数字 0,1,2,3,4可组成 个无重复数字的偶数三位数. 【解析】个位是偶数的情况下,去掉百位是零的情况: C13 ⋅A24-C12 ⋅C13= 30 . 题 2 染 问题 母题339. 现有 4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色, 要求有公共边界的两块不能用 同一种颜色, 则不同的着色方法共有 ( ) A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 48种 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题, 需要先给 上面一块着色,有 4种结果, 再给中间左边一块着色,有 3种结果, 再给中间右边一块着色有 2种结果, 后给下面一块着色,有 2种结果, 根据分步计数原理知共有 4× 3× 2× 2= 48种结果, 【答案】D . 母题340. 用 4种不同的颜色涂下列区域,要求每个区域只能用一种颜色,且相邻的区域不能同 色,那么不同的涂法种数为 ( ) A. 84 B. 72 C. 60 D. 120 【解析】① 若 AD区域涂不同的颜色, A有 4种, D有 3种, B有 2种, C 有 2种,共有 4× 3× 2× 2= 48种, ②若 AD区域涂相同的颜色, A有 4种, B有 3种, C 有 3种,共有 4× 3× 3= 36种, 故有 48+ 36= 84 , 【答案】A . 母题341. 如图,用 6种不同的颜色给图中的 4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两 个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,则不同的涂色方法共有 种 (用数字作 答)。 【解析】根据题意,分为三类: 第一类是只用两种颜色则为: C26A22= 30种, 第二类是用三种颜色则为: C36C13C12C12= 240种, 第三类是用四种颜色则为: C46A44= 360种, 由分类计数原理,共计为 30+ 240+ 360= 630种, 故答案为 630 . 母题342. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6个部分 (如图). 现要栽种 4种不同颜色 的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 120种. (以数 字作答) 【解析】从题意来看 6部分种 4种颜色的花, 又从图形看知必有 2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求. (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色, 所以共有 N1= 4× 3× 2× 2× 1= 48种; (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色, 所以共有 N2= 4× 3× 2× 2× 1= 48种; (3)②与④且③与⑥同色,则共有 N3= 4× 3× 2× 1= 24种. ∴共有 N=N1+N2+N3= 48+ 48+ 24= 120种. 【答案】120 题 3 电路问题 母题343. 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有 ( ) A. 11 B. 12 C. 20 D. 21 【解析】根据题意, 设 5个开关依次为 1、2、3、4、5, 若电路接通,则开关 1、2与 3、4、5中至少有 1个接通, 对于开关 1、2,共有 2× 2= 4种情况,其中全部断开的有 1种情况,则其至少有 1个接通的 有 4- 1= 3种情况, 对于开关 3、4、5,共有 2× 2× 2= 8种情况,其中全部断开的有 1种情况,则其至少有 1个接 通的 8- 1 = 7种情况, 则电路接通的情况有 3× 7= 21种; 【答案】D . 题 4 举类问题 母题344. 同时投两个相同的骰子,分别标有数字 1、2、3、4、5、6 ,结果正面朝上的两个数相乘的 积不小于 20的情形有 【解析】由题意,结果正面朝上的两个数相乘的积不小于 20 的情形有 (4,5), (5,4), (4,6), (6, 4), (5, 5), 5,6 , 6,5 , 6,6  【答案】 4,5 , 5,4 , 4,6 , 6,4 , 5,5 , 5,6 , 6,5 , 6,6 . 题 5 组 数的直 计算 母题345. 若排列数 Pm6 = 6× 5× 4 ,则m= 【解析】∵排列数 Pm6 = 6× 5× 4 , ∴由排列数公式得 P36 = 6× 5× 4 , ∴m= 3 . 【答案】m= 3 . 题 6 先 原 母题346. 安排 3名志愿者完成 4项工作,每人至少完成 1项,每项工作由 1人完成,则不同的安 排方式共有 ( ) A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【解析】4项工作分成 3组,可得: C24= 6 , 安排 3名志愿者完成 4项工作,每人至少完成 1项,每项工作由 1人完成, 可得: 6×A33= 36种. 【答案】D . 题 7 先原 母题347. 5名学生站成一排, 若学生甲不站两端, 则不同站法共有 ( ) A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 【解析】先选 2人 (除甲外)排在两端,其余的 3人任意排,故 A24A33= 72 , 【答案】D . 母题348. 首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派 4人参加连续 5天的志愿者活动, 其中甲连续参加 2天,其他人各参加 1天,则不同的安排方法有 种 (结果用数值表示) 【解析】在五天里,连续的 2天,一共有 4种,剩下的 3人排列,故有 4A33= 24种, 【答案】24. 题 8 类原 母题349. 从 4男 2女共 6名学生中选出队长 1人、副队长 1人、普通队员 2人组成 4人服务队, 要求服务队中至少有 1名女生,共有 种不同的选法. (用数字作答) 【解析】根据题意, 分 2步进行分析: ①,先从 4男 2女共 6名学生选出 4人,要求至少有 1名女生,有 C46-C44= 14种情况, ②,在选出的 4人中任选 1人,作为队长,剩余 3人中选出 1人作为副队长, 剩下 2人作为队员,有 C14C13= 12种情况, 则有 14× 12= 168种不同的选法; 【答案】168. 母题350. 从 1,3,5,7,9中任取 2个数字,从 0,2,4,6中任取 2个数字,一共可以组成 个没 有重复数字的四位数. (用数字作答). 【解析】根据题意,分 2种情况讨论: ①,从 0,2,4,6中取出的 2个数字中没有 0,有 C23= 3种取法, 从 1,3,5,7,9中任取 2个数字,有 C25= 10种取法, 再将选出的 4个全排列,安排在 4个数位,有 A44= 24种情况, 一共可以组成 3× 10× 24= 720个没有重复数字的四位数; ②,从 0,2,4,6中取出的 2个数字中含有 0,有 C13= 3种取法, 从 1,3,5,7,9中任取 2个数字,有 C25= 10种取法, 0不能在千位位置,其它 3个数字任意排列,有 3×A33= 18种情况 一共可以组成 3× 10× 18= 540个没有重复数字的四位数; 故一共可得组成 720+ 540= 1260个没有重复数字的四位数; 【答案】1260 . 题 9 把几个元 成若 母题351. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 6个爻组 成,爻分为阳爻“--”和阴爻“--”,如图就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦 恰有 3个阳爻的概率是 ( ) A. 516 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 【解析】在所有重卦中随机取一重卦, 基本事件总数 n= 26= 64 , 该重卦恰有 3个阳爻包含的基本个数m=C36= 20 , 则该重卦恰有 3个阳爻的概率 p= mn = 20 64 = 5 16 . 【答案】A . 母题352. 有 6个球, 其中相同的黑球 3个, 红、白、蓝色的球各 1个, 从中取 4个球排成一排, 则 不同的排法有 种 (用数字作答). 【解析】根据题意,分 3种情况讨论: ①,取出的 4个球为 1个黑球,红、白、蓝球各 1个,将 4个球全排列即可,有 A44= 24种排法； ②,取出的 4 个球中有 2 个黑球 ,则需要在红、白、蓝球选 2 个与 2 个黑球进行排列,有 C23C24A22= 36种不同的排法; ③,取出的 4个球中有 3个黑球,则需要在红、白、蓝球选 1个与 3个黑球进行排列,有 C 13C34 = 12种不同的排法; 则有 24+ 36+ 12= 72种不同的排法; 【答案】72. 题 10 至多至 问题 母题353. 从 2位女生, 4位男生中选 3人参加科技比赛,且至少有 1位女生入选,则不同的选法 共有 种. (用数字填写答案) 【解析】方法一:直接法,1女 2男,有 C12C24= 12,2女 1男,有 C22C14= 4 根据分类计数原理可得,共有 12+ 4= 16种, 方法二,间接法: C36-C34= 20- 4= 16种, 【答案】16 题 11 不相 问题 母题354. 本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评 顺序表,若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在 后,则不同的排表方法共有 ( ) A. 72种 B. 144种 C. 288种 D. 360种 【解析】先排语文、英语、化学、生物,且化学排在生物前面,此时形成了 4个空 (不包含 后的 一个空), 再将数学与物理插入到其中两个空中, 故有 A44 2 ⋅A 2 4= 144种, 【答案】B . 母题355. 4位学生与 2位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问:各有多少种不同的坐法？ (1)教师必须坐在正中间；(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端,且 不能相邻. 【解析】(1)根据题意, 分 2步进行分析:①、教师先坐中间的两个位置,有 A22 种方法；②、将 4 名学生全排列,再坐其余位置,有 A44 种方法. 则共有 A22 ⋅A44= 48种坐法. (2)根据题意, 分 2步进行分析: ①、教师不能坐在两端,且要相邻,在中间的 4个位置中相邻的情况有 3种,在其中任选 1个 来安排 2 名教师,有 C13A22 种方法; ②、将 4名学生全排列,再坐其余位置,有 A44 种方法. 则共有 C13A22 ⋅A44= 144种坐法. (3)根据题意, 分 2步进行分析: ①、先将 4名学生排成一列,有 A44 种方法,排好后除去 2端,有 3个空位可用, ②、在 3个空位中,任选 2个,安排两名老师,有 A23 种方法, 则共有 A44A23= 144种坐法. 母题356. 7个人排成一排, 按下列要求各有多少种排法? (1)其中甲不站排头,乙不站排尾； (2)其中甲、乙、丙 3人两两不相邻； (3)其中甲、乙中间有且只有 1人； (4)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列. 【解析】(1)根据题意, 分 2种情况讨论: ①、甲站在排尾,剩余 6人进行全排列,安排在其他 6个位置,有 A66 种排法, ②、甲不站在排尾,则甲有 5个位置可选,有 A15 种排法, 乙不能在排尾,也有 5个位置可选,有 A15 种排法, 剩余 5人进行全排列,安排在其他 5个位置,有 A55 种排法, 则此时有 A15A15A55 种排法; 故甲不站排头,乙不站排尾的排法有 A66+A15A15A55= 3720种. (2)根据题意, 分 2步进行分析, ①、将除甲、乙、丙之外的 4人进行全排列,有 A44 种情况, 排好后, 有 5个空位, ②、在 5个空位种任选 3个,安排甲、乙、丙 3人,有 A35 种情况, 则共有 A44A35= 1440种排法. (3)根据题意, 分 2步进行分析: ①、先将甲、乙全排列,有 A22 种情况, ②、在剩余的 5个人中任选 1个,安排在甲乙之间,有 A15 种选法, ③、将三人看成一个整体,与其他四人进行全排列,有 A55 种排法, 则甲、乙中间有且只有 1人共有 A22A15A55= 1200种排法. (4)根据题意, 分 2步进行分析: ①、在 7个位置中任取 4个,安排除甲、乙、丙之外的 4人,有 A47 种排法, ②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的 3个空位中, 只有 1种排法, 则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有 A47= 840种. 母题357. 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种. (用数字作答) 【解析】6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:排列好甲、乙两人外的 4 人,有 A44 中方法, 然后把甲、乙两人插入 4个人的 5个空位,有 A25 种方法, 所以共有: A44 ⋅A25= 480 . 【答案】480 . 题 12 相 问题 母题358. 有 5位学生和 2位老师并坐一排合影,若教师不能坐在两端,且要坐在一起,则有多少 种不同坐法 ( ) A. 7 ! 种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 【解析】先排 5位学生,有 A55 种坐法, 2位教师坐在一起,将其看成一个整体,可以交换位置,有 2种坐法, 将这个“整体”插在 5个学生的空位中, 又由教师不能坐在两端, 则有 4个空位可选, 则共有 2A55A14= 960种坐法. 【答案】D . 题 13 配问题 母题359. 中山公园花展期间,安排 6位志愿者到 4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排 一个人,剩下两个展区各安排两个人, 不同的安排方案共有 ( ) A. 90种 B. 180种 C. 270种 D. 360种 【解析】根据题意,分 3步进行分析: ①,在 6位志愿者中任选 1个,安排到甲展区,有 C16= 6种情况, ②,在剩下的 5个志愿者中任选 1个,安排到乙展区,有 C15= 5种情况, ③,将剩下的 4个志愿者平均分成 2组,全排列后安排到剩下的 2个展区,有 C 2 4C22 A22 ×A22= 6 种情况, 则一共有 6× 5× 6= 180种不同的安排方案; 【答案】B . 题 14 数项 关的问题 母题360. 在二项式 2+x 9 展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 【解析】二项式 2+x 9 的展开式的通项为 Tr+1=Cr9 2 9-rxr= 2 9-r 2 Cr9xr . 由 r= 0 ,得常数项是 T1= 16 2 ; 当 r= 1,3,5,7,9时,系数为有理数, ∴系数为有理数的项的个数是 5个. 【答案】16 2 ,5 . 母题361. 已知二项式 ax2- 1x  n 的展开式中各项的二项式系数和为 512,且展开式中的常数项 为 27C39 ,则 a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】二项式 ax2- 1x  n 的展开式中各项的二项式系数和为 2n= 512, ∴n= 9 , 故它的通项公式为 Tr+1=Cr9 ⋅ -1 r ⋅ a9-r ⋅ x18-3r , 令 18- 3r= 0 ,求得 r= 6 ,故展开式中的常数项为 C69 ⋅ a3= 27C39 ,则 a= 3 , 【答案】C . 母题362. 设 a∈R若 x2+ 2x  9 与 x- a x2  9 的二项展开式中的常数项相等,则 a= ( ) A. 4 B. - 4 C. 2 D. - 2 【解析】 x2+ 2x  9 的通项为 Tk+1= 2kCk9x18-3k . 令 k= 6得常数项为 26C69 . x- a x2  9 的通项为 Ck9x9-k - ax2  k = -a kCk9x9-3k ,令 k= 3得常数项为 -a 3C39 . 令两个常数项相等,结合 C69=C39 得 -a= 22= 4 . 故 a=-4 . 【答案】B . 题 15 待定项系数问题 母题363. 二项式 x+1 n n∈N * 的展开式中 x3 项的系数为 10,则 n= ( ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 10 【解析】由二项式 x+1 n n∈N * 的展开式的通项 Tr+1=Crnxn-r 得: 令 n- r= 3 ,得 r=n- 3 , 所以 Cn-3n =C3n= 10 , 所以 n n-1 n-2 = 60 , 解得 n= 5 , 【答案】C . 母题364. 1+2x2  1+x 4 的展开式中 x3 的系数为 ( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【解析】 1+2x2  1+x 4 的展开式中 x3 的系数为: 1×C34 × 13×C11 × 1+ 2×C14× 11×C33 × 13= 12 . 【答案】A . 题 16 系数的 大项 母题365. 已知 x2- 1x  n 展开式中的二项式系数的和比 3a+2b 7 展开式的二项式系数的和大 128, (I)求 n的值; (II)求 x2- 1x  n 展开式中的系数 大的项和系数 小的项. 【解析】(I) ∵ x2- 1x  n 展开式中的二项式系数的和比 3a+2b 7 展开式的二项式系数的和大 128, ∴ 2n- 27= 128 ∴n= 8 ; (II) x2- 1x  8 展开式的通项为 Tr+1= -1 rCr8x16-3r ∴ r= 4时,展开式中的系数 大,即 T5= 70x4 为展开式中的系数 大的项; r= 3或 5时,展 开式中的系数 小,即 T4=-56x7,T6=-56x为展开式中的系数 小的项. 题 17 赋值法 系数值 母题366. 设 1-2x 2019= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a2019x2019 ,则 22019 ⋅ a0+ 22018 ⋅ a1+ 22017 ⋅ a2+⋯+2 ⋅ a2018+ a2019 的值为 ( ) A. 22019 B. 1 C. 0 D. - 1 【解析】∵ 1-2x 2019= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a2019x2019 , ∴令 x= 1 ,可得 1-2 2019= a0+ a1+ a2+⋯+a2019 , ∴ 2-2 2019= 22019 ⋅ a0+ 22018 ⋅ a1+ 22017 ⋅ a2+⋯+2 ⋅ a2018+ a2019= 0 , 【答案】C . 母题367. a+x  1+x 4 的展开式中 x的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= ( ) A. - 2 B. 2 C. - 3 D. 3 【解析】设 a+x  1+x 4= a0+ a1x+ a2x2+⋯+a5x5 , 令 x= 1 ,则 a0+ a1+ a2+⋯+a5= f 1 = 16 a+1 ,① 令 x=-1 ,则 a0- a1+ a2-⋯-a5= f -1 = 0 . ② ① -② 得, 2 a1+a3+a5 = 16 a+1 ,即 2× 32= 16 a+1 ,求得 a= 3 . 【答案】D .