版块8 立体几何-遇见最美的数学系列——2025年核心母题400道

版 八 几 题 1 线线 行 母题224. 如图所示,在三棱锥 P-ABQ中, PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ , BQ,AP,BP的中点, AQ= 2BD,PD与 EQ交于点 G,PC 与 FQ交于点 H ,连接 GH . (I)求证: AB⎳GH ;. 题 2 线 行 母题225. 如图所示,平行六面体 ABCD-ABCD 中, AA⊥平面 ABCD,AB⊥AC,M ,N 分 别为 CB , CC 的中点, AB=AC=AA= 1 . (I)求证:MN⎳平面 ACD ; 母题226. 如图, AD⎳BC 且 AD= 2BC,AD⊥CD,EG⎳AD且 EG=AD,CD⎳FG且 CD= 2FG,DG⊥ 平面 ABCD,DA=DC=DG= 2 . 若 M 为 CF 的中点, N 为 EG 的中点,求证: MN⎳平面 CDE . 题 3 行 母题227. 如图,在四棱锥 P-ABCD中, ∠ABC=∠ACD= 90° , ∠BAC=∠CAD= 60° , PA⊥ 平面 ABCD , PA= 2,AB= 1 . 设M ,N 分别为 PD,AD的中点. (1)求证:平面 CMN⎳平面 PAB ; 题 4 点问题 母题228. 已知如图,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D、D1 分别为 AC 、A1C1 上的点. (1)当 A1D1 D1C1 等于何值时, BC1⎳平面 AB1D1 ? ( 2 )若平面 BC1D⎳平面 AB1D1 ,求 ADDC 的值. 题 5 线 直 母题229. 如图,在三棱锥 P-ABC 中, AB=BC= 2 2 ,PA=PB=PC=AC= 4,O为 AC 的 中点. (1)证明:若M 为 BC 的中点,则 OM⎳平面 PAB ; (2)证明: PO⊥平面 ABC . 母题230. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC , D , E , F , G分别为 AA1 , AC , A1C1 , BB1 的中点, AB=BC= 5 ,AC=AA1= 2 . (I)求证: AC⊥平面 BEF ; 题 6 直 母题231. 如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA⊥AB , PA⊥BC , AB⊥BC , PA=AB=BC= 2 , D为线段 AC 的中点, E为线段 PC 上一点. (1)求证: PA⊥BD ; (2)求证:平面 BDE⊥平面 PAC ; 母题232. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O是 AC 的中点, E是线段 D1O上一点,且 D1E= 2EO . 求证平面 CDE⊥平面 CD1O . 母题233. 如图,边长为 2的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直,M 是 CD上 异于 C , D的点. 证明:平面 AMD⊥平面 BMC . 题 7 存 性问题 母题234. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是 ∠DAB= 60°且边长为 a的菱形, 侧面 PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD . (1)若 G为 AD边的中点,求证: BG⊥平面 PAD . (2)求证: AD⊥PB . (3)若 E为 BC 边的中点,能否在 PC 上找出一点 F ,使平面 DEF⊥平面 ABCD ? 母题235. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB的中点, E在 CC1 上,且 CE= 2C1E . (1)求证: AC1⊥平面 A1BD ; (2)在线段 DD1 上存在一点 P,DP= λD1P ,若 PB1⎳平面 DME ,求实数 λ的值. 题 8 积 母题236. 如图,菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD交于点 O ,点 E 、F 分别在 AD , CD上, AE =CF , EF 交 BD于点 H ,将 △DEF 沿 EF 折到 △DEF 的位置. (I)证明: AC⊥HD ; (II)若 AB= 5,AC= 6,AE= 54 ,OD = 2 2 ,求五棱锥 D-ABCFE体积. 母题237. 如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a ,过顶点 B,D,A1 截下一个三棱锥. (1)求剩余部分的体积； ( 2 )求三棱锥 A-A1BD的体积及高. 母题238. 如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,用截面截下一个棱锥 C-ADD ,求棱锥 C- ADD 的体积与剩余部分的体积之比. 题 9 积 母题239. 在如图的几何体中,四边形 ABCD为长方形, BB1⊥平面 ABCD,AA1⊥平面 ABCD ,且 BB1= 13 AA1,E为 CD上一点,且 CE= 1 3 CD . (1)求证: CB1⎳平面 A1BE ; (2)若 BB1= 1,CB= 3,AB= 6 ,求此多面体的表面积. 题 10 距离 母题240. 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1= 4,AB= 2,∠BAD= 60°,E, M ,N 分别是 BC,BB1,A1D的中点. (I)证明:MN⎳平面 C1DE ; (II)求点 C 到平面 C1DE的距离. 母题241. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中的侧棱长为 4   cm ,在底面 △ABC 中, AC=BC= 2   cm, ∠ACB= 90° , E为 AB的中点, CF⊥AB1 垂足为 F (I)求证 CE⊥AB1 ; (II)求 CE与 AB1 的距离; (III)求截面 AB1C 与侧面 ABB1A1 所成二面角 C-AB1-B的正切值; (IV)求三棱锥 C-AEF 的体积. 题 11 异 直线所成的角 母题242. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E为棱 CC1 上一点且 CE= 2EC1 ,则异面直线 AE 与 A1B所成角的余弦值为 ( ) A. 1144 B. 11 22 C. 2 11 44 D. 11 11 母题243. 如图,直三棱柱 ABC-ABC 的侧棱长为 3,AB⊥BC,AB=BC= 3 ,点 E,F 分别是 棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF ,当三棱锥 B-EBF 的体积取得最大值时,则异面直线 AF 与 AC 所成的角为 ( ) A. π2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 题 12 线 角 母题244. 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所 成的角. 母题245. 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 ,平面 AA1C1C⊥平面 ABC,∠ABC= 90°,∠BAC= 30°,A1A= A1C=AC,E,F 分别是 AC,A1B1 的中点. (1)证明: EF⊥BC ; ( 2 )若 AA1= 2 3 ,求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的正弦值. 题 13 二 角 母题246. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠A1C1B1= 90°,AC= 2,BC=BB1= 1 ,点 D是棱 A1C1 的中点. 求: ( 1 )直线 AB与平面 BB1D所成角的正弦值； ( 2 )二面角 A-BD-B1 的大小. 母题247. 如图,在四棱锥 P-ABCD中, PA⊥平面 ABCD , AD⊥CD , AD⎳BC , PA=AD =CD= 2 , BC = 3,E为 PD中点,点 F 在线段 PC 上,且 PF PC = 13 . (I)求证: CD⊥平面 PAD ; (II)求直线 PD与平面 AEF 所成角的正弦值; (III)求二面角 F-AE-P的正弦值. 题 14 直 法 母题248. 体积为 8的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球面的表面积为 ( ) A. 12π B. 323 π C. 8π D. 4π 母题249. 已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA , SB所成角的余弦值为 78 , SA与圆锥底面所成角为 45° ,若 △SAB的面积为 5 15 ,则该圆锥的侧面积为 ( ) A. 40 2π B. 80 2 C. 40 3π D. 80 3π 题 15 正方 或长方 母题250. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O的球面上, PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2的正三角形, E,F 分别是 PA,AB的中点, ∠CEF= 90° ,则球 O的体积为 ( ) A. 8 6π B. 4 6π C. 2 6π D. 6π 题 16 直角三角形法 母题251. 设 A,B,C,D是同一个半径为 4的球的球面上四点, △ABC 为等边三角形且面积为 9 3 ,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 ( ) A. 12 3 B. 18 3 C. 24 3 D. 54 3 题 17 截球 母题252. 已知 H 是球 O的直径 AB上一点, AH :HB= 1:2,AB⊥平面 α,H 为垂足, α截球 O 所得截面的面积为 4π ,则球 O的表面积为 ( ) A. 9π2 B. 9π 4 C. 9π D. 18π 母题253. 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,∠BAD= 60° . 以 D1 为球心, 5 为半 径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为 . 母题254. 设 OA是球 O的半径,M 是 OA的中点,过M 且与 OA成 45°角的平面截球 O的表 面得到圆 C . 若圆 C 的面积等于 7π4 ,则球 O的表面积等于 题 18 截正方 母题255. 已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 α所成的角都相等,则 α截此正方体所 得截面面积的最大值为 ( ) A. 3 34 B. 2 3 3 C. 3 2 4 D. 3 2 母题256. 如图,在正方体 ABCD-ABCD 中,平面 α垂直于对角线 AC ,且平面 α截得正方 体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为 S ,周长为 l ,则 ( ) A. S为定值, l不为定值 B. S不为定值, l为定值 C. S与 l均为定值 D. S与 l均不为定值 母题257. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,平面 α与对角线 AC1 垂直且与每个面均 有交点,若 α截此正方体所得的截面面积为 S ,周长为 l ,则 S l 的最大值为 . 题 19 几 法 母题258. 如图在正四棱锥 S-ABCD中, E是 BC 的中点, P点在侧面 △SCD内及其边界上运 动,并且总是保持 PE⊥AC ,则动点 P的轨迹与 △SCD组成的相关图形是 ( ) A. B. C . D. 母题259. 若三棱锥 A-BCD的侧面 ABC 内一动点 P到底面 BCD的距离与到棱 AB的距离 相等,则动点 P的轨迹与 △ABC 组成图形可能是 ( ) A. B. C . D. 母题260. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点M 在棱 AB上,且 AM= 13 ,点 P是 平面 ABCD上的动点,且动点 P到直线 A1D1 的距离与点 P到点M 的距离的平方差为 1, 则动点 P的轨迹是   ( ) A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 题 20 解 法 母题261. 四棱锥 P-ABCD,AD⊥面 PAB,BC⊥面 PAB ,底面 ABCD为梯形, AD= 4,BC = 8,AB= 6 , ∠APD=∠BPC ,满足上述条件的四棱锥顶点 P的轨迹是 ( ) A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 母题262. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的 平面内的轨迹是 ( ) A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 版 八 几 题 1 线线 行 母题224. 如图所示,在三棱锥 P-ABQ中, PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ , BQ,AP,BP的中点, AQ= 2BD,PD与 EQ交于点 G,PC 与 FQ交于点 H ,连接 GH . (I)求证: AB⎳GH ;. 【解析】证明: I ∵CD是 △ABQ的中位线, EF 是 △PAB的中位线 ∴CD⎳AB,EF⎳AB , ∴CD⎳EF ,又 EF⊂平面 EFQ,CD⊄平面 EFQ , ∴CD⎳平面 EFQ , 又 CD⊂平面 PCD ,平面 PCD∩平面 EFQ=GH , ∴GH⎳CD ,又 CD⎳AB , ∴GH⎳AB . 题 2 线 行 母题225. 如图所示,平行六面体 ABCD-ABCD 中, AA⊥平面 ABCD,AB⊥AC,M ,N 分 别为 CB , CC 的中点, AB=AC=AA= 1 . (I)求证:MN⎳平面 ACD ; 【解析】( I )证明: ∵AA⊥平面 ABCD,AA⎳CC , ∴CC⊥平面 ABCD , ∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴AB⎳CD , ∵AB⊥AC, ∴CD⊥AC , 以 C 为原点,以 CD,CA,CC 为坐标轴建立空间直角坐标系 C- xyz ,如图所示, 则 N 0,0, 12 ,A 0,1,0 ,D  1,0,1 ,B -1,1,0 , ∴M - 12 , 1 2 ,0 , ∴MN  = 12 ,- 1 2 , 1 2 ,AD   = 1,-1,1 , ∴MN  = 12 AD   ,∴MN⎳AD , 又MN⊄平面 ACD,AD⊂平面 ACD , ∴MN⎳平面 ACD . 母题226. 如图, AD⎳BC 且 AD= 2BC,AD⊥CD,EG⎳AD且 EG=AD,CD⎳FG且 CD= 2FG,DG⊥ 平面 ABCD,DA=DC=DG= 2 . 若 M 为 CF 的中点, N 为 EG 的中点,求证: MN⎳平面 CDE . 【解析】证明:依题意,以 D为坐标原点,分别以 DA  、DC  、DG  的方向为 x轴, y轴, z轴的正方向建立空间直角坐标系. 可得 D 0,0,0 ,A 2,0,0 ,B 1,2,0 ,C 0,2,0 , E 2,0,2 ,F 0,1,2 ,G 0,0,2 ,M 0, 32 ,1 ,N 1,0,2 . 设 n0  = x,y,z 为平面 CDE的法向量, 则 n0  ⋅DC  =2y=0 n0  ⋅DE  =2x+2z=0  ,不妨令 z=-1 ,可得 n0  = 1,0,-1 ; 又MN  = 1,- 32 ,1 ,可得MN  ⋅n0  = 0 . 又 ∵直线MN⊄平面 CDE , ∴MN⎳平面 CDE ; 题 3 行 母题227. 如图,在四棱锥 P-ABCD中, ∠ABC=∠ACD= 90° , ∠BAC=∠CAD= 60° , PA⊥ 平面 ABCD , PA= 2,AB= 1 . 设M ,N 分别为 PD,AD的中点. (1)求证:平面 CMN⎳平面 PAB ; 【解析】(1)证明: ∵M ,N 分别为 PD,AD的中点,⋯ 12分  则MN⎳PA . 又 ∵MN⊄平面 PAB,PA⊂平面 PAB , ∴MN⎳平面 PAB . 在 RtΔACD中, ∠CAD= 90°,N 是 AD的中点,所以 CN=AN ,因为 ∠CAD= 60° , ∴∠ACN= 60° . 又 ∵∠BAC= 60°, ∴CN⎳AB . ∵CN⊄平面 PAB,AB⊂平面 PAB, ∴CN⎳平面 PAB . 题 4 点问题 母题228. 已知如图,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D、D1 分别为 AC 、A1C1 上的点. (1)当 A1D1 D1C1 等于何值时, BC1⎳平面 AB1D1 ? ( 2 )若平面 BC1D⎳平面 AB1D1 ,求 ADDC 的值. 【解析】(1)如图,取 D1 为线段 A1C1 的中点,此时 A1D1 D1C1 = 1 , 连接 A1B交 AB1 于点 O ,连接 OD1 . 由棱柱的性质,知四边形 A1ABB1 为平行四边形,所以点 O为 A1B的中点. 在 △A1BC1 中,点 O、D1 分别为 A1B、A1C1 的中点, ∴OD1⎳BC1 . 又 ∵OD1⊂平面 AB1D1,BC1⊄平面 AB1D1 , ∴BC1⎳平面 AB1D1 . ∴ A1D1 D1C1 = 1时, BC1⎳平面 AB1D1 , (2)由已知,平面 BC1D⎳平面 AB1D1 且平面 A1BC1∩平面 BDC1=BC1 , 平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O . 因此 BC1⎳D1O ,同理 AD1⎳DC1 . ∴ A1D1 D1C1 = A1O OB ,A1D1 D1C1 = DC AD . 又 ∵ A1O OB = 1 , ∴ DC AD = 1 ,即 AD DC = 1 . 题 5 线 直 母题229. 如图,在三棱锥 P-ABC 中, AB=BC= 2 2 ,PA=PB=PC=AC= 4,O为 AC 的 中点. (1)证明:若M 为 BC 的中点,则 OM⎳平面 PAB ; (2)证明: PO⊥平面 ABC . 【解析】证明: 1 ∵O、M 分别为 AC、BC 中点, ∴OM⎳AB,OM⊄面 PAB,AB⊂面 PAB , ∴OM⎳面 PAB ; (2)因为 AP=CP=AC= 4,O为 AC 的中点, 所以 OP⊥AC ,且 OP= 2 3 . 连结 OB . 因为 AB=BC= 22 AC , 所以 △ABC 为等腰直角三角形,且 OB⊥AC,OB= 12 AC= 2 . 由 OP2+OB2=PB2 知, OP⊥OB . 由 OP⊥OB,OP⊥AC ,知 PO⊥平面 ABC . 母题230. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC , D , E , F , G分别为 AA1 , AC , A1C1 , BB1 的中点, AB=BC= 5 ,AC=AA1= 2 . (I)求证: AC⊥平面 BEF ; 【解析】(I)证明: ∵E,F 分别是 AC,A1C1 的中点, ∴EF⎳CC1 , ∵CC1⊥平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC , 又 AC⊂平面 ABC, ∴EF⊥AC , ∵AB=BC,E是 AC 的中点, ∴BE⊥AC , 又 BE∩EF=E,BE⊂平面 BEF,EF⊂平面 BEF , ∴AC⊥平面 BEF . 题 6 直 母题231. 如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA⊥AB , PA⊥BC , AB⊥BC , PA=AB=BC= 2 , D为线段 AC 的中点, E为线段 PC 上一点. (1)求证: PA⊥BD ; (2)求证:平面 BDE⊥平面 PAC ; 【解析】(1)证明:由 PA⊥AB,PA⊥BC , AB⊂平面 ABC,BC⊂平面 ABC ,且 AB∩BC=B , 可得 PA⊥平面 ABC , 由 BD⊂平面 ABC , 可得 PA⊥BD ; (2)证明:由 AB=BC,D为线段 AC 的中点, 可得 BD⊥AC , 由 PA⊥平面 ABC,PA⊂平面 PAC , 可得平面 PAC⊥平面 ABC , 又平面 PAC∩平面 ABC=AC , BD⊂平面 ABC ,且 BD⊥AC , 即有 BD⊥平面 PAC , BD⊂平面 BDE , 可得平面 BDE⊥平面 PAC ; 母题232. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O是 AC 的中点, E是线段 D1O上一点,且 D1E= 2EO . 求证平面 CDE⊥平面 CD1O . 【解析】证明:以 DA为 x轴, DC 为 y轴, DD1 为 z轴,建立空间直角坐标系, 设棱长为 1,C 0,1,0 ,D1 0,0,1 ,O 12 , 1 2 ,0 , D 0,0,0 , 13 , 1 3 , 1 3 , 设平面 CD1O的法向量为m  = x1,y1,z1 , 由m ⋅D1O  = 0,m ⋅CD1  = 0 , 得 1 2 x1+ 1 2 y1-z1=0 -y1+z1=0  ,取 x1= 1 . 得 y1= z1= 1 ,即m= 1,1,1 . 由 D1E  = 2EO  ,得 D1E  = 23 D1O  = 13 , 1 3 ,- 2 3 ,DE  =DD1  +D1E  = 13 , 1 3 , 1 3 . 又设平面 CDE的法向量为 n= x2,y2,z2 , 由 n ⋅CD  = 0,n ⋅DE  = 0 ,得 y2=0 1 3 x2+ 1 3 y2+ 1 3 z2=0  取 x2= 1 ,得 n= 1,0,-1 . ∴n ⋅m = 0, ∴平面 CDE⊥平面 CD1F . 母题233. 如图,边长为 2的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 CD所在平面垂直,M 是 CD上 异于 C , D的点. 证明:平面 AMD⊥平面 BMC . 【解析】证明:由正方形 ABCD可得 AD⊥CD , 又平面 ABCD⊥平面 CDM ,平面 ABCD∩平面 CDM=CD , 所以 AD⊥平面 CDM , 则 AD⊥CM , 由M 是 CD上异于 C,D的点,可得 CM⊥DM , 又 AD∩DM=D , 所以 CM⊥平面 ADM , 而 CM⊂平面 CDM , 所以平面 AMD⊥平面 BMC . 题 7 存 性问题 母题234. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是 ∠DAB= 60°且边长为 a的菱形, 侧面 PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD . (1)若 G为 AD边的中点,求证: BG⊥平面 PAD . (2)求证: AD⊥PB . (3)若 E为 BC 边的中点,能否在 PC 上找出一点 F ,使平面 DEF⊥平面 ABCD ? 【解析】(1)证明:连接 PG,BD 因为 △PAD是等边三角形, G为 AD边的中点,所以 PG⊥AD . 因为平面 PAD⊥平面 ABCD ,所以 PG⊥平面 ABCD ,所以 PG⊥BG . 因为四边形 ABCD是菱形,所以 AB=AD . 又因为 ∠BAD= 60° ,所以 △ABD是等边三角形,所以 BG⊥AD . 又因为 PG∩AD=G ,所以 BG⊥平 PAD . (2)证明:因为 AD⊥PG,AD⊥BG,PG∩BG=G , 所以 AD⊥平面 BPG . 又因为 BP⊂平面 BPG ,所以 AD⊥PB (3)解:存在点 F ,且 F 为 PC 的中点. 证明如下: 连接 CG ,交 DE于M ,连接 FM , 因为 AD⎳BC 且 AD=BC ,又 E , G分别是 BC , AD的中点, 连接 EG ,所以 CE⎳DG且 CE=DG , 所以四边形 CEGD是平行四边形,所以 CM=MG . 又因为 CF=FP ,所以MF⎳PG . 由 (1)知 PG⊥平面 ABCD ,所以MF⊥平面 ABCD . 又MF⊂平面 DEF ,所以平面 DEF⊥平面 ABCD . 母题235. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB的中点, E在 CC1 上,且 CE= 2C1E . (1)求证: AC1⊥平面 A1BD ; (2)在线段 DD1 上存在一点 P,DP= λD1P ,若 PB1⎳平面 DME ,求实数 λ的值. 【解析】证明: (1)以 D为原点,分别以 DA,DC,DD所在直线为 x,y,z轴, 建立空间直角坐标系, 设 AB= 6 ,则 A 6,0,0 ,C1 0,6,6 ,A1 6,0,6 ,B 6,6,0 ,D 0,0,0 , AC1  = -6,6,6 ,DA1  = 6,0,6 ,DB  = 6,6,0 , AC1  ⋅DA1  = 0,AC1  ⋅DB  = 0, ∴AC1⊥DA1,AC1⊥DB , ∵DA1∩DB=D, ∴AC1⊥平面 A1BD . 解: (2)在线段 DD1 上存在一点 P,DP= λD1P , 设 DP= t 0≤t≤6 ,则 P 0,0,t ,B1 6,6,6 ,M 6,3,0 ,E 0,6,4 , PB1  = 6,6,6-t ,DM  = 6,3,0 ,DE  = 0,6,4 , 设平面 DME的法向量 n= x,y,z , 则 n⋅DM  =6x+3y=0 n⋅DE  =6y+4z=0  ,取 x= 1 ,得 n = 1,-2,3 , ∵PB1⎳平面 DME , ∴PB1  ⋅n= 6- 12+ 18- 3t= 0 ,解得 t= 4 , ∴ λ= 2 . 题 8 积 母题236. 如图,菱形 ABCD的对角线 AC 与 BD交于点 O ,点 E 、F 分别在 AD , CD上, AE =CF , EF 交 BD于点 H ,将 △DEF 沿 EF 折到 △DEF 的位置. (I)证明: AC⊥HD ; (II)若 AB= 5,AC= 6,AE= 54 ,OD = 2 2 ,求五棱锥 D-ABCFE体积. 【解析】(I)证明: ∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E 、F 分别在 AD , CD 上, AE= CF , ∴EF⎳AC ,且 EF⊥BD 将 △DEF 沿 EF 折到 △DEF 的位置, 则 DH⊥EF , ∵EF⎳AC , ∴AC⊥HD ; (II)若 AB= 5,AC= 6 ,则 AO= 3,B0=OD= 4 , ∵AE= 54 ,AD=AB= 5 , ∴DE= 5- 54 = 15 4 , ∵EF⎳AC , ∴ DE AD = EH AO = DH OD = 15 4 5 = 3 4 , ∴EH= 94 ,EF= 2EH= 9 2 ,DH= 3,OH= 4- 3= 1 , ∵HD=DH= 3,OD= 2 2 , ∴满足 HD'2=OD'2+OH 2 , 则 △OHD 为直角三角形,且 OD⊥OH , 又 OD⊥AC,AC∩OH=O , 即 OD⊥底面 ABCD , 即 OD 是五棱锥 D-ABCFE的高. 底面五边形的面积 S= 12 ×AC ⋅OB+ EF+AC ⋅OH 2 = 1 2 × 6× 4+ 9 2 +6 ×1 2 = 12+ 21 4 = 69 4 , 则五棱锥 D-ABCFE体积V= 13 S ⋅OD = 13 × 69 4 × 2 2= 23 2 2 . 母题237. 如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a ,过顶点 B,D,A1 截下一个三棱锥. (1)求剩余部分的体积； ( 2 )求三棱锥 A-A1BD的体积及高. 【解析】(1)V= a3- 13 × 1 2 a 2 × a= 56 a 3 ; (2)VA-A1BD=VA1-ABD= 1 3 × 1 2 a 2 × a= 16 a 3 , 易知 △A1BD为等边三角形,且边长为 2a , 其面积为 S= 12 × 2a× 2a× sin60° = 3 2 a 2 , ∴ 16 a 3= 13 × 3 2 a 2h ,解得 h= 33 a . 母题238. 如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,用截面截下一个棱锥 C-ADD ,求棱锥 C- ADD 的体积与剩余部分的体积之比. 【解析】已知长方体可以看成直四棱柱 ADDA-BCCB , 设它的底面 ADDA 面积为 S ,高为 h , 则它的体积为:V=Sh , 而棱锥 C-ADD 的底面面积为: 12 S ,高为 h , 因此棱锥 C-ADD 的体积VC-ADD= 1 3 × 1 2 Sh= 1 6 Sh , 余下的体积是: Sh- 16 Sh= 5 6 Sh . 所以棱锥 C-ADD 的体积与剩余部分的体积之比为: 1:5 . 题 9 积 母题239. 在如图的几何体中,四边形 ABCD为长方形, BB1⊥平面 ABCD,AA1⊥平面 ABCD ,且 BB1= 13 AA1,E为 CD上一点,且 CE= 1 3 CD . (1)求证: CB1⎳平面 A1BE ; (2)若 BB1= 1,CB= 3,AB= 6 ,求此多面体的表面积. 【解析】(1)证明:在平面 ABCD中,过 E作 EF⎳BC ,交 AB于 F , 在平面 AA1B1B中,过 F 作 FG⎳B1B交 A1B于 G , 由 BF⎳CE,BC⎳EF ,可得 BCEF 为平行四边形, 由 CE= 13 CD ,得 BF= 1 3 BA , ∵FG⎳A1A ,则 FG= 13 A1A ,而 BB1= 1 3 AA1 , ∴BB1=FG ,又 FG⎳B1B , ∴四边形 BB1GF 为平行四边形,则 BF=B1G , ∴B1G⎳CE且 B1G=CE ,则四边形 CB1GE为平行四边形, ∴CB1⎳GE , ∵GE⊂平面 A1BE,CB1⊄平面 A1BE , ∴CB1⎳平面 A1BE ; (2)解:由已知可得,四边形 AA1B1B为直角梯形,三角形 A1AD为直角三角形, 三角形 B1BC 为直角三角形,可证三角形 A1DC 为直角三角形, 再由 BB1= 1,CB= 3,AB= 6 ,求得 A1B1= 6+2= 10 , B1C= 9+1= 10 ,A1C= 9+6+9= 2 6 ,可得 S△A1B1C= 1 2 × 2 6 × 10-6= 2 6 . ∴此多面体的表面积 S= 3× 6 + 2 6 + 12 × 6 × 3 2 + 1 2 1+3 × 6 + 1 2 × 3× 3+ 1 2 × 3× 1 = 7 6+ 3 3+ 6 . 题 10 距离 母题240. 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形, AA1= 4,AB= 2,∠BAD= 60°,E, M ,N 分别是 BC,BB1,A1D的中点. (I)证明:MN⎳平面 C1DE ; (II)求点 C 到平面 C1DE的距离. 【解析】( I ) 证明: 连结 B1C,ME , ∵M ,E 分别是 BB1,BC 的中点, ∴ME⎳B1C ,且 ME= 1 2 B1C , ∵ N 为 A1D 的中点, ∴ ND = 1 2 A1D , 由题设知 A1B1⎳ DC , ∴ B1C ⎳ A1D, ∴ ME⎳ND , ∴四边形MNDE为平行四边形,MN⎳ED , ∵MN⊄平面 C1DE, ∴MN⎳平面 C1DE . (II) 解:过 C 作 C1E 的垂线,垂足为 H , 由已知可得 DE⊥ BC ,DE⊥ C1C , ∴DE⊥ 平面 C1CE , ∴DE⊥CH , ∴CH⊥平面 C1DE , ∴CH 的长为 C 到平面 C1DE 的距离, 由已知得 CE= 1,C1C= 4, ∴C1E= 17 , ∴CH= 4 1717 , ∴点 C 到平面 C1DE的距离为 4 1717 . 母题241. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中的侧棱长为 4   cm ,在底面 △ABC 中, AC=BC= 2   cm, ∠ACB= 90° , E为 AB的中点, CF⊥AB1 垂足为 F (I)求证 CE⊥AB1 ; (II)求 CE与 AB1 的距离; (III)求截面 AB1C 与侧面 ABB1A1 所成二面角 C-AB1-B的正切值; (IV)求三棱锥 C-AEF 的体积. 【解析】( I )证明:如图 ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴A1A⊥面 ABC ,则 A1A⊥CE , 又底面 ABC 为等腰直角三角形,且 AC=BC,E为 AB中点, ∴CE⊥AB , 又 A1A∩AB=A , ∴CE⊥面 ABB1A1 ,则 CE⊥AB1 ; (II)解: ∵CE⊥面 ABB1A1, ∴CE⊥EF , ∵已知 CF⊥AB1 ,由 (I)知 CE⊥AB1 ,且 CE∩CF=C , ∴AB1⊥面 CEF ,则 EF⊥AB1 ,即 EF 为异面直线 CE与 AB1 的公垂线, 在直角三角形 ACB1 中, ∵AC= 2,B1C= 2 5 ,AB1= 2 6 , 可得 AF= AC 2 AB1 = 4 2 6 = 63 , ∴EF= AE 2-AF 2= 2- 23 = 2 3 3 ; (III)解:由 (II)知, ∠CFE为二面角 C-AB1-B的平面角, 则在 Rt△CEF 中, tan∠CFE= CEEF = 2 2 3 3 = 62 ; (IV)解: ∵S△AEF= 1 2 ×EF×AF= 1 2 × 2 3 3 × 6 3 = 2 3 , ∴VC-AEF= 1 3 × 2 3 × 2= 2 9 . 题 11 异 直线所成的角 母题242. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E为棱 CC1 上一点且 CE= 2EC1 ,则异面直线 AE 与 A1B所成角的余弦值为 ( ) A. 1144 B. 11 22 C. 2 11 44 D. 11 11 【答案】B 【解析】以 D为原点, DA为 x轴, DC 为 y轴, DD1 为 z轴,建立空间直角坐标系, 设 AB= 3 ,则 A 3,0,0 ,E 0,3,2 ,A1 3,0,3 ,B 3,3,0 , AE  = -3,3,2 ,A1B  = 0,3,-3 , 设异面直线 AE与 A1B所成角为 θ , 则异面直线 AE与 A1B所成角的余弦值为: cosθ= AE  ⋅A1B    AE    ⋅ A1B    = 3 22 ⋅ 18 = 1122 . 故选: B . 母题243. 如图,直三棱柱 ABC-ABC 的侧棱长为 3,AB⊥BC,AB=BC= 3 ,点 E,F 分别是 棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF ,当三棱锥 B-EBF 的体积取得 大值时,则异面直线 AF 与 AC 所成的角为 ( ) A. π2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 【答案】C 【解析】设 AE= BF= a ,则 VB-EBF= 1 3 × 1 2 ×a× 3-a     × 3≤ a+3-a 2 8 = 9 8 ,当且 仅当 a= 3 -a ,即 a= 32 时等号成立, 即当三棱锥 B-EBF 的体积取得 大值时,点 E,F 分别是棱 AB,BC 的中点, 方法一:连接 AE,AF ,则 AE= 32 5 ,AF= 3 2 5 ,A F= AA'2+AF 2 = 92 ,EF= 1 2 AC= 3 2 2 , 因为 EF⎳AC ,所以 ∠AFE即为异面直线 AF 与 AC 所成的角, 由余弦定理得 cos∠AFE= A F 2+EF 2-AE 2 2 ⋅AF ⋅EF = 81 4 + 9 2 - 45 4 2× 92 × 3 2 2 = 22 , ∴∠AFE= π4 . 方法二:以 B为坐标原点,以 BC、BA、BB 分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则 A 0,3,0 ,C 3,0,0 ,A 0,3,3 ,F 32 ,0,0 , ∴AF  = 32 ,-3,-3 ,AC  = 3,-3,0 , 所以 cosAF  ,AC  = A F  ⋅AC  AF    ⋅ AC    = 9 2 +9 9 2 ×3 2 = 22 , 所以异面直线 AF 与 AC 所成的角为 π4 . 故选: C 题 12 线 角 母题244. 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所 成的角. 【解析】取 A1B1 的中点 E ,连结 C1E,AE , 由正三棱柱性质得面 A1B1C1⊥面 A1B1BA ,交线是 A1B1 . 又 C1E⊥A1B1, ∴C1E⊥面 A1B1BA . ∴∠C1AE为所求. ∵AB= a,C1C= 2a , ∴Rt△C1EA中, C1E= 3a2 ,AE= 3 2 a . ∴ tan∠C1AE= C1E AE = 33 . ∴∠C1AE= 30° . ∴AC1 与面 ABB1A1 所成的角为 30° . 母题245. 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 ,平面 AA1C1C⊥平面 ABC,∠ABC= 90°,∠BAC= 30°,A1A= A1C=AC,E,F 分别是 AC,A1B1 的中点. (1)证明: EF⊥BC ; ( 2 )若 AA1= 2 3 ,求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的正弦值. 【解析】(1)证明:如图所示,连接 A1E,B1E , 等边 △AA1C 中, AE=EC ,则 A1E⊥AC , 平面 ABC⊥平面 A1ACC1 ,且平面 ABC∩平面 A1ACC1=AC , 由面面垂直的性质定理可得: A1E⊥平面 ABC ,故 A1E⊥BC , 由三棱柱的性质可知 A1B1⎳AB ,而 AB⊥BC ,故 A1B1⊥BC ,且 A1B1∩A1E=A1 , 由线面垂直的判定定理可得: BC⊥平面 A1B1E , 结合 EF⊂平面 A1B1E ,故 EF⊥BC . (2)解:在底面 ABC 内作 EH⊥AC ,以点 E 为坐标原点, EH,EC,EA1 方向分别为 x,y,z轴 正方向建立空间直角坐标系 E- xyz . 由 AA1= 2 3 ,∠ABC= 90°,∠BAC= 30° ,所以 BC= 3 ,AB= 3,EH= 1,AE=EC= 3 , 据此可得: A 0,- 3,0 ,B 32 , 3 2 ,0 ,A1 0,0,3 ,C 0, 3,0  由 AB  =A1B1  可得点 B1 的坐标为 3 2 , 3 3 2 ,3  利用中点坐标公式可得: F 34 , 3 3 4 ,3 ,由于 E 0,0,0 , 故直线 EF 的方向向量为: EF  = 34 , 3 3 4 ,3 , 设平面 A1BC 的法向量m  = x,y,z , 则 m ⋅A1B  = 32 x+ 3 2 y-3z=0 m ⋅BC  =- 32 x+ 3 2 y=0      , 所以平面 A1BC 的一个法向量为m  = 1, 3,1 ,EF  = 34 , 3 3 4 ,3 , 设直线 EF 与平面 A1BC 所成角为 θ , sinθ= cos<m ,EF  > = 3 4 + 9 4 +3 5× 916 + 27 16 +9 = 45 , 所以直线 EF 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 4 5 . 题 13 二 角 母题246. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠A1C1B1= 90°,AC= 2,BC=BB1= 1 ,点 D是棱 A1C1 的中点. 求: ( 1 )直线 AB与平面 BB1D所成角的正弦值； ( 2 )二面角 A-BD-B1 的大小. 【解析】(1)以 C1 点为坐标原点,分别以 C1A1,C1B1,C1C 所在的直线为 x轴, y轴, z轴,建立 空间直角坐标系, 则 C1 0,0,0 ,A1 2,0,0 ,B1 0,1,0 ,C 0,0,1 ,A 2,0,1 ,B 0,1,1 ,D 1,0,0 . AB  = -2,1,0 ,B1B  = 0,0,1 ,DB1  = -1,1,0 . 设平面 BB1D的法向量为 n = x1,y1,z1 , 则 n⋅B1B  =z1=0 n⋅DB1  =-x1+y1=0  ,取 x1= 1 ,得 n  1,1,0 , ∴ cos<AB  ,n>= AB  ⋅n AB    ⋅ n  -1 5× 2 =- 1010 , ∴直线 AB与平面 BB1D所成角的正弦值为 1010 . (2) DA  = 1,0,1 ,AB  = -2,1,0 . 设平面 BAD的法向量为m = x2,y2,z2 , 则 m ⋅DA  =x2+z2=0 m ⋅AB  =-2x2+y2=0  ,取 x2= 1 ,得m  = 1,2,-1 , ∴ cos<n,m >= n ⋅m n  ⋅ m  = 3 2× 6 = 32 , ∴二面角 ABDB1 的大小为 150° . 母题247. 如图,在四棱锥 P-ABCD中, PA⊥平面 ABCD , AD⊥CD , AD⎳BC , PA=AD =CD= 2 , BC = 3,E为 PD中点,点 F 在线段 PC 上,且 PF PC = 13 . (I)求证: CD⊥平面 PAD ; (II)求直线 PD与平面 AEF 所成角的正弦值; (III)求二面角 F-AE-P的正弦值. 【解析】 (I)证明:如图,以 D为原点,分别以 DA,DC 为 x轴, y轴建立空间直角坐标系, 则 D 0,0,0 ,A 2,0,0 ,C 0,2,0 , 得 DC  = 0,2,0 ,DA  = 2,0,0 ,DP  = 2,0,2 , 所以 DC  ⋅DA  = 0,DC  ⋅DP  = 0 , 即 DC  ⊥DA  ,DC  ⊥DP  ,又 DA∩DP=D , 所以 CD⊥平面 PAD ; (II)解:由 E 1,0,1 可是 AE  = -1,0,1 , 由 PF  = 13 PC  = - 23 , 2 3 ,- 2 3 ,可得 F 4 3 , 2 3 , 4 3 ,所以 AF  = - 23 , 2 3 , 4 3 , 设m = x,y,z 为平面 AEF 的法向量, 则 m ⋅AE  =-x+z=0 m ⋅AF  =- 23 x+ 2 3 y+ 4 3 z=0  不妨设m  = 1,-1,1 , 设直线 PD与平面 AEF 所成角为 θ , 所以 sinθ= cos‹m ⋅DP  › = 43 ⋅2 2 = 6 3 , 则直线 PD与平面 AEF 所成角的正弦值为 63 ; (III)解:因为 DC  = 0,2,0 为平面 PAE的法向量, 设二面角 F-AE-P的大小为 θ , 所以 cosθ = m ⋅DC    m  DC    = 2 3 ⋅2 = 33 ,所以 sinθ= 6 3 . 则二面角 F-AE-P的正弦值为 63 . 题 14 直 法 母题248. 体积为 8的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球面的表面积为 ( ) A. 12π B. 323 π C. 8π D. 4π 【解析】正方体体积为 8 ,可知其边长为 2 , 正方体的体对角线为 4+4+4= 2 3 , 即为球的直径,所以半径为 3 , 所以球的表面积为 4π ⋅ 3 2= 12π . 【答案】A . 母题249. 已知圆锥的顶点为 S ,母线 SA , SB所成角的余弦值为 78 , SA与圆锥底面所成角为 45° ,若 △SAB的面积为 5 15 ,则该圆锥的侧面积为 ( ) A. 40 2π B. 80 2 C. 40 3π D. 80 3π 【解析】因为 S△SAB= 1 2 l 2sin∠ASB= 12 l 2 ⋅ 158 = 5 15 ,所以 l= 4 5 , 又因为 2r= l ,所以 r= 2 10 ,则 S侧= 1 2 × 2πrl= πrl= π ⋅ 2 10 × 4 5= 40 2π . 【答案】A . 题 15 正方 或长方 母题250. 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O的球面上, PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2的正三角形, E,F 分别是 PA,AB的中点, ∠CEF= 90° ,则球 O的体积为 ( ) A. 8 6π B. 4 6π C. 2 6π D. 6π 【解析】如图, 由 PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2的正三角形,可知三棱锥 P-ABC 为正三棱锥, 则顶点 P在底面的射影 O1 为底面三角形的中心,连接 BO1 并延长,交 AC 于 G , 则 AC⊥BG ,又 PO1⊥AC,PO1∩BG=O1 ,可得 AC⊥平面 PBG ,则 PB⊥AC , ∵E,F 分别是 PA,AB的中点, ∴EF⎳PB , 又 ∠CEF= 90° ,即 EF⊥CE, ∴PB⊥CE ,得 PB⊥平面 PAC , ∴正三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直, 把三棱锥补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球, 其直径为 D= PA2+PB2+PC2= 12 PA 2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2  = 12 AB 2+BC2+AC2 = 12 2 2+22+22 = 6 . 半径为 62 ,则球 O的体积为 4 3 π× 6 2  3 = 6π . 【答案】D . 题 16 直角三角形法 母题251. 设 A,B,C,D是同一个半径为 4的球的球面上四点, △ABC 为等边三角形且面积为 9 3 ,则三棱锥 D-ABC 体积的 大值为 ( ) A. 12 3 B. 18 3 C. 24 3 D. 54 3 【解析】△ABC 为等边三角形且面积为 9 3 ,可得 34 ×AB 2= 9 3 ,解得 AB= 6 , 球心为 O ,三角形 ABC 的外心为 O ,显然 D在 OO的延长线与球的交点如图: OC= 23 × 3 2 × 6= 2 3 ,OO = 42- 2 3 2= 2, 则三棱锥 D-ABC 高的 大值为: 6, 则三棱锥 D-ABC 体积的 大值为: 13 × 3 4 × 6 3= 18 3 . 【答案】B . 题 17 截球 母题252. 已知 H 是球 O的直径 AB上一点, AH :HB= 1:2,AB⊥平面 α,H 为垂足, α截球 O 所得截面的面积为 4π ,则球 O的表面积为 ( ) A. 9π2 B. 9π 4 C. 9π D. 18π 【解析】设球的半径为 R, ∵AH :HB= 1:2, ∴平面 α与球心的距离为 13 R , ∵ α截球 O所得截面的面积为 4π , ∴ d= 13 R时, r= 2 , 故由 R2= r2+ d2 得 R2= 22+ 13 R  2 , ∴R2= 92 ∴球的表面积 S= 4πR2= 18π . 【答案】D . 母题253. 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,∠BAD= 60° . 以 D1 为球心, 5 为半 径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为 . 【解析】由题意直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,∠BAD= 60° . 可知: D1B1= 2 ,上 下底面是菱形,建立如图所示的平面直角坐标系,设 P x,y 为半径 5 的球面上的点,过 P 作 PE垂直 B1C1 的垂直, E为垂足, 则 D1E 2=D1B21+ x2- 2 ⋅D1B1 ⋅ xcos60° = x2+ 4- 2x . 由题意可知 D1P= 5 . 可得: 5= x2+ 4- 2x+ 2-y 2 . 即 x-1 2+ y-2 2= 2 , 所以 P在侧面 BCC1B1 的轨迹是以 B1C1 的中点为圆心,半径为 2 的圆弧. 以 D1 为球心, 5 为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为: 14 × 2 2π= 2π 2 . 【答案】 2π2 . 母题254. 设 OA是球 O的半径,M 是 OA的中点,过M 且与 OA成 45°角的平面截球 O的表 面得到圆 C . 若圆 C 的面积等于 7π4 ,则球 O的表面积等于 【解析】设球半径为 R ,圆 C 的半径为 r , 由 πr2= 7π4 ,得 r 2= 74 . 因为 OC= 22 ⋅ R 2 = 2 4 R . 由 R2= 24 R  2 + r2= 18 R 2+ 74 得 R 2= 2 故球 O的表面积等于 8π 【答案】8π , 题 18 截正方 母题255. 已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 α所成的角都相等,则 α截此正方体所 得截面面积的 大值为 ( ) A. 3 34 B. 2 3 3 C. 3 2 4 D. 3 2 【解析】正方体的所有棱中,实际上是 3组平行的棱,每条棱所在直线与平面 α所成的角都相 等,如图:所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时, α截此正方体所得截面面积的 大, 此时正六边形的边长 22 , α截此正方体所得截面 大值为: 6× 34 × 2 2  2 = 3 34 . 【答案】A . 母题256. 如图,在正方体 ABCD-ABCD 中,平面 α垂直于对角线 AC ,且平面 α截得正方 体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为 S ,周长为 l ,则 ( ) A. S为定值, l不为定值 B. S不为定值, l为定值 C. S与 l均为定值 D. S与 l均不为定值 【解析】将正方体切去两个正三棱锥 A-ABD与 C-DBC 后, 得到一个以平行平面 ABD与 DBC 为上、下底面的几何体 V , V的每个侧面都是等腰直角三角形, 截面多边形W 的每一条边分别与V的底面上的一条边平行, 将V的侧面沿棱 AB 剪开,展平在一张平面上,得到一个 ▫ABB1A1 ,如图, 而多边形W 的周界展开后便成为一条与 AA1 平行的线段 (如图中 E E1 ), 由题意得 E E1=AA1 ,故 l为定值. 当 E  位于 AB 中点时,多边形W 为正六边形,而当 E  移至 A 处时,W 为正三角形, 由题意知周长为定值 l的正六边形与正三角形面积分别为 324 l 2 与 336 l 2 ,故 S不为定值. 【答案】B . 母题257. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,平面 α与对角线 AC1 垂直且与每个面均 有交点,若 α截此正方体所得的截面面积为 S ,周长为 l ,则 S l 的 大值为 . 【解析】连结 A1B,A1D,BD ,则 AC1⊥平面 A1BD , ∴AC1⊥A1B 设平面 α与平面 ABB1A1 的交线为 EF , 则 AC1⊥EF , ∴EF⎳A1B , 同理可得平面 α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行, 设 EF A1B = λ ,则 B1E A1B1 =B1E= λ, ∴ NEB1D1 = A1E A1B1 = 1- λ , ∴EF+NE= 2λ+ 2 1-λ = 2 , 同理可得六边形其他相邻两边的和为 2 , ∴六边形的周长 l为定值 3 2 . ∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时,截面面积 大, 大面积为 34 × 2 2  2 × 6= 3 34 , ∴ S l 的 大值为: 3 3 4 3 2 = 68 . 【答案】 68 . 题 19 几 法 母题258. 如图在正四棱锥 S-ABCD中, E是 BC 的中点, P点在侧面 △SCD内及其边界上运 动,并且总是保持 PE⊥AC ,则动点 P的轨迹与 △SCD组成的相关图形是 ( ) A. B. C . D. 【解析】取 CD中点 F,AC⊥EF ,又 ∵SB在面 ABCD内的射影为 BD且 AC⊥BD, ∴AC ⊥SB ,取 SC 中点 Q, ∴EQ⎳SB , ∴AC⊥EQ ,又 AC⊥EF , ∴AC⊥面 EQF ,因此点 P在 FQ上移动时总有 AC⊥EP . 【答案】A . 母题259. 若三棱锥 A-BCD的侧面 ABC 内一动点 P到底面 BCD的距离与到棱 AB的距离 相等,则动点 P的轨迹与 △ABC 组成图形可能是 ( ) A. B. C . D. 【解析】设二面角 A-BC-D的大小为 θ ,如图. 作 PR⊥面 BCD于 R,PQ⊥BC 于 Q,PC⊥AB于 T ,则 ∠PQR= θ , 且由条件 PT=PR=PQ ⋅ sinθ , ∴ PT PQ = sinθ为小于 1的常数, 【答案】D . 母题260. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点M 在棱 AB上,且 AM= 13 ,点 P是 平面 ABCD上的动点,且动点 P到直线 A1D1 的距离与点 P到点M 的距离的平方差为 1, 则动点 P的轨迹是   ( ) A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 【解析】如图所示:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 作 PQ⊥AD,Q为垂足,则 PQ⊥面 ADD1A1 , 过点 Q作 QR⊥D1A1 ,则 D1A1⊥面 PQR , PR即为点 P到直线 A1D1 的距离, 由题意可得 PR2-PQ2=RQ2= 1 . 又已知 PR2-PM 2= 1 , ∴PM=PQ , 即 P到点M 的距离等于 P到 AD的距离, 根据抛物线的定义可得,点 P的轨迹是抛物线, 【答案】B . 题 20 解 法 母题261. 四棱锥 P-ABCD,AD⊥面 PAB,BC⊥面 PAB ,底面 ABCD为梯形, AD= 4,BC = 8,AB= 6 , ∠APD=∠BPC ,满足上述条件的四棱锥顶点 P的轨迹是 ( ) A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【解析】在平面 PAB内, 以 AB所在直线为 x轴, AB的中垂线为 y轴,建立平面直角坐标系. 设点 P x,y ,则由题意可得 A -3,0 ,B 3,0 . ∵AD⊥ α,BC⊥ α,AD= 4,BC= 8,AB= 6,∠APD=∠CPB , ∴Rt△APD∽Rt△CPB , ∴ APBP = AD BC = 48 = 1 2 . 即 BP2= 4AP2 ,故有 x-3 2+ y2= 4 x+3 2+y2 , 整理得: x+5 2+ y2= 16 ,表示一个圆. 由于点 P不能在直线 AB上 (否则,不能构成四棱锥), 故点 P的轨迹是圆的一部分, 【答案】B . 母题262. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的 平面内的轨迹是 ( ) A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【解析】先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为 x轴,公垂线与 x轴交点为原点, 公垂线所在直线为 z轴,过 x且垂直于公垂线的平面为 xoy平面,建立空间直角坐标系,则 两条异面直线的方程就分别是 y= 0,z= 0和 x= 0,z= a(a是两异面直线公垂线长度,是个 常数) 空间内任意点设它的坐标是 (x, y, z) 那么由已知,它到两条异面直线的距离相等,即 y2+z2= x2+ z-a 2 两边平方,化简可得 z= 12a y 2-x2+a2  过一条直线且平行于另一条直线的平面是 z= 0和 z= a 分别代入所得式子 z= 0时 代入可以得到 y2- x2=-a2 ,图形是个双曲线 z= a时 代入可以得到 y2- x2= a2 ,图形也是个双曲线 【答案】D .